Funktionenlehre. Grundwissenskatalog G8-Lehrplanstandard

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1 GRUNDWISSEN MATHEMATIK Funktionenlehre Grundwissenskatalog G8-Lehrplanstandard Basierend auf den Grundwissenskatalogen des Rhöngmnasiums Bad Neustadt und des Kurt-Huber-Gmnasiums Gräfelfing J O H A N N E S - N E P O M U K - G Y M N A S I U M

2 Funktionale Zusammenhänge Direkte Proportionalität Bei einer direkten Proportionalität wird dem doppelten, dreifachen,...wert der einen Größe der doppelte, dreifache,... Wert der anderen Größe zugeordnet. Quotientengleichheit: m (konst.) m heißt Proportionalitätskonstante. Graph: Eine vom Nullpunkt ausgehende Halbgerade. ) Liter Benzin () Preis in () Schlussrechnung (Dreisatz): 7 7,84 7,84 : 7 =, 0,40 ) Kreisumfang: Der Quotient aus Umfang und Durchmesser eines jeden Kreises ist konstant (Kreiszahl π 3,4): Flächeninhalt eines Kreises: A = r²π Seite von 7

3 Indirekte (umgekehrte) Proportionalität Bei einer indirekten Proportionalität wird dem doppelten, dreifachen,... Wert der einen Größe die Hälfte, der dritte Teil,... der anderen Größe zugeordnet. Produktgleichheit: = a (konst.). Graph: Hperbel Bsp.: Anzahl der Arbeiter Arbeitszeit Schlussrechnung (Dreisatz): Bsp.: 7 A. 40 h A h = 80 h 5 A. 80 h : 5 = 56 h Lineare Funktionen Eine Zuordnung, die jedem aus dem Definitionsbereich genau ein aus dem Wertebereich zuordnet, heißt eindeutig. Eindeutige Zuordnungen heißen Funktionen. Seite 3 von 7

4 Die Menge, für die eine Zuordnung gesucht werden soll, heißt Definitionsmenge D, die Menge der zugeordneten Werte heißt Wertemenge W. Ein Funktionsterm f() ordnet jedem (aus D) einen Funktionswert (aus W) zu. Nullstellen sind Schnittpunkte des Graphen G f mit der -Achse: f() = 0 Grundbegriffe f: m + t mit D = Der Graph ist eine Gerade mit Steigung m und -Abschnitt t. z.b.: m ; t 3 f : 3 mit D = Q Nullstelle =6 Steigung: m - w=3 s= Steigungsdreieck: LE nach rechts und m LE nach oben/unten oder nach rechts und nach oben/unten Seite 4 von 7

5 Geradengleichung = m + t Je größer m ist, desto steiler ist die Gerade. Für m < 0 fällt, für m > 0 steigt die Gerade; für obenm = 0 verläuft sie parallel zur -Achse Alle Geraden mit gleicher Steigung m sind parallel. Punkt auf Geraden: Ein Punkt liegt auf einer Geraden g, wenn seine Koordinaten die Geradengleichung erfüllen: z.b.: ( 4 5) g mit g : - 3 denn 5 =. 4 3 (Einsetzen der Koordinaten in Funktionsgl.) Geradengleichung aus Punkten aufstellen z.b.: Gerade g soll durch A( 5) und B(- 4) verlaufen: AB 54 Steigung: m ( ), also: 4 A B g : = 4 + t Nun Koordinaten von A einsetzen: 5 = + t ; daraus bekommt man: t = 4 ; also: = + 4 verläuft durch A und B. 4 4 Seite 5 von 7

6 Schnittpunkt S zweier Geraden berechnen z. B. f : 4; g : 3 Gleichsetzen der Funktionsterme: 4 3 Auflösen nach : 3 Einsetzen von in eine der 4 Funktionsgleichungen: ( 3 3) S ( ) - - Gebrochen-rationale Funktionen Grundlagen Funktionen mit einer Variablen im Nenner und evtl. Zähler Zur Bestimmung der maimalen Definitionsmenge D muss sichergestellt werden, dass der Nenner nicht Null ergibt. Seite 6 von 7

7 f 9 ( ) Bsp.: 5 5 D = \{5} bei = 5 hat die Funktion f eine Definitionslücke, der Graph G f hat hier eine senkrechte Asmptote. Außerdem hat der Graph G f eine waagrechte Asmptote bei = und eine Nullstelle bei = 4,5. Schnittpunkt(e) zweier gebr. rat. Funktionen Beim Berechnen der Schnittpunkte entsteht eine Bruchgleichung: Bsp.: ) f ( ), g( 5 0,53 Bestimmen des Schnittpunkts durch Gleichsetzen der Funktionsterme: 5 0,53 Lösen der Gleichung z. B. durch Über-Kreuz-Multiplizieren: 0,5 3 5 Seite 7 von 7

8 Ausmultiplizieren und Vereinfachen ergibt dann = 0,5. Die zweite Koordinate erhält man durch Einsetzen des -Werts in eine der beiden Funktionen: f( 0,5) = Koordinaten des Schnittpunkts: S( 0,5 Alternativ: Lösen der Bruchgleichung durch Hauptnennerbildung oder graphisch! ) Quadratische Funktionen Parabeln Der Graph der Funktion a b c heißt Parabel. Die Gleichung der Normalparabel lautet. Verschiebung/Streckung = = - = (-) Verschiebung der Normalparabel um k in -Richtung: = ( k)²; Scheitel S (k / 0); ( )² Verschiebung nach rechts! Verschiebung der Normalparabel um q in -Richtung: = ² + q; Scheitel S (0 / q); ² - Verschiebung nach unten! Seite 8 von 7

9 Kombination: = ( k)² + q; S (k / q) Streckung der Normalparabel: = a² für a > ist der Graph schmäler, für 0 < a < breiter; für a < 0 nach unten geöffnet. Quadratische Ergänzung: ² = (² + 3) = (² ) = (² ) = ( + )² - 8; S (- / -8) Seite 9 von 7

10 Trigonometrische Funktionen Sinusfunktion f() = sin, D =, punktsm. zum Ursprung; Periodenlänge π; W = [-;] Kosinusfunktion f() = cos, D =, achsensm. zur -Achse; Periodenlänge π; W = [-;] - O Die allgemeine Sinusfunktion f() = a sin [ b ( + c ) ] + d mit Periodenlänge a Streckung/Stauchung in -Richtung (Amplitude) für a < 0 Spiegelung an der -Achse b Streckung/Stauchung in -Richtung c Verschiebung in -Richtung (c < 0 nach rechts) d Verschiebung in -Richtung Seite 0 von 7

11 - O Eponentielles Wachstum und Logarithmen Eponentielles Wachstum Ein Wachstum mit konstantem Zuwachs in gleichen Schritten heißt lineares Wachstum (z.b. Zins); ein Wachstum mit konstantem Wachstumsfaktor in gleichen Zeitspannen heißt eponentielles Wachstum (z.b. Zinseszins, Bevölkerung, Bakterien, auch radioaktiver Zerfall als negatives Wachstum) Wachstumsgesetz: b a Seite von 7

12 : Anzahl der Zeitintervalle, b: Startwert, a: Wachstumsfaktor (a > Zunahme, 0 < a < Abnahme) Halbwertszeit ist die Zeit, in welcher der Startwert auf die Hälfte gesunken ist. Zinseszins: Jährlicher Zinssatz von 4% a, 04 Kontostand nach z.b. 0 Jahren (bei 00 Startwert): b a 00,04 0 9, Eponentialfunktionen a a IR, IR, W = IR + a a a streng monoton steigend für a > streng monoton fallend für 0< a < P (0/) ist gemeinsamer Punkt aller Graphen Seite von 7

13 Die Graphen von a und smmetrisch bzgl. der -Achse. a a sind zueinander Logarithmusfunktionen, mit D = IR + ist die Umkehrfunktion zu a log log log 3 log Seite 3 von 7

14 Ausbau der Funktionenlehre Potenzfunktionen Jede Funktion f() = n mit D = und n heißt Potenzfunktion mit natürlichem Eponenten. = = 5 n gerade: W = ; G f achsensmmetrisch zur -Achse und gemeinsamen Punkten (-/), (0/0), (/) n ungerade: W = ; G f punktsmmetrisch zum Ursprung und gemeinsamen Punkten (-/-), (0/0), (/) Ganzrationale Funktionen Polnom Eine Funktion der Form n n f() = an an... a a a 0 mit a 0...a n heißt ganzrationale Funktion n-ten Grades. Seite 4 von 7

15 , d.h. a n... a 5 0, a 4 5, a 3 0, a 3, a, a 0 0 Nullstellenbestimmung: Ist 0 eine Nullstelle von f (Grad n), so ist f() teilbar durch ( 0 ) mit f() = ( 0 ) g(), (Grad (g) = n-) Eine ganzrat. Funktion n-ten Grades hat maimal n Nullstellen (mehrfache Nullstellen werden mehrfach gezählt) Nullstellen gerader Ordnung liefern einen Vorzeichenwechsel im Graphen (Schnittpunkt); Nullstellen ungerader Ordnung liefern einen Berührpunkt Um Nullstellen zu berechnen, gibt es auch die Möglichkeit der Polnomdivision; nach dem Raten einer Nullstelle erfolgt eine Division durch den zugehörigen Linearfaktor: Seite 5 von 7

16 : (6 4 ) ( 5 0) : 3 (3 ) : 3 usw. Smmetrie Punktsmmetrie zum Ursprung f(-) = -f() Achsensmmetrie zur -Achse f(-) = f() f(-) f() f(-) f() Seite 6 von 7

17 Verändern von Funktionsgraphen (s. Sinusfunktion) f() + a f( + b) a f() f(a ) Verschiebung Verschiebung Streckung Streckung in -Richtung in -Richtung in -Richtung in -Richtung Grenzwert Unterscheiden sich die Funktionswerte von f() für ± beliebig wenig von der Zahl a, so konvergiert f() gegen den Grenzwert a; sonst divergiert f() Seite 7 von 7