5 Assoziationsmessung in Kontingenztafeln

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1 5 Assoziationsmessung in Kontingenztafeln

2 51 Multivariate Merkmale 51 Multivariate Merkmale Gerade in der Soziologie ist die Analyse eindimensionaler Merkmale nur der allererste Schritt zur Beschreibung der Daten Meist ist die Analyse von Zusammenhängen zwischen Merkmalen von größerem Interesse Beispiele für typische Fragestellungen: Beeinflusst das Geschlecht das Erwerbseinkommen? Gibt es einen Zusammenhang zwischen Schichtzugehörigkeit (als etwas veralteter, dennoch klassischer soziologischer Begriff) und Aggressionsneigung? Spielt die Stärke der Kirchenbindung eine Rolle bei der Parteienpräferenz? Dazu werden an jeder Einheit mehrere Merkmale erhoben und ihre Ausprägungen auch gemeinsam analysiert (zb wird das Geschlecht der i-ten Person mit ihrem Einkommen in Beziehung gesetzt) 5 Assoziationsmessung in Kontingenztafeln 208

3 Für Merkmale X,Y,Z nennt man 51 Multivariate Merkmale das Paar (X, Y) ein zweidimensionales (bivariates) Merkmal das Tripel (X, Y, Z) ein dreidimensionales (trivariates) Merkmal Allgemein spricht man von mehrdimensionalen Merkmalen (X,Y) : Ω (W x W y ) ω (X(ω),Y(ω)) 5 Assoziationsmessung in Kontingenztafeln 209

4 Statistische Zusammenhangsmaße messen die Stärke von Zusammenhängen 51 Multivariate Merkmale Achtung: Statistische Zusammenhangsmaße erlauben keine Aussagen über Kausalität! können nicht klären: die Richtung des Zusammenhangs (was ist Ursache, was Wirkung?) ob eine dritte, evtl unbeobachtete Variable den Zusammenhang verursacht 5 Assoziationsmessung in Kontingenztafeln 210

5 521 Gemeinsame Verteilung, Randverteilung, Kontingenztafel Betrachtet wird ein zweidimensionales Merkmal (X, Y) bestehend aus den diskreten Merkmalen X und Y und die zugehörige Urliste (x 1,y 1 ),(x 2,y 2 ),,(x n,y n ) Wir nehmen außerdem an, dass X und Y nur endlich viele (wenige), verschiedene Werte a 1,,a i,,a k bzw b 1,,b j,b m annehmen können Anmerkung: In vielen Büchern (va zur induktiven Statistik) wird statt a 1,,a k auch x 1,,x k und analog statt b 1,,b m auch y 1,,y m geschrieben Bei uns aber sind die (x i,y i ) Werte der Urliste, x i also der Wert von X bei der i-ten Einheit 5 Assoziationsmessung in Kontingenztafeln 211

6 Beispiel (fiktiv): X Schichtzugehörigkeit 1, Unterschicht 2, Mittelschicht 3, Oberschicht Y latente Aggressivität { 1, ja 2, nein 5 Assoziationsmessung in Kontingenztafeln 212

7 Mögliche Urliste des zweidimensionalen Merkmals (X, Y): (3,1),(2,2),(2,1),(3,1),(3,2),(3,1),(1,2),(1,1),(1,1),(1,2),(3,1),(3,1) Einheit X Y Assoziationsmessung in Kontingenztafeln 213

8 Achtung: Tupel sind im Gegensatz zu Mengen geordnete Anordnungen von Zahlen Die Tupel sind gemeinsam indiziert, dh die Werte in einem Tupel beziehen sich immer auf dieselbe Einheit i Bei (x i,y i ) sind x i und y i also die Ausprägungen derselben Einheit i (zb der Person i) Nur so können Zusammenhänge zwischen den Merkmalen sichtbar werden! Gemeinsame relative und absolute Häufigkeitsverteilung: h ij = h(a i,b j ), i = 1,,k, j = 1,,m, Anzahl von Beobachtungen mit x = a i und y = b j f ij = h ij /n = f(a i,b j ), i = 1,,k, j = 1,,m, Anteil von Beobachtungen mit x = a i und y = b j Man nennt (h ij ),i = 1,,k,j = 1,,m und (f ij ) die gemeinsame Verteilung von (X, Y) in absoluten bzw relativen Häufigkeiten 5 Assoziationsmessung in Kontingenztafeln 214

9 Kontingenztafel / Kontingenztabelle / Kreuztabelle: Darstellung der Häufigkeiten in Form einer (k m)-dimensionalen Häufigkeitstabelle b 1 b j b m a 1 h 11 h 1j h 1m h 1 a 2 h 21 h 2j h 2m h 2 a i h i1 h ij h im h i a k h k1 h kj h km h k h 1 h j h m n Der Punkt steht für Summation über den entsprechenden Index Es gilt also: m h i = h ij, dh h i ist die i-te Zeilensumme j=1 k h j = h ij, dh h j ist die j-te Spaltensumme i=1 5 Assoziationsmessung in Kontingenztafeln 215

10 Man kann diese Randhäufigkeiten (sie treten in der Kontingenztabelle am Rand auf) zur getrennten Betrachtung von X und Y verwenden, denn es gilt h i = h i1 ++h im = h(a i ), i = 1,,k, h j = h 1j ++h kj = h(b j ), j = 1,,m Somit ist h i die absolute Häufigkeit von a i bei der Betrachtung des Merkmals X und h j die absolute Häufigkeit von b j bei der Betrachtung des Merksmals Y Man nennt {h i, i = 1,,k} und {h j, j = 1,,m} die Randverteilungen des Tupels (X,Y) 5 Assoziationsmessung in Kontingenztafeln 216

11 Kontingenztafel der relativen Häufigkeitsverteilung: b 1 b j b m a 1 f 11 f 1j f 1m f 1 a 2 f 21 f 2j f 2m f 2 a i f i1 f ij f im f i a k f k1 f kj f km f k f 1 f j f m 1 mit den relativen Häufigkeiten f ij = h ij n und den Randverteilungen f i = h i n = f i1++f im = f(a i ), i = 1,,k, für X und f j = h j n = f 1j ++f kj = f(b j ), j = 1,,m, für Y 5 Assoziationsmessung in Kontingenztafeln 217

12 Beispiel: Aggressivität und Schichtzugehörigkeit Y X 1 2 Beachte: Aus der gemeinsamen Verteilung kann man die Randverteilungen berechnen (aber nicht umgekehrt) 5 Assoziationsmessung in Kontingenztafeln 218

13 Beispiel: Parteipräferenz bei unterschiedlichem Einkommen (Befragung von 722 Personen, ) 5 Assoziationsmessung in Kontingenztafeln 219

14 Bemerkung: Bei Vierfeldertafeln vereinfachen sich die Tabellen wesentlich, mit der Angabe der Häufigkeit in einer Zelle sind bei gegebenen Randhäufigkeiten auch die Häufigkeiten in den anderen Zellen bestimmt zb gegeben h 11 h 12 = h 1 h 11 etc b 1 b 2 a 1 h 11 h 12 h 1 a 2 h 21 h 22 h 2 h 1 h 2 n 5 Assoziationsmessung in Kontingenztafeln 220

15 Unabhängige und abhängige Variable: Hat man eine Vermutung über die Richtung einer potentiellen Wirkung, so bezeichnet man die Variablen entsprechend als unabhängige (wirkende, erklärende) und abhängige (bewirkte) Variable, zb: möglicherweise: Schicht latente Aggresivität eindeutig: Geschlecht Einkommen allgemein: unabhängige abhängige Variable In der Statistik ist es üblich, die unabhängige Variable mit X zu bezeichnen und die abhängige Variable mit Y, wie gewohnt ist dann Y eine Funktion von X Damit werden die Häufigkeitsverteilungen für feste Werte der unabhängigen Variablen in den Zeilen der Kontingenztabelle angegeben Vorsicht: In einigen Büchern wird entgegen dieser Konvention die unabhängige Variable in den Spalten und die abhängige in den Zeilen abgetragen 5 Assoziationsmessung in Kontingenztafeln 221

16 522 Ökologischer Fehlschluss Achtung: Hier wird der Begriff ökologisch im Sinne von kollektiv verwendet (Robinson, 1950) Es gibt sehr viele gemeinsame Verteilungen, die zu denselben Randhäufigkeiten passen Im Beispiel oben passt ua: Y X Man sieht also, wie wichtig es zur Feststellung potentieller Zusammenhänge ist, die gemeinsame Verteilung h ij zu kennen, also tatsächlich die Paare (x i,y i ) zu betrachten 5 Assoziationsmessung in Kontingenztafeln 222

17 Der unzulässige Schluss von der Randverteilung auf Eigenschaften der gemeinsamen Verteilung, also von zwei univariaten Ergebnissen auf ein bivariates, von der Kollektiv- auf die Individualebene, heißt ökologischer Fehlschluss Kommen zwei Eigenschaften (verschiedene Merkmale) häufig vor, heißt dies nicht notwendig, dass sie gemeinsam häufig vorkommen 5 Assoziationsmessung in Kontingenztafeln 223

18 523 Grafische Darstellung der gemeinsamen Verteilung Verschiedene Darstellungsarten, zb als 3D-Säulendiagramm der gemeinsamen Häufigkeiten h ij als normale Säulendiagramme nach einer Variable aufgespalten, dh für jeden Wert a i von X werden jeweils die Häufigkeiten h ij bzw f ij aufgetragen 5 Assoziationsmessung in Kontingenztafeln 224

19 Wohnfläche Miete Assoziationsmessung in Kontingenztafeln 225

20 524 Bedingte Häufigkeitsverteilungen Beispiel: Habilitationen nach Geschlecht und Fach Grundgesamtheit: alle Habilitationen 1993 Geschlecht: X Fächergruppe: Y Sprachw Rechtsw Naturw Kunst Medizin Kulturw Wirts, Soz weiblich männlich Assoziationsmessung in Kontingenztafeln 226

21 Definition: Seien h i > 0 und h j > 0 für alle i,j Für jedes i = 1,,k heißt f Y (b 1 a i ) := h i1 = h(a i,b 1 ) h i h(a i ),, f Y(b m a i ) := h im = h(a i,b m ) h i h(a i ) bedingte (relative) Häufigkeitsverteilung von Y unter der Bedingung X = a i Analog heißt für jedes j = 1,,m f X (a 1 b j ) := h 1j = h(a 1,b j ) h j h(b j ),, f X(a k b j ) := h kj = h(a k,b j ) h j h(b j ) bedingte (relative) Häufigkeitsverteilung von X unter der Bedingung Y = b j 5 Assoziationsmessung in Kontingenztafeln 227

22 Im Beispiel: f X (Frau Habil in Kunst) = f X (Frau Habil in Naturw) = Zu unterscheiden von bzw f 13 = h 13 n = f Y (Habil in Kunst Frau) = Die Verwechslung von gemeinsamer und bedingter Verteilung bzw verschiedener bedingter Verteilungen ist eine häufige Fehlerquelle Konvention: Bei Vermutung über Richtung des Zusammenhangs betrachtet man vorwiegend die bedingte Verteilung der abhängigen Variablen gegeben die festen Werte der unabhängigen Variable In diese Richtung geht ja auch die Prognose! Man kennt den Wert der unabhängigen Variablen und will Aussagen über die abhängige machen 5 Assoziationsmessung in Kontingenztafeln 228

23 Beispiel: Gesucht: Bedingte Verteilung der Fächergruppen gegeben das Geschlecht, dh f Y (b j a i ) für verschiedene i Sprachw Rechtsw Naturw Kunst Medizin Kulturw Wirts, Soz weiblich männlich Y : b j Sprachw Rechtsw Naturw Kunst Medizin X : a i Kulturw Wirts, Soz weiblich 1 männlich 2 5 Assoziationsmessung in Kontingenztafeln 229

24 f Y (Rechtsw weiblich) = f Y (Kunst männlich) = 5 Assoziationsmessung in Kontingenztafeln 230

25 Gesucht: Bedingte Verteilung des Geschlechts gegeben die Fachgruppe, dh f X (a i b j ) für verschiedene j a i b j Sprachw Rechtsw Naturw Kunst Medizin Kulturw Wirts, Soz weiblich 1 männlich 2 f X (weiblich Rechtsw) = f X (männlich Kunst) = 5 Assoziationsmessung in Kontingenztafeln 231

26 Nochmals zur Interpretation: 1 f X (weiblich Medizin) = 2 f Y (Medizin weiblich) = 3 f 15 = f(medizin und weiblich) = Es liegt jeweils eine andere Grundgesamtheit zu Grunde: Bedingte Verteilungen werden automatisch durch relative Häufigkeiten ausgedrückt Für die Berechnung gilt f X (a i b j ) = h ij h j = h ij n h j n = f ij f j und analog f Y (b j a i ) = h ij h i = f ij f i 5 Assoziationsmessung in Kontingenztafeln 232

27 Beispiel: Parteipräferenzen 5 Assoziationsmessung in Kontingenztafeln 233

28 Beispiel: A Quatember (Institut für angewandte Statistik, Linz): Unsinn in den Medien - Vom allzu sorglosen Umgang mit Daten (I): Man nehme kritisch Stellung zu dem folgenden Zeitungsausschnitt! Quelle: Kronen-Zeitung, Assoziationsmessung in Kontingenztafeln 234

29 Beispiel: A Quatember: Unsinn in den Medien - Vom allzu sorglosen Umgang mit Daten (II): Quelle: Der Standard, Assoziationsmessung in Kontingenztafeln 235