Lösungen. Mathematik ISME Matura Gegeben ist die Funktionsschar f a (x) = ax e a2 x 2, wobei x R und a > 0 ist. 12 Punkte Vorerst sei a = 2.

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1 Mathematik ISME Matua 5. Gegeen ist die Funktionsscha f a ( = a e a, woei R und a > ist. Punkte Voest sei a =. (a Beechnen Sie i. die Nullstelle ii. die Gleichung de Asymptote fü iii. die Etema iv. die Wendepunkte v. und zeichnen Sie den Gaphen in einem Koodinatensystem ( Häuschen fü Einheit. i. Nullstelle: Punkt ii. Asymptotengleichung: iii. Etema: lim ± > soll e 4 = }{{} = }{{} ± (linea e 4 }{{} (eponentiell Punkt en = y asy = f ( = 6 e e 4 4 = e ( 4 soll =, = ± / E, (± ± 4 e iv. Wendepunkte: f ( = 6 e 4 ( 6 e 4 = 6 e 4 ( + = 6 e ( 4 soll = 4 = W 4 (/ / ,6 = ± = ± W 5,6 (± ± 4 4 e (±.54/ ±.49 (±.6/ ±.7 Punkt Punkt v. Gaph: Punkte y E.5 W 5.5 W W 6 E -.5 Matua_5 G. Schö -. Juli 5

2 Mathematik ISME Matua 5 ( Die Tangente t im Punkt P ( / ( f schliesst mit de y-achse einen Winkel ein. Beechnen Sie diesen Winkel. Es gilt: Steigung m t = tan(steigungswinkel ϕ m t = f ( = e ( = e }{{}.76 A hie ist mit allgemeinem a > zu echnen. (c Beechnen Sie die Wendepunkte von f a (. f a ( = a e a ( ϕ = actan e (.64 ad = 6.4 ϕ = π + ϕ =.96 ad (= 5.66 f a ( = a e a a e a = a e a ( a f a ( = a e a ( a 4a e a = a e a ( a f a ( soll = = W (/ 6, = ± a W, (± en 6 a / ± 6 e (d Beechnen Sie die Funktionsgleichung de Kuve, auf de alle Wendepunkte liegen. Da die y-koodinate de Wendepunkte nu vom Vozeichen ahängt, efinden sie sich auf Halgeaden (W liegt nicht auf eine de eiden Halgeaden, sonden im Uspung: W : ( > y = +.7 W : ( < y =.7. Gegeen sind die Eene ɛ : y z + =, die Geade g : = + t und 9 die Geade h duch die eiden Punkte P( //9 und Q( 5/7/9. (a Bestimmen Sie die gegenseitige Lage de eiden Geaden g und h. Sind g und h paallel? PQ = 5 5 = 5 paallel Punkte Punkte Punkt Punkte Punkt Schneiden sich g und h? (Dann wäen g und h identisch, d.h. man kann einfach üepüfen, o z.b. P g ist. Punkt Matua_5 G. Schö -. Juli 5

3 Mathematik ISME Matua 5 soll = + t 9 9 t = identisch ( Beechnen Sie den spitzen Schnittwinkel zwischen de Geaden g und de Eene ɛ. Winkel α zwischen v g = und n ɛ = : Winkel α aus α : ( ( vg n α ɛ = accos = accos =.9 ad (=.6 v g n ɛ 9 α = α π =. ad (=.6 (c Beechnen Sie den Punkt Z in de Eene ɛ, de am nächsten eim Punkt Q liegt. Geade n duch Q senkecht zu ɛ: 5 g : = 7 + s 9 g und ɛ schneiden (g in ɛ einsetzen: Z eechnen: g ɛ : ( 5 + s (7 s (9 s + = 5 Z = s = s = 6 en Z(/5/7 (d Bestimmen Sie die Gleichung de kleinstmöglichen Kugel K mit dem Mittelpunkt im Uspung, die die Geade g eüht. Nu de Radius R de Kugel K fehlt noch: K : + y + z = R R ist de Astand von g zum Uspung (Beechnung z.b. via Paallelogammfläche: A Paallelogamm = Gundlinie v g Höhe R A Paallelogamm = Betag des Vektopoduktes de Seitenvektoen v g R = vg P 9 R = 9 = = 6 R = 6 / Punkte / Punkt Punkt Punkte Punkt Punkt / Punkte Matua_5 G. Schö -. Juli 5

4 Mathematik ISME Matua 5 Daaus folgt die Gleichung fü K: K : + y + z = 6 / Punkt. Wahscheinlichkeiten: Punkte (a In einem Gefäss U sind zwei laue Kugeln. In einem weiteen Gefäss U sind acht ote Kugeln. Lena daf mit veundenen Augen eines de eiden Gefässe wählen und daaus eine Kugel ziehen. Ist die Kugel ot, dann gewinnt Lena einen Peis. i. Wie goss ist die Wahscheinlichkeit, dass Lena einen Peis gewinnt? ii. Lena hat 5 weitee ote Kugeln zu Vefügung und daf nun estimmen wie viele zusätzliche ote Kugeln in U gelegt weden. Alledings weden dann genauso viele laue Kugeln in U gelegt. Lena wählt fünf zusätzliche ote Kugeln. Wie goss ist nun ihe Gewinnwahscheinlichkeit? i. Wie goss ist die Wahscheinlichkeit, dass Lena eine ote Kugel zieht? Punkte U U P(Lena gewinnt = P(U = ii. Wie goss ist die Wahscheinlichkeit, dass Lena eine ote Kugel zieht? U U P(Lena gewinnt = P(U + P(U = =.665 ( = 4 Punkte en ( In einem Gefäss U sind zwei laue Kugeln. In einem weiteen Gefäss U sind acht ote Kugeln. Baaa leet die Kugeln de eiden Gefässe in einen Sack und zieht dann aus dem Sack eine Kugel. Sie notiet die Fae de Kugel und legt die Kugel wiede zuück. i. Wie goss ist die Wahscheinlichkeit, dass Baaa nach Ziehungen genau Mal eine ote Kugel notiet hat? ii. Wie oft muss Baaa mindestens ziehen, damit sie mit eine Wahscheinlichkeit von mindestens 99 % mindestens einmal eine laue Kugel gezogen hat? i. Benoulli-Epeiment: P( =. P( =. Punkte ( P(von Mal genau ote =.. =. Matua_5 G. Schö -. Juli 5

5 Mathematik ISME Matua 5 ii. Via Gegeneeignis: P( =. P( =. Punkte (. n.99 n ln(. =.64 Baaa muss mindestens mal ziehen. ln(. 4. Gegeen ist die Funktion f ( = 4 4. Punkte (a Beechnen Sie die Etema. f ( soll = : 4 Punkte f ( = = ( = =, = ± H (/ T, ( ± / ( A sei die Fläche zwischen de Kuve und de -Achse, und A die Fläche zwischen de Kuve und de Tangente duch die eiden Tiefpunkte. Beechnen Sie ohne Taschenechne das Vehältnis von A und A. Nullstellen (Integationsgenzen: y 4,5 7 6 A A A Fläche A : T T 4 4 = ( 4 = 4,5 = und 6,7 = ± Punkt Punkt en Fläche A : 4 4 d = 4 4 ( d = = [ d = ] = ( [ d = + ( 5 + ] = = 5 ( + 5 = / Punkte Flächenvehältnis: Punkt A A = = = Matua_5 G. Schö -. Juli 5

6 Mathematik ISME Matua 5 (c Die Veindungsstecke de Tiefpunkte schneidet die y-achse in S. Ein zu y-achse symmetisches Deieck PQS hat seine Spitze in S und die Punkte P und Q efinden sich auf dem Gaphen von f zwischen den eiden Tiefpunkten. Beechnen Sie die Punkte P, Q und S so, dass die Fläche des Deiecks maimal wid. Hauptfunktion: A = gh Q y A T S T P Neenedingungen: (mit S(/, P(/ f ( und Q( / f ( Zielfunktion: Fläche maimieen: g = P Q = h = y P y S = f ( ( = A( = ( = A ( = soll =,9 = ± { }} { {}}{ und, = ± 5 y, = / Punkt Punkt Punkt Punkt Resultat: PQS mit P(.6/.6, Q(.6/.6 und S(/ / Punkt 5. Dei von einande unahängige Aufgaen: Punkte (a Gegeen ist de Keis k : Keislinie. en ± y 4 6y = und de Punkt T(/5 auf de i. Bestimmen Sie den Mittelpunkt und den Radius des Keises k. ii. Die Tangente t an den Keis k im Punkt T schliesst zusammen mit den Koodinatenachsen eine Fläche A ein. Beechnen Sie den Inhalt diese Fläche. i. Keismittelpunkt und -adius duch quadatisches Egänzen: Punkte + y 4 6y = y 6y + = ( 7 + (y = 69 = M(7/ = ii. t ist senkecht zu TM ( TM = n t : Punkt Matua_5 G. Schö -. Juli 5

7 Mathematik ISME Matua 5 TM = ( 5 t : 5 y + c = T t c = c = 4 t : 5 y + 4 = Spupunkte von t (Schnittstellen mit Koodinatenachsen: Deiecksfläche: S : = = 4 S (4/ S y : 5 y + 4 = y = S y (/ A = 4 = 4 ( In einem Gefäss U sind zwei laue Kugeln. In einem weiteen Gefäss U sind acht ote Kugeln. Luca daf mit veundenen Augen eines de eiden Gefässe wählen und daaus eine Kugel ziehen. Ist die Kugel ot, dann legt Luca die Kugel zuück und zusätzlich in eide Gefässe je eine ote Kugel. Ist die Kugel lau, dann legt e die laue Kugel zuück und zusätzlich in eide Gefässe je zwei laue Kugeln hinzu. Wie goss ist die Wahscheinlichkeit, dass Luca in de zweiten Ziehung eine ote Kugel zieht? Viestufiges Zufallsepeiment: i. Gefäss wählen ii. Kugel ziehen (U ode U eeinflusst die Kugelzusammensetzung fü die zweite Ziehung iii. Gefäss wählen iv. Kugel ziehen en U U U U U U Punkt Punkt Punkt Daaus folgt die Wahscheinlichkeit fü ot in de zweiten Ziehung: P( = = ( 5 =.5 Punkte 6 + a4 (c Beechnen Sie a und de Funktion f ( = so, dass de Punkt P( / auf dem Gaphen von f liegt und die Steigung dot etägt. Matua_5 G. Schö -. Juli 5

8 Mathematik ISME Matua 5 Es muss gelten: i. f ( = ii. f ( = Einsetzen und ausechnen: 6 + 6a f ( = = a soll = a = f ( = 4a ( 6 + a 4 ( = 4a4 a 4 6 = a f 6a + 4 ( = = a + = + = soll = = 6 en Punkt Punkte Matua_5 G. Schö -. Juli 5

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