Vektorgeometrie. mathenachhilfe.ch. Version: 28. Dezember 2007 (Bitte nur für den Eigengebrauch verwenden) 1. Mathematische Operationen für Vektoren

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1 Vektorgeometrie Version: 28. Dezemer 2007 Bitte nur für den Eigengerauch verwenden) mathenachhilfe.ch. Mathematische Operationen für Vektoren Addition + a + 3 = a Sutraktion a 3 = a 3 Skalare Multiplikation Betrag λ λ a = λ a λ λ = a = a a Der Betrag von Vektor ist gerade die Länge dieses Vektors. Skalarprodukt a 3 = a α Mit Hilfe des Skalarprodukts kann man Winkel zwischen 2 Vektoren erechnen. cosα = Wichtig: = 0! nur 3D! Vektorprodukt a 3 = 3 a 3 a F, = F Wichtige Anwendungen: Normalvektor einer Eene A,, c): n = c Dreiecksfläche: F = 2 AB AC Astand Gerade A, ) und Punkt P): d =, kolinear = 0 AP

2 ! nur 3D! Spatprodukt [, ] [, c, ], c = ) c = a c c 2 3 c 3 Spat c Volumen des Spat: V = ) c Wichtige Anwendungen: Volumen eines Tetraeders: V = ) 6 AB AC AD Astand von 2 Geraden g A, ) und h C, d): d = d) AC d Gesetze für die Grundoperationen Kommutativgesetz + = + Assoziativgesetz + ) ) + c =+ + c λ µ) = λµ ) Distriutivgesetz λ + ) = λ +λ λ+µ) = λ +µ Gesetze für das Rechnen mit dem Skalarprodukt Kommutativgesetz = ) Assoziativgesetz λ ) = λ ) Distriutivgesetz + c = + c Quadrat = = 2! nur 3D! Gesetze für das Rechnen mit dem Vektorprodukt Kommutativgesetz gilt nicht, aer: = Assoziativgesetz gilt nicht allgemein ) Distriutivgesetz + c = + c ) ) = ) Gesetze für das Rechnen mit dem Spatprodukt [ Zklische Permutation,, ] [ ] [ =, c, = c,, ] [ = c, ] [ ] [, =,, c =, c, ] [, ] [,z c = z, ], c [ +, c, d ] [ =, c, d ] [ ] +, c, d

3 2. Vektoren und Punkte Ortsvektoren: Zusammenhang zwischen Punkten und Vektoren Aa / / ) r A = a r A = 0A = a a 3 Vektor zwischen zwei Punkten Aa / / ) B / / 3 ) AB = r B r A = a 3 Länge eines Vektors =Betrag) = a = a a B / / 3 ) Aa / / ) r A = 0A = a 0 AB = r B r A Aa / / ) Der Betrag von Vektor ist gerade die Länge dieses Vektors. Astand zwischen zwei Punkten Aa / / ) AB = A AB = a ) 2 + ) ) 2 B / / 3 ) AB = AB B Mittelpunkt M einer Strecke AB Aa / / ) B / / 3 ) r M = 0M = 2 r A + r B ) A M B Schwerpunkt S eines Dreiecks ABC C Aa / / ) B / / 3 ) Cc /c 2 /c 3 ) r S = 0S = 3 r A + r B + r C ) A S B Winkel zwischen 2 Vektoren, cosϕ = ϕ Wichtige Anwendungen: Winkel zwischen zwei Geraden g A, ) und h C, d): cosϕ = d d Winkel zwischen Gerade g A, ) und Eene E C, n): sinϕ = n n Winkel zwischen Eene E A, n ) und E 2 B, n 2 ): n cosϕ = n 2 n n 2

4 Einheitsvektoren Vektor mit Länge ) e = e = Parallele kollineare) Vektoren, Zwei Vektoren sind genau dann kollineargleiche oder entgegengesetzte Richtung), wenn sie Vielfache voneinander sind: = 2 c λ c, kollinear = λ Senkrechte normale) Vektoren, genau dann wenn = 0 Senkrechte Vektoren produzieren im 2-Dimensionalen: ) ) ) a a2 a2 =, a a = 0 Senkrechte Vektoren produzieren im 3-Dimensionalen: = a, 0, 0, 0, a, a a a 0 0

5 3. Die Gerade Parameterdarstellung der Geraden Startpunkt: Aa / / ) Richtung: g : z g : r = r A +t = a +t 3 g : r = r A +t Aa / / ) 0 r A = 0A = a Koordinatengleichung der Geraden ) a Normalvektor zu g: n = g : a+ +c = 0 Punkt auf g: P p /p 2 ) ) a n = P p /p 2 ) g : a+ +c = 0 HNF Hesse Normalform, spezielle Form der Koordinatengleichung), Astand Punkt-Gerade g : a++c = 0 P p /p 2 ) HNF g : a++c a2 + = 0 d = HNF g P) = a p + p 2 +c a2 + P p /p 2 ) d = a p+ p2+c a2 + g : a++c = 0 n HNF g > 0 HNF g < 0! nur 2D! Achsenaschnittsgleichung spezielle Form der Koordinatengleichung) Achsenaschnittsgleichung: g : a++c = 0 a + = B0/) g : a + = Aa/0),B0/) sind die Aa/0) Achsenaschnitte Eplizite Darstellung Lineare Funktion) P / ) Q 2 / 2 ) g : = m+q Steigung: m = 2 2 -Achsenaschnitt: q Senkrechte Steigung: m = m Winkel zwischen g und h: tanγ = m h m g +m g m h m = 2 2 g : = m+q P / ) q Q 2 / 2 ) 2 2 Zusammenhang zwischen Richtungvektor, Normalenvektor n und Steigung m ) ) ) a 2 g : r = r A +t n = = = g : a+ +c = 0 ) ) ) = = = g : = m+q a a n = ) = ) m = = = a

6 4. Die Eene Parameterdarstellung der Eene Startpunkt: Aa / / ) 2 Richtungen:, c g : z Koordinatengleichung der Eene Normalvektor zu E: n = a c Punkt auf E: P p /p 2 /p 3 ) = g : r = r A +λ +µ c a +λ +µ c 3 E : a+ +cz +d = 0 c 2 c 3 Aa / / ) c r A = 0A = 0 n = a c E : r = r A +λ +µ c P p /p 2 /p 3 ) a E : a+ +cz +d = 0! nur 3D! HNF Hesse Normalform, spezielle Form der Koordinatengleichung), Astand Punkt-Eene E : a++cz+d = 0 P p /p 2 /p 3 ) HNF E : a+ +cz +d a2 + +c 2 = 0 d = HNF E P) = a p + p 2 +c p 3 +d a2 + +c 2 d = a p+ p2+c p3+d a2 + +c 2 P p /p 2 /p 3 ) E : a+ +cz +d = 0 Achsenaschnittsgleichung spezielle Form der Koordinatengleichung) E : a++cz+d = 0 Achsenaschnittsgleichung: a + + c z = Aa/0/0),B0//0),C0/0/c) sind die Achsenaschnitte Aa/0/0) C0/0/c) z n B0//0) HNF E > 0 HNF E < 0 E : a + + c z = Zusammenhang zwischen den Richtungvektoren, c und dem Normalenvektor n E : r = r A +λ +µ c E : r = r A +λ +µ c n E : a++cz+d = 0 n = c ist ein Normalvektor E : a+ +cz +d = 0 c n = a ist ein Normalvektor c 0 c, c 0, a sind Richtungsvektoren a 0

7 5. Der Kreis Mittelpunktsgleichung Mittelpunkt: M u/v) Radius: r k : u) 2 + v) 2 = r 2 k : u) 2 + v) 2 = r 2 P /) r v M u/v) u Ausmultiplizierte Form der Kreisgleichung k : a+ +c = 0 Mittelpunkt: M u/v) k : a+ +c = 0 r! nur 2D! Radius: r und es gilt: u = v = r 2 = a2 + 4c 4 > 0 M u/v) Polare p eines Kreises k ezüglich des Punkts P p q k : u) 2 + v) 2 = r 2 p : p u) u)+p 2 v) v) = r 2 T zw. k : a++c = 0 zw. p : p +p ap +)+ 2 p 2 +)+c = 0 P M Q P p /p 2 ) k T 2

8 6. Die Kugel Mittelpunktsgleichung Mittelpunkt: M u/v/w) Radius: r k : u) 2 + v) 2 +z w) 2 = r 2 z k : u) 2 + v) 2 +z w) 2 = r 2 P //z) r z w M u/v/w) v u Ausmultiplizierte Form der Kreisgleichung Mittelpunkt: M u/v/w) k : z 2 +a+ +cz +d = 0 und es gilt: Radius: r z k : z 2 +a+ +cz +d = 0 r M u/v/w) u = v = w = c 2! nur 3D! r 2 = a2 + +c 2 4d 4 Polareene p einer Kugel k ezüglich des Punkts P > 0 k : u) 2 + v) 2 +z w) 2 = r 2 zw. k : z 2 +a++cz+d = 0 p : p u) u)+p 2 v) v)+p 3 w) z w) = r 2 zw. p : p +p 2 +p 3 z+ 2 ap +)+ 2 p 2 +)+ 2 cp 3 +z)+d = 0 P p /p 2 /p 3 ) P auf Kugel k p P P ausserhal Kugel k p P k k

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