Halbleiter II. x 1 2 e ax dx = Γ ( ) verwendet werden. Außerdem gilt. 1. intrinsische Halbleiter. 4π 2 ( 2m. k b T ) a

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1 Übuge zu Materialwisseschafte I Prof. Alexader Holleiter Übugsleiter: Jes Repp / ric Parziger Kotakt: jes.repp@wsi.tum.de / eric.parziger@wsi.tum.de Blatt 4, Besprechug: Halbleiter II. itrisische Halbleiter I der Näherug eies kostate Potetials sid die ergieeigewerte freier lektroe gegebe durch = 2 k 2 /2m. Durch die Radbedigug eies edliche Kristalls wird die Zahl der erlaubte Wellevektore k eigeschräkt. Die diskrete Wellevektore sid für eie kubische Kristall mit Würfelkateläge L gegebe durch k i = 2π L m i, mit i = x, y, z ud m i N. a Die erlaubte Wellevektore sid gleichmäßig im Impulsraum verteilt ud habe die Dichte ϱ k = V/2π 3. Zeige Sie, idem Sie über Fläche kostater ergie itegriere, dass die Zustadsdichte der lektroe gegebe ist durch Z = V 4π 2 2m 2 3/2 b i Halbleiter habe die Badlücke g. Leite Sie, ausgehed vo der Zustadsdichte i a, eie Ausdruck für die Azahl der lektroe im Leitugsbad i Abhägigkeit der emperatur her. Hiweis: für > f darf für die Fermi-Fuktio die Näherug F = exp f k b verwedet werde. Außerdem gilt x 2 e ax dx = Γ 2 + a 2 + = π 2a 3 2

2 2. dotierte Halbleiter Auf dem folgede Bild ist die emperaturabhägigkeit der lektroekozetratio eies dotierte Silizium-Kristalls dargestellt: l III II I a rkläre Sie qualitativ die physikalische Ursache für de Verlauf der lektroekozetratio i de eizele Bereiche ud gebe Sie jeweils Näherugsformel zur Berechug der Ladugsträger im Leitugsbad a. b Bereche Sie die Ladugsträgerkozetratio im Leitugsbad bei K ud bei 3K für de Fall, dass der Silizium-Kristall g 3K =.2eV mit Arse d = 5 cm 3, d = 54meV dotiert ist. Die effektive Masse beträgt m e =.m e. Lösug. Itrisische Halbleiter a Die Zustadsdichte Z ist eie physikalische Größe, die agibt, wie viele Zustäde pro ergieitervall [, +d] existiere. Sie lässt sich bereche, idem ma die Dichte der Zustäde im k-raum über Fläche kostater ergie itegriert: Zd = +d ϱ k d 3 k Um das Itegral ausführe zu köe, drücke wir das Volumeelemet durch d 3 k = dk ds aus. Zd = ϱ k +d dk ds Hierbei steht ds für das lemet der Fläche S ud dk für de Abstad der beide Fläche S k ud S k+s k + dk. Zum Umforme vo dk beutze wir die 2

3 Defiitio der Gruppegeschwidigkeit v g = d = k, die beim freie lektroegas dk m icht vo der Richtug abhägt. Somit folgt: dk = d v g. I das Itegral eigesetzt ergibt Zd = ϱ k v g d =kost. ds Im hier betrachtete Fall eies isotrope Festkörpers ist die Fläche kostater ergie im reziproke Raum die Oberfläche eier Kugel ud das Oberflächeitegral ergibt ds = 4πk 2. Für die Zustadsdichte Z folgt somit der Ausdruck Z = V m 2π 3 k 4πk2 = V 2m 3/2 4π 2 2 tspreched dem Pauli-Prizip ka jeder Zustad mit zwei lektroe uterschiedlicher Spirichtug besetzt werde. b Um die Azahl der ageregte lektroe i Abhägigkeit der emperatur zu bereche wird über das Produkt aus Zustadsdichte des Leitugsbades ud Fermiverteilug itegriert: N = 2 Zf wobei der Faktor 2 die Spietartug berücksichtigt. Mit dem rgebis aus a ud der Näherug für die Fermiverteilug folgt: V N = 2 2m 3 4π exp F k B d V N = 2 2m 3 2 exp F 4π 2 2 k B exp k B d ud mit x 2 e ax dx = Γ 2 + a 2 + N = V 2mkB 3 2 exp F 4 π 2 k B = π 2a 3 2 schließlich Bei itrisische Halbleiter liegt die Fermieergie geau i der Mitte der Badlücke, somit gilt: F = g /2. Damit wird der Ausdruck für N zu N = V 2mkB 3 2 exp g 4 π 2 2k B Für Halbleiter muss die effektive Masse verwedet werde, deswege wird m m m m. Für die Azahl der lektroe pro Volumeeiheit e = N/V ergibt sich somit e = 4 2mkB 3 2 π 2 3 m 2 m e = m 2 m Dotierte Halbleiter exp g 2k B exp g 2k B Werde Halbleiter dotiert, so ka ei lektro im Leitugsbad aus eier positiv ioisierte Doatorstörstelle bzw. ei Loch im Valezbad aus eier egativ ioisierte 3

4 Akzeptorstörstelle stamme. Die Lage der ergieiveaus vo Doatore ud Akzeptore ist i eiem dotierte Halbleiter bezüglich der Uterkate des Leitugsbades bzw. Oberkate des Valezbades ist im folgede Bild dargestellt: -Halbleiter p-halbleiter L L D d a A v v x x I eiem homogee Halbleiter muss die egative Ladugsträgerdichte durch eie positive Ladugsträgerdichte ausgegliche werde. Die etsprechede Neutralitätsbedigug hat folgede Darstellug: + A = p + + D wobei gilt: A = A + A D = D + + D Das folgede Bild zeigt eie schematische Darstellug der Bezeichuge. 4

5 L D + D D D = D + + D A A - A A = A - + A V + + p Da hier mit Arseatome, d.h. mit Doatoratome dotiert wurde, ist folglich A =. Wir ehme a, dass die Leitfähigkeit des Halbleiters lediglich durch die Doatore bestimmt wird. Somit köe wir + D setze. Nu muss eie Darstellug für die Kozetratio positiv ioisierter Doatorstelle gefude werde. Aus der Defiitio der Fermi-Verteilug folgt: + D D = bzw. F exp D k B + + D = D exp F D k B + wobei D die eergetische Lage des Doatoriveaus agibt. Aalog zu Aufgabe ka ei Ausdruck für die lektroekozetratio im Leitugsbad gefude werde: = exp mit = 2 m e k B 2π 2 F L k B L gibt die Lage des Leitugsbades a folgt zuächst: exp F k b = exp L k B Wird diese Darstellug i die Gleichug für + d eigesetzt ud berücksichtigt, dass + D ist, so erhalte wir = D + exp d k B 5

6 wobei für d gilt: d = L D siehe obige Grafik. Daraus erhalte wir eie quadratische Gleichug i : 2 exp d k B + D =, die eie physikalisch sivolle Lösug der Form = 2 D + +4 D exp d k B besitzt. Der Bereich I ist das Gebiet der sog. Störstellereserve, i dem zuächst die Doatore etleert werde. Für kleie emperature gilt: 4 D exp d k B. Die Gleichug zur Berechug der Ladugsträgerkozetratio im Leitugsbad vereifacht sich somit zu = D exp. d 2 B Der Astieg der Kurve im Abschitt ist somit proportioal zu d /2. Der Kurveteil II beschreibt die sog. Störstelleerschöpfug. Alle lektroe der Doatoratome sid is Leitugsbad übergegage. Um zusätzliche lektroe aus dem Valezbad is Leitugsbad zu hebe, reicht jedoch die thermische ergie k B i dem emperaturbereich icht aus. Da 4 D exp d k B ist, folgt für die Ladugsträgerkozetratio im Leitugsbad = 2 D + = D = kost. Im Bereich III der Abbildug liegt schließlich igeleitug vor, i dem durch die thermische ergie zusätzliche lektroe aus dem Valezbad agehobe werde. Für die Ladugsträgerkozetratio gilt: = p = 2 k B 3 2 m 2π 2 e m 3 4 p exp G 2k B Der Astieg der Kurve im Bereich III ist somit proportioal zu G /2. Für eie emperatur vo K ergibt sich im Bereich der Störstellereserve eie Ladugsträgerkozetratio vo 6

7 = 2 D 3 m e k B 2 exp 2π 2 d 2k B = 5, 43 7 m 3 Berechet ma die Kozetratio der lektroe bei 3 K Störstelleerschöpfug erhalte wir wege = D de Wert 2 m 3. 7

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