Grundgedanke der Regressionsanalyse

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1 Grundgedanke der Regressonsanalse Bsher wurden durch Koeffzenten de Stärke von Zusammenhängen beschreben Mt der Regressonsrechnung können für ntervallskalerte Varablen darüber hnaus Modelle geschätzt werden En Modell st der (mathematsch) formalserte Kern ener Theore Modelle ermöglchen es, de abhängge Varable durch de unabhängge Varable vorherzusagen De m Kurs verwendeten Modelle spezfzeren lneare Zusammenhänge: je mehr, desto mehr (oder wenger) de Bezehung kann durch ene enfache Gerade veranschaulcht werden komplzertere Modelle snd denkbar 1

2 Das mathematsche Modell Im Regressonsmodell wrd ene abhängge Varable auf ene unabhängge Varable zurückgeführt (regredert) Bede Varablen snd mndestens ntervallskalert Dese Bezehung wrd durch de Glechung a+b* beschreben In desem Modell denkt man sch den Wert der abhänggen Varablen zusammengesetzt aus: ener Konstanten a dem mt enem Faktor b multplzerten Wert der unabhänggen Varablen De Bezehung kann durch ene Gerade veranschaulcht werden a st der Achsenabschntt, d.h. der Wert, den annmmt, wenn 0 b st de Stegung der Geraden, d.h. de Veränderung von, wenn um ene Enhet zunmmt 2

3 Regressonsgerade -Achse Stegungsdreeck a Achsenabschntt b -Achse 3

4 Bestmmung der Regressonsglechung Welche Parameter für a und b sollen n de Schätzglechung engesetzt werden? ˆ a + b De beste Schätzung erhält man, wenn de Abstände zwschen der Regressonsgeraden und den emprschen Meßpunkten mnmert werden De enfachen Abstände zur Geraden snd ungeegnet, wel es für jede Wolke von Meßpunkten unendlch vele Geraden gbt, für de sch de enfachen Abwechungen zu null adderen Deshalb werden de quadrerten Abwechungen verwendet, wodurch große Abwechungen stärker gewchtet werden (OLS-Schätzung) Mnmert wrd de quadrerte Abwechung n -Rchtung 4

5 Berechnung von b Gesucht wrd en Wert, der de SAQ mnmert Durch Betrachtung der Abletungen kommt man zu der Formel b SAP SAQ D.h., es müssen we be der Berechnung von r de Abwechungsprodukte und de Abwechungsquadrate (für ) bestmmt werden De auf dese Wese geschätzte Gerade läuft durch den Punkt (Egenschaft der Klenste-Quadrate-Schätzung) ( ; ) Deshalb kann en Stegungsdreeck konstruert werden, mt dessen Hlfe sch a bestmmen läßt 5

6 Berechnung von a Für 0 st a (Achsenabschntt) Damt st klar, daß de Gerade durch de Punkte (0;a) und ( ; ) gehen muß De Stegung des dadurch defnerten Dreecks st b. Durch Umformen läßt sch a ermtteln: b a b a 0 a 6

7 Qualtät der Regresson Wrd durch r 2 beschreben. Andere Bezechnungen R 2, Determnatonskoeffzent, Varanzaufklärung Ist ebenfalls en PRE-Maß Bester -Prognosewert für enen belebgen Fall wäre ohne wetere Zusatznformaton der Durchschntt (quadrerte Abwechungen mnmal) Abwechung vom Durchschntt Vorhersagefehler SAQ bzw. Varanz 7

8 r 2 Gesamtabwechung (Vorhersagefehler): Enen Tel der Abwechung vom Durchschntt erklärt das Regressonsmodell: ˆ De Abwechung zwschen vorhergesagtem Wert und tatsächlchem Wert wrd durch das Modell ncht erklärt: ˆ De Gesamtabwechung läßt sch zerlegen: Gesamtabwechung ncht-erklärte Abwechung + erklärte Abwechung: ( ˆ ) + ( ˆ ) Auch her müssen weder de quadrerten Abwechungen, d.h., de Varanzen betrachtet werden, da de Summe aller Abwechungen glech null st. Auch de Varanzen können (über alle Fälle hnweg) zerlegt werden 8

9 r 2 II r 2 : Alle dre Abwechungen quadreren und über alle Meßwerte aufsummeren r 2 n 1 n 1 ( ˆ ( ) 2 ) 2 SAQ SAQ ( erklärt ) ( gesamt) r 2 nmmt Werte zwschen 0 (kene Varanzaufklärung) und 1 (totale Varanzaufklärung an. De Wurzel aus r 2 st mt dem Korrelatonskoeffzenten r dentsch, allerdngs vorzechenlos 9

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