5. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen

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1 5. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge Aufgabe 2: Bestimme Sie alle Häufugspukte der komplexe) Folge mit de Glieder a) a = ) ) b) b = i Lösug 2: a) Die Folge a ) zerfällt vollstädig i die beide Teilfolge c ) ud d ) mit Da 2 ) ud 2 ) c := a 2 = ud d := a 2 = 2, N. 2 Nullfolge sid, gilt ach de Recheregel für Limites c 2 ud d 2. Gibt es och adere Häufugspukte? Sei c ei Häufugspukt, d.h. es gibt eie Teilfolge c ) vo a ) mit lim c = c. Da ethält c ) etweder uedlich viele Folgeglieder a, gerade, oder uedlich viele Folgeglieder a, ugerade. Diese Glieder bilde da aber eierseits eie kovergete Teilfolge vo c ), ud ach Satz 2.8 a) muss diese ebefalls de Grezwert c habe. Adererseits bilde diese Glieder eie kovergete Teilfolge vo a 2 ) oder vo a 2 ), ud Satz 2.8 a) sagt u, dass der Grezwert 2 oder 2 sei muss. Da ka c ur die Werte ±2 aehme. Somit ist die Mege der Häufugspukte {2, 2}. b) Es ist i 4k = daher gilt: i 4k = i 0 =, i 4k+ = i = i, i 4k+2 = i 2 =, i 4k+3 = i 3 = i. Also zerfällt b ) vollstädig i die 4 Teilfolge: ) c := = ) für = 4k, k N, d := ) i für = 4k +, k N, e := ) für = 4k + 2, k N, f := ) i für = 4k + 3, k N Da 7 0, gilt ach de Recheregel c 5, d 5i, e 5 ud f 5i für. Wie i a) schließe wir: die Mege der Häufugspukte ist {5, 5, 5i, 5i}. Aufgabe 22: Utersuche Sie die Folge, dere Glieder ute für N agegebe sid, auf Beschräktheit, Mootoie ud Kovergez bzw. Beschräktheit, Mootoie ud Kovergez geeigeter Teilfolge. Der Grezwert oder die Häufugspukte müsse icht agegebe werde. Lösug 22: a) Ma hat a) b) a = ), c) c = 2) , b = , d) d = ). lim a = lim = lim + 3) + 3) + 2 = 2. Die Folge kovergiert also, ud ach Satz 2.6 ist die Folge da auch beschräkt. Wir utersuche och auf Mootoie. Für alle N gilt a + a = ) + 3) 2 + 3) = ) + 3) + 4) 2 4 = + ) + 3) + 4) < 0 a + < a. Folglich ist a ) streg mooto falled. Bemerkug: Ma ka auch zuerst Mootoie ud Beschräktheit es ist a = +3) + 2 [2, 3]) der Folge zeige, ud da mit dem Mootoie-Kriterium auf Kovergez schließe.

2 b) Für b ) gilt b = = 6 6 < 6, also ist b ) ach obe durch 6 beschräkt, ach ute ubeschräkt. Isbesodere ist b ) ach Satz 2.6 diverget. Ferer gilt b + b = = + 6 2) + 3) 2 =, + ) + ) also ist ach Betrachtug der Faktore b + b > 0 ur für =, sowie b + b = 0 für = 2 ud b + b < 0 für > 2: Damit ist die Folge b ) für N icht mooto, für > aber mooto falled, für > 2 sogar streg mooto falled. c) Es ist c = 2) + 2 = { > 0, gerade, < 0, ugerade, also ist c ) alteriered ud folglich icht mooto. Die erste Idee ist es da, diese beide Teilfolge zu utersuche: c 2 ) ud c 2 ) kovergiere beide gege 0, da 2, 2 ud +2 jeweils Nullfolge sid. Isbesodere sid beide Teilfolge da auch beschräkt ach Satz 2.6. Ist für alle N c 2 c ud c 2 c 2, so ist die gaze Folge c ) beschräkt durch max{c, c 2 }. Die Schrake köe wir auch geauer agebe: Wege ist c < für alle N ud Beide Teilfolge c 2 ) ud c 2 ) sid ausserdem streg mooto, de c +2 c = 2) + 2) 2) ) = < = 4 c +2 < 4 c < c. Folglich ist c 2 ) streg mooto falled ud c 2 ) streg mooto steiged. Bemerkug: Auch hier ka ma zuerst Mootoie ud Beschräktheit der Teilfolge zeige, ud da mit dem Mootoie-Kriterieum auf Kovergez der beide Teilfolge schließe. Da beide Teilfolge gege 0 kovergiere, liegt es ahe, zu utersuche, ob die gaze Folge c ) gege diese Grezwert kovergiert. Wir habe die Abschätzug c = 2) + 2 = 2) + 2 < 2 ud da 2 ) eie Nullfolge ist, kovergiert c ) ach Majoratekriterium gege 0. d) Wie zuvor köe wir auch d ) i zwei Teilfolge zerlege: d = Wir utersuche die Mootoie für gerade : ) = { gerade, + 2 ugerade d +2 d = = ) ) = ) ) < 0 Die Teilfolge d 2 ) ist also streg mooto falled ud deswege ach obe durch d 2 beschräkt. Da aber Zähler ud Neer immer positiv sid, ist diese Teilfolge ach ute durch 0 beschräkt. Das Mootoie-Kriterium zeigt, dass diese Teilfolge kovergiert. Für ugerade erhalte wir d +2 d = = = 3 2 > 0. Diese Teilfolge also streg mooto steiged ist, ud auch immer positiv ist d 2k > 0. Doch hat 2 keie obere Schrake ud damit ist diese Teilfolge diverget. Damit hat d ) isgesamt zwar ur eie Häufugspukt, ist aber deoch diverget.

3 Aufgabe 23: Für a R >0, sei die Zahlefolge x ) folgedermaße rekursiv defiiert für 0 < x 0 < a beliebig. x + = 2x ax 2, N {0}, a) Zeige Sie, dass x + a für alle N 0 gilt. Hiweis: quadratische Ergäzug). b) Zeige Sie mit vollstädiger Iduktio: x 0 für alle N 0. Hiweis: Teil a) verwede.) c) Begrüde Sie, dass x ) kovergiert, ud bestimme Sie lim x. Lösug 23: a) a x + = a 2x + ax 2 = a x 2 2 a x + a 2 ) = a x a) 2 0 = a x + für alle N 0. b) Iduktiosafag: x 0 0 ach Defiitio Iduktiosschluss: Es gelte x 0 für ei N 0 ). Zeige x + 0: x + = 2x ax 2 = x 2 ax ) ) 0, wobei wir für ) die Iduktiosvoraussetzug beötige, sowie folgede Gleichug: Für alle N 0 gilt ach a) a x + 0 a>0 ax ax + 0. Da der Fall x 0 dabei icht behadelt wird, müsse wir diese extra zeige: c) Für alle N 0 gilt 2 ax + 2 a a = 0. x + x = 2x ax 2 x = x ax 2 = x ax ) 0 x + x, d.h. x ) wächst mooto. Da ach a) die Folge x ) ach obe beschräkt ist, kovergiert sie ach dem Mootoie-Kriterium. Der Grezwert x muss x = 2x ax 2 erülle. Sei lim x = x. Da gilt Das ist äquivalet zu der quadratische Gleichug x = lim x + = lim 2x ax 2 = 2x ax 2. ax 2 x = 0 xax ) = 0. Die mögliche Grezwerte sid da 0 ud a. Da alle Glieder aber positiv sid ud die Folge mooto wächst, folgt Aufgabe 24: Gegebe sei die rekursiv defiierte Folge lim x = a. a = b, a k+ = a k 2a k, k N ud wir betrachte die zwei Startwerte b = 4, sowie b = 4. a) Uter Aahme der Kovergez, gege welche Grezwerte ka die Folge da kovergiere? b) Für welche der beide Startwerte ist die Folge mooto? c) Für welche der beide Startwerte ist die Folge beschräkt? d) Begrüde Sie, ob die Folge kovergiere ud bestimme Sie ggf. die Grezwerte. Lösug 24:

4 a) We die Folge kovergiert, so existiert ei Grezwert a ud ma ka wie i der vorherige Aufgabe) de Limes auf die Rekursiosformel awede: lim a k+ = lim a k = a = lim k k k Also müsse mögliche Grezwerte die Formel 2a 2 a = a erfülle. Wir betrachte zuächst a 0: Da ist Für a > 0 erhalte wir: 2a 2 a = a a = 0. a k 2a k = a 2a 2a 2 a = a 2aa ) = 0. Als mögliche Grezwerte komme hier 0 ud i Betracht. b) Wir betrachte zuächst b = 4 < 0. Mit vollstädiger Iduktio sehe wir: a < 0 für alle N. Iduktiosafag: a = b < 0. Iduktiosschritt k k + : a k+ = a k 2a k < 0. Das utze wir, um Mootoie zu zeige: Für die Differez a k+ a k erhalte wir da wege a k = a k : a k+ a k = a k 2a k a k = a k 2a 2 k + a k 2a k a 2 k = 2 2a k = 2 a a k k 2a k > 0 ) Also ist die Folge für b = 4 streg mooto steiged. Für a = b = 4 erhalte wir a 2 = 2, a 3 = 4, sie ist also icht mooto. c) Da für b < 0 die Folgeglieder wie gezeigt egativ sid, gleichzeitig aber streg mooto wachse, ist b a k < 0 ud damit isbesodere a k b. Somit ist die Folge für b = 4 beschräkt. We b = 4 gilt, so ist a 2 = 2. Für k 2 ist da a k+ = a k 2a k < 0, ud wie i ) folgt, dass a k ) k für k 2 mooto wachsed ist. Also gilt hier 2 a k 4, so dass isbesodere a k 2, d.h. die Folge ist beschräkt. d) Für b = 4 ist das Mootoie-Kriterium erfüllt, ud somit kovergiert die Folge da. Da hier a k < 0, ka der Grezwert ur a = 0 laute. Für b = 4 ist die Folge ab dem zweite Folgeglied mooto, somit kovergiert a k) k 2 ach dem Mootoie- Kriterium, ud damit auch die gesamte Folge. Auch hier ist der Grezwert 0. Bemerkug: Ma ka auch argumetiere, dass die Folge mit dem Startwert 4 beim zweite Folgeglied 4 erreicht ud ab dort mit der erste Folge übereistimmt, die kovergiert. Aufgabe 25: Ei Studet lert pro Tag drei HM-Skriptseite auswedig. Über die Nacht vergisst er 4% des isgesamt gelerte Wisses. Gehe Sie davo aus, dass das Skript uedlich viele Seite hat ud die Testperso am erste Semestertag über kei HM-Wisse verfügte. Also icht mal die pq-formel! a) Gebe Sie eie rekursive) Formel für de Wissesihalt w gemesse i Seite) der Testperso ach Ablauf vo Tage ud Nächte. b) Zeige Sie, dass die Folge w ) mooto steigt. c) Zeige Sie, dass w ) durch 75 Seite ach obe beschräkt ist. d) Welche Wissesmege wird sich ach eiiger Zeit etwa eigestellt habe? Grezwert) Lösug 25: a) w 0 = 0, w = , w 2 = w + 3) =... Also w + = w + 3)

5 b) Wir zeige durch vollstädige Iduktio, dass w + w bzw. i äquivaleter Form w + w 0. Iduktiosafag = 0): w w 0 = Iduktiosschritt + ): Es gelte w + w 0 ) für ei N. Zeige w +2 w + 0. w +2 w + = w + + 3) w + 3) = w + w ) 0. }{{} 0 ) c) Wir zeige die Beschräktheit ebefalls durch vollstädige Iduktio. Iduktiosafag = 0): w 0 = Iduktiosschritt + ): Es gelte w 75 ) für ei N. Zeige w + 75: w + = w + 3) ) ) = 78 = d) Mit dem Mootoiekriterium folgt aus b) ud c), dass die Folge w ) kovergiert. Sei w := lim w. Da gilt w = lim w 96 + = lim 00 w + 3) = w + 3). Es folgt somit 00w 96w = 3 96 w = 3 24 = 72.

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