Ferienkurs Elektrodynamik WS 11/12 Übungsblatt 1

Transkript

1 Ferienkurs Elektrodynamik WS / Übungsblatt Tutoren: Isabell Groß, Markus Krottenmüller, Martin Ibrügger 9.3. Aufgabe - Geladene Hohlkugel In einer Hohlkugel befindet sich zwischen den Radien r und r eine konstante Raumladungsdichte ρ. Bestimmen Sie das elektrische Feld E(r). Es gilt bei Kugelsymmetrie, dass E(r) = E(r)ê r da E = 4πr E(r) = 4π d 3 r 4πQ eing (r) daher: F E(r) = Q eing r r 3 Q eing = für r < r Q eing (r)= 4π r r drr ρ = 4 3 πρ(r3 r 3 ) für r < r < r Q eing (r)= 4 3 πρ(r3 r 3 ) für r < r somit: für r < r E(r) = 4 3 πρ(r r3 ) für r r < r < r 4 3 πρ (r3 r3 ) für r < r r

2 Aufgabe - Spiegelladungen Eine Ladung Q ist am Ort r = (a, b, ) vor einer unendlich langen, geerdeten Winkelplatte (Winkel 9 ) fixiert, siehe Abbildung. a) Berechnen Sie das elektrostatische Potential im Bereich x > und y > mittels Spiegelladungen. b) Berechnen und interpretieren Sie die auf die Ladung wirkende Kraft. c) Berechnen Sie die induzierte Oberflächenladungsdichte σ auf der Winkelplatte. a) Mit der Methode der Spiegelladungen erhält man sehr schnell einen Ausdruck fur das elektrostatische Potential für x > und y >, nämlich als Überlagerung einer realen und dreier imaginärer Ladungen (wobei die doppelt gespiegelte Ladung die Ladung +Q trägt): Φ(r)= Φ (a,b,) (r) + Φ ( a, b,) (r) + Φ (a, b,) (r) + Φ ( a,b,) (r) = Q r aê x bê y + r + aê x + bê y r aê x + bê y r + aê x bê y b) Die Kraft auf die Ladung wird duch die drei imaginären Ladungen erzeugt: F= Q Φ ( a, b,) (r) + Φ (a, b,) (r) + Φ ( a,b,) (r) (a,b,) = Q r + aê x + bê y r + aê x + bê y 3 r aê x + bê y r aê x + bê y 3 r + aê x bê y r + aê x bê y 3 (a,b,) = Q aê x + bê y aê x + bê y 3 bê y bê y 3 aê x aê x 3 = Q aê x + bê y 4 êy a + b3 4b êx 4a es wirkt eine zum Winkel hin anziehende Kraft.

3 c) An der äußeren Oberfläche des Leiters gild nach Anwendung des Gaussschen Satzes auf E = 4πρ und der Tatsache, dass in einem Leiter die gesamte Ladung an der Oberfläche sitzt, E = 4πσê n, also σ = 4π E ê n = 4π Φ ê n. Für die Ladung der x-z-ebene folgt: σ(x >, z)= 4π Φ (a,b,) (r) + Φ ( a, b,) (r) + Φ (a, b,) (r) + Φ ( a,b,) (r) (a,b,) = Q r aê x bê y 4π êy r aê x bê y 3 + r + aê x + bê y r + aê x + bê y 3 r aê x + bê y r aê x + bê y 3 r + aê x bê y r + aê x bê y 3 y= = Q (x a)ê x bê y + zê z 4π êy (x a)ê x bê y + zê z 3 + (x + a)ê x + bê y + zê z (x + a)ê x + bê y + zê z 3 (x a)ê x + bê y + zê z (x a)ê x + bê y + zê z 3 (x + a)ê x bê y + zê z (x + a)ê x bê y + zê z 3 y= = Qb π (x a) + b + z 3 (x + a) + b + z 3 für die anderen Halbebene mit σ(y >, z) gilt eine analoge Rechnung. Aufgabe 3 - Energie des elektrischen Feldes Berechnen Sie die Energie W, welche in dem elektrischen Feld E(r) einer homogen geladenen Kugel steckt. Die Kugel habe die Ladung Q und den Radius R. W = 8π ρ= Q ges = da E= 4πQ d 3 r E(r) 3Q 4πR 3 außerhalb der Kugel: 4πr E out (r)= 4πQ E out (r)= Q r W out = 8π R π π dr dφ dθeout(r)r sin θ = R Q Q dr = r R 3

4 innerhalb der Kugel: 4πr E in (r)= 4πρ E in (r)= Q r R 3 W in = 8π R W tot = W in + W out = 3Q 5R Aufgabe 4 - Multipolmomente π π dr dφ dθein(r)r sin θ = R Q r 4 R 6 Q dr = R Berechnen Sie das Monopolmoment, Dipolmoment und den Quadrupoltensor Q ij der folgenden homogen geladenen Körper: a) Einem rotationssymmetrischen Ellipsoids mit den Halbachsen a = b und c b) Einem Zylinder der Länge L und mit dem Radius R In beiden Fällen ist das Koordinatensystem so zu wählen, dass der Ursprung sich im Zentrum des geladenen Körpers befindet. Die z-achse zeige in Richtung der Symmetrieachse. a) Das Monopolmoment ist einfach die Gesamtladung Q = d 3 rρ(r) Mit der Ladungsdichte 3Q 4πa b Das Dipolmoment verschwindet, da eine ungerade und eine gerade Funktion miteinander multipliziert werden: d = d 3 rrρ(r) d 3 rr = Ellipsoid: x a + y a + z c = Q ij = ρ d 3 r(3x i x j r δ ij = ρ x y z 3xy 3xz d 3 r 3xy y x z 3yz 3xz 4yz z y x 4

5 Substitution: x = x a y = y a z = z c Ellipsoid ist jetzt eine Einheitskugel. Q = ρ = ρa c d 3 r = dx dy dz= a c dx dy dz = a c d 3 r dx dy dz = r sin θ dr dφ dθ x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ d 3 r a c(a x a y c z ) = dr π dφ π = ρa c 5 ( 4 3 c π a π) = 4 5 ρa cπ(a c ) Q = ρa c dr π dφ = 4 5 ρa cπ(a c ) π Q 33 = Q Q = 8 5 ρa cπ(c a ) dθr sin θ ( a r sin θ cos φ a r sin θ sin φ c r cos θ ) dθr sin θ ( a r sin θ sin φ a r sin θ cos φ c r cos θ ) Q = Q = ρa c Q 3 = Q 3 = Q 3 = Q 3 = π π dr dφ dθr sin θ ( 3a r sin θ sin φ cos φ ) = b) Das Monopolmoment ist wieder die Ladung mit der Ladungsdichte: Q πr L Für das Dipolmoment gilt das gleiche Argument wie bei dem Ellipsoid. Für das Quadrupolmoment werden Zylinderkoordinaten eingeführt: dxdydz = rdrdφdz x = r cos φ y = r sin φ z = z R π h ( Q = ρ dr dφ dzr(r cos φ r sin φ z ) = ρπlr h 4 R ) L Q = Q wegen Symmetrie ( Q 33 = Q = ρπlr 6 L ) R Q = Q = Q 3 = Q 3 = Q 3 = Q 3 = 5

6 Aufgabe 5 - Sphärische Multipolmomente Das Potential einer Ladungsverteilung ρ(r) kann man mit der Formel aus der orlesung nach sphärischen Multipolmomenten q lm entwickeln. a) Gegeben sei eine sphärische Ladungsverteilung. Zeigen Sie, dass nur der Multipol mit l = einen Beitrag liefert und berechnen Sie das Potential. b) Bestimmen Sie das Potential eines homogen geladenen, unendlich dünnen Kreisrings in der x-y-ebene mit Radius R und der Gesamtladung Q mittels Multipolentwicklung. c) Gegeben sei die Ladungsverteilung aus vier Punktladungen q = q bei r = (a,, ), q = q bei r = ( a,, ), q 3 = q bei r 3 = (, a, ) und q 4 = q bei r 4 = (, a, ). Berechnen Sie die Multipolmomente des Systems dieser vier Ladungen allgemein. Für welche Werte von (l, m) verschwinden diese nicht? Berechnen Sie das niedrigste nichtverschwindende Multipolmoment. Definition der Kugelflächenfunktionen: l + (l m)! Y lm (θ, φ) = 4π (l + m)! P l m (cos(θ))e imφ = N lm Pl m (cos(θ))e imφ a) Für dei Dichte gilt ρ(r) und daher folgt für die Multipolmomente: q lm = d 3 r r l Ylm (θ, φ)ρ(r) = dr r l+ ρ(r) sin(θ)dθ dφy lm (θ, φ) 4πY(θ, φ) = δ l δ m 4π dr r l+ δ l δ m Q ges 4π Hierbei wurde die Identität Y = / 4π, die Orthonormalität der Kugelflächenfunktionen und die Definition der Gesamtladung Q ges = 4π dr r ρ(r) verwendet. Eingesetzt in die Potentialformel ergibt sich das bekannte Ergebnis: Φ = + l= 4π r l+ l + +l m= l q lm Y lm (θ, φ) = Q ges r b) In Kugelkoordinaten gilt für die Ladungsdichte des Kreisrings: Q (θ πr sin(θ) δ(r R)δ π ) 6

7 Für die Multipolmomente ergibt sich: q lm = Q ( π Rl dθ dφ δ θ π ) = Q ( π Rl dθ dφ δ θ π ) Ylm (θ, φ) N lm Pl m (cos(θ))e imφ = Q π Rl N l πδ m P l () = l + 4π QRl δ m P l () hier wurde die Definition der Kugelflächenfunktionen verwendet. Außerdem die Gleichung dφe imφ = πδ m und, dass gilt Pl () = für alle ungeraden l, somit 4n + q lm = q n, = 4π QRn Pn(), mit n N Eingesetzt in die Potentialformel folgt: Φ = n r n+ QRn P n()p n(cos(θ)) hier wurde wieder die Definition der Kugelflächenfunktionen verwendet. c) Die Dichte besitzt nun folgenden Ausdruck in Kugelkoordinaten: q (θ a sin(θ) δ(r a)δ π ) ( δ(φ) + δ (φ π) δ φ π ) δ Die Multipolmomente sind: ( π ) ( π ) ( π q lm = a l q Y lm, + Y lm, π Y lm, π ) ( π Y lm, 3π ( ) = a l qn lm Pl m () + e imπ e im π e im 3π = a l qn lm P m l ()( + e imπ )( e im π ) ( φ 3π Die Multipolmomente verschwinden, wenn eine der beiden runden Klammern identisch Null ist/sind. Somit: + e imπ =, d.h. ±m {, 3, 5,...} = {n + n N }, e im π =, d.h. ±m {, 4, 8,...} = {4n n N }. Nicht verschwindende Momente existieren also für ±m {, 6,,...} = {4n + n N }. Das niedrigste Moment besitzt ±m =, daher scheiden l = und l = aus. ) ) 7