Brückenkurs Mathematik ( )

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1 Fachhochschule Hannover Fachbereich Elektrotechnik Dr. Gerhard Merziger Brückenkurs Mathematik ) Montag Zahlen: IN, Z, Q, IR 0) Bruchrechnung:... Rechnen mit rationalen Zahlen Bruchrechnung) Dezimalbrüche, Dreisatz ) Bestimme den ggt das kgv) von und a) b) mittels Primfaktorzerlegung, mittels euklidischem Algorithmus. ) Nach wieviel Umdrehungen befinden sich Zahnräder 5 bzw. 8 Zähne) jeweils in der Ausgangslage? ) Schreibe folgende rationale Zahlen als Dezimalbruch bzw. als gekürzten Bruch: a = 0, b = c = 00 7, d = 4 850, e = 0, 9, f = 0, 96, g = 0, 04. 4) Al ist 4 Jahre alt. Er ist doelt so alt wie Bob war als Al so alt war wie Bob ist. Wie alt ist Bob? 5) Eine Ware wird 5% teurer. Wieviel Prozent war sie vorher billiger? 6) Wieviell Prozent Zeit sart eine Autofahrer, der sein Durchschnittstemo auf einer gegebenen Strecke um % steigert? 7) 5 l Benzin kosten 8 C. a) Wieviel C zahlt man für l? b) Wieviel l erhält man für 0 C? 8) Schreibe im Dual bzw. Dezimalsystem: 5 0,.5 0, 4, 6 0 5, , 0.,.0, 9) Schreibe im Dualsystem mit 4 Nachkommastellen Dienstag Potenzen, Wurzeln, Logarithmen 0) Berechne x aus a) x = 4, x =, = x, b) log 56 = x, log x =, log x =, c) x ln x = ln x. ) Zeige: log a x = log b x log b a. ) Nach einer Fausformel verdoelt sich ein zu % angelegtes Kaital nach 70 Jahren. Begründung? Hinweis: Für kleine x gilt ln + x) x. n

2 Mittwoch quadratische Gleichung,, q Formel, Parabeln, Binomische Formeln ) Zeige: Die Lösungen der quadratischen Gleichung ax + bx + c = 0 sind x, = b± b 4ac a 4) Zeige a + b + c) = a + b + c + ab + ac + bc.. Was ergibt a a n ), a + b), a + b) n? 5) Skizziere folgende Parabeln Nullstellen, Scheitelunkt, evtl. Linearfaktorzerlegung): a) y = x x, b) y = x + 4x, c) y 6y + x + = 0, d) x + x y + = 0. 6) Bestimme die Menge aller Punkte in der Ebene, deren Abstand von der Geraden x = gleich dem Abstand von dem Kreis x + y = ist. Donnerstag Polynome, rationale Funktionen 7) Skizziere folgende Polynome Nullstellen, evtl. Linearfaktorzerlegung): a) y = x x x +, b) y = x 4 x +, c) y = x 5 x 4 5x + 6x. 8) Skizziere folgendes Polynom Nullstellen raten..., Linearfaktorzerlegung): y = 6x 4 + 7x x 4x ) Skizziere folgende rationale Funktionen Nullstellen, Polstellen, Asymtoten): a) y = x+)x ), x x b) y = x+)x ), c) y = x x+, d) y = x+) x+)x x ) x ) ) x+) 4 x+) x ) x ) x ). Freitag Rechnen mit Vektoren, Linearkombination, Betrag, Dreiecksungleichung, Skalarrodukt 0) Berechne x = ) + [ + ]. ) ) 0 ) Bestimme x, y so, daß ggf. x + y = ist. ) ) 7) ) Berechne ) cos t, skizziere { IR : 0 ϕ.5π}. sin t ) Skizziere { x IR : x < }. )

3 Montag.9.06 Vektorrechnung im IR Skalarrodukt) 4) Skizziere { x IR : x }. ) 5) Bestimme den Einheitsvektor in Richtung der Winkelhalbierenden 8 von und. 4) 6) 6) Berechne die Skalarrodukte und. 7) Berechne Seitenlängen und Winkel des Dreiecks mit den Endunkten,, ),, 0, 4),,, ). 8) Berechne und skizziere folgende Mengen: a) { x IR : x = 0}, ) b) { x IR : x = }, c) { x IR : x ) = }. Dienstag.9.06 LGS, Gaußsches Eliminationsverfahren Matrizen?) 9) Löse folgende linearen Gleichungssysteme LGS): a) x y = x + y = 4 b) x y = 4x + y = 4 c) x y = x + 4y = 0) Löse folgende linearen Gleichungssysteme LGS): x + 8x + x = x + 4y + z 9w = x + 4x x = x + y 5z + w = + 5x + x = 0 x + 5y + 8z + w = x + 9x + 5x = 4x y + 5z w = 4 Mittwoch.9.06 LGS, Skalarrodukt, Vektorrodukt ) Berechne folgende Mengen: 0 a) { x IR : x = und x = }, b) { x IR : x = 0 und x = }. ) Zeige die Gleichheit folgender Mengen: A = { x IR : x) = 0}, B = { x IR : 5 x = 0}, C = { x IR : x = r + s, r, s IR}.

4 Donnerstag Trigonometrie, Cosinussatz γ b h a q c ) Beweise mit Hilfe der Rechenregeln für das Skalarrodukt: a) Dreiecksungleichung a + b c, b) Cosinussatz c = a + b ab cos γ, c) Pythagoras a + b = c, d) e) Kathetensatz a = c, Euklid Höhensatz) h = q. 4) Gegeben γ = 90 0, a = 8, b = 6. Berechne c, h,, q. 5) Gegeben γ = 90 0, a =, q = 6. Berechne b, c, h, q. 5 Freitag Differentialrechnung: Differenzenquotient, Differentialquotient 6) Bestimme Steigung und Steigungswinkel der Geraden durch die Punkte a), ),, 5), b), 4, 6), 4, 4, 4) Steigung bzgl. x, y) Ebene. 7) Gegeben sei die Normalarabel y = x. a) Bestimme die Durchschnittssteigung für x =, x =. b) Bestimme die Steigung im Punkt, 4). Was fällt auf? Ist das Zufall? 8) Gegeben sei die Parabel y = ax, a 0. Zeige: Sind P = x, y ) und P = x, y ) Punkte auf der Parabel, so gilt: a) b) Die Steigung der Geraden durch P, P ist gleich der Steigung der Parabel für x 0 = x + x ) arithmetisches Mittel). Der x Wert des Schnittunktes der Tangenten an die Parabel in den Punkten P, P ist ebenfalls x 0 = x + x ) arithmetisches Mittel). c) Verifiziere diese Ergebnisse für y = x, x =, x =. 9) Welcher Punkt auf dem Parabelbogen y = x x, 0 x hat vom Nullunkt 0, 0) maximalen Abstand? 40) Fertige aus drei gleichbreiten Brettern eine Rinne mit maximalem Querschnitt!

5 Fachhochschule Hannover Fachbereich Elektrotechnik Dr. Gerhard Merziger Brückenkurs Mathematik Lösungshinweise Montag Zahlen: IN, Z, Q, IR Rechnen mit rationalen Zahlen Bruchrechnung) Dezimalbrüche, Dreisatz F+H S.6 ) Bestimme den ggt das kgv) von und a) = = 5 7 = ggt = 5 = 600 kgv = = b) = = = = = ggt letzter Rest 0) 800 = 600 ) Nach wieviel Umdrehungen befinden sich Zahnräder 5 bzw. 8 Zähne) jeweils in der Ausgangslage? kgv 5, 8) = 90. Re. ) Schreibe folgende rationale Zahlen als Dezimalbruch bzw. als gekürzten Bruch: 0 =.5, =.6584, 00 7 = , = 0.405, 0.9 =, 0, 96 =, = Z.B. x = x = x =.9 also 0.04 = = = ) Al ist 4 Jahre alt. Er ist doelt so alt wie Bob war als Al so alt war wie Bob ist. Wie alt ist Bob? Aus A = 4 und A = B A B)) folgt B = 8, Bob ist 8 Jahre alt. 5) Eine Ware wird 5% teurer. Wieviel Prozent war sie vorher billiger? 0% 6) Wieviell Prozent Zeit sart eine Autofahrer, der sein Durchschnittstemo auf einer gegebenen Strecke um % steigert? s = v t = + )v ) t, er sart also + 00 ) = 00+ = % Zeit. 7) 5 l Benzin kosten 8 C. a) Wieviel C zahlt man für l? 8 5 C. b) Wieviel l erhält man für 0 C? 5 0 l. 8 F+H S.8 8) Schreibe im Dual bzw. Dezimalsystem: 0 = = 0,.5 0 =., 6 5 = =.0 0, 0 =.00, 4. 0 = 00.0, 0. = = geometrische Reihe! oder wie Aufgabe ) Z.B.!, 4.0 = 0 7,.0 = 0 = Z.B. x =.0 000x = 0.0 x = 00 also 7x = 0, x = ) Schreibe im Dualsystem mit 4 Nachkommastellen. Es ist 0 = 0. Probieren, Rechnen im Dualsystem: = < 0,. = 0.0 > 0,.0 =.00 < 0,.0 =.00 < 0,.0 = > 0, also 0 =

6 Dienstag Potenzen, Wurzeln, Logarithmen F+H S.6 0) Berechne x aus a) x = 4 = x =, x = = x = = 4, = x = x = 6, b) log x = = x = 4, log x = = x =, c) x ln x = ln x. x = und x ln x = log ln x, also x = log = ln ln, nach ). Re S.85 ) Zeige: log a x = log b x log b a folgt aus alog a x = x = log a x log b a = log b x. ) Nach einer Fausformel verdoelt sich ein zu % angelegtes Kaital nach 70 Jahren. Begründung? Hinweis: Für kleine x gilt ln + x) x. n K sei Anfangskaital, K n Kaital nach n Jahren, also K n = + K n = + 00 )n ln K = K = n = ln ) )n K. Mittwoch quadratische Gleichung,, q Formel, Parabeln, Binomische Formeln Re S.64 ) Zeige: Die Lösungen der quadratischen Gleichung ax + bx + c = 0 F+S S. sind x, = b± b 4ac a. Quadratische Ergänzung! 4) Zeige a + b + c) = a + b + c + ab + ac + bc. Ausrechnen! Was ergibt a a n ), a + b), a + b) n? Binomialkoeffizienten! Re S.64 5) Skizziere folgende Parabeln Nullstellen, Scheitelunkt, evtl. Linearfaktorzerlegung): a) y = x x = x + )x ) b) y = x + 4x = x ) c) d) y 6y + x + = 0 x + = y ) x + x y + = 0 x + ) = y 7 4 6) Bestimme die Menge aller Punkte in der Ebene, deren Abstand von der Geraden x = gleich dem Abstand von dem Kreis x + y = ist. x + = x + y x + = x + y x + 6x + 9 = x + y x = 6 y in x Richtung geöffnete Parabel). Donnerstag Polynome, rationale Funktionen Re S.64 7) Skizziere folgende Polynome Nullstellen, evtl. Linearfaktorzerlegung): a) y = x x x + = x )x )x + ) b) y = x 4 x + = x )x + )x )x + ) c) y = x 5 x 4 5x + 6x = x x )x + )x ) Re.5 8) Skizziere folgendes Polynom Nullstellen raten..., Linearfaktorzerlegung): y = 6x 4 + 7x x 4x + 4 = x )x )x + )x + ) [REP.5]. 9) Skizziere folgende rationale Funktionen Nullstellen, Polstellen, Asymtoten): a) y = x+)x ) x x b) y = x+)x ) c) y = x = x, x x+ d) y = x+) x+)x x ) x ) ) x+) 4 x+) x ) x ) x )

7 Freitag Rechnen mit Vektoren, Linearkombination, Betrag, Dreiecksungleichung, Skalarrodukt Re S. 0) Berechne x = ) + [ ) + y ) Bestimme x, y so, daß ggf. x Re S. ) ) cos t =, { IR sin t Re S. ) { x IR : x + ) ] = 6 = = ist, x =, y =. 7) : 0 ϕ.5π} ist /4 Einheitskreis. 9. ) < } ist das Innere des Kreises um, ) mit Radius. Montag.9.06 Vektorrechnung im IR Skalarrodukt) Re S. 4) { x IR : x } ist das Äußere mit Rand des Kreises um, ) mit Radius. ) Re 5.5 5) Bestimme den Einheitsvektor in Richtung der Winkelhalbierenden 8 von und. Normieren: 4) 6) + 5 4) 8 = 7, also ) 0 7. Re S.8 6) = und = 0. ) ) Re S.8 7) Berechne Seitenlängen und Winkel des Dreiecks mit den Endunkten,, ),, 0, 4),,, ). Rechtwinkliges, gleichschenkliges Dreieck: Längen,,, Winkel 90 0, 45 0, ) Berechne und skizziere folgende Mengen: a) { x IR : x = 0}, Gerade y = ) x, b) { x IR : x = }, Gerade y = x +, c) { x IR : x ) = }, Gerade y = ) x +. Dienstag.9.06 LGS, Gaußsches Eliminationsverfahren Matrizen?) Re S.44 9) Löse folgende linearen Gleichungssysteme LGS): a) x y = x + y = 4 b) x y = 4x + y = 4 c) x y = x + 4y = a) x =, y =, b) y = x +, c), keine Lösung. Re. Re.5 0) Löse folgende linearen Gleichungssysteme LGS): x + 8x + x = x + 4x x = + 5x + x = 0 x + 9x + 5x = Gauß: a) [Re.] x = 5 5 x + 4y + z 9w = x + y 5z + w = x + 5y + 8z + w = 4x y + 5z w = 4 7 7, b) [Re.5] x = 0 + r 0 0

8 Mittwoch.9.06 LGS, Skalarrodukt, Vektorrodukt Re S.4 Re S.47 Re S.44 ) Berechne folgende Mengen: a) { x IR : x = und x 0 = }, x = 0 + r, 0 b) { x IR : x = 0 und x = }, x = Re S.45 ) Zeige die Gleichheit folgender Mengen: A = { x IR : x) = 0} B = { x IR : 5 x = 0}, C = { x IR : x = r + s, r, s IR}. Donnerstag Trigonometrie, Cosinussatz γ b h a q c ) Beweise mit Hilfe der Rechenregeln für das Skalarrodukt: Re 5. a) Dreiecksungleichung a + b c, Re 5.65 b) Cosinussatz c = a + b ab cos γ, Re 5.65 c) Pythagoras a + b = c, d) Kathetensatz a = c, Beweis: a = a = a c = c = c. Re 5.6 e) Euklid Höhensatz) h = q. 4) Gegeben γ = 90 0, a = 8, b = 6. Also c = 0, h = 4 5, = 5, q = ) Gegeben γ = 90 0, a =, q = 6 5. Also b = 4, c = 5, h = 5, = 9 5.

9 Freitag Differentialrechnung: Differenzenquotient, Differentialquotient 6) Bestimme Steigung und Steigungswinkel der Geraden durch die Punkte a), ),, 5), m = y x = 5 ) ) = 8 4 =, b), 4, 6), 4, 4, 4) Steigung bzgl. x, y) Ebene. m = 4 6) 4 )) + 4 4) = 0 0 =. Re S.60 7) Gegeben sei die Normalarabel y = x. a) Bestimme die Durchschnittssteigung für x =, x =. m = y x = 9 = 8 = 4, b) Bestimme die Steigung im Punkt, 4). Was fällt auf? Ist das Zufall? y ) = 4, kein Zufall, siehe Aufgabe 8). 8) Gegeben sei die Parabel y = ax, a 0. Zeige: Sind P = x, y ) und P = x, y ) Punkte auf der Parabel, so gilt: a) b) Die Steigung der Geraden durch P, P ist gleich der Steigung der Parabel für x 0 = x + x ) arithmetisches Mittel). Der x Wert des Schnittunktes der Tangenten an die Parabel in den Punkten P, P ist ebenfalls x 0 = x + x ) arithmetisches Mittel). c) Verifiziere diese Ergebnisse für y = x, x =, x =. Re.8 9) Welcher Punkt auf dem Parabelbogen y = x x, 0 x hat vom Nullunkt 0, 0) maximalen Abstand? Der Punkt, 0), Randextremum! 40) Fertige aus drei gleichbreiten Brettern eine Rinne mit maximalem Querschnitt! ϕ Steigungswinkel der Seitenwand. Fläche fϕ) = sin ϕ + sin ϕ cos ϕ f ϕ) = cos ϕ + cos ϕ sin ϕ = cos ϕ + cos ϕ = 0, also ϕ = 60 0.