Technische Mechanik I

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Arthur Nicolas Otto
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1 Technische Mechanik I m.braun@uni-duisburg.de Wintersemester 2003/2004 Lehrveranstaltung Zeit Hörsaal Beginn Technische Mechanik I V 3 Mi 14:00 15:30 LB r 08:15 09:45 LB tägig Technische Mechanik I Übungen Ü 2 r 10:00 11:30 LB (Dr.-Ing. E. Schopphoff) Technische Mechanik I Tutorium T 2 Gruppe 1 Mi 16:00 17:30 LB Gruppe 2 r 15:00 16:30 LB Technische Mechanik I Technische Mechanik I 0-1

2 Lehrunterlagen Internet-Adresse des Lehrstuhls für Mechanik Lehre Lehrunterlagen Technische Mechanik I (Prof. Braun) olien Skript Übungsaufgaben im Aufbau Technische Mechanik I (Prof. Kecskeméthy) Vorlesungsunterlagen Übungsaufgaben Lehrunterlagen Technische Mechanik I 0-2

3 Technische Mechanik I 1. Kräftesysteme und Gleichgewicht 2. Gewichtskraft und Schwerpunkt 3. Reibung 4. Statik des starren Balkens 5. Grundbegriffe der estigkeitslehre 6. achwerke 7. Torsion 8. Biegung gerader Balken 9. Seilstatik A. Vektorrechnung Inhalt Technische Mechanik I 0-3

4 Literatur Lehrbücher D. Gross, W. Hauger, W. Schnell: Technische Mechanik 1 3. Band 1: Statik, Band 2: Elastostatik, Band 3: Kinetik. 4. Auflage. Springer, Berlin S. Kessel, D. röhlich: Technische Mechanik/Technical Mechanics. achbegriffe im deutschen und englischen Kontext. Teubner, Stuttgart H. G. Hahn: Technische Mechanik fester Körper. Hanser, München K. Wohlhart: Statik. Grundlagen und Beispiele. Dynamik. Grundlagen und Beispiele. Vieweg, Braunschweig K. Magnus, H. H. Müller: Grundlagen der Technischen Mechanik. Teubner, Stuttgart P. Beer, E. R. Johnston Jr., E. R. Eisenberg, W. E. Clausen, G. H. Staab: Vector Mechanics for Engineers: Statics. McGraw-Hill, 7 th edition, 2003 Literatur Technische Mechanik I 0-4

5 Literatur (ortsetzung) Übungsbücher W. Hauger, H. Lippmann, V. Mannl: Technische Mechanik 1 3, Aufgaben. Springer, Berlin W. Schnell, D. Gross: ormel- und Aufgabensammlung zur Technischen Mechanik I III. I Statik, II Elastostatik, III Kinetik. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim H. H. Müller, K. Magnus: Übungen zur Technischen Mechanik. Teubner, Stuttgart Literatur (ortsetzung) Technische Mechanik I 0-5

6 Inhalt 1. Kräftesysteme und Gleichgewicht 1.1 Die Kraft 1.2 Addition und Zerlegung von Kräften 1.3 Ebene Kräftesysteme 1.4 Kräftedipol und statisches Moment 1.5 Räumliche Kräftesysteme 1.6 Gleichgewicht des starren Körpers 1.7 Erstarrungs-, Schnitt- und Gegenwirkungsprinzip 2. Gewichtskraft und Schwerpunkt 3. Reibung 4. Statik des starren Balkens 5. Grundbegriffe der estigkeitslehre 6. achwerke 7. Torsion 8. Biegung gerader Balken 9. Seilstatik Inhalt Technische Mechanik I 1-0

7 Die Kraft Bestimmungsgrößen einer Kraft } Betrag Kraftvektor ( ) Richtung Wirkungslinie Angriffspunkt 2 Wirkungslinie 1 Angriffspunkt Statische Äquivalenz von Kräften Zwei Kräfte heißen statisch äquivalent, wenn sie denselben Betrag, dieselbe Richtung und dieselbe Wirkungslinie haben. Die Kraft Technische Mechanik I 1-1

8 Addition und Zerlegung von Kräften 2 α β 1 Betrag der resultierenden Kraft: (Cosinussatz) 2 = cos(π α) = cos α Richtungswinkel β der resultierenden Kraft: (Sinussatz) sinβ = 2 sin(π α) = 2 sinα cos α Addition und Zerlegung von Kräften Technische Mechanik I 1-2

9 Ebene Kräftesysteme: Reduktion paralleler Kräfte = Ebene Kräftesysteme: Reduktion paralleler Kräfte Technische Mechanik I 1-3

10 Transformation eines Kräftedipols 0 0 Transformation eines Kräftedipols Technische Mechanik I 1-4

11 Kräftepaar und statisches Moment Kräftepaar in der Ebene Kräftepaar im Raum 0 M = r a a r Momentenvektor M = r a = a Betrag: statisches Moment Invarianten: Statisches Moment a Drehsinn + oder Richtung: orthogonal zur Ebene des Kräftepaars Rechtsschraubenregel Der Momentenvektor ist ein freier Vektor: Er ist nicht an einen Angriffspunkt oder eine Wirkungslinie gebunden. Kräftepaar und statisches Moment Technische Mechanik I 1-5

12 Verpflanzung einer Kraft P P P r O O O M = r M Verpflanzung einer Kraft Technische Mechanik I 1-6

13 Inhalt 1. Kräftesysteme und Gleichgewicht 2. Gewichtskraft und Schwerpunkt 3. Reibung 4. Statik des starren Balkens 5. Grundbegriffe der estigkeitslehre 5.1 Normal- und Schubspannungen 5.2 Der Mohrsche Spannungskreis 5.3 Dehnung und Scherung 5.4 Hookesches Gesetz 6. achwerke 7. Torsion 8. Biegung gerader Balken 9. Seilstatik Inhalt Technische Mechanik I 5-0

14 Normal- und Schubspannungen da n τ da σ da t da n t Normaleneinheitsvektor (nach außen orientiert) Spannungsvektor Normalspannung: Komponente senkrecht zur Schnittfläche Schubspannung: Komponente in der Schnittfläche σ = n. t τ = t σn σ > 0 σ < 0 Zugspannung Druckspannung Normal- und Schubspannungen Technische Mechanik I 5-1

15 Mohrscher Kreis: Einachsiger Spannungszustand τ σ 1 A 1 ϕ A σa 1 2 σ 1 + A 1 τa τ A 1 = A cos ϕ σ 1 2ϕ σ σ 1 σ Normal- und Schubspannungen σ = 1 2 σ 1(1 + cos 2ϕ) 1 2 σ 1 + τ = 1 2 σ 1 sin 2ϕ Mohrscher Kreis: Einachsiger Spannungszustand Technische Mechanik I 5-2

16 Mohrscher Kreis: Zweiachsiger Spannungszustand σ 2 A 0 τ A 0 σ 1 A 1 A 1 A 1 = A cos ϕ A 2 = A sinϕ ϕ A A 0 A 2 τa σ 2 (A 0 + A 2 ) σa 1 2 (σ 1 σ 2 ) 0 σ (σ 1 σ 2 ) 2ϕ σ 1 2 (σ 1 + σ 2 ) σ τ σ Normal- und Schubspannungen σ = 1 2 (σ 1 + σ 2 ) (σ 1 σ 2 ) cos 2ϕ 1 2 (σ 1 σ 2 ) + τ = 1 2 (σ 1 σ 2 ) sin 2ϕ Mohrscher Kreis: Zweiachsiger Spannungszustand Technische Mechanik I 5-3

17 Mohrscher Kreis: Hauptspannungen σ y τ xy τ xy τ τ xy + σ x τ xy 0 σ 2 1 σ y 2 (σ x + σ y ) σ 1 2α σ x σ σ 2 σ 1 α τ xy + Mohrscher Kreis: Hauptspannungen Technische Mechanik I 5-4

18 Verzerrungen Dehnung: relative Längenänderung Scherung: Winkeländerung l 0 d 0 l d γ Längsdehnung ε = l l 0 l 0 Querdehnung ε q = d d 0 d 0 Scherungswinkel Scherung, Gleitung γ k = tanγ γ Volumendehnung ε V = V V 0 V 0 ε + 2ε q Verzerrungen Technische Mechanik I 5-5

19 Hookesches Gesetz Längs- und Querdehnung σ ε = 1 E σ ε q = ν E σ Materialkonstanten E Elastizitätsmodul Young s modulus ν Querdehnungszahl Poisson s ratio Hookesches Gesetz Technische Mechanik I 5-6

20 Hookesches Gesetz Scherung τ γ = 1 G τ Materialkonstante G Schubmodul shear modulus Beziehung zwischen den Materialkonstanten: G = E 2(1 + ν) Hookesches Gesetz Technische Mechanik I 5-7

21 Einfache Scherung: Hauptspannungsrichtungen τ xy τ τ xy τ xy σ 1 = τ xy σ 2 = τ xy π / 2 σ σ 1 = τ xy τ xy σ 2 = τ xy π / 4 Einfache Scherung: Hauptspannungsrichtungen Technische Mechanik I 5-8

22 π / 4 a Zusammenhang zwischen Dehnungen und Scherung a σ 2 = τ σ 1 = τ π / 4 γ / 2 a(1 ε) τ τ a(1 + ε) 1 ε ( π 1 + ε = tan 4 γ ) 2 Zusammenhang zwischen Dehnungen und Scherung Technische Mechanik I 5-9

23 Zusammenhang zwischen den Materialkonstanten σ 2 = τ σ 1 = τ Näherung für kleine Verzerrungen ε, γ 1 τ τ γ 2ε Hookesches Gesetz ε = 1 E (σ 1 νσ 2 ) = 1 + ν E τ γ = 1 G τ G = E 2(1 + ν) Zusammenhang zwischen den Materialkonstanten Technische Mechanik I 5-10

24 Inhalt 1. Kräftesysteme und Gleichgewicht 2. Gewichtskraft und Schwerpunkt 3. Reibung 4. Statik des starren Balkens 5. Grundbegriffe der estigkeitslehre 6. achwerke 6.1 Verschiebungsmethode 7. Torsion 8. Biegung gerader Balken 9. Seilstatik Inhalt Technische Mechanik I 6-0

25 achwerke Kennzeichen eines achwerks: Verband von gelenkig verbundenen Stäben Krafteinleitung ausschließlich in den Knoten Stäbe nur auf Zug oder Druck beansprucht Gegeben: Geometrie Materialdaten Lagerung Belastung Gesucht: Knotenverschiebungen Stabkräfte Lagerreaktionen achwerke Technische Mechanik I 6-1

26 achwerkstab Längenänderung eines achwerkstabes e l u 2 l = e. (u2 u1 ) + l + l + 1 2l e (u 2 u 1 ) 2 + u 1 Hookesches Gesetz EA l = EA l l E Elastizitätsmodul EA Zugsteifigkeit A Stabquerschnitt EA/l ederkonstante achwerkstab Technische Mechanik I 6-2

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