Vorlesung Statistik WING ASW Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 1

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1 Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 1

2 Aus diesen Eigenschaften lassen sich alle weiteren Eigenschaften ableiten: Beweis zu 1) Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 2

3 Aufgabe Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Bewerber von Firma A angenommen wird, ist P(A) = 0,2. Die Wahrscheinlichkeit von Firma B angenommen zu werden beträgt P(B) = 0,3. Von mindestens einer der beiden Firmen wird man mit der Wahrscheinlichkeit 0,4 angenommen. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, von keiner der beiden Firmen eine Zusage zu erhalten? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, ausschließlich von Firma B eine Zusage zu bekommen? Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 3

4 Aufgabe Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 4

5 Aufgabe Das Gerät funktioniert, wenn mindestens eine Reihe funktioniert. Eine Reihe funktioniert, wenn alle Bauelemente der Reihe funktionieren. Es sei folgendes bekannt: 5 % aller Bauelemente vom Typ B 1 sind defekt bei 90% aller Geräte sind sowohl B 2 als auch B 3 OK bei 87% aller Geräte sind alle 3 Bauelemente B 1,B 2, B 3 OK. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass G funktioniert und wieviel % aller Geräte sind defekt? Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 5

6 Wo bekommen wir diese gegebenen Wahrscheinlichkeiten her? Dafür gibt es zwei Möglichkeiten: in Glücksspielen oder Laplace Versuchen: Wahrscheinlichkeiten können exakt als Chance des Durchführung von V ermittelt werden Eintretens von A bei die Wahrscheinlichkeit P(A) kann mit Hilfe der beobachteten relativen Häufigkeit h n(a) abgeschätzt werden: > Stabilität der relativen Häufigkeit Das bedeutet: macht man den Versuchsumfang n sehr groß (ideal: ), so pegelt sich die relative Häufigkeit stets auf den selben festen Wert ein, und zwar auf P(A). Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 6

7 Experiment A h n (A) Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 7

8 P(A) = 1/6 > P(A) P(A) = 1/6 ~ 0,167 bedeutet auch, > P(A) Umgekehrt liefert eine beobachtete relative Häufigkeit einen Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit des betrachteten Ereignisses. Je größer dabei n ist, desto genauer ist dieser Schätzwert für P(A). Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 8

9 1.2 Der klassische Wahrscheinlichkeitsbegriff Laplace Versuche Wahrscheinlichkeiten in Glücksspielen endlich viele, gleichwahrscheinliche Versuchsausgänge Definition: Sei V ein zufälliger Versuch mit Dann heißt V Laplace Versuch oder Glücksspiel. Satz: (Klassische Wahrscheinlichkeit in Laplace Versuchen) Sei V ein Laplace Versuch mit der Grundmenge Dann gilt: Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 9

10 Bsp.: Spielregeln: Ziehen einer zufälligen Zahl zwischen 1 und 50 (inkl.) Einsatz: 5 Ist die Zahl durch 6 oder 8 teilbar, so gewinnt man 20 Frage: Würden Sie dieses Spiel spielen? Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 10

11 Kombinatorik Beispiel: V = Werfen von 2 Würfeln Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für a) Genau eine Sechs wird geworfen? b) Mindestens eine Sechs wird geworfen? c) Höchstens eine Sechs wird geworfen? Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 11

12 Bsp.: Ein Los von 200 LED s enthält 120 rote und 80 grüne LED s. Von den roten LED s haben die Hälfte eine dreieckige Form, die anderen sind rund. Insgesamt gibt es 110 dreieckige LED s unter allen 200 Stück. Aus dem Los der 200 LED s wird zufällig eine (zur Qualitätskontrolle) herausgezogen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, a) dass sie rot ist, b) dass sie eine runde rote oder eine grüne ist, c) dass sie grün ist, d) dass sie grün und dreieckig ist. rot grün rund dreieckig Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 12

13 Bsp.: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für A = 6 Richtige beim Lotto 6 aus 49? Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 13

14 Bsp: Aus den Buchstaben "A", "U", "T" und "O" wird zufällig der Reihe nach ein Buchstabe ausgewählt und zu einem Wort gelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "AUTO"? Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 14

15 Bsp.: Ein Zahlencode besteht aus 6 Ziffern, die jeweils zwischen 1 und 9 (inkl.) liegen. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, diesen Code zu erraten? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, diesen Code zu erraten, wenn bekannt ist, dass alle Ziffern verschieden sind? Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 15

16 1.3.1 Die bedingte Wahrscheinlichkeit Bsp.: Ziehen aus einer Urne: nacheinander und ohne Zurücklegen Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür: a) beim ersten Zug eine rote Kugel zu ziehen? b) beim ersten Zug eine grüne Kugel zu ziehen? c) beim zweiten Zug eine rote Kugel zu ziehen? d) beim zweiten Zug eine rote Kugel zu ziehen, falls beim ersten Zug eine grüne Kugel gezogen wurde? Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 16

17 Bsp.: Werfen eines Spielwürfels. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass a) eine Sechs geworfen wurde? b) eine Sechs geworfen wurde, falls wir folgende Zusatzinfo erhalten: es wurde eine gerade Zahl geworfen? Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 17

18 Definition: Sei V ein zufälliger Versuch mit der Grundmenge und dem Ereignisfeld. Seien zwei beliebige Ereignisse zu V mit P(B)>0. Dann heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B. Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 18

19 Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 19

20 Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 20

21 Verbundwahrscheinlichkeiten Multiplikationssatz: Sei V ein zufälliger Versuch mit der Grundmenge Ereignisfeld. Seien beliebige Ereignisse. Dann gilt: und dem Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 21

22 Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 22

23 Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 23

24 Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen Bsp.: Werfen eines Spielwürfels 2x hintereinander. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass a) beim zweiten Mal eine Sechs geworfen wurde? b) beim zweiten Mal eine Sechs geworfen wurde, falls wir folgende Zusatzinfo erhalten: es wurde beim ersten Wurf eine Fünf geworfen? Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 24

25 Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen Definition Zwei Ereignisse A und B heißen stochastisch unabhängig, falls gilt: Folgerung: Seien A und B stochastisch unabhängig, dann gelten folgende Beziehungen: Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 25

26 Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 26

27 Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 27

28 Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 28

29 Vermischte Aufgaben Aufgabe 1 Sei V der zufällige Versuch "Roulette". Die möglichen Ergebnisse beim Roulette sind die Zahlen 0; 1; 2;... ; 36 (alle gleichwahrscheinlich). Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass ein Spieler gewinnt, wenn er a) auf das erste Dutzend (Zahlen 1 12) setzt? b) auf eine rote Zahl setzt? c) auf "impair" (=ungerade) setzt? Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 29

30 Aufgabe 2 Sei V der zufällige Versuch "Ziehen einer Karte aus einem Spiel von 32 Karten". Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse: a) Es wird eine Herzkarte gezogen. b) Es wird eine Bildkarte gezogen. c) Es wird eine Bildkarte oder eine Kreuzkarte gezogen. Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 30

31 Aufgabe 3 Sei V der zufällige Versuch "Würfeln mit 2 Würfeln". a) Geben Sie die Ergebnismenge an. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse: 1) Werfen zweier Vierer 2) Werfen zweier ungerader Zahlen 3) Werfen zweier unterschiedlicher Zahlen 4) Werfen von genau einer Sechs. 5) Werfen von mindestens einer Sechs. 6) Die Augensumme der geworfenen Augenzahlen ist 5 oder 9. Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 31

32 Aufgabe 4 Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 32

33 Aufgabe 5 Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 33

34 Aufgabe 6 Eine Firma bezieht jeweils 40 % und 60% von benötigten Teilen von 2 verschiedenen Zulieferern Z1 und Z2. Über die Ausschussrate (Anteil der defekten Teile unter den gelieferten) sei bekannt, dass sie bei Z1 1%, bei Z2 0,5 % beträgt. a) Wie viel % Ausschuss (Ereignis B) erhält die Firma insgesamt? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt ein defektes Teil von Z1? Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 34

35 Aufgabe 7 Sei X die zufällige Lebensdauer eines Bauteils und es gelte P(X > 200h) = 0,4 sowie P(X > 100h) = 0,7. Wieviel % aller Bauteile, die länger als 100h leben überleben auch 200 h? Sind die beiden Ereignisse X>100 h und X> 200h stochastisch unabhängig voneinander? Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 35

36 Aufgabe 8 Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 36

37 Aufgabe 9 Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 37

38 Aufgabe 10 Es sei bekannt, dass bei 95 % aller defekten Geräte, eine eingebaute LED nicht aufleuchtet, wärend das nur bei 1 % aller Geräte der Fall ist, die O.K. sind. Die Funktionsfähigkeit eines Gerätes wird nun anhand dieser kleinen LED geprüft. Leuchtet die LED, so wird das Gerät al O.K. eingestuft, leuchtet sie nicht, so wird das gerät als defekt eingestuft. Man weiß aus früheren Untersuchungen, dass 0,5 % aller Geräte defekt sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass a) ein Gerät, welches als O.K. eingestuft wurde, in Wirklichkeit defekt ist? b) ein Gerät, welches als defekt eingestuft wurde, in Wirklichkeit O.K. ist? Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 38

39 Aufgabe 11 Eine Spedition beschäftigt 2 Fahrer, Paul und Anton. Paul fährt 40% aller Touren und Anton 60%. Ab und zu passiert ein Unfall. Die Wahrscheinlichkeit, dass Paul in einen Unfall verwickelt ist, beträgt 0,01 und bei Anton ist diese Wahrscheinlichkeit 0,005. a) Der Spediteur erhält die Nachricht, dass einer seiner LKW s in einen Unfall verwickelt wurde. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Fahrer Anton? b) Sind die beiden Ereignisse: Es ist ein Unfall passiert und der Fahrer ist Anton voneinander stochastisch unabhängig? Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 39

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