(GMA-Kongress 2005, Baden-Baden. VDI-Berichte 1883, S )

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "(GMA-Kongress 2005, Baden-Baden. VDI-Berichte 1883, S. 411-420)"

Transkript

1 (GMA-Kogress 2005, Bade-Bade. VDI-Berichte 883, S ) Cotrol Performace Moitorig mit eier Kombiatio aus stochastische ud determiistische Merkmale (Cotrol performace moitorig usig a combiatio of stochastic ad determiistic sigal features) Dr. Ig. B-M. Pfeiffer, Karlsruhe; Kurzfassug: Es wird ei eues Kozept zur Überwachug vo Regelkreise verfahrestechischer Alage vorgestellt, das auf eier Kombiatio vo stochastische ud determiistische Merkmale beruht, ud ahtlos i ei Prozessleitsystem itegriert wird. Abstract: A ew cocept for cotrol performace moitorig i chemical processig plats is preseted, based o a combiatio of stochastic ad determiistic sigal features, ad seamlessly itegrated ito a distributed process cotrol system.. Eiführug Eie Vielzahl vo Regelkreise i eier Alage soll permaet ud automatisch bezüglich ihrer Regelgüte überwacht werde, damit bei achlasseder Leistugsfähigkeit eizeler Regelkreise rechtzeitig ud gezielt a der richtige Stelle der Alage mit Maßahme zur Istadhaltug oder Regleroptimierug eigegriffe werde ka. Dabei solle im Sie eier icht-ivasive Diagose ur die im reguläre Prozessbetrieb afallede Date verwedet werde. Die dazu i de letzte Jahre etstadee Methode werde uter dem Oberbegriff Cotrol Performace Moitorig (CPM) zusammegefasst. Sie beruhe im Prizip auf der Auswertug stochastischer Merkmale der gemessee Sigale. Beispielsweise wird die Variaz der Regelgröße i eiem gleitede Zeitfester berechet, ud vergliche mit der Variaz, die mit eiem theoretisch ideale Miimal-Variaz-Regler zu erziele wäre. Der Nachteil dieser stochastische Verfahre ist, dass sie eie ergodische, d.h. midestes im statistische Sie statioäre Prozess voraussetze. Jeder Sollwertsprug a eiem Regler verletzt i elemetarer Weise diese Voraussetzug ud führt zu fehlerhafte Aussage der stochastische Merkmale.

2 Das Grudprizip des hier erstmalig beschriebee, kombiierte Asatzes besteht dari, sowohl stochastische, als auch determiistische Merkmale für die Regelgüte herazuziehe, ud zwar je ach Betriebszustad automatisch die passede Merkmale. We a eiem Regelkreis ei Sollwertsprug detektiert wird, werde ahad des zeitliche Verlaufs der Sprugatwort des geschlossee Regelkreises zwei determiistische Merkmale gebildet. Beide Merkmale lasse sehr direkte ud diagostisch auswertbare Rückschlüsse auf die Regelgüte zu. We die Sprugatwort eigeschwuge ist, ka die Auswertug wieder auf die stochastische Merkmale umgeschaltet werde. 2. Determiistische Merkmale der Regelgüte OverAbso 2 PV PV_TolMax.5 SP PV_TolMi StepHeight 0.5 RiseTime SettligTime Bild : Determiistische Merkmale der Regelgüte Die Beurteilug vo Regelkreise ahad der Atwort auf eie Sollwertsprug ist bereits mit bloßem Auge relativ eifach. Im Sie eier automatische Überwachug geht es jetzt darum, die wesetliche Merkmale der Regelgüte direkt aus dem Sigalverlauf zu bestimme, damit ggf. selbsttätig vom System eie Meldug oder ei Alarm geeriert werde ka. Das erste Augemerk gilt immer dem Überschwiger, we er vorhade ist. Zur Normierug wird der absolute Überschwiger bezoge auf die Höhe des Sollwertsprugs. Der relative Überschwiger i Prozet ist ei Maß für die Dämpfug des Regelkreises. We er mehr als 20 oder 30% beträgt, ist im allgemeie die

3 Kreisverstärkug (Verstärkug des Reglers mal Verstärkug der Strecke) zu hoch, etweder weil der Regler vo voreherei icht gut eigestellt war, oder weil sich im Lauf der Zeit die Eigeschafte der Strecke geädert habe. Bei deutlich zu große Überschwiger erzeugt der Regelkreis schwach gedämpfte Oszillatioe i der Alage, ud es ist ratsam, eie Alarm abzusetze. Währed der Überschwiger i erster Liie zur Überprüfug der Reglerverstärkug diet, gibt es ei weiteres Merkmal, das Hiweise auf die Eistellug des I-Ateils gibt: Bei ugeschickter Eistellug der Nachstellzeit beobachtet ma ach eiem Sollwertsprug ei kriechedes Eilaufe des Istwerts auf de eue Sollwert. Zecks Normierug wird die Eischwigzeit auf die Astiegszeit der Sprugatwort des Regelkreises bezoge. Fall das Eischwigverhältis, d.h. der Quotiet aus Astiegszeit ud Eischwigzeit kleier als ca. 30% ist, ka im Allgemeie vo eier zu lagsame Nachstellzeit des Reglers ausgegage werde. Währed eies Sollwertsprugs trete recherisch zwagsläufig größere Variaze der Regelgröße auf als im statioäre Zustad, so dass die Geerierug vo Alarme wege Überschreite der Variazgreze bis zum Abklige des Eischwigvorgags ach dem Sollwertsprug zu uterdrücke ist. Daach werde die ermittelte determiistische Merkmale ausgegebe, ud die stochastische Auswertug wieder aktiviert. 3. Stochastische Merkmale der Regelgüte Die Berechug stochastischer Sigalmerkmale setzt voraus, dass der zugrude liegede Prozess ergodisch ist, d.h. eie spezielle Form der Statioarität. Nach [8.], S. 230ff ka Ergodizität für die meiste statioäre Zeitreihe ageomme werde. Bei ergodische Prozesse gilt für de Erwartugswert + T E { y( t) } = y( t) = lim T y( t) dt. 2T T Es muss also icht der Esemblemittelwert über alle mögliche Realisieruge des zufällige Prozesses gebildet werde, soder ur der zeitliche Mittelwert über eie beliebige Realisierug, weil dieser gege de Erwartugswert kovergiert. Im ergodische Fall ka der Erwartugswert also durch Mittelwertbildug über ei Fester edlicher Läge abgeschätzt werde. 3. Zeitliche Mittelwerte Es iteressiere die zeitliche Mittelwerte der Stellgröße, der Regelgröße ud der Regelabweichug: u = u( i), y = y( i), i= i= e = r y

4 Eie rekursive Formulierug ist möglich, aber icht trivial. Sie ist im PCS7-Baustei MEANTM_P bereits implemetiert. Es werde gleitede Fester vo relativ begrezter Läge, aber im Zyklus des Reglers betrachtet. Die Festerläge sollte bei der Ibetriebahme so lage gewählt werde, dass dauerde Schwakuge des Mittelwerts im statioäre Betriebszustad vermiede werde. Eie im Mittel bleibede Regelabweichug e 0 bei kostatem Sollwert ist bereits ei Idiz für Probleme im Regelkreis, falls es sich um eie Regler mit I-Ateil hadelt. Falls ei statioärer Arbeitspukt (u 0, y 0 ) bekat ist, lässt sich daraus die mittlere aktuelle Prozessverstärkug schätze, we ma aimmt, dass ur mittelwertfreie Störuge eigreife: k g y y = u u 0 0 Typische statioäre Arbeitspukte sid oft vorab bekat, z.b. Durchflussregelug: y=0 für u=0, d.h. Vetil geschlosse, Temperaturregelug: y=y amb für u=0, d.h. Umgebugstemperatur, oder köe bei der Erst-Ibetriebahme ermittelt werde. Falls sich die Prozessverstärkug im Lauf der Zeit schleiched ädert, ist dies ei Hiweis auf Abutzugserscheiuge im Prozess, wie z.b. Foulig vo Wärmetauscher, Belagsbildug a Vetile oder Klappe, achlasseder Wirkugsgrad vo Aggregate usw. Ist dagege beispielsweise ei Temperaturregelkreis über eie Wärmetauscher geschlosse, ud es bildet sich ei Belag a de Temperaturaustauschfläche, da reduziert sich der Wärmeübergagskoeffiziet ud damit die Steckeverstärkug. Dies ka i eiem gewisse Rahme durch de geschlossee Regekreis ausgegliche werde (so dass der Regler de Fehler zuächst vertuscht ). Ggf. ka bei zuehmeder Verschmutzug durch eie etsprechede Vergrößerug der Reglerverstärkug die ursprügliche Regelkreisdyamik wiederhergestellt werde. We die Belagsbildug weitergeht wird die erreichbare Regelgüte jedoch irgedwa durch die Stellgrößebeschräkug begrezt, ud da hilft tatsächlich ur och eie Reiigug des Wärmetauschers. 3.2 Variaz (Streuug) des Istwerts Die Variaz als zetriertes Momet erfordert vo Asatz her die Berechug vo Differeze jedes aktuelle Messwerts zum (kostate!) Mittelwert. σ = = y ( y(i) y) y (i) y i = i=

5 Zur Herleitug des Vorfaktors sh. [9.], S. 76. Nach elemetare Umformuge ausgehed vo der Defiitio der Variaz über de Erwartugswert-Operator E{} ergibt sich eie leichter implemetierbare Rechevorschrift: Es wird ei Mittelwert der quadrierte Messwerte gebildet, ud der quadrierte Mittelwert der Messwerte davo abgezoge. We ei effizietes Verfahre zur Berechug des Mittelwerts zur Verfügug steht, ka ma 2 dieses also auch zur Berechug der Variaz verwede. Die Streuug σ y = σ y als Wurzel der Variaz lässt sich aschaulicher iterpretiere, da sie dieselbe physikalische Eiheit wie der Messwert hat. 3.3 Cotrol Performace Idex Dieser Idex beschreibt die aktuelle Streuug der Regelgröße mit Bezug zu eier Referez- Variaz (Bechmark): 2 σ ref ς = i 00% 2 σ y Er bewegt sich im Bereich 0 < ς 00%. We die aktuelle Streuug dem Bechmark-Wert etspricht, erreicht der Idex de Wert 00; falls die aktuelle Streuug dagege größer wird, immt der Regelgüte-Idex etspreched ab. Als Bechmark komme verschiedee Werte i Betracht: Streuug i defiiertem Gut-Zustad, z.b. protokolliert ach Regler-Ibetriebahme mit PID-Tuer. Solage die Regler- ud Streckeparameter uverädert bleibe, der Gut-Zustad also icht verlasse wird, bewegt sich der CPI i eier Größeordug vo etwa 00%. Eie deutliche Verrigerug des CPI-Wertes zeigt eie upassede Reglereistellug a, die z.b. durch Veräderuge im Prozess bei kostate Reglerparameter verursacht werde ka. Bei eier auf diese Weise defiierte Referezvariaz ist es vorübergehed möglich, dass der CPI etwas größer als 00% wird. Streuug mit eiem theoretisch ideale PID-Regler, wobei zur Berechug ei explizites Prozessmodell ud ei explizites Störfiltermodell erforderlich ist. Diese Voraussetzuge sid i der Praxis leider selte erfüllt. Streuug mit eiem theoretische Miimalvariaz-Regler. Diese hägt ur vo der Prozess-Totzeit ud vom Störugsmodell ab. Diese Form des CPI wird als Harris- Idex bezeichet [0.], ud stellt eie für PID-Regler im Allgemeie icht erreichbare utere Schrake dar, weshalb der CPI de Wert 00% selbst für gut eigestellte Regler selte erreicht. Niedrige CPI-Werte liefer eie erste Hiweis

6 darauf, dass die Reglereistellug och verbessert werde ka. Dabei ist jedoch zu bedeke, dass die Miimalvariaz ur ei theoretisch erreichbarer Wert ist ud der Miimalvariaz-Regler Eigeschafte hat, die im praktische Eisatz icht erwüscht sid, so z.b. extrem große Stellgrößeamplitude. Bei dem MV-basierte CPI ist es also icht erstrebeswert, diese um jede Preis möglichst ahe a 00% zu brige. Bei eier plamäßige Ibetriebahme eier Alage mit itegriertem CPM wird a jedem Regelkreis ach erfolgreicher Regleroptimierug ei Iitialisierugskopf im zugeordete CPM-Bediebild betätigt, ud die jetzt ermittelte Variaz als Referezvariaz gespeichert. Falls jedoch a eier Alage achträglich eie Regelkreisüberwachug istalliert wird, ud auf eie Eizelprüfug der Regelkreise verzichtet werde soll, köe auch adere Referezvariaze a eiem separate Bausteieigag eigetrage werde, die beispielsweise mit eiem Tool zur Bestimmug des Harris-Idex auf Basis vo Archivdate offlie berechet worde sid. Statistische Auswertuge vo Mittelwert ud Variaz über lägere, frei wählbare Zeitbereiche köe bereits ab PCS7 V6. im Tred-Kurveschreiber auf der Operator Statio iteraktiv durchgeführt werde. 3.4 Grafische Auswertuge y(k) y k [samples].5 2 x Desitivity distributio [%] Bild 2: Histogramm der Istwerte eies schlecht (oszillatorisch) eigestellte Regelkreises Verschiedee grafische Darstelluge sid hilfreich zur Beurteilug der Regelgüte: Ei Histogramm (Häufigkeitsverteilug) der Regelgröße, horizotal aufgetrage ebe de Messwerte, mit eigezeichetem Mittelwert ud Stadardabweichug. Ei gut eigestellter Regelkreis liefert (bei rei stochastischer Störug) die bekate Glockekurve der Gauss sche Normalverteilug, dere Mittelwert mit dem Sollwert

7 übereistimmt. Dagege deutet ei Doppelgipfel im Histogramm (sh. z.b. Bild 2) auf eie zu schwach gedämpfte, ei Mittelwertversatz auf eie statioär ugeaue Regelkreis hi. Ei Scatterplot ist eie zweidimesioale Darstellug aller Messwertpaare Istwert über Stellwert bzw. Istwert über Sollwert. Hier lasse sich Nichtliearitäte wie z.b. Reibugseiflüsse i Vetile (die zu eier parallelogramm-artige schräge Kotur führe) erkee, aber auch Quatisierugs- ud adere spezielle Effekte. Bei eiem gut eigestellte Regelkreis sollte die Datepukte eie elliptische Wolke bilde. 5. Itegratio i die Systemarchitektur eies Prozessleitsystems Fuktioe zur Überwachug vo Regelkreise köe auf uterschiedliche Ebee ierhalb der Systemarchitektur des Prozessleitsystems agesiedelt werde. Gesichtspukte für solche Etscheiduge sid zum eie der Bedarf a Speicherplatz ud Rechezeit, zum adere der relevate Zeithorizot, aber auch Aspekte wie Egieerig- Aufwad sowie Bediee ud Beobachte. Im Rahme eies Kozepts für die Systemarchitektur werde CPM-Fuktioe daher zweckmäßig auf verschiedee Ebee eies Prozessleitsystems verteilt. Eifache Berechuge auf Basis vo Origial-Messdate im Reglerzyklus, i eiem relativ kurze Zeitfester (Miutebereich), werde i eiem Fuktiosbaustei auf der prozessahe Kompoete durchgeführt, der als Ergäzug zum Reglerbaustei hizugefügt ud mit ihm verschaltet wird. Dieser Baustei ka so parametriert werde, dass er Alarme oder Melduge im Leitsystem absetzt, we die Regelgüte bestimmte Aforderuge icht mehr erfüllt. Ei zugeordetes Bediebild liefert dem Alagefahrer, aber auch dem etsprechede PLT-, Wartugs- oder Istadhaltugspersoal die relevate Iformatioe. Stochastische Auswertuge über lägere, flexibel spezifizierbare Zeiträume (Stude, Schichte, Tage) basiere auf eiem Messwert-Archiv i der Operator- Statio. Auf dieser Ebee köe auch zusätzliche grafische Darstelluge wie z.b. Schleppzeiger, ei Scatterplot der Messpukte (z.b. Istwert über Stellgröße), oder eie Häufigkeitsverteilug der Istwerte agebote werde. Ei Alage-Übersichtsbild auf der Operator-Statio zeigt die Regelgüte aller Kreise i der Alage ud erlaubt das schelle Lokalisiere vo Probleme. I eier Hitliste werde die Regelkreise mit de größte Schwierigkeite als oberste eisortiert, um die Aufmerksamkeit des Persoals dorthi zu leke.

8 Die verteilte, ahtlose Itegratio der CPM-Fuktioe i das Prozessleitsystem hat mehrere Vorteile: Die Projektierug erfolgt mit de Stadardverfahre des Egieerig-Systems, ud lässt sich auch achträglich leicht i ei laufedes System ergäze. Jede Teilfuktio arbeitet i der techisch sivolle Zykluszeit auf de dafür am beste geeigete Date. Der Aweder hat die Freiheit, auf de CPM-Fuktioe aufsetzede grafische Darstelluge oder Auswertuge aufwadsarm mit de Stadard-Egieerig- Mittel des Leitsystems zu kofiguriere. Das CPM-Kozept wird ergäzt durch Maßahme zum Alarm-Maagemet. CPM- Fuktioe werde i eier der ächste Versioe vo Simatic PCS7 verfügbar sei, ud sid uter dem amtliche AKZ zum Patet agemeldet. [.] Harris, T. J.; Assessmet of cotrol loop performace. Caadia Joural of Chemical Egieerig, 67(989), S [2.] Qi, S. Joe: Cotrol performace moitorig a review ad assessmet. Computers ad Chemical Egieerig 23 (998), S [3.] Huag, Biao ud Shah, Sirish L.: Performace assessmet of cotrol loops : theory ad applicatios. Spriger, Lode, 999. ISBN [4.] Dittmar, R., Bebar, M., Reiig, G.: Cotrol Loop Performace Moitorig - Motivatio, Methode, Awederwüsche. atp 45 (2003), Nr. 4, S [5.] Nohr, M. ud Boll, M.: Cotroller Performace Assesmet Eie Möglichkeit zur Verbesserug der Prozessführug. Chemie Igeieur Techik 75 (2003), Nr. 2, S [6.] Bebar, M., Krug, Ch., Reiig, G.: Kozept zur Bewertug der Regelgüte vo Regelkreise ahad vorliegeder Prozess- ud Ereigisdate aus verfahrestechische Alage. atp 46 (2004), Nr. 0, S [7.] Rode, M: Cotrol Performace Moitorig ei effizietes Verfahre für die Zustadsüberwachug vo Produktiosprozesse. BWK Bd. 56, 2004, Nr. 9, S [8.] Schlittge, Streitberg: Zeitreiheaalyse, 7. Auflage, R. Oldebourg Verlag, Müche, 997. [9.] Beyer/Hackel/Pieper/Tiedge: Wahrscheilichkeitsrechug ud mathematische Statistik, 7. Auflage, Teuber, Stuttgart, Leipzig, 995 [0.] Harris, T. J.; Assessmet of cotrol loop performace. Caadia Joural of Chemical Egieerig, 67(989), S

n 1,n 2,n 3,...,n k in der Stichprobe auftreten. Für die absolute Häufigkeit können wir auch die relative Häufigkeit einsetzen:

n 1,n 2,n 3,...,n k in der Stichprobe auftreten. Für die absolute Häufigkeit können wir auch die relative Häufigkeit einsetzen: 61 6.2 Grudlage der mathematische Statistik 6.2.1 Eiführug i die mathematische Statistik I der mathematische Statistik behadel wir Masseerscheiuge. Wir habe es deshalb im Regelfall mit eier große Zahl

Mehr

Statistik mit Excel 2013. Themen-Special. Peter Wies. 1. Ausgabe, Februar 2014 W-EX2013S

Statistik mit Excel 2013. Themen-Special. Peter Wies. 1. Ausgabe, Februar 2014 W-EX2013S Statistik mit Excel 2013 Peter Wies Theme-Special 1. Ausgabe, Februar 2014 W-EX2013S 3 Statistik mit Excel 2013 - Theme-Special 3 Statistische Maßzahle I diesem Kapitel erfahre Sie wie Sie Date klassifiziere

Mehr

15.4 Diskrete Zufallsvariablen

15.4 Diskrete Zufallsvariablen .4 Diskrete Zufallsvariable Vo besoderem Iteresse sid Zufallsexperimete, bei dee die Ergebismege aus reelle Zahle besteht bzw. jedem Elemetarereigis eie reelle Zahl zugeordet werde ka. Solche Zufallsexperimet

Mehr

Testumfang für die Ermittlung und Angabe von Fehlerraten in biometrischen Systemen

Testumfang für die Ermittlung und Angabe von Fehlerraten in biometrischen Systemen Testumfag für die Ermittlug ud Agabe vo Fehlerrate i biometrische Systeme Peter Uruh SRC Security Research & Cosultig GmbH peter.uruh@src-gmbh.de Eileitug Biometrische Systeme werde durch zwei wichtige

Mehr

Lerneinheit 2: Grundlagen der Investition und Finanzierung

Lerneinheit 2: Grundlagen der Investition und Finanzierung Lereiheit 2: Grudlage der Ivestitio ud Fiazierug 1 Abgrezug zu de statische Verfahre Durchschittsbetrachtug wird aufgegebe Zeitpukt der Zahlugsmittelbewegug explizit berücksichtigt exakte Erfassug der

Mehr

Statistik Einführung // Konfidenzintervalle für einen Parameter 7 p.2/39

Statistik Einführung // Konfidenzintervalle für einen Parameter 7 p.2/39 Statistik Eiführug Kofidezitervalle für eie Parameter Kapitel 7 Statistik WU Wie Gerhard Derfliger Michael Hauser Jörg Leeis Josef Leydold Güter Tirler Rosmarie Wakolbiger Statistik Eiführug // Kofidezitervalle

Mehr

Der natürliche Werkstoff Holz - Statistische Betrachtungen zum uniaxialen Zugversuch am Beispiel von Furnier

Der natürliche Werkstoff Holz - Statistische Betrachtungen zum uniaxialen Zugversuch am Beispiel von Furnier Der atürliche Werkstoff Holz - Statistische Betrachtuge zum uiaxiale Zugversuch am Beispiel vo Furier B. Bellair, A. Dietzel, M. Zimmerma, Prof. Dr.-Ig. H. Raßbach Zusammefassug FH Schmalkalde, 98574 Schmalkalde,

Mehr

KASSENBUCH ONLINE Online-Erfassung von Kassenbüchern

KASSENBUCH ONLINE Online-Erfassung von Kassenbüchern KASSENBUCH ONLINE Olie-Erfassug vo Kassebücher Ihaltsverzeichis 1 Leistugsbeschreibug... 3 2 Itegratio i das Ageda-System... 4 3 Highlights... 5 3.1 Ituitive Olie-Erfassug des Kassebuchs... 5 3.2 GoB-sicher

Mehr

Statistik. 5. Schließende Statistik: Typische Fragestellung anhand von Beispielen. Kapitel 5: Schließende Statistik

Statistik. 5. Schließende Statistik: Typische Fragestellung anhand von Beispielen. Kapitel 5: Schließende Statistik Statistik Kapitel 5: Schließede Statistik 5. Schließede Statistik: Typische Fragestellug ahad vo Beispiele Beispiel 1» Aus 5 Messwerte ergebe sich für die Reißfestigkeit eier Garsorte der arithmetische

Mehr

2 Vollständige Induktion

2 Vollständige Induktion 8 I. Zahle, Kovergez ud Stetigkeit Vollstädige Iduktio Aufgabe: 1. Bereche Sie 1+3, 1+3+5 ud 1+3+5+7, leite Sie eie allgemeie Formel für 1+3+ +( 3)+( 1) her ud versuche Sie, diese zu beweise.. Eizu5% ZiseproJahragelegtes

Mehr

Kapitel 5: Schließende Statistik

Kapitel 5: Schließende Statistik Kapitel 5: Schließede Statistik Statistik, Prof. Dr. Kari Melzer 5. Schließede Statistik: Typische Fragestellug ahad vo Beispiele Beispiel Aus 5 Messwerte ergebe sich für die Reißfestigkeit eier Garsorte

Mehr

Methodische Grundlagen der Kostenkalkulation

Methodische Grundlagen der Kostenkalkulation Methodische Grudlage der Kostekalkulatio Plaugsebee Gebrauchsgüter Die i der ladwirtschaftliche Produktio eigesetzte Produktiosmittel werde i Gebrauchsgüter ud Verbrauchsgüter uterteilt. Zu de Gebrauchsgüter

Mehr

... a ik) i=1...m, k=1...n A = = ( a mn

... a ik) i=1...m, k=1...n A = = ( a mn Zurück Stad: 4..6 Reche mit Matrize I der Mathematik bezeichet ma mit Matrix im Allgemeie ei rechteckiges Zahleschema. I der allgemeie Darstellug habe die Zahle zwei Idizes, de erste für die Zeileummer,

Mehr

Arbeitsplätze in SAP R/3 Modul PP

Arbeitsplätze in SAP R/3 Modul PP Arbeitsplätze i SAP R/3 Modul PP Was ist ei Arbeitsplatz? Der Stadort eier Aktioseiheit, sowie dere kokrete räumliche Gestaltug Was ist eie Aktioseiheit? kleiste produktive Eiheit i eiem Produktiosprozess,

Mehr

Behandlung von Messunsicherheiten (Fehlerrechnung)

Behandlung von Messunsicherheiten (Fehlerrechnung) Behadlug vo Messusicherheite (Fehlerrechug). Ermittlug vo Messusicherheite. Messug ud Messusicherheit Die Messug eier physikalische Größe erfolgt durch de Vergleich dieser Größe mit eier Bezugseiheit ach

Mehr

Die Instrumente des Personalmanagements

Die Instrumente des Personalmanagements 15 2 Die Istrumete des Persoalmaagemets Zur Lerorietierug Sie solle i der Lage sei:! die Ziele, Asätze ud Grüde eier systematische Persoalplaug darzulege;! die Istrumete der Persoalplaug zu differeziere;!

Mehr

Wissenschaftliches Arbeiten Studiengang Energiewirtschaft

Wissenschaftliches Arbeiten Studiengang Energiewirtschaft Wisseschaftliches Arbeite Studiegag Eergiewirtschaft - Auswerte vo Date - Prof. Dr. Ulrich Hah WS 01/013 icht umerische Date Tet-Date: Datebak: Name, Eigeschafte, Matri-Tabelleform Spalte: übliche Aordug:

Mehr

x 2 + 2 m c Φ( r, t) = n q n (t) φ n ( r) (5) ( + k 2 n ) φ n ( r) = 0 (6a)

x 2 + 2 m c Φ( r, t) = n q n (t) φ n ( r) (5) ( + k 2 n ) φ n ( r) = 0 (6a) Quatisierug eies skalare Feldes Das Ziel ist eigetlich das elektromagetische Feld zu quatisiere, aber wie ma scho a de MAXWELLsche Gleichuge sehe ka, ist es zu kompliziert, um damit zu begie. Außerdem

Mehr

Folgen und Reihen. 23. Mai 2002

Folgen und Reihen. 23. Mai 2002 Folge ud Reihe Reé Müller 23. Mai 2002 Ihaltsverzeichis 1 Folge 2 1.1 Defiitio ud Darstellug eier reelle Zahlefolge.................. 2 1.1.1 Rekursive Defiitio eier Folge......................... 3 1.2

Mehr

Grenzwert. 1. Der Grenzwert von monotonen, beschränkten Folgen

Grenzwert. 1. Der Grenzwert von monotonen, beschränkten Folgen . Der Grezwert vo mootoe, beschräkte Folge Der Grezwert vo mootoe, beschräkte Folge ist eifacher verstädlich als der allgemeie Fall. Deshalb utersuche wir zuerst diese Spezialfall ud verallgemeier aschliessed.

Mehr

Zur Definition. der wirksamen. Wärmespeicherkapazität

Zur Definition. der wirksamen. Wärmespeicherkapazität Ao. Uiv. Prof. Dipl.-Ig. Dr. tech. Klaus Kreč, Büro für Bauphysik, Schöberg a Kap, Österreich Zur Defiitio der wirksae Wärespeicherkapazität vo Ao. Uiv. Prof. Dipl.-Ig. Dr. tech. Klaus Kreč Büro für Bauphysik

Mehr

Kunde. Kontobewegung

Kunde. Kontobewegung Techische Uiversität Müche WS 2003/04, Fakultät für Iformatik Datebaksysteme I Prof. R. Bayer, Ph.D. Lösugsblatt 4 Dipl.-Iform. Michael Bauer Dr. Gabi Höflig 17.11. 2003 Abbildug E/R ach relatioal - Beispiel:

Mehr

Die allgemeinen Daten zur Einrichtung von md cloud Sync auf Ihrem Smartphone lauten:

Die allgemeinen Daten zur Einrichtung von md cloud Sync auf Ihrem Smartphone lauten: md cloud Syc / FAQ Häufig gestellte Frage Allgemeie Date zur Eirichtug Die allgemeie Date zur Eirichtug vo md cloud Syc auf Ihrem Smartphoe laute: Kototyp: Microsoft Exchage / ActiveSyc Server/Domai: mailsyc.freeet.de

Mehr

Qualitätskennzahlen für IT-Verfahren in der öffentlichen Verwaltung Lösungsansätze zur Beschreibung von Metriken nach V-Modell XT

Qualitätskennzahlen für IT-Verfahren in der öffentlichen Verwaltung Lösungsansätze zur Beschreibung von Metriken nach V-Modell XT Qualitätskezahle für IT-Verfahre i der öffetliche Verwaltug Lösugsasätze zur Vo Stefa Bregezer Der Autor arbeitet im Bereich Softwaretest ud beschäftigt sich als Qualitätsbeauftragter mit Theme zu Qualitätssicherug

Mehr

Kapitel 6: Statistische Qualitätskontrolle

Kapitel 6: Statistische Qualitätskontrolle Kapitel 6: Statistische Qualitätskotrolle 6. Allgemeies Für die Qualitätskotrolle i eiem Uterehme (produzieredes Gewerbe, Diestleistugsuterehme, ) gibt es verschiedee Möglichkeite. Statistische Prozesskotrolle

Mehr

Kapitel 4: Stationäre Prozesse

Kapitel 4: Stationäre Prozesse Kapitel 4: Statioäre Prozesse M. Scheutzow Jauary 6, 2010 4.1 Maßerhaltede Trasformatioe I diesem Kapitel führe wir zuächst de Begriff der maßerhaltede Trasformatio auf eiem Wahrscheilichkeitsraum ei ud

Mehr

K. Felten: Internet Network infrastucture Fachhochschule Kiel, Fachbereich IuE

K. Felten: Internet Network infrastucture Fachhochschule Kiel, Fachbereich IuE Defiitio ach DIN4004 Als Zuverlässigkeit ( reliability ) gilt die Fähigkeit eier Betrachtugseiheit ierhalb vorgegebeer Greze dejeige durch de Awedugszweck bedigte Aforderuge zu geüge, die a das Verhalte

Mehr

Inhaltsverzeichnis. 1 Leistungsbeschreibung... 3. 2 Integration in das Agenda-System... 4

Inhaltsverzeichnis. 1 Leistungsbeschreibung... 3. 2 Integration in das Agenda-System... 4 USt Umsatzsteuer Ihaltsverzeichis 1 Leistugsbeschreibug... 3 2 Itegratio i das Ageda-System... 4 3 Highlights... 5 3.1 Kompakte Erfassugsmaske auf Basis der Steuerformulare... 5 3.2 Orgaschaft & Kosolidierug...

Mehr

Bahn aktuell. Foto: DB AG/Max Lautenschläger

Bahn aktuell. Foto: DB AG/Max Lautenschläger Foto: DB AG/Max Lauteschläger 6 Deie Bah 1/2014 Leit- ud Sicherugstechik Sigaltechik 4.0 Idustrialisierug der Sigaltechik Dr. Michael Leiig, Leiter Techologiemaagemet Leit- ud Sicherugstechik ud Dr. Berd

Mehr

Tests statistischer Hypothesen

Tests statistischer Hypothesen KAPITEL 0 Tests statistischer Hypothese I der Statistik muss ma oft Hypothese teste, z.b. muss ma ahad eier Stichprobe etscheide, ob ei ubekater Parameter eie vorgegebee Wert aimmt. Zuerst betrachte wir

Mehr

h i Deskriptive Statistik 1-dimensionale Daten Daten und Häufigkeiten Seite 1 Nominal Ordinal Metrisch (Kardinal) Metrisch - klassiert

h i Deskriptive Statistik 1-dimensionale Daten Daten und Häufigkeiten Seite 1 Nominal Ordinal Metrisch (Kardinal) Metrisch - klassiert Deskriptive Statistik dimesioale Date Date ud Häufigkeite Seite Nomial Ordial Metrisch (Kardial Metrisch klassiert Beschreibug: Date habe keie atürliche Reihefolge. Bsp: Farbe, Religio, Geschlecht, Natioalität...

Mehr

Zahlenfolgen, Grenzwerte und Zahlenreihen

Zahlenfolgen, Grenzwerte und Zahlenreihen KAPITEL 5 Zahlefolge, Grezwerte ud Zahlereihe. Folge Defiitio 5.. Uter eier Folge reeller Zahle (oder eier reelle Zahlefolge) versteht ma eie auf N 0 erlarte reellwertige Futio, die jedem N 0 ei a R zuordet:

Mehr

Kapitel 6 : Punkt und Intervallschätzer

Kapitel 6 : Punkt und Intervallschätzer 7 Kapitel 6 : Pukt ud Itervallschätzer Puktschätzuge. I der Statistik wolle wir Rückschlüsse auf das Wahrscheilichkeitsgesetz ziehe, ach dem ei vo us beobachtetes Zufallsexperimet abläuft. Hierzu beobachte

Mehr

Umrechnung einer tatsächlichen Häufigkeitsverteilung in eine prozentuale Häufigkeitsverteilung

Umrechnung einer tatsächlichen Häufigkeitsverteilung in eine prozentuale Häufigkeitsverteilung .3. Prozetuale Häufigkeitsverteilug (HV) Die prozetuale Häufigkeitsverteilug erlaubt de Vergleich vo Auswertuge, dee uterschiedliche Stichprobegröße zugrude liege. Es köe auch uterschiedliche Stichprobegröße

Mehr

Flexibilität beim Lagern und Kommissionieren: Schienengeführte Regalbediengeräte

Flexibilität beim Lagern und Kommissionieren: Schienengeführte Regalbediengeräte Flexibilität beim Lager ud Kommissioiere: Schieegeführte Regalbediegeräte Ei Kozept zwei Baureihe: DAMBACH Regalbediegeräte Seit mehr als 35 Jahre baut die DAMBACH Lagersysteme Regalbediegeräte ud gehört

Mehr

Lernhilfe in Form eines ebooks

Lernhilfe in Form eines ebooks Ziseszisrechug Lerhilfe i Form eies ebooks apitel Thema Seite 1 Vorwort ud Eiführug 2 2 Theorie der Ziseszisrechug 5 3 Beispiele ud Beispielrechuge 12 4 Testaufgabe mit Lösuge 18 Zis-Ziseszis.de 212 Seite

Mehr

Innerbetriebliche Leistungsverrechnung

Innerbetriebliche Leistungsverrechnung Ierbetriebliche Leistugsverrechug I der Kostestellerechug bzw. im Betriebsabrechugsboge (BAB ist ach der Erfassug der primäre Kostestellekoste das Ziel, die sekudäre Kostestellekoste, also die Koste der

Mehr

Streuungsmaße. Prof. Dr. Paul Reuber. Institut für Geographie. Seminar Methoden der empirischen Humangeographie

Streuungsmaße. Prof. Dr. Paul Reuber. Institut für Geographie. Seminar Methoden der empirischen Humangeographie Streuugsmaße Istitut für Geographie Streuugswerte (Streuugsmaße) Die Diskussio um die Mittelwerte hat die Vorteile dieser statistische Kewerte gezeigt, aber bereits, isbesodere beim arithmetische Mittel,

Mehr

Wirksamkeit, Effizienz

Wirksamkeit, Effizienz 3 Parameterpuktschätzer Eigeschafte vo Schätzfuktioe 3.3 Wirksamkeit, Effiziez Defiitio 3.5 (Wirksamkeit, Effiziez Sei W eie parametrische Verteilugsaahme mit Parameterraum Θ. 1 Seie θ ud θ erwartugstreue

Mehr

AUFGABENSTELLUNG (ZUSAMMENFASSUNG) 2 SPEZIFIKATION 2. Datenfluß und Programmablauf 2. Vorbedingung 3. Nachbedingung 3. Schleifeninvariante 3

AUFGABENSTELLUNG (ZUSAMMENFASSUNG) 2 SPEZIFIKATION 2. Datenfluß und Programmablauf 2. Vorbedingung 3. Nachbedingung 3. Schleifeninvariante 3 INHALTSVERZEICHNIS AUFGABENSTELLUNG (ZUSAMMENFASSUNG) 2 SPEZIFIKATION 2 Datefluß ud Programmablauf 2 Vorbedigug 3 Nachbedigug 3 Schleifeivariate 3 KONSTRUKTION 4 ALTERNATIVE ENTWURFSMÖGLICHKEITEN 5 EFFEKTIVE

Mehr

Praktikum Vorbereitung Fertigungsmesstechnik Statistische Qualitätskontrolle

Praktikum Vorbereitung Fertigungsmesstechnik Statistische Qualitätskontrolle Praktikum Vorbereitug Fertigugsmesstechik Statistische Qualitätskotrolle Bei viele Erzeugisse ist es icht möglich jedes Werkstück zu prüfe, z.b.: bei Massefertigug. Hier ist es aus ökoomische Grüde icht

Mehr

Basisfall Vergleichsbasiertes Sortieren Programmieraufgabe Algorithm Engineering

Basisfall Vergleichsbasiertes Sortieren Programmieraufgabe Algorithm Engineering Basisfall Vergleichsbasiertes Sortiere Programmieraufgabe Algorithm Egieerig Deis Felsig 013-0-07 1 Eileitug I dieser Programmieraufgabe sollte Basisfälle für vergleichsbasiertes Sortiere utersucht werde.

Mehr

Wirksamkeit, Effizienz. Beispiel: Effizienz. Mittlerer quadratischer Fehler (MSE) Konsistenz im quadratischen Mittel

Wirksamkeit, Effizienz. Beispiel: Effizienz. Mittlerer quadratischer Fehler (MSE) Konsistenz im quadratischen Mittel 3 arameterpuktschätzer Eigeschafte vo Schätzfuktioe 3.3 Wirksamkeit, Effiziez 3 arameterpuktschätzer Eigeschafte vo Schätzfuktioe 3.3 Beispiel: Effiziez Defiitio 3.5 (Wirksamkeit, Effiziez Sei W eie parametrische

Mehr

LV "Grundlagen der Informatik" Programmierung in C (Teil 2)

LV Grundlagen der Informatik Programmierung in C (Teil 2) Aufgabekomplex: Programmiere i C (Teil vo ) (Strukturierte Datetype: Felder, Strukture, Zeiger; Fuktioe mit Parameterübergabe; Dateiarbeit) Hiweis: Alle mit * gekezeichete Aufgabe sid zum zusätzliche Übe

Mehr

Statistik I/Empirie I

Statistik I/Empirie I Vor zwei Jahre wurde ermittelt, dass Elter im Durchschitt 96 Euro für die Nachhilfe ihrer schulpflichtige Kider ausgebe. I eier eue Umfrage uter 900 repräsetativ ausgewählte Elter wurde u erhobe, dass

Mehr

6. Übung - Differenzengleichungen

6. Übung - Differenzengleichungen 6. Übug - Differezegleichuge Beispiel 00 Gesucht sid alle Lösuge vo a) x + 3x + = 0 ud b) x + x + 7 = 0, jeweils für 0. Um diese lieare Differezegleichug erster Ordug zu löse, verwede wir die im Buch auf

Mehr

Projektmanagement Solarkraftwerke

Projektmanagement Solarkraftwerke Projektmaagemet Solarkraftwerke Solar Forum - St. Veit 2013 Mauel Uterweger 1 Ihalt des Impulsvortrages eie Überblick über Projektmaagemet bei Solarkraftwerke zu gebe gewoee Erfahruge aufgrud eies reale

Mehr

Klausur 1 über Folgen

Klausur 1 über Folgen www.mathe-aufgabe.com Klausur über Folge Hiweis: Der GTR darf für alle Aufgabe eigesetzt werde. Aufgabe : Bestimme eie explizite ud eie rekursive Darstellug! a) für eie arithmetische Folge mit a = 6, ;

Mehr

Gliederung. Value-at-Risk

Gliederung. Value-at-Risk Value-at-Risk Dr. Richard Herra Nürberg, 4. Noveber 26 IVS-Foru Gliederug Modell Beispiel aus der betriebliche Altersversorgug Verteilug des Gesatschades Value-at-Risk ud Tail Value-at-Risk Risikobeurteilug

Mehr

Zusammenfassung: Folgen und Konvergenz

Zusammenfassung: Folgen und Konvergenz LGÖ Ks VMa Schuljahr 6/7 Zusammefassug Folge ud Kovergez Ihaltsverzeichis Defiitioe ud Beispiele für Folge Beschräkte Folge Kovergez vo Folge Grezwertsätze für Folge 5 Für Experte 7 Defiitioe ud Beispiele

Mehr

Auch im Risikofall ist das Entscheidungsproblem gelöst, wenn eine dominante Aktion in A existiert.

Auch im Risikofall ist das Entscheidungsproblem gelöst, wenn eine dominante Aktion in A existiert. Prof. Dr. H. Rommelfager: Etscheidugstheorie, Kaitel 3 7 3. Etscheidug bei Risiko (subjektive oder objektive) Eitrittswahrscheilichkeite für das Eitrete der mögliche Umweltzustäde köe vom Etscheidugsträger

Mehr

n=0 f(x) = log(1 + x) = n=1

n=0 f(x) = log(1 + x) = n=1 Potez - Reihe Machmal ist es praktisch eie Fuktio f() mir Hilfe ihrer Potezreihe auszudrücke. Eie Potezreihe um de Etwicklugspukt 0 sieht im Allgemeie so aus a ( 0 ) Fuktioe, für die eie Potezreihe eistiert,

Mehr

Mathematik. Vorlesung im Bachelor-Studiengang Business Administration (Modul BWL 1A) an der FH Düsseldorf im Wintersemester 2008/09

Mathematik. Vorlesung im Bachelor-Studiengang Business Administration (Modul BWL 1A) an der FH Düsseldorf im Wintersemester 2008/09 Mathematik Vorlesug im Bachelor-Studiegag Busiess Admiistratio (Modul BWL A) a der FH Düsseldorf im Witersemester 2008/09 Dozet: Dr. Christia Kölle Teil I Fiazmathematik, Lieare Algebra, Lieare Optimierug

Mehr

Leitfaden zum Photovoltaik Global 30 Index *

Leitfaden zum Photovoltaik Global 30 Index * Lefade zum Photovoltaik Global 30 Idex * Versio.0 * Photovoltaik Global 30 Idex ist ei Idex der ABN AMRO, der vo der Deutsche Börse berechet ud verteilt wird. Deutsche Börse AG Versio.0 Lefade zum Photovoltaik

Mehr

10 Aussagen mit Quantoren und

10 Aussagen mit Quantoren und 0 Aussage mit Quatore ud 0.6. Eisatz vo (bereits bekater) Eistezaussage Bisher hatte wir Eistezbeweise geführt, idem wir ei passedes Objekt agegebe habe ( Setze... ). Stattdesse ka ma auch auf bereits

Mehr

Variiert man zusätzlich noch die Saatstärke (z.b. 3 Stärkearten), würde man von einer zweifaktoriellen Varianzanalyse sprechen.

Variiert man zusätzlich noch die Saatstärke (z.b. 3 Stärkearten), würde man von einer zweifaktoriellen Varianzanalyse sprechen. 3. Variazaalyse Die Variazaalyse mit eier quatitative abhägige Variable ud eier oder mehrerer qualitativer uabhägiger Variable wird auch als ANOVA (Aalysis of Variace) bezeichet. Mit eier Variazaalyse

Mehr

Verkehrsmanagementsysteme

Verkehrsmanagementsysteme Efficiet. Techology. Efficiet. Techology. Worldwide. Worldwide. Verkehrsmaagemetsysteme Produktkatalog Fahrscheidrucker Bordrecher Mobile Verkaufssysteme eticketig EKS Automate Bedarfsverkehr Verkaufsapplikatioe

Mehr

1 Randomisierte Bestimmung des Medians

1 Randomisierte Bestimmung des Medians Praktikum Diskrete Optimierug (Teil 0) 0.07.006 Radomisierte Bestimmug des Medias. Problemstellug ud Ziel I diesem Abschitt stelle wir eie radomisierte Algorithmus zur Bestimmug des Medias vor, der besser

Mehr

Zur Ableitung zulässiger Messunsicherheiten

Zur Ableitung zulässiger Messunsicherheiten Zur Ableitug zulässiger Messusicherheite aus Toleraze bei Igeieurvermessuge a Krabahe Has Schulz Vo de jeweilige Herstelltoleraze ist für die Vermessug ei bestimmter Ateil die Vermessugstoleraz vorzusehe,

Mehr

eppe cx Anforderungen an ein Messsystem zur effizienten Überwachung von Versorgungsnetzen und technischen Anlagen

eppe cx Anforderungen an ein Messsystem zur effizienten Überwachung von Versorgungsnetzen und technischen Anlagen eppe cx Aforderuge a ei Messsystem zur effiziete Überwachug vo Versorgugsetze ud techische Alage Dipl.-Ig. Timo Wild MBA, Product Maager Fault Recordig & Power Quality, KoCoS Messtechik AG Fachthema Mit

Mehr

Wörterbuchmethoden und Lempel-Ziv-Codierung

Wörterbuchmethoden und Lempel-Ziv-Codierung Kapitel 3 Wörterbuchmethode ud Lempel-Ziv-Codierug I diesem Abschitt lere wir allgemei Wörterbuchmethode zur Kompressio ud isbesodere die Lempel-Ziv (LZ))-Codierug kee. Wörterbuchmethode sid ei eifaches

Mehr

Tutorium Mathematik I, M Lösungen

Tutorium Mathematik I, M Lösungen Tutorium Mathematik I, M Lösuge 16. November 2012 *Aufgabe 1. Ma utersuche die folgede Reihe auf Kovergez (a) ( 1) (1 ) (b) ( ) 2 +1 (c) (!) 3 10 (3)! (d) (e) (f) 2 +3 3 2 +1 3 ( 2 +1) 2 + 3 ( 2 +3) (g)

Mehr

Löslichkeitsdiagramm. Grundlagen

Löslichkeitsdiagramm. Grundlagen Grudlage Löslichkeitsdiagramm Grudlage Zur etrachtug des Mischugsverhaltes icht vollstädig mischbarer Flüssigkeite, das heißt Flüssigkeite, die sich icht bei jeder Temperatur i alle Megeverhältisse miteiader

Mehr

Gruppe 108: Janina Bär Christian Hörr Robert Rex

Gruppe 108: Janina Bär Christian Hörr Robert Rex TEHNIHE UNIVEITÄT HEMNITZ FAULTÄT FÜ INFOMATI Hardwarepraktikum im W /3 Versuch 3 equetielle ysteme I Gruppe 8: aia Bär hristia Hörr obert ex hemitz, 7. November Hardwarepraktikum equetielle ysteme I Aufgabe

Mehr

Höhere Finanzmathematik. Sehr ausführliches Themenheft (d. h. mit Theorie) Aber auch mit vielen Trainingsaufgaben

Höhere Finanzmathematik. Sehr ausführliches Themenheft (d. h. mit Theorie) Aber auch mit vielen Trainingsaufgaben Expoetielles Wachstum Höhere Fiazmathematik Sehr ausführliches Themeheft (d. h. mit Theorie) Aber auch mit viele Traiigsaufgabe Es hadelt sich um eie Awedug vo Expoetialfuktioe (Wachstumsfuktioe) Datei

Mehr

Die notwendigen Verteilungstabellen finden Sie z.b. hier:

Die notwendigen Verteilungstabellen finden Sie z.b. hier: Fakultät für Mathematik Istitute IAG ud IMO Prof. Dr. G. Kyureghya/Dr. M. Hödig Schätz- ud Prüfverfahre Die otwedige Verteilugstabelle fide Sie z.b. hier: http://www.ivwl.ui-kassel.de/kosfeld/lehre/zeitreihe/verteilugstabelle.pdf

Mehr

Das Digitale Archiv des Bundesarchivs

Das Digitale Archiv des Bundesarchivs Das Digitale Archiv des Budesarchivs 2 3 Ihaltsverzeichis Das Digitale Archiv des Budesarchivs 4 Techische Ifrastruktur 5 Hilfsmittel zur Archivierug 5 Archivierugsformate 6 Abgabe vo elektroische Akte

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 1

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 1 Techische Uiversität Müche Zetrum Mathematik Mathematik (Elektrotechik) Prof. Dr. Ausch Taraz Dr. Michael Ritter Übugsblatt Hausaufgabe Aufgabe. Bestimme Sie de Kovergezbereich M der folgede Reihe für

Mehr

Musterlösung zu Übungsblatt 2

Musterlösung zu Übungsblatt 2 Prof. R. Padharipade J. Schmitt C. Schießl Fuktioetheorie 25. September 15 HS 2015 Musterlösug zu Übugsblatt 2 Aufgabe 1. Reelle Fuktioe g : R R stelle wir us üblicherweise als Graphe {(x, g(x)} R R vor.

Mehr

Kryptologie: Kryptographie und Kryptoanalyse Kryptologie ist die Wissenschaft, die sich mit dem Ver- und Entschlüsseln von Informationen befasst.

Kryptologie: Kryptographie und Kryptoanalyse Kryptologie ist die Wissenschaft, die sich mit dem Ver- und Entschlüsseln von Informationen befasst. Krytologie: Krytograhie ud Krytoaalyse Krytologie ist die Wisseschaft, die sich mit dem Ver- ud Etschlüssel vo Iformatioe befasst. Beisiel Iteretkommuikatio: Versiegel (Itegrität der Nachricht) Sigiere

Mehr

Allgemeine Lösungen der n-dimensionalen Laplace-Gleichung und ihre komplexe Variable

Allgemeine Lösungen der n-dimensionalen Laplace-Gleichung und ihre komplexe Variable Allgemeie Lösuge der -dimesioale Laplace-Gleichug ud ihre komplexe Variable Dr. rer. at. Kuag-lai Chao Göttige, de 4. Jauar 01 Abstract Geeral solutios of the -dimesioal Laplace equatio ad its complex

Mehr

Analysis I Lösungsvorschläge zum 3. Übungsblatt Abgabe: Bis Donnerstag, den , um 11:30 Uhr

Analysis I Lösungsvorschläge zum 3. Übungsblatt Abgabe: Bis Donnerstag, den , um 11:30 Uhr Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Math. Lars Machiek Dipl.-Math. Sebastia Schwarz WS 206/207 03..206 Aalysis I Lösugsvorschläge zum 3. Übugsblatt Abgabe:

Mehr

Grundgesamtheitsanaylsen und Stichproben. Betrachtungen zur Stichprobenfindung

Grundgesamtheitsanaylsen und Stichproben. Betrachtungen zur Stichprobenfindung MaMaEuSch Maagemet Mathematics for Europea Schools http://www.mathematik.uikl.de/ mamaeusch Grudgesamtheitsaaylse ud Stichprobe. Betrachtuge zur Stichprobefidug Paula Lagares Justo Puerto 1 MaMaEuSch 2

Mehr

Linsengesetze und optische Instrumente

Linsengesetze und optische Instrumente Lisegesetze ud optische Istrumete Gruppe X Xxxx Xxxxxxxxx Xxxxxxx Xxxxxx Mat.-Nr.: XXXXX Mat.-Nr.: XXXXX XX.XX.XX Theorie Im olgede werde wir eie kurze Überblick über die Fuktio, de Aubau ud die Arte vo

Mehr

Qualitätsregelkarten. Qualitätsregelkarten. Kanhäuser Christian Mayer Irmengard Pauer Roland Polasek Martin. by Gruppe1 Seite 1 5HBa 95/96

Qualitätsregelkarten. Qualitätsregelkarten. Kanhäuser Christian Mayer Irmengard Pauer Roland Polasek Martin. by Gruppe1 Seite 1 5HBa 95/96 Qualitätsregelkarte vo: Kahäuser Christia Mayer Irmegard Pauer Rolad Polasek Marti by Gruppe Seite HBa 9/96 . Allgemeies Qualitätsregelkarte (cotrol charts; frühere Übersetztug: Ktrollkarte) diee zur Überwachug

Mehr

Stochastik für WiWi - Klausurvorbereitung

Stochastik für WiWi - Klausurvorbereitung Dr. Markus Kuze WS 2013/14 Dipl.-Math. Stefa Roth 11.02.2014 Stochastik für WiWi - Klausurvorbereitug Gesetz der totale Wahrscheilichkeit ud Satz vo Bayes (Ω, F, P) Wahrscheilichkeitsraum, E 1,..., E F

Mehr

Formularkonzept DRG. Druck. Ausgereifte Formularkonzepte. Die kompakte Dokumentation für Medizin und Pflege.

Formularkonzept DRG. Druck. Ausgereifte Formularkonzepte. Die kompakte Dokumentation für Medizin und Pflege. Formularkozept DRG Ausgereifte Formularkozepte Die kompakte Dokumetatio für Medizi ud Pflege. Auf der Grudlage jahrzehtelager Erfahrug etwickel wir mit Ihe Formularsysteme, die alle Aforderuge gerecht

Mehr

2. Einführung in die Geometrische Optik

2. Einführung in die Geometrische Optik 2. Eiührug i die Geometrische Optik 2. Allgemeie Prizipie 2.. Licht ud Materie Optische Ssteme werde ür de Spektralbereich zwische dem extreme Ultraviolette ( m) ud dem thermische Irarote (Q-Bad bei 2

Mehr

Versuch D3: Energiebilanz einer Verbrennung

Versuch D3: Energiebilanz einer Verbrennung Versuch D: Eergiebilaz eier Verbreug 1. Eiführug ud Grudlage 1.1 Eergiebilaz eier Verbreug Die Eergiebilaz eier Verbreug wird am eispiel eier kleie rekammer utersucht, i welcher die bei der Verbreug vo

Mehr

KAPITEL 7. Zahlenfolgen. 7.1 Konvergente Zahlenfolgen Grenzwertbestimmung Grenzwertbestimmung durch Abschätzung...

KAPITEL 7. Zahlenfolgen. 7.1 Konvergente Zahlenfolgen Grenzwertbestimmung Grenzwertbestimmung durch Abschätzung... KAPITEL 7 Zahlefolge 7. Kovergete Zahlefolge.............................. 30 7.2 Grezwertbestimmug............................... 32 7.3 Grezwertbestimmug durch Abschätzug..................... 35 7.4

Mehr

FIBU Kontoauszugs- Manager

FIBU Kontoauszugs- Manager FIBU Kotoauszugs- Maager Ihaltsverzeichis 1 Leistugsbeschreibug... 3 2 Highlights... 4 2.1 Buchugsvorschläge i der Buchugserfassug... 4 2.2 Vergleichstexterstellug zur automatische Vorkotierug... 5 2.3

Mehr

Preisblatt. Service. über Netzanschlüsse Erdgas, Trinkwasser, Strom und Fernwärme, Baukostenzuschüsse und sonstige Kosten. Gültig ab 1.

Preisblatt. Service. über Netzanschlüsse Erdgas, Trinkwasser, Strom und Fernwärme, Baukostenzuschüsse und sonstige Kosten. Gültig ab 1. Preisblatt über Netzaschlüsse Erdgas, Trikwasser, Strom ud Ferwärme, Baukostezuschüsse ud sostige Koste Gültig ab 1. Jui 2015 Service Preisblatt Netzaschluss ud sostige Koste zu de Ergäzede Bestimmuge

Mehr

A/D UND D/A WANDLER. 1. Einleitung

A/D UND D/A WANDLER. 1. Einleitung A/D UND D/A WANDLER. Eileitug Zur Umwadlug physikalischer Größe, beispielsweise i eie Spaug, werde Wadlerbausteie - auch allgemei Sigalumsetzer geat- beötigt. Ei Sesor liefert ei aaloges Sigal, das i geeigeter

Mehr

Arithmetische und geometrische Folgen. Die wichtigsten Theorieteile. und ganz ausführliches Training. Datei Nr

Arithmetische und geometrische Folgen. Die wichtigsten Theorieteile. und ganz ausführliches Training. Datei Nr ZAHLENFOLGEN Teil 2 Arithmetische ud geometrische Folge Die wichtigste Theorieteile ud gaz ausführliches Traiig Datei Nr. 4002 Neu Überarbeitet Stad: 7. Juli 206 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

Mehr

3. Einführung in die Statistik

3. Einführung in die Statistik 3. Eiführug i die Statistik Grudlegedes Modell zu Date: uabhägige Zufallsgröße ; : : : ; mit Verteilugsfuktio F bzw. Eizelwahrscheilichkeite p ; : : : ; p r i de Aweduge: kokrete reale Auspräguge ; : :

Mehr

Elektronikpraktikum: Digitaltechnik 2

Elektronikpraktikum: Digitaltechnik 2 Elektroikpraktikum: Digitaltechik 2 Datum, Ort: 16.05.2003, PHY/D-213 Betreuer: Schwierz Praktikate: Teshi C. Hara, Joas Posselt (beide 02/2/PHY/02) Gruppe: 8 Ziele Aufbau eier 3-Bit-Dekodierschaltug;

Mehr

Inhaltsverzeichnis. 1 Leistungsbeschreibung... 3

Inhaltsverzeichnis. 1 Leistungsbeschreibung... 3 FIBU Kosterechug Ihaltsverzeichis 1 Leistugsbeschreibug... 3 2 Highlights... 4 2.1 Variable oder fixe Kostestelleverteilug... 4 2.2 Mehrstufiges Umlageverfahre... 5 2.3 Kosolidierugsebee für die Wertekotrolle...

Mehr

Versuch 1/1 POISSON STATISTIK Blatt 1 POISSON STATISTIK. 1. Vorbemerkung

Versuch 1/1 POISSON STATISTIK Blatt 1 POISSON STATISTIK. 1. Vorbemerkung Versuch 1/1 POISSON STATISTIK Blatt 1 POISSON STATISTIK Physikalische Prozesse, die eier statistische Gesetzmäßigkeit uterworfe sid, lasse sich mit eier Verteilugsfuktio beschreibe. Die Gauß-Verteilug

Mehr

LS Retail. Die Branchenlösung für den Einzelhandel auf Basis von Microsoft Dynamics NAV

LS Retail. Die Branchenlösung für den Einzelhandel auf Basis von Microsoft Dynamics NAV LS Retail Die Brachelösug für de Eizelhadel auf Basis vo Microsoft Dyamics NAV akquiet Focus auf das Wesetliche User Focus liegt immer auf der Wirtschaftlichkeit: So weig wie möglich, soviel wie ötig.

Mehr

Institut für Stochastik Prof. Dr. N. Bäuerle Dipl.-Math. S. Urban

Institut für Stochastik Prof. Dr. N. Bäuerle Dipl.-Math. S. Urban Istitut für tochastik Prof. Dr. N. Bäuerle Dipl.-Math.. Urba Lösugsvorschlag 9. Übugsblatt zur Vorlesug Fiazmathematik I Aufgabe Ei euartiges Derivat) Wir sid i eiem edliche, arbitragefreie Fiazmarkt,

Mehr

Reelle Folgen. Definition. Eine reelle Folge ist eine Abbildung f : N R. liefert ( 7 9, 37

Reelle Folgen. Definition. Eine reelle Folge ist eine Abbildung f : N R. liefert ( 7 9, 37 Reelle Folge Der Begriff der Folge ist ei grudlegeder Baustei der Aalysis, weil damit u.a. Grezprozesse defiiert werde köe. Er beschreibt de Sachverhalt eier Abfolge vo Elemete, wobei die Reihefolge bzw.

Mehr

Teil II Zählstatistik

Teil II Zählstatistik Teil II Zählstatistik. Aufgabestellug. Vergleiche Sie experimetelle Zählverteiluge mit statistische Modelle (POISSON-Verteilug ud Normalverteilug) 2. Theoretische Grudlage Stichworte zur Vorbereitug: Impulszahl,

Mehr

Beurteilung des Businessplans zur Tragfähigkeitsbescheinigung

Beurteilung des Businessplans zur Tragfähigkeitsbescheinigung Fachkudige Stellugahme Beurteilug des Busiessplas zur Tragfähigkeitsbescheiigug Name Datum Has Musterma 7. Oktober 2015 Wilfried Orth Grüdugsberatug Stadort Würzburg: Stadort Stuttgart: Waldleite 9a Möhriger

Mehr

Kapitel 9: Schätzungen

Kapitel 9: Schätzungen - 73 (Kapitel 9: chätzuge) Kapitel 9: chätzuge Betrachte wir folgedes 9. Beispiel : I eiem Krakehaus wurde Date über Zwilligsgeburte gesammelt. Bei vo 48 Paare hatte die beide Zwillige verschiedees Geschlecht.

Mehr

Beschreibende Statistik Kenngrößen in der Übersicht (Ac)

Beschreibende Statistik Kenngrößen in der Übersicht (Ac) Beschreibede Statistik Kegröße i der Übersicht (Ac) Im folgede wird die Berechugsweise des TI 83 (sowie vo SPSS, s. ute) verwedet. Diese geht auf eie Festlegug vo Moore ud McCabe (00) zurück. I der Literatur

Mehr

Übungen mit dem Applet erwartungstreu

Übungen mit dem Applet erwartungstreu Übuge mit dem Applet erwartugstreu Visualisierug vo erwartugstreu Begriffe ud statischer Hitergrud. Visualisieruge mit dem Applet..3. Zufallsstreuug der Eizelwerte...3. Mittelwerte 3.3 Variaz. 4.4 Variaz

Mehr

Empirische Verteilungsfunktion

Empirische Verteilungsfunktion KAPITEL 3 Empirische Verteilugsfuktio 3.1. Empirische Verteilugsfuktio Seie X 1,..., X uabhägige ud idetisch verteilte Zufallsvariable mit theoretischer Verteilugsfuktio F (t) = P[X i t]. Es sei (x 1,...,

Mehr

Wir verbessern jede Photovoltaik-Anlage!

Wir verbessern jede Photovoltaik-Anlage! Wir verbesser jede Photovoltaik-Alage! Kompetez durch Erfahrug Solarpark Katharierieth II 2.0 MWp Sichere Erträge seit 2011 eergizig a clea future Solarpark Westmill 5.0 MWp Solarpark Huge 2.9 MWp Solarpark

Mehr

4.1 Dezimalzahlen und Intervallschachtelungen. a) Reelle Zahlen werden meist als Dezimalzahlen dargestellt, etwa

4.1 Dezimalzahlen und Intervallschachtelungen. a) Reelle Zahlen werden meist als Dezimalzahlen dargestellt, etwa 20 I. Zahle, Kovergez ud Stetigkeit 4 Kovergete Folge 4. Dezimalzahle ud Itervallschachteluge. a) Reelle Zahle werde meist als Dezimalzahle dargestellt, etwa 7,304 = 0+7 +3 0 +0 00 +4 000. Edliche Dezimalzahle

Mehr

Ganzrationale Funktionen

Ganzrationale Funktionen Gazratioale Fuktioe 9. Defiitio gazratioaler Fuktioe Im Folgede werde ebe lieare ud quadratische Fuktioe auch solche betrachtet, bei dee die Variable i der dritte, vierte oder auch i eier och höhere Potez

Mehr