Statistische FormelsamiHlung

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1 Horst Rinne Statistische FormelsamiHlung begründet von G. Creutz/R. Ehlers Fachbereich Mathematik Technische Hochschule Darmstadt Bibliothek Inv.-r 1982 Verlag Harri Deutsch Thun und Frankfurt/Main FB Mathematik TU Darmstadt

2 INHALTSVERZEICHNIS DESKRIPTIVE" STATISTIK 1. Grundlegende Konzepte Statistische Massen und statistische Einheiten Skalen und statistische Merkmale Phasen einer statistischen Untersuchung 4 2. Eindimensionale Häufigkeitsverteilungen nominaler, ordinaler und diskreter Merkmale Häufigkeitsfunktionen Nominalmerkmal (nicht-häufbar) Ordinalmerkmal und diskretes Merkmal Empirische Verteilungsfunktion Perzentile Eindimensionale Häufigkeitsverteilungen stetiger Merkmale Häufigkeitsfunktion und Häufigkeitsdichte Empirische Verteilungsfunktion 12 '3.3. Bestimmung von Anteilswerten Bestimmung von Perzentilen Maßzahlen für eindimensionale Häufigkeitsverteilungen Lageparameter Modus Perzentile, insbesondere der Mediän Bereichsmitte Schwerster Wert Arithmetisches Mittel Geometrisches Mittel Harmonisches Mittel Größenbeziehung zwischen Lageparametern 17

3 - VI Streuungsparameter Spannweite Perzentilsabstände Mittlere absolute Abweichungen Mittlere quadratische Abweichung, Varianz, Standardabweichung, Variationskoeffizient Empirische Momente Nullmomente Zentrale Momente Beziehung zwischen Momenten Schiefemaße Wölbungsmaße Konzentrationsmaße Maße der absoluten Konzentration Maße der relativen Konzentration Zweidimensionale Häufigkeitsverteilungen Vorbemerkungen Gemeinsame Häufigkeiten Randverteilungen und deren Parameter Bedingte Verteilungen und deren Parameter Statistische Unabhängigkeit Maße des Zusammenhangs zweier Merkmale Assoziationsmaße Rangkorrelationskoeffizient nach Spearman Korrelationskoeffizient nach Bravais und Pearson Regressionsbeziehungen zweier Variablen Empirische Regression erster Art Empirische lineare Einfachregression Einige nicht-lineare Regressionsansätze mit zwei Variablen Empirische lineare Zweifachregression Verhältniszahlen Gliederungszahlen Beziehungszahlen 43

4 6.3. Meßzahlen Indexzahlen Preisindizes Mengen- oder Volumenindizes Wertindex Deflationierung Zusammenhang zwischen Indizes Analyse von Bestands- und Ereignismassen Fortschreibungsmodelle Abgangsmodelle, insbesondere Sterbetafel Elementare Zeitreihenanalyse." Zeitreihenkomponenten und ihre Verknüpfung Global Schätzung Lokalschätzung Gleitende Durchschnitte Zeitreihenzerlegung mittels gleitender Durchschnitte bei konstanter Saisonfigur 55.WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE 9. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Einführung in die Kombinatorik Permutationen Variationen Kombinationen und Binomialkoeffizienten Ereignisalgebra ; Definitionen ' Operationen mit Ereignissen Beziehungen zwischen Ereignissen Wahrscheinlichkeitsinterpretationen und die Axiomatik von Kolmogoroff Bedingte Wahrscheinlichkeiten Stochastische Unabhängigkeit 64

5 - VIII Einige Sätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung l'l Zufallsvariable und deren Verteilung 66 Eindimensionale diskrete Zufallsvariable 66 Eindimensionale stetige Zufallsvariable 67 Beschreibung eindimensionaler Verteilungen 68 Perzentile 68 Erwartungswerte 69 ' Varianz und Standardabweichung 69 Momente 70 Schiefe- und Wölbungsmaße 72 Zweidimensionale Zufallsvariable 73 Zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsfunktion 73 Zweidimensionale Dichte 73 Zweidimensionale Verteilungsfunktion 74 Randverteilungen und deren Parameter 74 Bedingte Verteilungen und deren Parameter 76 Stochastische Unabhängigkeit 78 Momente einer zweidimensionalen Zufallsvariablen Mehrdimensionale Zufallsvariable 80 Einige Verteilungen diskreter Zufallsvariablen 80 Bernoulli-Verteilung oder Nul1-Eins-Verteilung: Be(P) 81 Binomialverteilung: Bi(n;P) 82 Gleichverteilung: Gl(a;b;L) 83 Hypergeometrische Verteilung: Hy(n;N;M) 84 Multinomialverteilung: Mu(n;Pj;P 2 ;...;P m ) 85 Negative BinomialVerteilung:'Nb(c;P) 86 Poisson-Verteilung: Po(X) 87 Einige Verteilungen stetiger Zufallsvariablen 88 Beta-Verteilung: Bt(c;d) 88 Cauchy-Verteilung: Ca(a;b) 89 Exponentialverteilung: Ex(X) 90 Gamma- und Erlang-Vertei1ung: Ga(b;c) 91

6 - IX Lognormal Verteilung: Ln(a;b) 92 Normalvertei1ungen 93 Eindimensionale Normalvertei1ung: No(u;o 2 ) 93 Zweidimensionale Normal Verteilung: Zn(ux;uY;o^;a^;p) 94 Pareto-Verteilung: Pa(b;c) 95 Potenzverteilung: Pt(b;c) 96 Rechtecksvertei1ung: Re(a;b) 97 Weibull-Verteilung: We(b;c) Gesetze der großen Zahlen und zentrale Grenzwertsätze Zentrale Grenzwertsätze Gesetze der großen Zahlen Stichprobenverteilungen Stichprobenvektor und Stichprobenfunktion Grenzverteilungen von Stichprobenfunktionen Verteilungen von Stichprobenfunktionen bei Stichproben aus normalvertei1ten Gesamtheiten t-verteilung (Student-Vertei1ung):t(v) 103 ' x 2 "Verteilung: x 2 («) F-Verteilung (Fisher-Verteilung):F(vj;v2) 106 SCHÄTZTHEORIE 15. Punktschätzung Eigenschaften von Schätzfunktionen Erwartungstreue Mediantreue Konsistenz Effizienz Suffizienz BLU- und BAN-Schätzer Konstruktionsprinzipien für Schätzfunktionen 112

7 15:2.1. Momentenmethode Maximum-Likelihood-Methode Kleinst-Quadrate-Methode x^miiimum-met" Methode der Quantile Zusammenstellung einiger Schätzfunktionen Intervallschätzung Schwankungs- oder Prognoseintervalle Konfidenzintervalle Interpretation und Konstruktion Konfidenzintervalle für y und a 2 einer Normalverteilung Konfidenzintervalle für P einer Binomial- und einer hypergeometrischen Verteilung Konfidenzintervalle für X einer Poisson-Vertei1ung Bestimmung des Stichprobenumfangs 121 TESTTHEORIE 17. Grundbegriffe der Testtheorie *. 1. Statistische Hypothesen und statistische Tests Kritischer Bereich und Annahmebereich Fehler erster und zweiter Art Gütefunktion und Operationscharakteristik Obersicht über die Entscheidungsalternativen eines Tests Parametertests Typen von Parametertests Parametertests bei normalvertei1ten Gesamtheiten Hypothesen über u bei bekanntem a Hypothesen über u bei unbekanntem a Hypothesen über die Differenz \i^ - u Vergleich mehrerer Erwartungswerte 133

8 - XI Hypothesen über a Hypothesen über zwei Varianzen a^ und o 2, Vergleich mehrerer Varianzen Hypothesen über p Hypothesen über u einer beliebigen Verteilung Hypothesen über P Vergleich zweier Wahrscheinlichkeiten Pj und P Anpassungs-, Homogenitäts- und Unabhängigkeitstests Anpassungstests x 2 - An Passungstest Kolmogoroff-Smirnoff-Anpassungstest Homogenitätstests x 2 - H m O9^nl ' tätstest 1* Kolmogoroff-Smirnoff-Homogenitätstest Unabhängigkeitstest 144 SCHÄTZ- UND TESTVERFAHREN IM LINEAREN REGRESSIONSMODELL Das Modell der linearen Einfachregression 145 Die Annahmen des klassischen Regressionsmodells 145 Schätzfunktionen für die Model 1 Parameter und deren Eigenschaften 147 Prüfung der Model 1 annahmen 149 Test auf Linearität 149 Test auf Autokorrelationsfreiheit 149 Test auf Homoskedastizitat 150 Test auf Strukturkonstanz. % 151 Inferenzaussagen über.die Model 1parameter 152 Aussagen über ß 152 Aussagen über ßj 152 Aussagen über ß und ß, 153 Aussagen über oj 153 Prognosen 154

9 - XII Punkt- und Interval1 Prognosen für den bedingten Erwartungswert Intervallprognosen für den Individualwert Das multiple lineare Regressionsmodell 155 ANHANG A- MATHEMATISCHE ZEICHEN 156 A.l. Beziehungszeichen 156 A.2. Zeichen der Algebra 157 A.3. Zeichen der Trigonometrie 157 A.4. Zeichen der Analysis 158 A.5. Zahlenmengen 159 A.6. Zeichen der Mengenalgebra 159 A.7. Symbole der Logik 160 A.8. Griechisches Alphabet 160 A.9. Bezeichnung von Konstanten 161 B', TABELLEN B.l. Fakultäten 162 B.2. Binomialkoeffizienten 163 B.3. Standardnormalverteilung (Verteilungsfunktion) 164 B.4. x 2 -Verteilung (Perzentile) 166 B.5. t-verteilung (Perzentile) 167 B.6. F-Verteilung (Perzentile) 168 B.7. Schwellenwerte für den Kolmogoroff-Smirnoff-Test B.8. Schwellenwerte für den Durbin-Watson-Test 171 B.9. Digitale Zufallsziffern 172 B.10. In [0;l] gleichverteilte Zufallszahlen 173 LITERATUR 174

10 - XIII - ABBILDUNGEN la Stabdiagramm 7 lb Rechteckdiagramm 7 lc Kreisdiagramm 7 2 Stabdiagramm 8 3 Treppenfunktion 9 4 Histogramm 11 5 Polygonzug 12 6a Symmetrische Verteilung 23 6b Linkssteile Verteilung 23 6c Rechtssteile Verteilung 23 7 Diagramm mit Lorenzkurve 25 8a Dichte 68 8b Verteilungsfunktion 68 9a Zweiseitiges Prognose- und Konfidenzintervall 117 9b Oben begrenztes Prognoseintervall; unten begrenztes Konfidenzintervall 118 9c Unten begrenztes Prognoseintervall; oben begrenztes Konfidenzintervall 118 TABELLEN IM TEXT 1 Obersicht über die gebräuchlichen Skalen- und Merkmalstypen 3 2 Tabelle der gemeinsamen absoluten Häufigkeiten 27 3 Typisierung der Verhältniszahlen.' 42 4 Operationen mit Ereignissen 61 5 Einige Schätzfunktioneh und deren Eigenschaften Formeln für den notwendigen Stichprobenumfang Entscheidungsalternativen und deren Wahrscheinlichkeiten bei einem Parametertest Häufigkeitstabelle beim Homogenitätstest 142