H. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Basiswissen Schleswig-Holstein. Übungsbuch für den Grund- und Leistungskurs mit Tipps und Lösungen

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1 H. Gruber, R. Neumann Erfolg im Mathe-Abi Basiswissen Schleswig-Holstein Übungsbuch für den Grund- und Leistungskurs mit Tipps und Lösungen

2 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Analysis 1 Von der Gleichung zur Kurve Aufstellen von Funktionen mit Randbedingungen Von der Kurve zur Gleichung Differenzieren Gleichungslehre Eigenschaften von Kurven Kurvendiskussion Allgemeines Verständnis von Funktionen Integralrechnung Extremwertaufgaben / Wachstums- und Zerfallsprozesse Weiterführende Aufgaben Analysis Analytische Geometrie 12 Rechnen mit Vektoren Geraden Ebenen Gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen Gegenseitige Lage zweier Ebenen Abstandsberechnungen Winkelberechnungen Spiegelungen Kreis und Kugeln LK: Pol, Polare und Polarebene Weiterführende Aufgaben Analytische Geometrie Stochastik 23 Grundlegende Begriffe Berechnung von Wahrscheinlichkeiten Kombinatorische Zählprobleme Wahrscheinlichkeitsverteilung von Zufallsgrößen Binomialverteilung Normalverteilung... 77

3 Inhaltsverzeichnis 29 Hypothesentests LK: Poissonverteilung LK: Hypergeometrische Verteilung Weiterführende Aufgaben Stochastik Tipps Lösungen Tabellen (Stochastik) Stichwortverzeichnis

4 1. Von der Gleichung zur Kurve Analysis 1 Von der Gleichung zur Kurve Tipps ab Seite 89, Lösungen ab Seite 137 Funktionale Betrachtungen Kenntnis grundlegender Funktionstypen. Skizze des Graphen einer Funktion aus dem Funktionsterm Tipp: Skizzieren Sie zuerst den Graph der zugehörigen Grundfunktion und anschließend schrittweise eine eventuelle Spiegelung, Streckung/Stauchung sowie die Verschiebungen in x-bzw. y-richtung. 1.1 Ganzrationale Funktionen Skizzieren Sie die Graphen folgender Funktionen und bestimmen Sie die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. a) f (x) = 2 1x + 1 b) f (x) = 3 4x c) f (x) = x + 1 d) f (x) = (x 1) 2 4 e) f (x) = x f) f (x) = (x + 1) g) f (x) = (x 1) Exponentialfunktionen Skizzieren Sie die Graphen von folgenden Funktionen und bestimmen Sie jeweils die Asymptote. a) f (x) = e x b) f (x) = e x c) f (x) = e (x 1) + 2 d) f (x) = e x Logarithmusfunktionen Skizzieren Sie die Graphen von folgenden Funktionen und geben Sie jeweils den Definitionsbereich und die Asymptoten an. a) f (x) = lnx + 2 b) f (x) = ln(x + 2) c) f (x) = lnx 1 d) f (x) = ln(x 1) Trigonometrische Funktionen Skizzieren Sie die Graphen von folgenden Funktionen und geben Sie jeweils die Periode an. a) f (x) = 2sinx b) f (x) = 1 2 cosx c) f (x) = sin(2x) d) f (x) = sin(2x) + 1 e) f (x) = sin(x + 1) f) f (x) = 1 2 sin(2x)

5 Tipps 1. Von der Gleichung zur Kurve Tipps Analysis 1 Von der Gleichung zur Kurve 1.1 Ganzrationale Funktionen Den Schnittpunkt mit der y-achse erhalten Sie durch Einsetzen von x = 0 in f (x), die Schnittpunkte mit der x-achse erhalten Sie durch Lösen der Gleichung f (x) = 0. Zuerst wird gespiegelt und gestreckt, anschließend verschoben (Reihenfolge beachten!). a) - c) Die Graphen sind Geraden. Hat eine Gerade die Gleichung y = mx + b, so ist b der y-achsenabschnitt und m die Steigung der Geraden. d) - g) Die Graphen sind Variationen der Graphen der beiden Grundfunktionen f (x) = x 2 (Parabel) oder g(x) = x 3 (kubische Parabel). Ist f (x) = a(x b) 2 + c bzw. g(x) = a(x b) 3 + c, so gibt es folgende Verwandlungen: a: Streckfaktor in y-richtung; a < 0: zusätzlich Spiegelung an der x-achse. b > 0 bzw. b < 0: Verschiebung nach rechts bzw. links. c > 0 bzw. c < 0: Verschiebung nach oben bzw. unten. 1.2 Exponentialfunktionen Zur Bestimmung der Asymptoten betrachten Sie f (x) für x ±. Die Graphen sind Variationen der Grundfunktionen f (x) = e x bzw. g(x) = e x. Ist f (x) = a e x b + c bzw. g(x) = a e (x b) + c, so gibt es folgende Verwandlungen: a: Streckfaktor in y-richtung; a < 0: zusätzlich Spiegelung an der x-achse. b > 0 bzw. b < 0: Verschiebung nach rechts bzw. links. c > 0 bzw. c < 0: Verschiebung nach oben bzw. unten. 1.3 Logarithmusfunktionen Zur Bestimmung des Definitionsbereichs müssen Sie beachten, dass das Argument der Logarithmusfunktion (der Ausdruck in der Klammer) stets positiv sein muss. Ist f (x) = a ln(x b) + c, so gibt es folgende Verwandlungen: a: Streckfaktor in y-richtung; a < 0: zusätzlich Spiegelung an der x-achse. b > 0 bzw. b < 0: Verschiebung nach rechts bzw. links. c > 0 bzw. c < 0: Verschiebung nach oben bzw. unten. 1.4 Trigonometrische Funktionen Die Graphen sind Variationen der Grundfunktionen f (x) = sin x bzw. g(x) = cos x. Ist f (x) = a sin(b (x c)) + d bzw. g(x) = a cos(b (x c)) + d, so gibt es folgende Verwandlungen: 89

6 2. Aufstellen von Funktionen mit Randbedingungen Tipps a: Streckfaktor in y-richtung; a < 0: zusätzlich Spiegelung an der x-achse. b: Streckfaktor in x-richtung. c > 0 bzw. c < 0: Verschiebung nach rechts bzw. links. d > 0 bzw. d < 0: Verschiebung nach oben bzw. unten. Periode: p = 2π b. 2 Aufstellen von Funktionen mit Randbedingungen 2.1 Ganzrationale Funktionen Für alle ganzrationalen Funktionen gilt: Parabel 2. Grades: f (x) = ax 2 + bx + c Zur y-achse symmetrische Parabel 2. Grades: f (x) = ax 2 + b Parabel 3. Grades: f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d Zum Ursprung punktsymmetrische Parabel 3. Grades: f (x) = ax 3 + bx Zum Aufstellen der Funktionen: 1. Bilden Sie die 1. und 2. Ableitung des jeweiligen Ansatzes (dies ist nicht nötig, falls es keine Angaben über die Steigung oder über die Extrempunkte gibt). 2. Verwenden Sie die Bedingungen der Kurvendiskussion: Schnittpunkt mit der x-achse: f (x) = 0 Schnittpunkt mit der y-achse: x = 0 Extrempunkt: f (x) = 0 Wendepunkt: f (x) = 0 3. Sie brauchen so viele Gleichungen wie Unbekannte! Stellen Sie die Gleichungen auf und lösen Sie sie nach den Parametern (a, b, c,...) auf. 2.2 Exponentialfunktionen Stellen Sie zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten auf, dazu müssen Sie eventuell noch ableiten. 2.3 Trigonometrische Funktionen Eine verallgemeinerte Sinusfunktion hat die Gleichung f (x) = a sin(b (x c)) + d. Die Eigenschaften des Graphen und die Koeffizienten a, b, c, d hängen dabei folgendermaßen zusammen: 90 Streckfaktor in y-richtung: a

7 Lösungen 1. Von der Gleichung zur Kurve Lösungen Analysis 1 Von der Gleichung zur Kurve 1.1 Ganzrationale Funktionen a) f (x) = 2 1x + 1 Schnittpunkt mit der y-achse: f (0) = = 1 S(0 1) Schnittpunkt mit der x-achse: f (x) = 0 bzw. 1 2x + 1 = 0 führt zu x = 2 N( 2 0) Es handelt sich um eine Gerade mit y-achsenabschnitt b = 1 und Steigung m = 2 1. b) f (x) = 3 4 x Schnittpunkt mit der y-achse: f (0) = = 0 S(0 0) Schnittpunkt mit der x-achse: f (x) = 0 bzw. 3 4x = 0 führt zu x = 0 N(0 0). Es handelt sich um eine Ursprungsgerade (Gerade durch den Koordinatenursprung) mit y-achsenabschnitt b = 0 und Steigung m = 3 4. c) f (x) = x + 1 Schnittpunkt mit der y-achse: f (0) = = 1 S(0 1) Schnittpunkt mit der x-achse: f (x) = 0 bzw. x + 1 = 0 führt zu x = 1 N(1 0) Es handelt sich um eine Gerade mit y-achsenabschnitt b = 1 und Steigung m = 1. a) g 1 : f (x) = 1 2 x + 1, b) g 2: f (x) = 3 4 x c) g 3: f (x) = x + 1 d) f (x) = (x 1) 2 4 Schnittpunkt mit der y-achse: f (0) = (0 1) 2 4 = 3 S(0 3) Schnittpunkt mit der x-achse: f (x) = 0 bzw. (x 1) 2 4 = 0 führt zu x 1 = 3, x 2 = 1 N 1 (3 0), N 2 ( 1 0). Es handelt sich um eine Normalparabel, die um eine LE nach rechts und 4 LE nach unten verschoben wurde, d.h. eine nach oben geöffnete Normalparabel mit Scheitel bei (1 4). e) f (x) = x Schnittpunkt mit der y-achse: f (0) = = 4 S(0 4) Schnittpunkt mit der x-achse: f (x) = 0 bzw. x = 0 führt zu x 1 = 2, x 2 = 2 N 1 (2 0), N 2 ( 2 0). 137

8 1. Von der Gleichung zur Kurve Lösungen Es handelt sich um eine Normalparabel, die an der x-achse gespiegelt und dann um vier LE nach oben verschoben wurde, d.h. eine nach unten geöffnete Normalparabel mit Scheitel (0 4). d) f (x) = (x 1) 2 4 e) f (x) = x f) f (x) = (x + 1) Schnittpunkt mit der y-achse: f (0) = (0 + 1) = 0 S(0 0) Schnittpunkt mit der x-achse: f (x) = 0 bzw. f (x) = (x + 1) = 0 führt zu x 1 = 0, x 2 = 2 N 1 (0 0), N 2 ( 2 0). Es handelt sich um eine Normalparabel, die an der x-achse gespiegelt und anschließend um eine LE nach links und eine LE nach oben verschoben wurde, d.h. eine nach unten geöffnete Normalparabel mit Scheitel ( 1 1). g) f (x) = (x 1) Schnittpunkt mit der y-achse: f (0) = (0 1) = 0 S(0 0) Schnittpunkt mit der x-achse: f (x) = 0 bzw. f (x) = (x 1) = 0 führt zu x = 0 N(0 0). Es handelt sich um eine kubische Parabel, die um eine LE nach rechts und eine LE nach oben verschoben wurde. f) f (x) = (x + 1) g) f (x) = (x 1)

9 Lösungen 1. Von der Gleichung zur Kurve 1.2 Exponentialfunktionen a) f (x) = e x Asymptote: x führt zu y = 1 (waagerechte Asymptote). Der Graph der Funktion g(x) = e x wurde um eine LE nach rechts und eine LE nach oben verschoben. b) f (x) = e x Asymptote: x führt zu y = 1 (waagerechte Asymptote). Der Graph der Funktion g(x) = e x wurde an der x-achse gespiegelt und anschließend um eine LE nach rechts und eine LE nach oben verschoben. c) f (x) = e (x 1) + 2. Asymptote: x führt zu y = 2 (waagerechte Asymptote). Der Graph der Funktion g(x) = e x wurde um eine LE nach rechts und zwei LE nach oben verschoben. d) f (x) = e x+1 +1 = e (x 1) +1. Asymptote: x führt zu y = 1 (waagerechte Asymptote). Der Graph der Funktion g(x) = e x wurde an der x-achse gespiegelt und anschließend um eine LE nach rechts und eine LE nach oben verschoben. a) f (x) = e x b) f (x) = e x c) f (x) = e (x 1) + 2 d) f (x) = e x

10 1. Von der Gleichung zur Kurve Lösungen 1.3 Logarithmusfunktionen a) f (x) = lnx + 2. Definitionsbereich: x > 0, senkrechte Asymptote: x = 0. Der Graph der Funktion g(x) = lnx wurde um zwei LE nach oben verschoben. b) f (x) = ln(x + 2). Definitionsbereich: x + 2 > 0 führt zu x > 2, senkrechte Asymptote: x = 2. Der Graph der Funktion g(x) = lnx wurde um zwei LE nach links verschoben. c) f (x) = lnx 1. Definitionsbereich: x > 0, senkrechte Asymptote: x = 0. Der Graph der Funktion g(x) = ln x wurde an der x-achse gespiegelt und anschließend um eine LE nach unten verschoben. d) f (x) = ln(x 1)+1. Definitionsbereich: x 1 > 0 führt zu x > 1, senkrechte Asymptote: x = 1 Der Graph der Funktion g(x) = ln x wurde an der x-achse gespiegelt und anschließend um eine LE nach rechts und eine LE nach oben verschoben. a) f (x) = lnx + 2 b) f (x) = ln(x + 2) 140 c) f (x) = lnx 1 d) f (x) = ln(x 1) + 1

11 Lösungen 1. Von der Gleichung zur Kurve 1.4 Trigonometrische Funktionen a) f (x) = 2sinx. Periode: p = 2π 1 = 2π. Der Graph der Funktion g(x) = sinx wurde mit Faktor 2 in y-richtung gestreckt. b) f (x) = 2 1 cosx. Periode: p = 2π 1 = 2π. Der Graph von g(x) = cosx wurde mit Faktor 1 2 in y-richtung gestaucht (bzw. gestreckt). a) f (x) = 2sinx b) f (x) = 1 2 cosx c) f (x) = sin(2x). Periode: p = 2π 2 = π. Der Graph der Funktion g(x) = sinx wurde mit Faktor 2 in x-richtung gestaucht. d) f (x) = sin(2x) + 1. Periode: p = 2π 2 = π. Der Graph der Funktion g(x) = sinx wurde an der x-achse gespiegelt, mit Faktor 2 in x- Richtung gestaucht und um eine LE nach oben verschoben. c) f (x) = sin(2x) d) f (x) = sin(2x) + 1 e) f (x) = sin(x + 1). Periode: p = 2π 1 = 2π. Der Graph der Funktion g(x) = sinx wurde um eine LE nach links verschoben. f) f (x) = 1 2 sin(2x) Periode: p = 2π 2 = π. Der Graph der Funktion g(x) = sin x wurde in x-richtung mit Faktor 2 und in y-richtung mit Faktor 2 1 gestaucht, anschließend wurde es um 3 2 LE nach oben verschoben. e) f (x) = sin(x + 1) f) f (x) = 1 2 sin(2x)