Didaktik der Mathematik. Einführung in die. Markus Hohenwarter, JKU Linz

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1 1 Einführung in die Didaktik der Mathematik Markus Hohenwarter, JKU Linz

2 Einführung in die Didaktik der Mathematik 2 Inhalte 1. Was ist / soll Mathematikdidaktik? 2. Warum Mathematikunterricht? 3. Lernziele im Mathematikunterricht 4. Lehrpläne in Österreich 5. Beispiel: Satzgruppe des Pythagoras 6. Wie funktioniert Lernen? 7. Didaktische Prinzipien 8. Begriffe erarbeiten 9. Sachverhalte erarbeiten 10. Algorithmen erarbeiten 11. Anwenden und Modellieren 12. Problemlösen 13. Rahmenbedingungen des MU 14. Unterrichtsplanung 15. Computereinsatz am Beispiel DMS 16. Werkzeuge & Materialien

3 3 Organisatorisches Prüfung Schriftliche Prüfung über die Inhalte der Vorlesung Besten Dank an Prof. Jürgen Roth (Universität Koblenz-Landau) für seine Vorlesungsunterlagen Fachdidaktische Grundlagen, die als Grundlage für diese Folien dienten Prof. Karl Fuchs (Universität Salzburg) und Prof. Wolfgang Schlöglmann (JKU Linz) für ihre Vorlesungsunterlagen Einführung in die Didaktik der Mathematik Sigbjorn Hals (Norwegen) für seine Beispiele zum Thema Problem Solving

4 4 Einführung in die Didaktik der Mathematik Was ist / soll Mathematikdidaktik?

5 5 Was ist Didaktik? Didaktik gr. didaktikós lehrhaft, gr. didáskein lehren Lehre vom Lehren und Lernen Im engeren Sinn: Theorie des Unterrichts Im weiteren Sinn: Theorie und Praxis des Lehrens und Lernens Mathematik-Didaktik Fachdidaktik für Mathematik Lehre vom Lehren und Lernen mathematischer Inhalte Für uns: bezogen auf das Unterrichtsfach Mathematik in der Unter- und Oberstufe ( Schulstufe)

6 Erwartungen an die Mathematikdidaktik 6 Unterricht strukturieren Sinnvolle Vermittlung von Inhalten Zeitmanagement Welche Inhalte wie lange Medieneinsatz Literaturverarbeitung Wahl der Sozialform (Gruppenarbeit, ) Unterrichtsmethoden Inhaltsspezifische Schülerschwierigkeiten Altersgerechte Methoden Praktische Beispiele Umgang mit individueller Begabung Interessante Unterrichtsgestaltung (Mathe soll nicht langweilig sein!)

7 7 Was ist Mathematikdidaktik? Wittmann: Grundfragen des Mathematikunterrichts. Vieweg, , S. 2 Mathematik Pädagogik Mathematikdidaktik ist die Bezugswissenschaft für Mathematiklehrkräfte Psychologie Unterrichtspraxis Schulwirklichkeit

8 8 Bezugswissenschaften Pädagogik gr. paideia Erziehung, gr. pais Kind, gr. agein führen Bildungswissenschaft und Erziehungswissenschaft Theorie und Praxis von Bildung und Erziehung Psychologie gr. psyche Seele, Gemüt empirische Wissenschaft, beschreibt und erklärt: Erleben, Empfinden und Verhalten des Menschen, seine Entwicklung im Laufe des Lebens und dafür maßgebliche innere und äußere Ursachen und Bedingungen. (Wikipedia: Psychologie)

9 9 Deskriptiv & Normativ Mathematikdidaktik ist die Wissenschaft von der Entwicklung praktikabler Kurse für das Lernen im Bereich Mathematik sowie der praktischen Durchführung und der empirischen Überprüfung der Kurse. Mathematikdidaktik ist deskriptiv und normativ Deskriptiv: sie untersucht und beschreibt den Mathematikunterricht Normativ: sie trifft aber auch Aussagen darüber, wie der Mathematikunterricht gestaltet werden soll

10 10 Fragen der Didaktik Führer: Pädagogik des Mathematikunterrichts. Vieweg, 1997, S. 14 Didaktik ist der Versuch, folgende Frage im Hinblick auf Lehren, Lernen und Unterricht zu beantworten: Wer soll was mit wem wie lange, wie intensiv und mit welcher Hilfe zu welchem Zweck und warum tun?

11 11 Stoffdidaktik Was? Was ist der Stoff, wie lässt er sich behandeln? Elementarmathematik Beispiel: Welche Beweise gibt es für den Satz des Pythagoras? Analyse von Lernvoraussetzungen Beispiel: Welche stofflichen Voraussetzungen gibt es für die Behandlung des Gleichsetzungsverfahrens für lineare Gleichungssysteme? Unterrichtsplanung: In welcher Reihenfolge baut man die Dinge auf, was ist unerlässlich, was optional? Beispiel: Braucht man die binomischen Formeln? Entwicklung von Materialien Arbeitsblätter, Tests, Schulbücher, Lernsoftware

12 12 Methodik Wie? Wie kann man ein mathematisches Thema unterrichten? Wahl von Einstiegen, Sozialformen, Lernformen Stellung von Arbeitsaufträgen, Erklärungen Ergebnissicherung, Übungsformen Computereinsatz Formen der Diagnose und Leistungsbeurteilung SE Methodik des Mathematikunterrichts Barzel, Büchter, Leuders (2007): Mathematik Methodik - Handbuch für die Sekundarstufe I und II. Cornelsen Verlag, Berlin

13 13 Lehr- und Lernforschung Was weiß man aus (empirischen) Untersuchungen zum Lernen von Mathematik? Bedingungsfaktoren für hohe Lernfortschritte Leistungsstudien (PISA, TIMMS, ) Schülervorstellungen, Lernschwierigkeiten Motivationslage, Geschlechterdifferenz

14 14 Theorie und Praxis Wittmann: Grundfragen des Mathematikunterrichts. Vieweg, 1981, S. 7 Sag Freund, was ist denn Theorie? Wenn s stimmen soll und stimmt doch nie! Und was ist Praxis? Frag nicht dumm! Wenn s stimmt und keiner weiß warum.

15 15 Mathematikdidaktische Forschung Schoenfeld: Purposes and Methods of Research in Mathematics Education, 2000 Research in Mathematics education has two main purposes, one pure and one applied. Pure (Basic Science) To understand the nature of mathematical thinking, teaching, and learning; Applied (Engineering): To use such understandings to improve mathematics instruction.

16 16 Mathematik und Didaktik Mathematik Bertrand Russell has defined mathematics as the science in which we never know what we are talking about or whether what we are saying is true. Mathematics has been shown to apply widely in many other scientific fields. Hence, most other scientists do not know what they are talking about or whether what they are saying is true. Joel Cohen, On the nature of mathematical proofs Mathematik-Didaktik There are no proofs in mathematics education. Henry Pollak

17 17 What Works? Schoenfeld: Purposes and Methods of Research in Mathematics Education, 2000 Vorsicht bei "What Works?" Fragen und Antworten Suppose one wants to address the question Do students learn as much mathematics in large classes as in small classes? One must immediately ask, What counts as mathematics? How much weight will be placed (say) on problem solving, on modeling, or on the ability to communicate mathematically? Judgments concerning the effectiveness of one form of instruction over another will depend on the answers to these questions. To put things bluntly, a researcher has to know what to look for and what to take as evidence of it before being able to determine whether it is there.

18 18 Einführung in die Didaktik der Mathematik Warum Mathematikunterricht?

19 19 Beitrag zur Allgemeinbildung Heymann: Allgemeinbildender Mathematikunterricht. Mathematik lehren 33, 1989, S. 4ff Aufgaben allgemeinbildender Schulen Lebensvorbereitung Stiftung kultureller Kohärenz Aufbau eines Weltbildes Anleitung zum kritischen Vernunftgebrauch Förderung von Phantasie und Kreativität Entfaltung von Verantwortungsbereitschaft Stärkung des Schüler-Ichs

20 20 Lebensvorbereitung Heymann: Allgemeinbildender Mathematikunterricht. Mathematik lehren 33, 1989, S. 4ff Arithmetik sicheres Beherrschen der Grundrechenarten Umgang mit Größen (und Größenordnungen) Beherrschen der Dezimalbrüche Prozentrechnung / Zinsrechnung ein wenig Schlussrechnung / Gefühl für Zahlen Einführung in den Gebrauch von Technologie Geometrie elem. Formen- und Körperlehre visuelle Darstellung von Größen und -verhältnissen (Schaubilder, Diagramme) Elementare Stochastik Daten erfassen, darstellen und interpretieren Aussagen über Wahrscheinlichkeiten treffen und verstehen Umgang des Lehrers mit Schülern der Schüler untereinander mit der Mathematik

21 21 Stiftung kultureller Kohärenz Heymann: Allgemeinbildender Mathematikunterricht. Mathematik lehren 33, 1989, S. 4ff Volksschule und Unterstufe (Sekundarstufe I) Durchschnittliche Eltern müssen verstehen oder sich mit ihren Kindern darüber verständigen können, was diese im Fach Mathematik lernen. Negativbeispiel Überstürzte Einführung der Neuen Mathematik (Stichwort: Mengenlehre)

22 22 Aufbau eines Weltbildes Heymann: Allgemeinbildender Mathematikunterricht. Mathematik lehren 33, 1989, S. 4ff Umwelterschließung Mathematik als Strukturierungsmittel zum besseren und tieferen Verstehen der Umwelt. Anwendungsorientierung Mathematik als Mittel zum Problemlösen. Ausgang vom Problem Prozess der Mathematisierung und Modellierung Der zentrale Beitrag des Mathematikunterrichts zum Aufbau eines Weltbildes liegt in der Ermöglichung von Erfahrungen, wie Mathematik als Strukturierungsmittel zur Deutung, zum besseren Verständnis und zur Beherrschung primär nicht-mathematischer Phänomene herangezogen werden kann.

23 23 Anleitung zum kritischen Vernunftgebrauch Heymann: Allgemeinbildender Mathematikunterricht. Mathematik lehren 33, 1989, S. 4ff Verstehen lehren (Wagenschein) sokratische Gespräche Reflexion Sprechen über Mathematik Was wäre wenn? Verstehen des Verstehbaren ist ein Menschenrecht. Propädeutik des mathematischen Modellierens Mathematik ist eine von Menschen gedanklich konstruierte Wirklichkeit, die trotzdem keinen willkürlichen Charakter hat, sondern von Notwendigkeiten geprägt ist und Entdeckungen zulässt. Es gibt eine Übereinstimmung zwischen unserem mathematischen Denken und unseren Alltagserfahrungen. Nicht alles, was wichtig ist in der Welt, lässt sich mathematisch modellieren.

24 24 Spielerischer Umgang mit Mathematik Konkretes Arbeiten mit Material Be-greifen Problemlösen Beschäftigung mit Problemaufgaben (allein, mit Partner, in der Gruppe) Phantasie und Kreativität fördern Heymann: Allgemeinbildender Mathematikunterricht. Mathematik lehren 33, 1989, S. 4ff Im günstigsten Falle werden Phantasie und Kreativität, vergleichbar ihrer Rolle in künstlerisch-schöpferischen Prozessen, als schweifend-kontrolliertes Erkunden von Möglichkeiten im Rahmen selbstgesetzter (strenger) Voraussetzungen ausgeübt.

25 25 Entfaltung von Verantwortung Heymann: Allgemeinbildender Mathematikunterricht. Mathematik lehren 33, 1989, S. 4ff Verantwortung für andere gegenseitige Hilfe Beratung und Lösungskontrolle bei Partner- und Gruppenarbeit Übernahme von Funktionen eines Tutors beim binnendifferenzierten Unterricht Verantwortung für den eigenen Lernprozess Muss sich im Laufe eines Schullebens sukzessive steigern.

26 26 Stärkung des Schüler-Ichs Heymann: Allgemeinbildender Mathematikunterricht. Mathematik lehren 33, 1989, S. 4ff Vertrauen in die Kraft des eigenen Denkens entwickeln Dies schließt die Fähigkeit zur Selbstkritik ein! Wichtig Erst durch eine Ausbalancierung der genannten schulischen Aufgaben wird Allgemeinbildung möglich. Neben den genannten Aufgaben hat die Schule weitere Funktionen: Lebensraum, Testfeld für die Heranwachsenden Aufbewahrende Funktion Funktion der Auslese

27 27 Grunderfahrungen (Winter) Winter : Mathematikunterricht und Allgemeinbildung. Mitteilungen der DMV, Nr. 2 (1996), S Im Internet: Mathematikunterricht sollte drei Grunderfahrungen ermöglichen: Erscheinungen der Welt um uns, die uns alle angehen oder angehen sollten, aus Natur, Gesellschaft und Kultur, in einer spezifischen Art wahrzunehmen und zu verstehen, mathematische Gegenstände und Sachverhalte, repräsentiert in Sprache, Symbolen, Bildern und Formeln, als geistige Schöpfungen, als eine deduktiv geordnete Welt eigener Art kennen zu lernen und zu begreifen, in der Auseinandersetzung mit Aufgaben Problemlösefähigkeiten, die über die Mathematik hinaus gehen, (heuristische Fähigkeiten) zu erwerben.

28 28 Mathematik als Vollrath: Grundlagen des Mathematikunterrichts in der Sek. Spektrum, 2001, S. 10ff allgemeinbildendes Fach Entfaltung der Persönlichkeit Umwelterschließung Teilhabe an der Gesellschaft Vermittlung von Normen und Werten qualifizierendes Fach Berufsreife Hochschulreife authentisches Fach Was ist Mathematik? Wie entsteht Mathematik? Was kann man mit Mathematik anfangen?

29 29 Einführung in die Didaktik der Mathematik Lernziele im Mathematikunterricht

30 30 Allgemeine Ziele Bigalke In: Wittmann: Grundfragen des Mathematikunterrichts. Vieweg, 1981, S. 2 Allgemeine Ziele des Mathematikunterrichts Förderung des wissenschaftlichen Denkens und Arbeitens Förderung des logischen Denkens Förderung der Bereitschaft und Fähigkeit zum Argumentieren, Kritisieren und Urteilen Förderung geistiger Initiative, Phantasie und Kreativität Förderung des Anschauungsvermögens Förderung des sprachlichen Ausdrucksvermögens Förderung der Fähigkeit, Mathematik anwenden zu können.

31 31 Lernzielhierarchie Lehrpläne Standards Lernziele Unterrichtsfach Mathematik Inhalte des Mathematikunterrichts Allg. Ziele Grobziele Feinziele Lehrerin Lehrer

32 32 Taxonomie der Lernziele nach Bloom Zech: Grundkurs Mathematikdidaktik. Beltz Pädagogik, 1998, S. 66ff kognitive Lernziele kognitiv (lat.) die Erkenntnis betreffend affektive Lernziele affektiv (lat.) das Gefühl betreffend psychomotorische Lernziele psychomotorisch (lat.) vom Gehirn gesteuerte Bewegungen betreffend Taxonomie [griechisch táxis (An)ordnung und nómos Gesetz ]

33 33 Kognitive Lernziele Bloom K O M P L E X I T Ä T Zech: Grundkurs Mathematikdidaktik. Beltz Pädagogik, 1998, S. 66ff Wissen Kenntnis von Fakten oder Verfahren Verstehen Informationen aufnehmen, übertragen, interpretieren und verallgemeinern Anwenden allgemeine Regeln und Verfahren in speziellen Situationen anwenden Analyse Informationen so in Teile zerlegen, dass Beziehungen und Strukturen deutlich werden Synthese Teile zu einem neuen Ganzen zusammensetzen Bewertung Materialien und Methoden beurteilen

34 Operationalisierung von Lernzielen (Mager) 34 Kriterien Eindeutige Beschreibung des angestrebten Verhaltens Angabe der Voraussetzungen und Bedingungen unter denen das Verhalten gezeigt werden muss Angabe eines Beurteilungsmaßstabes für die Güte des Endverhaltens (Insbesondere Angabe, eines noch akzeptablen Verhaltens.) Anliegen Lernerfolg objektiv überprüfbar machen Lernenden offen legen, was sie nach dem Unterricht können sollen

35 Operationalisierung von Lernzielen (Mager) 35 Vorteile Wirkt dem Missverständnis von Lernenden entgegen, dass Inhalte mehr oder weniger auswendig gelernt werden sollen. Schüler lernen effektiver, wenn sie wissen, was sie lernen sollen. Der Lehrer kann besser zwischen leistungsstärkeren und leistungsschwächeren Schülern differenzieren. Gerade wichtige Lernziele sollten genau spezifiziert werden. Nachteile Präzisierte (vorgegebene) Lernziele schränken die Lehrfreiheit des Unterrichtenden erheblich ein. Energisch zielbestimmter Unterricht nimmt den Lernenden die Mitbestimmungsmöglichkeit. Das leicht prüfbare ist oft auch das weniger wichtige Wissen und Können. Beobachtbares wird zu stark betont Gefahr andere nicht beobachtbare Ziele aus den Augen zu verlieren.

36 36 Einführung in die Didaktik der Mathematik Lehrpläne in Österreich

37 37 Lehrplanstruktur Allgemeinbildende (AHS) und berufsbildende (BHS) höhere Schulen AHS: Gymnasium, Realgymnasium, Oberstufenrealgym. (ORG) BHS: Berufsbildende Oberstufenschulen wie HAK, HTL, etc. Struktur der Lehrpläne 1. Allgemeines Bildungsziel (vgl. Warum Mathematikunterricht ) 2. Allgemeine didaktische Grundsätze 3. Schul- und Unterrichtsplanung 4. Stundentafel 5. Lehrpläne der einzelnen Unterrichtsgegenstände Quellen Unterrichtsministerium: Bildung und Schulen, Unterricht und Schule, Lehrpläne AHS und HS:

38 38 Teil 1: Allgemeines Bildungsziel HTL Elektrotechnik

39 39 Teil 2: Didaktische Grundsätze Der Lehrplan gibt Ziele vor. Im Sinne ihrer eigenständigen und verantwortlichen Unterrichts- und Erziehungsarbeit haben die Lehrerinnen und Lehrer... die Auswahl der Unterrichtsinhalte und Unterrichtsverfahren zur Erreichung dieser Ziele vorzunehmen, im Unterricht Lernsituationen zu gestalten und Lernprozesse einzuleiten und zu unterstützen, vielfältige Zugänge zum Wissen zu eröffnen und auch selbst Informationen anzubieten, Gelegenheiten zu schaffen, Können zu entwickeln und anzuwenden sowie Erfahrungen und Eindrücke zu gewinnen.

40 40 Didaktische Grundsätze Bei der Planung und Durchführung des Unterrichts sind insbesondere folgende Grundsätze zu beachten... Anknüpfen an die Vorkenntnisse und Vorerfahrungen der Schülerinnen und Schüler Interkulturelles Lernen Integration Förderung durch Differenzierung und Individualisierung Förderunterricht Stärken von Selbsttätigkeit und Eigenverantwortung Herstellen von Bezügen zur Lebenswelt Bewusste Koedukation und geschlechtssensible Pädagogik Sicherung des Unterrichtsertrages und Rückmeldungen; Leistungsbeurteilung

41 Individualisierung Förderunterricht 41 Förderung durch Differenzierung und Individualisierung Differenzierte Lernangebote und Zugänge Individuelle Arbeitszeit Unterschiedlicher Betreuungsbedarf Stärken und Schwächen bewusst machen Sozialformen: Einzel-, Partner-, Gruppenarbeit Offenes Lernen, Wahlmöglichkeiten Förderunterricht Zusätzliches Lernangebot für schwache Schüler Wiederholung und Einübung des Stoffes Keine Erweiterung, Ergänzung oder Vertiefung!

42 Selbsttätigkeit Lebenswelt 42 Stärken von Selbsttätigkeit und Eigenverantwortung Projektartige und offene Lernformen Selbstständige Formen des Lernens Kritisches und eigenverantwortliches Denken Schüler sollen sich selbst einschätzen lernen Vermittlung von Lerntechniken Herstellen von Bezügen zur Lebenswelt Zeit- und lebensnahe Themen Begegnungen mit Fachleuten, außerschulische Lernorte

43 Sicherung des Unterrichtsertrages 43 Sicherung des Unterrichtsertrages und Rückmeldungen Außerschulische Nachhilfe sollte nicht notwendig sein Zusammenhang zwischen Neuem und bereits Gelerntem Hausübungen Detaillierte Rückmeldung über erreichte Leistung Leistungsbeurteilung Gesamtkonzept der Rückmeldung und Leistungsfeststellung muss Schülern und Erziehungsberechtigten bekannt gegeben werden Mehr zur Leistungsfeststellung im Rahmen der Übungsphase des 2. Studienabschnitts in den Lehrveranstaltungen PS Unterrichten und Beurteilen (Pädagogik) und SE Schulpraktisches Seminar II (Mathematik Didaktik)

44 Teil 3: Schul- und Unterrichtsplanung 44 Schul- und Unterrichtsplanung Unterrichtsplanung der Lehrerinnen und Lehrer Kern- und Erweiterungsbereich Schulautonome Lehrplanbestimmungen Leistungsfeststellung Fächerverbindender und fächerübergreifender Unterricht Gestaltung der Nahtstellen Öffnung der Schule Betreuungsplan für ganztägige Schulformen

45 Fächerübergreifender Unterricht Nahtstellen 45 Fächerübergreifender Unterricht Erwünscht aber in Praxis oft schwierig Zeit: zwei Lehrpersonen notwendig Richtige Kollegin für Zusammenarbeit Ausnahme: Personalunion Team Teaching z.b. bei Kooperation Oberstufenschule - neue Mittelschule Gestaltung der Nahtstellen Übergang von Volksschule ins Gymnasium (Klassenvorstand) Leistungsfeststellung erst nach Eingewöhnungsphase Übertritt von 4. Klasse Gymnasium in BORG, HTL, HAK, usw.

46 46 Unterrichtsplanung Unterrichtsplanung der Lehrerinnen und Lehrer Aufgrund des Lehrplans und schulautonomer Lehrplanbestimmungen Kernbereich und allgemeines Bildungsziel verbindlich Erweiterungsbereich auch fächerübergreifend Unterrichtsplanung umfasst Lang-, mittel- und kurzfristige Planung Gewichtung der Ziele und Inhalte Methoden Lehrmittel und Medien Mehr dazu im Kapitel Unterrichtsplanung

47 47 Kern- und Erweiterungsbereich Kern- und Erweiterungsbereich in der AHS Unterstufe, also Schulstufe Kernbereich 2/3 der Unterrichtszeit für Kernbereich Inhalte festgelegt im Abschnitt Lehrstoff des AHS Lehrplans Kernbereich und allgemeines Bildungsziel verbindlich Erweiterungsbereich 1/3 der Unterrichtszeit für Erweiterungsbereich Schwerpunkte der Schule und/oder der Lehrkraft Erweiterungsbereich auch fächerübergreifend

48 Teil 4: Stundentafel Gymnasium Unterstufe 48 Gymnasium Unterstufe Schulautonome Lehrplanbestimmungen Wochenstunden Min. 13 Stunden 4, 3, 3, 3 Keine Schulautonomie: 14 Stunden 4, 4, 3, 3 Max. 18 Stunden 5, 5, 4, 4

49 Stundentafel Realgymnasium Unterstufe 49 Realgymnasium Schulautonome Lehrplanbestimmungen Gesamtstundenrahmen Wochenstunden Min. 14 Stunden 4, 4, 3, 3 Max. 20 Stunden 5, 5, 5, 5 Wirtschaftskundliches Realgymnasium Wochenstunden wie AHS Unterstufe

50 Stundentafel AHS Oberstufe 50 AHS Oberstufe Mind. 2 Wochenstunden pro Klasse Gymnasium Oberstufe Mind. 11 Stunden Klassisch 12: 3, 3, 3, 3 Gymansium Oberstufe Realgymnasium Oberstufe Mind. 13 Stunden Klassisch 14: 4, 4, 3, 3 ORG Oberstufe Mind Stunden

51 51 Stundentafel HTL Elektrotechnik

52 52 Stundentafel HAK Handelsakademie

53 53 Stundentafel BAKIP Kindergartenpädagogik

54 54 Stundentafeln Unterstufe: Schulstufe Gesamtstunden Mathematik Gymnasium Unterstufe Realgymnasium Unterstufe Oberstufe: Schulstufe Gesamtstunden Mathematik Gymnasium Oberstufe Mind. 11 Realgymnasium Oberstufe Mind. 13 HTL Elektrotechnik 16 HAK 10 BAKIP 8

55 55 AHS Unterstufe Fachlehrplan Mathematik AHS Unterstufenlehrplan Mathematik 2000, Struktur Bildungs- und Lehraufgabe Didaktische Grundsätze Lehrstoff Lehrstoffeinteilung für alle Klassen der AHS Unterstufe Arbeiten mit Zahlen und Maßen Arbeiten mit Variablen Arbeiten mit Figuren und Körpern Arbeiten mit Modellen, Statistik

56 56 Mathematische Grundtätigkeiten AHS Unterstufe Bildungs- und Lehraufgabe Produktives Arbeiten: Analysieren, Verallgemeinern, Anwenden Argumentieren: Definieren, Beweisen Kritisches Denken: Überprüfen von Vermutungen Darstellen und Interpretieren AHS Unterstufenlehrplan Mathematik 2000, Beitrag zu den Aufgabenbereichen der Schule Erscheinungen der Welt um uns in fachbezogener Art wahrzunehmen und zu verstehen Problemlösefähigkeiten zu erwerben, die über die Mathematik hinausgehen

57 57 AHS Unterstufe Didaktische Grundsätze Didaktische Grundsätze für Mathematik in der AHS Unterstufe Situationsbezogenes und verständnisvolles Lernen Unterrichtsformen Motivation Unterrichten in Phasen, Vernetzung, Querverbindungen Individualisierung und Differenzierung Lesen mathematischer Texte, Fachsprache Aufgabenstellungen Arbeiten mit dem Taschenrechner und dem Computer Historische Betrachtungen AHS Unterstufenlehrplan Mathematik 2000,

58 58 Spiralprinzip Spiralprinzip als Leitprinzip des AHS Unterstufenlehrplans Heymann: Allgemeinbildung und Mathematik, Beltz, 1996, S Prinzip des vorwegnehmenden Lernens der Fortsetzbarkeit Zentrale Ideen des MU Zahl Messen funktionaler Zusammenhang räumliches Strukturieren Daten und Zufall Algorithmus mathematisches Modellieren

59 59 AHS Unterstufe Lehrstoff Kernbereich AHS Unterstufenlehrplan Mathematik 2000, Zahlen & Maße Variablen Figuren & Körper Modelle & Statistik 1 Natürliche Zahlen Brüche & Dezimalzahlen Umwandeln von Maßen Einfache lineare Gleichungen und Formeln Rechteck (Fläche, Umfang) Quader (Netz, Volumen, Oberfläche) Kreis, Winkel zeichnen Direkte Proportionalität (Zeit-Weg) Tabellen für Daten 2 Teilbarkeitsregeln Bruchrechnen Prozentrechnen Lineare Gleichung mit einer Variablen lösen Dreiecke, Vierecke und regelmäßige Vielecke konstruieren Kongruente Figuren Strecken- und Winkelsymmetrale Indirekte Proportionalität Relative Häufigkeiten Graphische Darstellungen 3 Negative Zahlen, Zahlengerade Koordinatensystem Potenzschreibweise Lineare Gleichungen mit einer Variablen Graphische Darstellungen Ähnliche Figuren Fläche von Dreiecken, Vierecken Prisma, Pyramide (Volumen, Oberfläche) Pythagoras in Ebene Lineares Wachstum Diagramme 4 Irrationale Zahlen Genauigkeit Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen Funktionale Abhängigkeiten und Intuitiver Funktionsbegriff Pythagoras im Raum Kreis: Umfang und Fläche Kreisbogen Zylinder, Kegel, Kugel Mittelwert, Median, Quartil Streudiagramm

60 AHS Oberstufe Bildungs- und Lehraufgabe 60 AHS Oberstufenlehrplan Mathematik 2004, Mathematische Kompetenzen äußern sich im Ausführen von mathematischen Aktivitäten: Darstellend interpretierendes Arbeiten Übersetzung zwischen Alltagssprache und Sprache der Mathematik Innermathematischer Wechsel von Darstellungsformen Formal operatives Arbeiten Algorithmen, Rechenmethoden Experimentell heuristisches Arbeiten Suchen nach Gesetzmäßigkeiten, Variation von Parametern Aufstellen von induktiv gewonnenen Vermutungen Kritisch argumentatives Arbeiten Argumentieren, Begründen Beweisen

61 AHS Oberstufe Didaktische Grundsätze 61 AHS Oberstufenlehrplan Mathematik 2004, Didaktische Grundsätze für Mathematik in der AHS Oberstufe Lernen in anwendungsorientierten Kontexten Lernen in Phasen Heuristische Phase: anschaulich, intuitiv Exaktifizierende Phase: vertiefend, verallgemeinernd Lernen im sozialen Umfeld Lernen unter vielfältigen Aspekten Lernen mit instruktionaler Unterstützung Lernen mit medialer Unterstützung Bücher, Zeitschriften, elektronische Medien, Internet Lernen mit technologischer Unterstützung Computeralgebra-Systeme Dynamische Geometrie-Software Tabellenkalkulation

62 62 Lehrstoff verbindlich AHS Oberstufe Lehrstoff Kursive Inhalte nur bei 4 (oder mehr) Pflichtstunden Mathematik Stundentafeln Mathematik AHS Oberstufenlehrplan Mathematik 2004, Gymnasium: mind. 11 Stunden, klassisch: 3, 3, 3, 3 Realgymnasium: mind. 13 Stunden, klassisch: 4, 4, 3, 3 5. Klasse 6. Klasse 7. Klasse 8. Klasse Zahlen und Rechengesetze Gleichungen und Gleichungssysteme (2) Funktionen Trigonometrie Vektoren und analytische Geometrie der Ebene Potenzen, Wurzeln, Logarithmen Folgen Gleichungen, Ungleichungen, Gleichungssysteme (3) Reelle Funktionen Analytische Geometrie des Raumes Stochastik (W-keiten) Algebraische Gleichungen und komplexe Zahlen Differentialrechnung Nichtlineare analytische Geometrie (Kegelschnitte) Stochastik (Verteilungen) Integralrechnung Dynamische Prozesse Stochastik (Hypothesen)

63 63 Struktur Bildungs- und Lehraufgabe I. und II. Jahrgang für alle HTL gleich HTL Angewandte Mathematik III. V. Jahrgang speziell für jeweilige Fachrichtung I. Jahrgang II. Jahrgang Algebra: Terme, Vektoren, lineare Gleichungen, Ungleichungen Numerisches Rechnen: Zahlendarstellung, Abschätzen von Ergebnissen Funktionen: Interpolation, direkte/indirekte Proportionalität Geometrie: Planimetrie, Stereometrie, Trigonometrie Algebra und Geometrie: Vektoren, quadratische Gleichungen, Exponentialgleichungen, Komplexe Zahlen, Trigonometrie Funktionen: quadratische Funktionen, Potenz- und Wurzelfunktionen, Exponential- und logarithmische Funktionen, trigon. Summensätze Wirtschaftsmathematik: Zinseszinsrechnung, lineare Optimierung Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik: Häufigkeitsverteilung, Wahrscheinlichkeit

64 64 Stundentafel Angewandte Mathematik HTL Elektrotechnik: 16 Stunden, klassisch: 4, 4, 3, 3, 2 HTL Elektrotechnik Lehrstoff III. Jahrgang IV. Jahrgang V. Jahrgang Analysis: Folgen, Grenzwert, Stetigkeit, Differentialrechnung, Integralrechnung, Funktionen in zwei Variablen Numerische Mathematik: Fehlerabschätzung, numerische Methoden zum Gleichungslösen, Interpolation Analysis: Potenzreihen, Fourierreihen, Differentialgleichungen Lineare Algebra und analytische Geometrie: Matrizen, Determinanten, Geraden und Ebenen, Kegelschnitte, Algebraische Strukturen Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik: Verteilungen, Statistik, Korrelation, Regression, Qualitätsmanagement Aktuelle Themen der angewandten Mathematik mit besonderer Berücksichtigung der Fachrichtung

65 65 HAK Mathematik II. Jahrgang III. Jahrgang IV. Jahrgang V. Jahrgang Basis (Pflicht) Zahlensysteme, Terme, Potenzen Funktionen Gleichungen, Ungleichungen Matrizen Statistik, Trendlinie Trigonometrie Wachstumsprozesse Rekursive Folgen Differenzengleichungen Zinseszinsrechnung, Rentenrechnung Differenzialrechnung Kosten- und Preistheorie Integralbegriff Rentabilitätsrechnung Investitionsrechnung Statistik Wahrscheinlichkeitsr echnung Erweiterung Ungleichungssysteme Vektoren Dynamische Systeme Kryptografie Codierungstheorie Integralrechnung Aktienanalyse Kombinatorik Wirtschaftliche Modelle Lineare Optimierung Firmenkonnex Finanzmathematik Investitionsrechnung Expliziter IT Bezug; Stundentafel: 10 Stunden: 0, 3, 2, 3, 2

66 66 BAKIP Mathematik 1. Klasse 2. Klasse 3. Klasse 4. Klasse Mengenlehre: Zahlenmengen, Exponenten, Termumformungen Gleichungen und Ungleichungen: lineare Gleichungen, Bruchgleichungen, quadratische Gleichungen, Koordinatensystem Figuren in der Ebene: Flächenberechnungen, Pythagoras, Ähnlichkeit Körper im Raum: Oberfläche und Volumen Vektoren Potenzen: mit Exponenten aus Q, Rechnen mit Wurzeln Funktionen: lineare Funktionen, Potenzfunktionen, Wurzelfunktionen Systeme von linearen Gleichungen: zwei Gleichungen mit zwei Variablen, drei Gleichungen mit drei Variablen Folgen: monotone und beschränkte, Konvergenz und Divergenz Reihen Winkelfunktionen: Graphen, Auflösung von rechtwinkeligen und schiefwinkeligen Dreiecken Exponential-und Logarithmusfunktion: einfache Exponentialund logarithmische Gleichungen Differentialrechnung: Differentialquotient, Differentiationsregeln Kurvendiskussionen, Extremwertaufgaben Integralrechnung Statistik Datenpräsentation, Mittelwerte, Streuungsmaße, Normalverteilung, Korrelation Wahrscheinlichkeitsrechnung: Baumdiagramm, Binominalverteilung Stundentafel: 8 Stunden: 2, 2, 2, 2, 0

67 67 Beispiel: Spiegelbild Fragestellung Wie verhält sich der Abstand zwischen den beiden Linien zur Höhe Ihres Kopfs? Wie verändert sich dieser Abstand mit unterschiedlicher Entfernung zum Spiegel? Wie groß muss der Spiegel sein, damit Sie sich ganz im Spiegel sehen können? Lehrplanbezug Finden Sie einen geeigneten Lehrplanbezug für dieses Beispiel Spiegelbild Punkt im Spiegel Spiegelbild

68 68 Punkt im Spiegel

69 69 Spiegelbild

70 70 Ziele der standardisierten Reifeprüfung Standardisierte Reifeprüfung Zentralmatura höchstmögliche Transparenz und Vergleichbarkeit der Prüfungsanforderungen, Objektivität, Vergleichbarkeit und somit Fairness der Beurteilungsverfahren, die nachhaltige Absicherung von Kompetenzen, zuverlässige Aussagen über tatsächlich erworbenes Wissen und Können, erhöhte Studierfähigkeit, die europaweite Vergleichbarkeit von Abschlüssen, die Vereinfachung und Vereinheitlichung von Bestimmungen.

71 Standardisierte Reifeprüfung Mathematik AHS ab 2014/ Grundkompetenzen zu vier Inhaltsbereichen Algebra und Geometrie Funktionale Abhängigkeiten Analysis Wahrscheinlichkeit und Statistik Struktur der schriftlichen Reifeprüfung AHS Mathematik Teil-1-Aufgaben (ca. 20 Aufgaben, 120 min) Kurze Aufgaben zu Grundkompetenzen keine Hilfsmittel erlaubt Teil-2-Aufgaben (ca. 5 Aufgaben, 150 min) Umfangreichere kontextbezogene und innermathematische Aufgaben Formelsammlung & Technologie erlaubt Ab 2018: Mindestanforderungen an Technologie: dynamische Geometrie (DGS), Tabellenkalkulation (TK), Computeralgebra (CAS)

72 Standardisierte Reifeprüfung Mathematik BHS ab 2014/ Grundkompetenzen zu Inhaltsbereichen Zahlen und Maße Algebra und Geometrie Funktionale Zusammenhänge Analysis Stochastik Struktur der schriftlichen Reifeprüfung BHS Mathematik Teil A: schulformübergreifend mind. 4 Aufgaben mit je 2-4 Teilaufgaben Schwerpunkt auf Interpretieren, Dokumentieren, Anspruchsvolles Operieren und Technologieeinsatz Teil B: schulform- bzw. clusterspezifisch 2 bis 3 komplexe Aufgaben Schwerpunkt auf Modellieren, Transferieren und Argumentieren

73 73 Einführung in die Didaktik der Mathematik Beispiel Satzgruppe des Pythagoras

74 74 Satz des Pythagoras entdecken Heuristik altgr. heurísko ich finde ; heuriskein, (auf-)finden, entdecken Die Kunst, mit begrenztem Wissen und wenig Zeit zu guten Lösungen zu kommen (Wikipedia) Satz des Pythagoras Bewege den Punkt C! Berechne die Summe der Flächeninhalte der beiden grünen Quadrate und notiere dein Rechenergebnis! Wiederhole diese Vorgänge 5-mal!

75 75 Satzgruppe des Pythagoras Satzgruppe des Pythagoras C Bezieht sich auf rechtwinklige Dreiecke. Zu ihr gehören: Satz des Pythagoras b q h p a Höhensatz Kathetensatz A D c B Satz des Pythagoras Bei jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse. b² A b C c a a² B a 2 + b 2 = c 2 c² Einige Beweise später

76 76 Höhensatz und Kathetensatz Höhensatz C Bei jedem rechtwinkligen Dreieck hat das Höhenquadrat denselben Flächeninhalt wie das Rechteck aus den beiden Hypotenusenabschnitten. h 2 = p q A h² q h D p p q B Kathetensatz Bei jedem rechtwinkligen Dreieck hat ein Kathetenquadrat denselben Flächeninhalt wie das Rechteck aus der Hypotenuse und dem anliegenden Hypotenusenabschnitt. b² a² a 2 = c p und b 2 = c q c q c p

77 Höhen- und Kathetensatz Beweise 77 Beweis mittels Ähnlichkeit Höhensatz q : h = h : p h 2 = p q Kathetensatz q : b = b : c b 2 = c q p : a = a : c a 2 = c p

78 Logische Struktur der Satzgruppe Logische Abhängigkeit der Sätze Satz des Pythagoras Kathetensatz Satz des Pythagoras Höhensatz Kathetensatz Höhensatz Höhensatz Satz des Thales Satz des Pythagoras Höhensatz Satz des Thales Kathetensatz A b² b C a c c² a² B b² c q c p a²? A h² q C h D p p q B A C M B Begriffe notwendig / hinreichend Didaktik der Mathematik A B bedeutet A ist hinreichend für B bzw. B ist notwendig für A (d.h. B A) 78

79 79 Kathetensatz Pythagoras Kathetensatz Pythagoras Gegeben: a 2 = c p und b 2 = c q C Zu zeigen: a 2 + b 2 = c 2 A b q D h c p a B

80 80 Pythagoras Kathetensatz Pythagoras Kathetensatz Gegeben: a 2 + b 2 = c 2 C Zu zeigen: a 2 = c p und b 2 = c q A b q D h c p a B

81 81 Pythagoras Höhensatz Pythagoras Höhensatz Gegeben: a 2 + b 2 = c 2 C Zu zeigen: h 2 = p q A b q D h c p a B

82 Höhensatz Thales Pythagoras 82 Höhensatz Thales Pythagoras Gegeben: h 2 = p q, Satz von Thales Zu zeigen: a 2 + b 2 = c 2

83 83 Kathetensatz Höhensatz Kathetensatz Höhensatz Gegeben: a 2 = c p und b 2 = c q Zu zeigen: h 2 = p q Mehrfache Anwendung des Kathetensatzes auf (Teil-)Dreiecke

84 Höhensatz Thales Kathetensatz 84 Höhensatz Thales Kathetensatz Gegeben: h 2 = p q, Thales Zu zeigen: b 2 = c q (a 2 = c p analog)

85 85 Umkehrsatz des Pythagoras Umkehrung des Satzes von Pythagoras Ägyptische Seilspanner (Harpedonapten) a 2 + b 2 = c 2 a, b und c bilden ein rechtwinkliges Dreieck Pythagoräische Tripel Umkehrsatz nicht immer wahr! Wenn Sonntag ist, dann ist schulfrei. a, b ungerade a + b gerade

86 Beweismöglichkeiten Satzgruppe des Pythagoras 86 Lehrplan 4. Klasse AHS: Arbeiten mit Figuren und Körpern den Lehrsatz des Pythagoras für Berechnungen in ebenen Figuren und in Körpern nutzen können eine Begründung des Lehrsatzes des Pythagoras verstehen Einige Beweismethoden für die Satzgruppe des Pythagoras 1. Kongruenzbeweis 2. Abbildungsbeweis 3. Prinzip der Zerlegungsgleichheit 4. Prinzip der Ergänzungsgleichheit 5. Arithmetischer Beweis 6. Ähnlichkeitsbeweis 7. Methoden der analytischen Geometrie

87 Beweismöglichkeiten Satzgruppe des Pythagoras 87 (1) Kongruenzbeweis Euklid: Die Elemente H C G F ( I ) AC BF A = CBF A ABF ( II ) CL 1 BE A L 1 = EB A CEB (III) Zu zeigen : CEB (1) AB = EB (Hypotenuse c) (2) FBA = CBE (90 + b ) (3) BF = BC (Kathete a) J A L1 B ( I ),( II ),( III ) SWS ABF ABF = A = CBF A L a 2 c 1 BE = L 1 B Analog ergibt sich : 2 = c AL b 1 CEB A CEB ( Kathetensatz 1. Teil) ( Kathetensatz 2. Teil) D L2 E a 2 + b 2 = c L 1 B + c AL 1 = c ( L 1 B + AL 1 ) = c c = c 2

88 Beweismöglichkeiten Satzgruppe des Pythagoras 88 (2) Abbildungsbeweis Scherung

89 Beweismöglichkeiten Satzgruppe des Pythagoras 89 (3) Prinzip der Zerlegungsgleichheit Stuhl der Braut Zerlegung des Hypotenusenquadrats

90 Beweismöglichkeiten Satzgruppe des Pythagoras (3) Prinzip der Zerlegungsgleichheit Didaktik der Mathematik Zerlegung des Hypotenusenquadrats 90

91 Beweismöglichkeiten Satzgruppe des Pythagoras 91 (3) Prinzip der Zerlegungsgleichheit Zerlegung eines Kathetenquadrats

92 Beweismöglichkeiten Satzgruppe des Pythagoras 92 (4) Prinzip der Ergänzungsgleichheit Altindischer Ergänzungsbeweis IV III IV III I I c² II II a² b²

93 Beweismöglichkeiten Satzgruppe des Pythagoras 93 (5) Arithmetischer Beweis Ein Beweis wird hier arithmetisch genannt, wenn (evtl. anhand einer vorliegenden Figur) rein algebraische Umformungen durchgeführt werden. Kathetensatz Satz des Pythagoras a 2 2 = = a c p 2 + b 2 = = b c c p + c q ( ) c p + q q b² a² = c c = c 2 c q c p

94 Beweismöglichkeiten Satzgruppe des Pythagoras 94 (5) Arithmetischer Beweis Beweis von J.A. Garfield (1881 Präsident der U.S.A.) Fläche A Tr des Trapezes: (1) A Trapez = = A D 1 2 I + A D II + 1 ab + ab + 2 A D 1 2 III c 2 a I c III c II b = ab c a + b (2) A = + Trapez 2 2 ( a b ) b a ( 1 ), ( 2 ) 1 2 ab + 2 c = 2 a + 1 ( ) 2 b = 1 2 ( a + b ) 2 ( a b ) ab + c = ab + c = a + 2 ab + b c = a + b 2

95 Beweismöglichkeiten Satzgruppe des Pythagoras 95 (6) Ähnlichkeitsbeweis D ABC ~ D ACD ~ D BCD (ww) h p q = h h 2 = q p Höhensatz b q a p c = b c = a b 2 a 2 = c q = c p Kathetensatz (7) Methoden der analytischen Geometrie

96 Auswahlkriterien für Beweismethoden 96 Eigentätigkeit Großteil der Schüler soll in der Lage sein, durch Eigentätigkeit, den Beweis oder die entscheidende Beweisidee selbst zu entdecken bzw. einen wesentlichen Beitrag dazu zu leisten Vielfalt Schüler sollen unterschiedliche Beweismethoden kennen lernen Anschauen und Begreifen Beweis lässt sich gut visualisieren oder enaktiv erarbeiten. Verständnis fördern Beweis ist leicht durchschaubar Beweis erleichtert eine wichtige Erkenntnis Beispiel: Satzgruppe des Pythagoras: Aussagen über Flächeninhalte Sollte beim Beweis direkt erkennbar sein

97 Anwendungen Satzgruppe des Pythagoras 97 Ebene Geometrie Berechnungen Diagonale des Rechtecks Höhe & Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks Abstand zweier Punkte (im Koordinatensystem) Kreistangenten und Sehnen Reguläre n-ecke Kosinussatz Konstruktionen Flächenverwandlung Strecken der Länge n Raumgeometrie Berechnungen Raumdiagonalen Längen im Raum

98 Anwendungen Satzgruppe des Pythagoras 98 Verwandlung eines Rechtecks in ein inhaltsgleiches Quadrat Kathetensatz Man geht von der Figur zum Kathetensatz aus. Kann man das Quadrat der Figur konstruieren, wenn man das Rechteck hat? Konstruktion der entsprechenden Kathete. Welche Schritte sind notwendig?

99 Anwendungen Satzgruppe des Pythagoras 99 Verwandlung eines Rechtecks in ein inhaltsgleiches Quadrat Kathetensatz q 0 l = 3, b = 5,4 10 l Höhensatz c b

100 Lernpfade zum Satz des Pythagoras 100 Medienvielfalt im Mathematikunterricht Pythagoras-Lernpfade auf 3. Klasse: ebene Figuren, 4. Klasse: Raumgeometrie Siehe insbesondere Didaktische Kommentare, z.b. Stationenbetrieb zu Pythagoras im Raum Expertengruppen zu Höhen- und Kathetensatz

101 101 Einführung in die Didaktik der Mathematik Wie funktioniert Lernen?

102 102 Was ist Lernen? Nach Zimbardo: Psychologie. Springer-Verlag, 1995 Lernen ist ein Prozess, der zu relativ stabilen Veränderungen im Verhalten oder Verhaltenspotential führt. baut auf Erfahrung auf. ist nicht direkt zu beobachten. muss aus den Veränderungen des beobachtbaren Verhaltens erschlossen werden. Wissen deklaratives Wissen (Wissen über Sachverhalte) prozedurales Wissen (Wissen über Fertigkeiten)

103 103 Lernparadigmen Kategorie Behaviourismus Kognitivismus Konstruktivismus Hirn ist ein passiver Behälter Informationsverarbeitendes "Gerät" informationell geschlossenes System Wissen wird abgelagert verarbeitet konstruiert Wissen ist Lernziele eine korrekte Input- Output-Relation richtige Antworten ein adäquater interner Verarbeitungsprozess richtige Methoden zur Antwortfindung mit einer Situation operieren zu können komplexe Situationen bewältigen Paradigma Stimulus-Response Problemlösung Konstruktion Strategie lehren beobachten und helfen kooperieren Lehrer ist Autorität Tutor Coach, Trainer

104 104 Überblick über Lerntheorien Behaviouristische Lerntheorien Klassisches / operantes Konditionieren (Pawlow, Watson, Skinner) Lernen durch Versuch und Irrtum (Thorndike) Kognitivistische Lerntheorien Modelllernen (Bandura) Äquilibrationsmodell (Piaget) Stufenmodell der kognitiven Entwicklung Sinnvolle-rezeptives Lernen (Ausubel) Entdeckendes Lernen (Bruner) Konstruktivistische Lerntheorien Radikaler Konstruktivismus (von Glasersfeld) Gemäßigter Konstruktivismus (Piaget, Bruner, Mandl)

105 105 Klassisches Kontitionieren (Pawlow) Pawlowscher Hund 1. Futter Speichel fließt 2. Glocke kein Speichel 3. Futter + Glocke Speichel (mehrmals wiederholt) 4. Glocke Speichel Ergebnis Immer wenn die Glocke klingelt, läuft dem Hund das Wasser im Mund zusammen. Er wurde auf die Glocke konditioniert. Dieses Prinzip findet z.b. in der Werbung Anwendung Attraktive Frau + Auto Aufmerksamkeit

106 106 Operantes Konditionieren (Skinner) Erwartete Konsequenzen bestimmen das Verhalten Tiere und Menschen können sehr gut zwischen Belohnung und Bestrafung unterscheiden Arten von Verstärkern Materielle Verstärker (Geld) Soziale Verstärker (Lob, Anerkennung) Aktivitätsverstärker (Tun, was Spaß macht) Arten der Verhaltenskontrolle / -manipulation Etwas Gutes erhalten (positive Verstärkung) Etwas Negatives bleibt erspart (negative Verstärkung) Etwas Negatives erhalten (Bestrafung durch aversive Reize) Etwas Gutes wird entzogen (Bestrafung durch Verstärkerentzug)

107 107 Operantes Konditionieren (Skinner) Skinnerbox Ziel: Ratte soll lernen, einen Hebel zu betätigen Ratte erhält Stromschläge, bis sie den Hebel betätigt Stromfluss endet (negative Verstärkung) Ratte betätigt den Hebel Erhält Futter (positive Verstärkung)

108 108 Modelllernen (Bandura) Rocky-Experiment (Bandura, Walters 1965) Vierjährige Kinder sehen in einem Film, wie ein Erwachsener ( Rocky ) mit einem Baseballschläger auf eine Plastikpuppe einschlägt. Kurz darauf werden die Kinder in ein anderes Zimmer geführt, in dem auch diese Puppe und ein Baseballschläger liegen. Unterschied Aneignung Ausführung: Vorbild-Verhalten wird gleichermaßen erlernt, aber je nach Folgen unterschiedlich reproduziert (siehe Wikipedia für Details)

109 109 Modelllernen (Bandura) Definition Modell- oder Beobachtungslernen ist Beeinflussung von Verhaltensweisen durch Beobachtung eines Modells (Vorbilds), das real (z. B. als Person) oder symbolisch (z. B. als Text) gegeben sein kann. Anwendung bei komplexen Verhaltensweisen im Bereich des sprachlichen und sozialen Verhaltens Mögliche Effekte Aneignung neuer kognitiver Fähigkeiten & Verhaltensmuster Hemmung bzw. Enthemmung von gelernten Verhaltensweisen Abhängig von den am Modell beobachteten Konsequenzen Reaktionserleichterung Verhalten des Modells dient als Auslöser für die Ausführung des gleichen Verhaltens. Veränderung des emotionalen Erregungsniveaus durch Beobachtung emotionaler Inhalte beim Modell Stimulusintensivierung Modell lenkt die Aufmerksamkeit des Beobachters auf spezifische Stimuli, die vom Beobachter in Zukunft häufiger verwendet bzw. beachtet werden.

110 110 Modelllernen (Bandura) Regelfall Modellverhalten wird weitgehend in der dargebotenen Art übernommen. Sonderfälle abstrakte Modellierung Übernahme von Regeln oder Prinzipien, die dem Modellverhalten zugrunde liegen Erkennen von Merkmalen einer Situation Abstraktion der Gemeinsamkeiten in Form von Regeln Anwendung der Regeln in neuen situativen Feldern Kreative Modellierung Einflüsse mehrerer Modelle werden zu neuen Kombinationen zusammengeführt.

111 111 Modelllernen (Bandura) Prozesse beim Modelllernen Aneignung (Akquisition) Aufmerksamkeitsprozesse Gedächtnis- / Behaltensprozesse Ausführung (Performanz) motorische Reproduktionsprozesse Verstärkungs- / Motivationsprozesse Modelle im Unterricht Lehrer Mitschüler Eltern Modelllernen schnelle und effiziente Art der Übernahme von Verhaltensweisen insbesondere bei komplexen Verhaltensnormen Rolle im / für den MU Rationales Argumentieren Problemlösen Mathematisieren / Modellieren Einstellung zur Mathematik

112 Äquilibrationsmodell (Piaget) Kognitive Entwicklung durch Anpassung (Adaption) Assimilation Akkomodation Bei der Assimilation wird die Information, die das Individuum aufnimmt, so verändert, dass sie sich in vorhandene kognitive Schemata einfügt. Äquilibrationsprinzip Bedürfnis, Gleichgewicht zwischen der wahrgenommenen Umwelt und den eigenen kognitiven Strukturen herzustellen bzw. zu erhalten. Erfahrung eines Ungleichgewichtes (fehlschlagende Assimilationsversuche, Widersprüche zwischen versch. Assimilationsversuchen, kognitive Konflikte) führt zum Aufbau immer komplexerer Strukturen. Didaktik der Mathematik Bei der Akkomodation werden die Schemata verändert, um der Information angemessen zu sein oder um nicht im Widerspruch zu anderen Schemata bzw. der Gesamtstruktur zu stehen. 112

113 Stufen der kognitiven Entwicklung (Piaget) 113 Sensomotorisches Stadium (0 ca. 2 Jahre) Reiz und (motorische) Reaktion bilden eine Einheit Präoperationales Stadium (ca. 2 ca. 7 Jahre) Zentrierung: Nur ein Merkmal kann gleichzeitig berücksichtigt werden. Egozentrismus: Schwierigkeit sich etwas aus der Sicht eines anderen vorzustellen.

114 Stufen der kognitiven Entwicklung (Piaget) 114 Konkret-operationales Stadium (ca. 7 ca. 12 Jahre) Überwindung des Egozentrismus Dezentrierung: Verschiedene Aspekte eines Sachverhaltes können gleichzeitig berücksichtigt werden. Verständnis für Erhaltung bei Transformationen Masse Volumen Flächeninhalt Anzahl

115 Stufen der kognitiven Entwicklung (Piaget) 115 Konkret-operationales Stadium (ca. 7 ca. 12 Jahre) Reversibilität: Beobachtete Abläufe bzw. ausgeführte Handlungen können gedanklich umgekehrt werden. Schlussfolgerndes Denken bei konkreten Problemen Fähigkeit zur Abstraktion fehlt (zum Großteil) Denken ist noch stark an konkrete Vorstellungen gebunden (unmittelbare Anschauung oder Erfahrungen) Denkhandlungen sind bereits Operationen, also kompositionsfähig (zusammensetzbar) und reversibel (umkehrbar)

116 Stufen der kognitiven Entwicklung (Piaget) 116 Konkret-operationales Stadium (ca. 7 ca. 12 Jahre) Hans ist größer als Heinz, Hans ist kleiner als Horst. Wer ist der kleinste? Wer ist der kleinste?

117 Stufen der kognitiven Entwicklung (Piaget) 117 Formal-operationales Stadium (ab ca. 12 Jahre) Denken wird abstrakter (nicht mehr an konkrete Vorstellungen gebunden) Fähigkeit zum hypothetisch-deduktiven Schließen ( Wenn und gilt, dann gilt ) Variablenkontrolle: Bei der Kausalanalyse von Ereignissen können verschiedene Faktoren systematisch variiert werden. Logische Verknüpfungen zwischen verschiedenen Aussagen werden hergestellt (Aussagenlogik, formales Schließen). Im Beispiel: Wenn a < b und b < c, dann a < c. Reversibles Denken ist möglich. Inversion (Umkehrung einer Operation) Reziprozität (Kompensation einer Operation) 15 Cent 1 Cent

118 Stufen der kognitiven Entwicklung 118 Bei einem Kartenspiel wurde jeder Karte auf einer Seite eine Zahl und auf der anderen Seite ein Buchstabe aufgedruckt. Es gilt folgende Regel: Wenn der Buchstabe auf einer Karte ein Vokal ist, dann ist die Zahl auf der anderen Seite der Karte eine gerade Zahl. Welche der folgenden Karten müssen umgedreht werden um zu überprüfen ob die Regel eingehalten wurde? E K 4 7

119 Piagets empirische Hauptresultate 119 Die kindliche Entwicklung verläuft etappenweise, d. h. in Stufen. Sensomotorisches Stadium (0 ca. 2 Jahre) Präoperationales Stadium (ca. 2 ca. 7 Jahre) Konkret-operationales Stadium (ca. 7 ca. 12 Jahre) Formal-operationales Stadium (ab ca. 12 Jahre) sequentiell, d. h. alle Kinder durchlaufen die Stadien (Stufen) in gleicher Reihenfolge. Übergang von einem Stadium zum nächsten bedeutet weder das Aufgeben bereits erworbener Schemata, noch bloßes Hinzufügen weiterer Schemata, Reorganisation der verfügbaren Schemata bzgl. neuer effektiverer Organisationsformen. Wichtig: Es sind erhebliche zeitliche Verschiebungen möglich!

120 120 Sinnvoll-rezeptives Lernen (Ausubel) Die vier Grundformen des Lernens nach Ausubel rezeptiv (fertig dargeboten) entdeckend (selbst erarbeitet) mechanisch (nicht inhaltlich) Dargebotene Informationen werden wortwörtlich gelernt und nicht mit Vorwissen assimiliert. Vom Lernenden entdeckter Sachverhalt wird wortwörtlich gelernt und nicht mit Vorwissen assimiliert. sinnvoll (inhaltlich, zufallsfrei) Dargebotene Informationen werden inhaltlich gelernt und mit Vorwissen assimiliert. Vom Lernenden entdeckter Sachverhalt wird inhaltlich gelernt und mit Vorwissen assimiliert.

121 121 Sinnvoll-rezeptives Lernen (Ausubel) Sinnvolles Lernen inhaltlich (nicht wortwörtlich) zufallsfreie Angliederung an das Vorwissen (Assimilation) untergeordnet (progressive Wissensdifferenzierung) übergeordnet Mechanisches Lernen Lernen verbaler Ketten Auswendiglernen Rezeptives Lernen Lernmaterial wird fertig dargeboten Entdeckendes Lernen (EL) Lernmaterial muss vom Lernenden erarbeitet werden, wird nicht fertig vorgegeben Sinnvoll-rezeptives Lernen inhaltliche Assimilation (Orientierung an Vorwissen, zunächst alltagssprachliche Formulierungen) aktiver Prozess Advance Organizer (!) Post Organizer besser als EL für den Erwerb von Sachwissen und größeren Stoffgebiete geeignet (ökonomischer)

122 122 Sinnvoll-rezeptives Lernen (Ausubel) 1. An vertraute Vorstellungen anschließen Alltagsbegriffe vertraute Grundbegriffe 2. Verständniskerne bilden & formulieren in Umgangssprache 3. Unterrichtsinhalte vorstrukturieren kurze Vorschau auf Thema und Zielsetzung (advance organizer) Vorbereitung eines Verständniskerns 4. Progressiv ausdifferenzieren roten Faden bewusst halten 5. Integrativ verbinden und abgrenzen 6. Beachten der Vergessenstendenz anschauliche Zusammenfassungen (post organizer) wiederholte Verständnisaufgaben Sinnvolles Lernen Anknüpfen an die kognitive Struktur des Lernenden

123 123 Entdeckendes Lernen (Bruner) Das Ziel, das wir uns als Lehrer stellen, ist, dem Schüler nach besten Kräften ein fundiertes Verständnis des Gegenstandes zu vermitteln und ihn so gut wir können zu einem selbständigen und spontanen Denker zu machen, dass er am Ende der Schulzeit allein weiterkommen wird. Bruner Lernen ist aktive Informationsaufnahme Informationsverarbeitung Informationsspeicherung Prozesse des Lernvorgangs Wissenserwerb Wissenstransformation Bewertung von Wissen Intellektuelle Entwicklung Wissensrepräsentation enaktiv (handelnd) ikonisch (bildhaft) symbolisch Lernprozess

124 124 Entdeckendes Lernen (Bruner) Entdeckendes Lernen eigenständige, induktive Organisation sprachliche Assimilation Ziele des Lernens Verständnis Problemlösefähigkeit erwerben intuitives, selbständiges, spontanes Denken Transferförderung spezieller Transfer allgemeiner Transfer general ideas induktive & deduktive Denkvorgänge Problemlösefähigkeit Problemlösestrategien Problemlösetechniken lernen wie man lernt Intuitives Denken spontan / sprunghaft nonverbal Intrinsische Motivation Kompetenzmotivation Prinzip der minimalen Hilfe kaum ergebnisorientierte Hilfe hauptsächlich motivations- und prozessorientierte Hilfe

125 125 Entdeckendes Lernen (Bruner)

126 126 Konstruktivismus Steht in enger Verbindung zum kognitiven Ansatz Jedes Individuum konstruiert ein individuelles und subjektives Bild seiner Umwelt Aufgrund verschiedenster Erfahrungen entsteht eine individuelle kognitive Landkarte der Welt Diese Wirklichkeitskonstruktionen beeinflussen unwillkürlich was das Individuum sieht, wie es das Gesehene bewertet, welche Verhaltenspläne es entwickelt und wie es sich dann tatsächlich verhält. Es gibt demnach nicht eine für alle gültige Wirklichkeit, sondern viele subjektive und individuelle Wirklichkeiten

127 127 Aktive Wissenskonstruktion Wissen wird nicht einfach rezeptiv übernommen wird aktiv erworben, abhängig von Vorwissen, Motivation und Einstellung des Einzelnen ist Ergebnis sozialer Konstruktionsprozesse bedeutungsvolles Handeln und Selbstständigkeit sind zentrale Grundlagen allen Lernens stellt keine bloße Reflexion einer außerhalb des Menschen existierenden, objektiven "Realität" dar ist ein subjektives "Konstrukt", das innerhalb des Individuums durch Erkenntnisprozesse geschaffen wird

128 128 Lernen ist kein Lernen aus konstruktivistischer Sicht rezeptiver Vorgang, bei dem eine objektiv bestimmbare und begrenzte Menge an Fakten und Regeln aus dem Kopf des Lehrenden in den des Lernenden "transportiert" wird Lernen ist ein aktiver, selbstgesteuerter, konstruktiver, emotionaler, sozialer und situativer Prozess Mandl: Wissensaufbau aktiv gestalten. Schüler Wissen für Lehrer, 2006, S

129 129 Lernen ist ein Mandl: Wissensaufbau aktiv gestalten. Schüler Wissen für Lehrer, 2006, S aktiver Prozess Nur durch aktive Beteiligung des Lernenden wird Lernen möglich. selbstgesteuerter Prozess Der Lernende selbst übernimmt im Rahmen des Lernprozesses Steuerungs- und Kontrollprozesse. konstruktiver Prozess Neues Wissen kann nur erworben und genutzt werden, wenn es in die vorhandenen Wissensstrukturen eingebaut und auf der Basis individueller Erfahrungen interpretiert wird. emotionaler Prozess sowohl leistungsbezogene als auch soziale Emotionen beeinflussen das Lernen für die Lernmotivation ist die emotionale Komponente besonders wesentlich sozialer Prozess Lernen ist fast immer ein interaktives Geschehen und wird durch soziale Komponenten beeinflusst situativer Prozess Wissenserwerb erfolgt stets in einem spezifischen Kontext und ist mit diesem verbunden

130 130 Lernen aus konstruktivistischer Sicht Mandl: Wissensaufbau aktiv gestalten. Schüler Wissen für Lehrer, 2006, S Eine pragmatische Position zum Lehren und Lernen:

131 131 Einführung in die Didaktik der Mathematik Didaktische Prinzipien

132 132 Didaktische Prinzipien (unvollständige Liste) Prinzipien Genetisches Prinzip Sokratisches Prinzip Exemplarisches Prinzip Operatives Prinzip Integrationsprinzip Prinzip des aktiven Lernens (gelenkten) Entdeckenden Lernens Prinzip der Realitätsnähe oder Lebensnähe Beziehungshaltigkeit integrierten Wiederholung Isolation der Schwierigkeiten Selbsttätigkeit Variation adäquaten Visualisierung Variation der Veranschaulichungsmittel

133 133 Prinzipien des Lernens und Lehrens Wittmann: Standard Number Representations in the Teaching of Arithmetic. In: JMD, 19 (1998) 2/3, S Wissensentwicklung Entwicklungsstufen Repräsentationsformen Zone der proximalen Entwicklung (inter-) aktives ganzheitliches Lernen organisieren interaktiver Zugang zu Repräsentationen grundlegende Repräsentationen auswählen Operatives Prinzip natürliche Differenzierung (Epistemologie = Erkenntnistheorie) fundamentale Ideen Spiralprinzip schrittweise Schematisierung Vorwissen & natürliche Neugier nutzen

134 134 Operatives Prinzip Piaget Operationen sind verinnerlichte / gedachte Handlungen. Denken vollzieht sich in Operationen. Operationen sind flexibel und beweglich, also: umkehrbar oder reversibel (Reversibilität), zusammensetzbar oder kompositionsfähig (Kompositionsfähigkeit) assoziativ (Assoziativität), d. h. man kann auf verschiedenen Wegen zum Ziel kommen.

135 135 Operatives Prinzip Bruner Wissensrepräsentation enaktiv (handelnd) ikonisch (bildhaft) symbolisch Piaget Stufen der kognitiven Entwicklung Aebli Verinnerlichungsstufen konkrete Stufe figurale Stufe symbolische Stufe Prinzipien Stufengemäßheit (vgl. Piaget) Aufbauprinzip Verinnerlichung Reflexion Operatives Prinzip Prinzip des operativen Durcharbeitens Variation Darstellungsebene Unwesentliches (Veranschaulichungsmittel, mathematische Variablen, Kontext, ) Ausgangssituation (Was passiert mit, wenn? ) Lösungsweg gesuchte Größen

136 136 Operatives Prinzip Wittmann: Objekte - Operationen - Wirkungen: Das operative Prinzip in der Mathematikdidaktik. Mathematik lehren 11, 1985 Objekte erfassen bedeutet, zu erforschen, wie sie konstruiert sind wie sie sich verhalten, wenn auf sie Operationen ausgeübt werden. Im Erkenntnisprozess wird systematisch untersucht, welche Operationen ausführbar und wie sie verknüpft sind, welche Eigenschaften und Beziehungen den Objekten durch Konstruktion aufgeprägt sind, welche Wirkungen Operationen auf Eigenschaften und Beziehungen der Objekte haben.

137 137 Spiralprinzip (an Leitideen orientiert) Heymann: Allgemeinbildung und Mathematik, Beltz, 1996, S Prinzip des vorwegnehmenden Lernens der Fortsetzbarkeit Zentrale Ideen des MU Zahl Messen räumliches Strukturieren funktionaler Zusammenhang Daten und Zufall Algorithmus mathematisches Modellieren

138 138 Sokratisches Prinzip????????? Lehrprinzip der Mäeutik Hebammenkunst Ausgangspunkt Menon-Sokrates-Dialog Pädagogische Grundhaltung Nicht belehren, sondern beim eigenen Entdecken und Urteilen helfen. Sokratisches Prinzip Lehrer initiiert und steuert durch Fragen den Problemlöseprozess der Schüler Lehrer hilft den Schülern, sich Wissen selbst anzueignen und ein Verständnis zu entwickeln Fragend-entwickelnder Unterricht

139 Menon-Sokrates-Dialog Sokrates A A = 2A a = 2 Fuß a =? Sklave a = 2a = 4 Fuß Sokrates a = 2a A =? Sklave A = 2A Sokrates 4 Ausgangsquadrate Sklave A = 4A Sokrates a = a = 2 Fuß A = A < 2A a = 2a = 4 Fuß A = 4A > 2A Sklave a = 3 Fuß Sokrates a = 3 Fuß A =? Sklave A = 9 Fuß² > 8 Fuß² = 2A Sokrates Wie dann? Sklave? Sokrates Didaktik der Mathematik Platon: Auszug aus dem Menon Sokrates Dialog a A a 139

140 140 Trichtermuster Bauersfeld, H. Kommunikationsmuster im Mathematikunterricht. In: Bauersfeld, Breidenbach (Hrsg.): Festschrift, Hannover, 1978, S Lehrerin: Schülerin: (schweigt) Lehrerin: da ist kein bestimmter Monat angegeben, dann nimmt man 30 Tage und rechnet mit den 30 Tagen, und in a) ist ja die Wassermenge von einem Tag schon angegeben. Und wie viel ist denn das für einen Monat? Na, du weißt, ein Monat hat 30 Tage. Schülerin: (bejahend) Hm Lehrerin: Und nun? Schülerin: (schweigt) Lehrerin: Schülerin: (schweigt) Lehrerin: Schülerin: 30 Tage. Lehrerin: Eine Stunde, du brauchst ja jetzt noch gar nicht zu sagen, wie viel ein Tag hat, das musst du ja erst ausrechnen, also ein Tag hat x Hektoliter. Und dann kannst du x Hektoliter mal wie viel nehmen? Na, wie viel haben wir gesagt für einen Monat? Eine Heilquelle hat eine Ausschüttung von 200 hl pro Stunde. Welche Wassermenge liefert sie a) täglich, b) monatlich, c) jährlich? Also x Hektoliter mal 30. Das wären die Hektoliter für einen Monat.

141 141 Genetisches Prinzip Wagenschein: Verstehen lehren. Beltz Verlag, Weinheim und Basel, Zentrales Anliegen Folge Mathematik nicht als Fertigprodukt lehren! Schüler sollen einen Einblick in den Prozess der Entstehung von Mathematik erhalten. (Genese = Entstehung, Entwicklung) Unterricht nach genetischem Prinzip ist problemlösender Unterricht Begriffe werden als Antworten auf Fragen mit bzw. von den Schülern entwickelt

142 142 Erdumfangsbestimmung (Eratosthenes) Jedes Jahr am 21. Juni wirft der Obelisk auf dem Marktplatz in Assuan (damals Syene) in Oberägypten zur Mittagszeit keinen Schatten. Die Sonne steht also zu dieser Zeit genau senkrecht über diesem Obelisk. Zur gleichen Zeit wirft der Obelisk auf dem Marktplatz im 5000 Stadien (ca km) nördlich von Assuan liegenden Alexandria einen deutlich erkennbaren Schatten. Eratosthenes hat den Winkel gemessen, den die Sonnenstrahlen mit dem Obelisken in Alexandria einschlossen. Der Winkel betrug 1/50 des Vollwinkels. Wie konnte Eratosthenes damit den Erdumfang bestimmen? Welches Ergebnis erhielt er? Umfang der Erde? Libyen Alexandria Ägypten Assuan (Syene)

143 143 Erdumfangsbestimmung (Eratosthenes) Bogenlänge und Winkel Verdoppelt man den Winkel α, so verdoppelt sich auch die Bogenlänge b α : 360 = 1 : 50 = b : x Syene - Alexandria: b = 1000 km Erdumfang 1 : 50 = 1000 : x Erdumfang: x = km Tatsächlicher Erdumfang: ca km Horologium

144 Prinzip der Beziehungshaltigkeit 144 Grundlage Wissen wird im Gedächtnis als Netzwerk von Beziehungen gespeichert. Neues Wissen heißt eingliedern in und erweitern von bereits vorhandene(n) Begriffsnetze(n). Stichworte Ausgehen von den Vorerfahrungen der Schüler kumulatives Lernen Kompetenzentwicklung erfahrbar machen Prinzip der Lebensnähe fachübergreifendes Lernen

145 145 Prinzip des produktiven Übens Produktives (sinnvolles) Üben ist keine isolierte Tätigkeit, ist mit Einsicht verbunden, findet regelmäßig statt, wird in die Erarbeitung neuer Inhalte integriert, geschieht in herausfordernden und anregenden Kontexten, orientiert sich an dem was wirklich gebraucht wird. Gegensatz: Stereotypes Üben geht nicht auf Fehlerursachen ein, bietet keine konstruktive Hilfe, trägt zur Verfestigung von Denkfehlern bei.

146 Offene Aufgabe: Quader kippen 146 Ein Glasquader wird teilweise mit Wasser gefüllt, auf einen Tisch gestellt und um eine seiner Bodenkanten gekippt. Die Grenzflächen des Wassers nehmen beim Kippen verschiedene geometrische Formen an, die sich auch in ihren Ausmaßen verändern. Versuche, so viele unveränderliche Beziehungen wie möglich bezüglich dieser Formen und deren Ausmaße zu finden. Notiere deine Entdeckungen und versuche sie zu begründen. b c = const. a + b = const.

147 147 Aufgabenvariation (Strategien) Schupp: Variatio delectat! Der Mathematikunterricht, Jahrgang 49, Heft 4, 2003, S und 53

148 Aufgabenvariation: Überlappende Quadrate 148 Überlappende Quadrate Bestimme die Größe der Schnittfläche EMFD! Was ist der größte (kleinste) Wert, den diese Überlappungsfläche annehmen kann? Einige Variationsmöglichkeiten Schlussfolgern: Was gilt für die Gesamtfläche aus den beiden Quadraten? Begriff abändern: Umfang statt Fläche Verallgemeinern: Zweites Quadrat hat Kantenlänge b. Der Drehpunkt ist nicht M. Analogisieren: Kreise statt Quadrate usw. Vgl. Pythagoras Beweis

149 149 Vollrath: Grundlagen des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe. Spektrum Akademischer Verlag, 2001, S Einführung in die Didaktik der Mathematik Begriffe erarbeiten

150 150 Begriffe Bausteine des Wissens charakterisieren Objektklassen verdichten Informationen Grundlage sprachlicher Kommunikation beeinflussen die Gedächtnisleistung beeinflussen das Problemlösen

151 151 Begriffe und Problemlösen Quelle von Problemstellungen Mittel zum Präzisieren von Problemstellungen Lösungshilfen für Probleme Lösungen von Problemen Mittel zur Sicherung von Problemlösungen

152 152 Rolle von Begriffen Leitbegriff eines Themenstrangs z. B. Symmetrie, Funktion, Wahrscheinlichkeit, Figur, Schlüsselbegriff einer Unterrichtssequenz z. B. Bruch, Proportionalität, Symmetrische Vierecke, Zentraler Begriff einer Unterrichtseinheit Begriff, der in der Unterrichtseinheit erarbeitet wird. Arbeitsbegriff Benennung, um über Sachverhalte überhaupt ohne Umschreibung sprechen zu können. Arbeitsbegriffe werden im Unterricht durch den Gebrauch vertraut.

153 Stufen des (Leit-) Begriffsverständnisses 153 Vollrath: Methodik des Begriffslehrens im MU. Ernst Klett Verlag, 1984, S Intuitives Begriffsverständnis Begriff als Phänomen Beispiele kennen Inhaltliches Begriffsverständnis Begriff als Träger von Eigenschaften Eigenschaften kennen Diff barkeit Integriertes Begriffsverständnis Begriff als Teil eines Begriffsnetzes Beziehungen von Eigenschaften untereinander und Beziehungen zu anderen Begriffen kennen Strukturelles Begriffsverständnis Begriff als strukturierbares Objekt Begriffe als Objekte, die verknüpft werden können. y x f g

154 Modelle langfristigen Begriffslernens 154 Lernen als Ersteigen von Stufen Reflexion und Analyse bereits erworbenen Wissens führt zu Wissen höherer Qualität. Höhere Stufe Lernen durch Erweiterung Neue Objekte beseitigen Grenzen, auf die man beim Operieren mit den bisherigen Objekten stößt. Vertrautes wird nun in neuem Licht gesehen. Z.B. Erweiterung von Zahlenmengen: rational, reell, komplex

155 155 Verstehen eines Begriffs Lernende haben einen Begriff verstanden, wenn sie Bezeichnung des Begriffs kennen, Beispiele angeben und jeweils begründen können, warum es sich um ein Beispiel handelt, begründen können, weshalb etwas nicht unter einen Begriff fällt, charakteristische Eigenschaften des Begriffs kennen, Ober-, Unter- und Nachbarbegriffe kennen, mit dem Begriff arbeiten können (z. B. im Rahmen von Problemlösungen)

156 Erarbeiten eines Begriffs Erfahrungen zum Begriff sammeln Handlungen (enaktive Repräsentation) Objekte darbieten Beispiele für Begriffe (ikonische Repräsentation) Merkmale entdecken Prinzip der Variation Prinzip des Kontrasts Sprache (benennen, beschreiben) Definition erarbeiten Genetische Definition Charakterisierende Definition Oberbegriff angeben Definierende Eigenschaft notwendige & hinreichende Bedingung Kritisch Reflektieren Definition durch möglichst schwache Forderung Bezeichnung: Herkunft / evtl. Abgrenzung gegen Umgangssprache Didaktik der Mathematik 156

157 Unterrichtsphasen (bei zentralen Begriffen) Einstieg An einem geeigneten Problemkontext werden erste Vorstellungen vom Begriff entwickelt. Erarbeitung Umfang & Inhalt des Begriffs herausarbeiten Sicherung Ergebnisse festhalten mit Hilfe geeigneter Aufgaben überprüfen, ob der Begriff erfasst ist und etwa gegen andere Begriffe abgegrenzt werden kann (z. B. Frage nach Beispielen und Gegenbeispielen) Vertiefung (Transfer) Querverbindungen zu anderen Begriffen herstellen Spezialfälle (insbesondere Grenzfälle) betrachten (z. B. auch Variation der definierenden Eigenschaften) Anwendungen, Didaktik der Mathematik Verankerung in kognitiver Struktur 157

158 Beispiel: Tangente an einen Kreis Einstieg Wie viele Punkte können ein Kreis und eine Gerade gemeinsam haben? Erarbeitung Tangente, 1 Berührpunkt, Sekante, 2 Schnittpunkte, Passante, keine gem. Punkte. Sicherung: Tangente zeichnen! Vertiefung: Didaktik der Mathematik Besitzt die Figur aus Kreis und Tangente eine Symmetrieachse? Ja! Tangente steht senkrecht zum Berührpunktradius. Wie kann man die Tangente konstruieren? k M B t 158

159 Beispiel: Tangente an einen Kreis 159 Vertiefung: Wie viele Tangenten an den Kreis verlaufen durch den Punkt P? Skizziere Sie! Wie kann man die Tangenten konstruieren? M P

160 160 Beispiel: Dreiecksgrundformen Roth: Dreiecksgrundformen. In: Praxis der Mathematik in der Schule, Heft 12, Dezember 2006, 48. Jg., S Grundverständnis der Begriffe gleichschenkliges Dreieck rechtwinkliges Dreieck spitzwinkliges Dreieck stumpfwinkliges Dreieck A C B Ziel: Erarbeitung einer Verständnisgrundlage Begriffe als bewegliche Strukturen aufbauen Begriffe flexibler verfügbar machen als mit statischen Prototypen

161 161 Gleichschenklige Dreiecke 1) Bewege den Punkt C so, dass Dreiecke entstehen, die a) gleichschenklig mit AC = BC sind, b) gleichschenklig mit AC = AB sind, c) gleichschenklig mit BC = AB sind. 2) Angabe von Kurven (Begründung) 3) Widerlegen bzw. vertrauensbildende Maßnahme durch Binden von C an die Kurven. 4) Beobachtung der Innenwinkel Basiswinkelsatz 5) Gleichseitige Dreiecke 75 3,6 cm A 60 C 5 cm 4,5 cm b B 45

162 162 Dreiecksgrundformen Merkbild

163 163 Eckpunkt wandert auf einer Kurve

164 164 Vollrath: Grundlagen des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe. Spektrum Akademischer Verlag, 2001, S Einführung in die Didaktik der Mathematik Sachverhalte erarbeiten

165 165 Sachverhalte?! Regeln für den Umgang mit mathematischen Objekten Eigenschaften von Begriffen Eigenschaften mathematischer Objekte Sachverhalte Beziehungen zwischen Begriffen Begründbare Aussagen Regeln Gesetze Sätze

166 166 Didaktische Aufgaben Entdecken von Sachverhalten Induktiv oder deduktiv Hypothesen widerlegen Beispiel: Quadrieren vergrößert. Formulieren der Sachverhalte als mathematische Aussagen Begründen der Aussagen Logische Struktur (Voraussetzung, Behauptung) herausarbeiten Ziele des Begründens Wahrheit einer Aussage sichern Einsicht in den Sachverhalt vermitteln 2² = 4 > 2 3² = 9 > 3 4² = 16 > 4 a² > a a R\[0;1] Fallunterscheidung Verstehen der Sachverhalte Ziel: Anregen von geistigen Prozessen, die zu (neuen) mathematischen Erkenntnissen führen

167 Verschiedene Begründungsweisen 167 Erfahren von Handlungsspielräumen und Sachzwängen Probieren Messen b + b , ,

168 Verschiedene Begründungsweisen 168 Sonderfall Beweis Parallelwinkel (2. AHS) Zwei Parallelwinkel sind entweder gleich groß oder sie ergänzen einander auf = + b +

169 Skizze einer Unterrichtseinheit Binomische Formel 169 Einstieg: Erarbeitung: Ergebnis: Die Seitenlänge a eines Quadrates wird um b vergrößert. Wie ändert sich der Flächeninhalt des Quadrates? ( a + b ) 2 ( a + b ) 2 = 2 ( a + b ) = 2 a + 2ab Binomische Formel + b 2 = ( a + b ) ( a + b ) = a 2 + ab + ab + b 2 2 = a + 2ab + b 2 2 a 2ab Sicherung: (x + y) 2, (x + 3) 2, (5 + z) 2, (a + 2b) 2, (x 2 + y 3 ) 2, c 2 + 2cd + d 2, + b b a ab a² a b² ab + 2 Probleme: (a+b)² = a²+b² (2xy+3vw)² b Vertiefung: Verwandle (a b)² in eine Summe. Lässt sich diese Aussage geometrisch deuten?

170 170 Vertiefung: Skizze einer Unterrichtseinheit Binomische Formel Verwandle (a b)² in eine Summe. Lässt sich diese Aussage geometrisch deuten? 2 ( a + b ) = 2 ( a - b ) = 2 a - b 2 = ( b ) a - b 2 a + 2ab 2 a - 2ab Wie lässt sich die 3. binomische Formel geometrisch darstellen? a + ( ) + b 2 + b 2

171 Vollrath: Grundlagen des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe. Spektrum Akademischer Verlag, 2001, S Einführung in die Didaktik der Mathematik Algorithmen erarbeiten Didaktik der Mathematik Algorithmus = (Lösungs-)Verfahren 171

172 172 Didaktische Aufgaben Verfahren Schrittfolgen, die abzuarbeiten sind. Ziele: Die Schüler Alle Schritte begründen. (Beitrag zur Lösung verdeutlichen) Das verstandene (!) Verfahren durch Anwendung üben. eignen sich das Verfahren an (Primat des Verstehens) (d. h. sie verstehen es und können es anwenden) können zwischen dem Ziel und dem Weg dahin unterscheiden (Ziel: +2 auf die andere Seite bringen ; Weg: Auf beiden Seiten 2 subtrahieren. ) denken über Alternativen nach und versuchen, den gefundenen Algorithmus zu verbessern, notieren das Lösungsschema mit zunehmendem Alter als Algorithmus, der von Computern ausführbar ist.

173 Benötigte Vorkenntnisse und Fähigkeiten 173 Voraussetzungen für das Lernen eines Verfahrens Beherrschung einer Regelhierarchie Zur Sicherstellung sind Wiederholungen nötig Beispiel für eine Fähigkeitshierarchie Schriftliche Multiplikation mehrstelliger Zahlen miteinander Schriftliche Addition mehrstelliger Zahlen Schriftliche Multiplikation mehrstelliger Zahlen mit einer einstelligen Zahl Einspluseins im Kopf Kleines Einmaleins im Kopf

174 174 Euklidischer Algorithmus (ggt) 72 = = = =

175 175 Euklidischer Algorithmus (ggt) Der größte gemeinsame Teiler (ggt) zweier Zahlen lässt sich über die Primfaktorzerlegung oder den Euklidischen Algorithmus bestimmen. 72 = = 1 + = = 1 + = = = ggt(72, 51) =? 3 51

176 Heron-Verfahren (Wurzelberechnung) 176 Berechnungsgrundlage für Straßenreinigungsgebühren An die Straße grenzende Grundstückslänge (Frontmetermaßstab). Der Eigentümer von Grundstück B muss mehr bezahlen als der von Grundstück A, obwohl Grundstück A größer ist. Gemeinderat: Für ein größeres Grundstück mehr zahlen. Lösung: Quadratwurzelmaßstab als Bemessungsgrundlage Straßenreinigungsgebühren werden aus der Seitenlänge eines zum Grundstück flächeninhaltsgleichen Quadrats berechnet. Frage: Wie findet man die Seitenlänge dieses Quadrats? A B

177 177 Heron-Verfahren (Wurzelberechnung) Gesucht: A a 0 = 4 Anfangswert: a 0 a b = n n + 1 = A a a n n + 2 b n b A a = = b A a = = 1 1 A = 24 4, 8 a + b a = = 1 5

178 Schwierigkeiten und Überraschungen 178

179 179 Vollrath: Grundlagen des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe. Spektrum Akademischer Verlag, 2001, S Einführung in die Didaktik der Mathematik Anwenden und Modellieren

180 180 Anwenden?! Mathematik anwenden innermathematische Anwendung außermathematische Anwendung Ziel: Querverbindungen zwischen mathematischen Gebieten herstellen Ziel: Nutzen der Mathematik verdeutlichen & motivieren 1. Weg: Einstieg in neues Gebiet mit einem praktischen Problem 2. Weg: Anwendungsbeispiele nach Erarbeitung eines Gebietes

181 181 Geistige Abenteuerlust Es geht nicht um frisierte, also mindestens bereinigte oder eingekleidete Sachaufgaben, sondern um die Auseinandersetzung mit realen Problemen. Die Schüler sollen das Modellieren an einfachen Beispielen selbst erfahren und darüber reflektieren können.

182 182 Beispiel: Standzylinder Kann man die Flüssigkeit aus dem linken Standzylinder in den rechten Standzylinder schütten, ohne dass er überläuft? Modell: zwei kreisförmige Zylinder mit R = 3r. V = R 2 π h = (3r) 2 π h = 9 r 2 π h Antwort: Nein, dazu müsste der rechte Zylinder mind. 9mal so hoch wie der Flüssigkeitsstand im linken Zylinder sein.

183 183 Modellierungskreislauf reales Modell Mathe- matisieren mathem. Modell Idealisieren Strukturieren Vereinfachen Präzisieren mathematische Überlegungen reale Situation Anwenden Interpretieren Validieren mathem. Resultate

184 184 Beispiel: Luft-Nummer Viel heiße Luft bringt einen mit Sicherheit nach oben. Niemand weiß das besser als lan Ashpole. Der 43- jährige stand in England auf der Spitze eines Heißluftballons. Die Luftnummer in 1500 Meter Höhe war noch der ungefährlichste Teil der Aktion. Kritischer war der Start: Nur durch ein Seil gesichert, musste sich Ashpole auf dem sich füllenden Ballon halten. Bei der Landung strömte dann die heiße Luft aus einem Ventil direkt neben seinen Beinen vorbei. Doch außer leichten Verbrennungen trug der Ballonfahrer keine Verletzungen davon. Wie viel Liter Luft sind wohl in diesem Heißluftballon?

185 185 Einführung in die Didaktik der Mathematik Problemlösen

186 186 Mathematik im Entstehen

187 187 Mathematik und Kochen

188 188 Was ist ein Problem? A problem is a situation in which a person wants to reach a particular goal, is somehow blocked from reaching that goal, but has the necessary motivation, knowledge and other resources to make a serious effort (not necessarily successful) at reaching the goal (Willoughby, 1990).

189 189 Strategien Vorwärtsarbeiten Was ist gegeben? Was weiß ich über das Gegebene? Was kann ich daraus ermitteln? Rückwärtsarbeiten Invarianzprinzip Was ist gesucht? Was weiß ich über das Gesuchte? Was benötige ich, um das Gesuchte zu ermitteln? Was ändert sich nicht? Was haben alle Objekte gemeinsam? Zerlegungsprinzip ( divide et impera ) Welche Teilfragen sind zu lösen? Spezialisieren, Analogisieren, Konkretisieren

190 Heuristische Hilfsmittel x x² Tabelle Ausprobieren! Welche Werte sollen in die Tabelle eingetragen werden? n+(n+1)+(n+2) = 3n+3 = 3 (n+1) Didaktik der Mathematik Informative Figur Hilft beim Verständnis des Problems. Beim Zeichnen wird deutlich, welche Informationen zur Lösung benötigt werden. Was benötige ich, um das Gesuchte zu ermitteln? Gleichung / Term Beziehungen der Informationen werden verknüpft dargestellt. Nicht immer notwendig! 190

191 191 Wie sucht man die Lösung? Polya: Die Schule des Denkens. Francke Verlag,1995 Erstens Du musst die Aufgabe verstehen. Zweitens Suche den Zusammenhang zwischen den Daten und der Unbekannten. Du musst vielleicht Hilfsaufgaben betrachten, wenn ein unmittelbarer Zusammenhang nicht gefunden werden kann. Du musst schließlich einen Plan der Lösung erhalten. Drittens Führe deinen Plan aus. Viertens Prüfe die erhaltene Lösung.

192 192 Wie sucht man die Lösung? Polya: Die Schule des Denkens. Francke Verlag,1995

193 193 Wie sucht man die Lösung? Polya: Die Schule des Denkens. Francke Verlag,1995 4, Umschlaginnenseite

196 196 Einfache Einstiegsprobleme Roth: Online-Spiele im Mathematikunterricht?! In: Mathematik lehren, Heft 146, Februar 2008, S

197 197 Beispiel: Anzahl von Wegen Auf wie vielen Wegen kannst du von A nach B kommen, wenn du nur nach Norden oder Osten gehen darfst?

198 198 Beispiel: Anzahl von Wegen Hals: Problem Solving, 2010 Auf wie vielen Wegen kannst du von A nach B kommen, wenn du nur nach Norden oder Osten gehen darfst? 1 Einfachere Teilprobleme (Divide et impera)

199 199 Beispiel: Anzahl von Wegen Auf wie vielen Wegen kannst du von A nach B kommen, wenn du nur nach Norden oder Osten gehen darfst? Aufgabenvariation: Was passiert bei a) 8 x 8 Blöcken? b) n x n Blöcken? c) n x m Blöcken? d) Drei Dimensionen?

200 200 Beispiel: Dreiecksabstände Hals: Problem Solving, 2010 Gleichseitiges Dreieck. Kannst du einen Zusammenhang zwischen x, y, z und h finden? Beweise deine Vermutung. Langweilig!

201 201 Was ist ein Problem? A problem is a situation in which a person wants to reach a particular goal, is somehow blocked from reaching that goal, but has the necessary motivation, knowledge and other resources to make a serious effort (not necessarily successful) at reaching the goal (Willoughby, 1990).

202 202 Beispiel: Surfer Hals: Problem Solving, 2010 Ella und Judith sind exzellente Surfer. Sie möchten eine Hütte auf ihrer dreieckigen Trauminsel bauen, wo es an zumindest einem der drei genau gleich langen Strände immer gute Surfbedingungen gibt. Wo sollen sie ihre Hütte bauen, damit die Summe der Abstände zu den drei Stränden so klein wie möglich ist? Kannst du beweisen, dass du richtig liegst?

203 203 Gleichseitiges Dreieck Wir beweisen, dass x + y + z = h Total area = Total area = s h 2 s x s y s + + z s x s y s z s + + = h s x+ s y + s z = s h x + y + z = h Satz von Viviani Geometrischer Beweis

204 204 Beispiel: Surfer Unrealistisch, weil es keine dreieckigen Inseln gibt. Stimmt nicht! Sviðinsey, Island

205 205 Beispiel: Hubschrauber Zech: Grundkurs Mathematikdidaktik. Beltz Verlag, Weinheim, Basel, 1998, S. 319 Zwei Orte A und B liegen 245 km voneinander entfernt. In Ort A startet ein Auto in Richtung Ort B und legt durchschnittlich in einer Stunde 60 km zurück. Gleichzeitig startet in Ort B ein Auto in Richtung Ort A und legt in der Stunde durchschnittlich 80 km zurück. Während die beiden Autos losfahren, startet gleichzeitig ein Hubschrauber in Ort A. Der Hubschrauber fliegt mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 240 km/h in Richtung Ort B. In dieser Richtung fliegt er so lange, bis er auf das Auto aus B trifft. Er wendet ohne Zeitverlust und fliegt in Richtung Ort A, bis er auf das Auto, das in Ort A gestartet ist, trifft. Auf diese Weise fliegt der Hubschrauber immer zwischen den beiden Autos hin und her, bis die Fahrzeuge sich treffen. Wie viele Kilometer legt der Hubschrauber währenddessen zurück?

206 206 Beispiel: Hubschrauber 240 km/h km/h 80 km/h 245 km 245 km km 140 h = 1,75 h km 240 1,75 h = 420 km h

207 207 Beispiel: Hubschrauber

213 213 Hilfen beim Problemlösen Zech: Grundkurs Mathematikdidaktik. Beltz,1998, S. 315 So wenig wie möglich, aber so viel wie nötig. Motivationshilfen Rückmeldungshilfen Allgemeinstrategische Hilfen Inhaltsorientierte strategische Hilfen Inhaltliche Hilfen

214 214 Hilfen beim Problemlösen Zech: Grundkurs Mathematikdidaktik. Beltz,1998, S. 319 Motivationshilfen Rückmeldungshilfen Allgemeinstrategische Hilfen Inhaltsorientierte strategische Hilfen Inhaltliche Hilfen Die Aufgabe ist nicht schwer. Du bist auf einem richtigen Weg. Lies die Aufgabe genau durch. Versuche deine Kenntnisse zu anzuwenden. Zeichne folgende Hilfslinie ein. Du kannst das schaffen. Du stehst kurz vor der Lösung. Notiere gegebene Daten. Versuche graphisch zu lösen. Denk an den Zusammenhang Man braucht nicht viel Zeit zur Lösung. Da musst du noch einmal nachrechnen Erstelle eine Skizze. Überprüfe die Größenordnung der Ergebnisse. Versuche aus den gegebenen Größen die fehlende zu berechnen. Man findet schnell Lösungsideen. Mach weiter so. Überprüfe deinen Lösungsweg. Überprüfe die Ergebnisse am Text. Jetzt weißt du, also!

215 Anforderungsniveau von Problemen 215 Anschaulichkeit bzw. Abstraktionsgrad Formalisierungs- bzw. Mathematisierungsgrad Bekanntheit Komplexität

216 216 Lernen von Heurismen Bruder: Lernen geeignete Fragen zu stellen Heuristik im MU. In: Mathematik lehren 115, Dezember 2002, S. 4-8 Schritte beim Lernen von heuristischen Strategien Implizite Gewöhnung an heuristische Vorgehensweisen und zugehörige typische Fragestellungen Strategie an Hand von Musteraufgaben explizit vorstellen Übungsphase mit Aufgaben unterschiedlicher Schwierigkeit, in denen die neue Strategie bewusst angewandt werden soll. Anstreben einer unterbewussten flexiblen Strategieanwendung Reflexionsphase: Beschreibung mit heuristischer Fragetechnik

217 217 Einführung in die Didaktik der Mathematik Rahmenbedingungen des Mathematikunterrichts

218 218 Anthropogene Bedingungen Alter der Schüler (S) und Lehrer (L) Entwicklungsstand (S) Geschlecht (S) allgemeines Interesse (S/L) Einstellung zur Mathematik (S/L) Begabung / Intelligenz (S) Leistungsstand und Lernvoraussetzungen (S) Lerntempo (S) Mitarbeit (S) Zech: Grundkurs Mathematikdidaktik. Beltz Pädagogik, , S. 36 Disziplin (S) fachliche und didaktische Kompetenz (L) Engagement für Schüler und Unterricht (L) Klassenatmosphäre Gruppierungen innerhalb der Klasse Arbeitsstil der Klasse Heftführung, Gruppenarbeit, Hausaufgaben

219 219 Soziokulturelle Bedingungen Schultyp Stadt- oder Landschule Größe der Schule Größe der Klasse Relation Jungen Mädchen soziale Herkunft (S), Berufe der Eltern häusliches Milieu, familiäre Situation Vorgeschichte der Klasse frühere L. ausgefallener Unterricht Lehr- & Unterrichtspläne Zech: Grundkurs Mathematikdidaktik. Beltz Pädagogik, , S. 36 innerschulische Organisationsform Vertiefender Zweig, Wahlpflichtfach,... Besonderheiten personeller oder materieller Ausstattung Lehrbuch, Medien, Projektor, räumliche Gegebenheiten Architektonische Gestaltung Gruppenräume Sitzordnung zeitlicher Rahmen Stundenplan

220 220 Faktoren für den Lernerfolg Gerhard Roth: Wie Lernen gelingt, Bremen 2010 Faktoren für den Lernerfolg Persönlichkeit, Kompetenz und Vertrauenswürdigkeit des Lehrenden Aufbereitung des Stoffes durch den Lehrenden Persönlichkeitseigenschaften des Lernenden: Intelligenz, Motivation und Fleiß Aufmerksamkeit Vorwissen und Anschlussfähigkeit des Stoffes Wiederholung des Stoffes

221 221 Lehrerpersönlichkeit Gerhard Roth: Wie Lernen gelingt, Bremen 2010 Wissensvermittlung ist eine Sache des Vertrauens in den Lehrenden Soll ich mich darauf verlassen, dass das, was der Lehrende erzählt, stimmt? Nur derjenige Lehrer, der vertrauenswürdig und kompetent wirkt, ist ein guter Lehrer. Persönlichkeitseigenschaften des Lehrenden Fachliche Kompetenz Selbstvertrauen Gerechtigkeit Glaubwürdigkeit Feinfühligkeit

222 222 Vertrauenswürdigkeit Gerhard Roth: Wie Lernen gelingt, Bremen 2010 Die Vertrauenswürdigkeit eines Menschen hängt von wenigen, automatisierten und mehrheitlich unbewusst wirkenden Faktoren ab: Blick und Länge des Blickkontakts Augenstellung und Mundwinkelstellung Gestik Schulter-und Körperhaltung Stimme, Sprachmelodie und Sprachführung

223 223 Schülerpersönlichkeit Gerhard Roth: Wie Lernen gelingt, Bremen 2010 Wichtige Persönlichkeitseigenschaften des Lernenden Intelligenz Motivation & Fleiß Aufmerksamkeit Intelligenz Intelligenz ist die Fähigkeit, sich in neuen Situationen aufgrund von Einsicht zurechtzufinden, Aufgaben mithilfe des Denkens zu lösen, wobei nicht auf eine bereits vorliegende Lösungen zugrückgegriffen werden kann, sondern diese erst aus der Erfassung von Beziehungen abgeleitet werden muss. (Stern und Neubauer, 2007) Kurz: Intelligenz ist kreatives Problemlösen unter Zeitdruck

224 224 Verteilung der Intelligenzleistung (IQ) Normal intelligent: IQ (68%) Hochbegabt: IQ > 115 (14%) Intelligenzentwicklung Die Varianz der Intelligenz in einer Population geht nur zum Teil auf erbliche Faktoren zurück mit ca. 15 Jahren weitgehend abgeschlossen Verteilung der Intelligenzleistung (IQ) Gerhard Roth: Wie Lernen gelingt, Bremen 2010 Man nimmt an, dass Umwelteinflüsse eine maximale Auswirkung im Bereich von 20 IQ-Punkten haben Beispiel: Ein angeborener IQ von 100 kann sich unter guten Bedingungen (Förderung) zu einem IQ von 110 entwickeln oder unter negativen Bedingungen auf 90 zurück fallen.

225 225 Intelligenz, Schulerfolg & Förderung Zusammenhang zwischen Intelligenz und Leistung bzw. Erfolg Der Intelligenzgrad ist der beste Prädiktor für schulischen Erfolg (gemessen an den Schulnoten). Schulnoten sind wiederum der beste Prädiktor für den Studienund Berufserfolg. Allerdings liegt der Einfluss des Intelligenzgrades auf den schulischen Erfolg nur bei ca % und sinkt bei höheren Ausbildungsstufen auf ca %, hat aber immer noch die relativ beste Vorhersagekraft. Förderung Gerhard Roth: Wie Lernen gelingt, Bremen 2010 Positive frühkindliche Bindungserfahrung und frühe sensorische, kognitive und kommunikative Erfahrungen. Langjähriger Schulbesuch verbunden mit vielseitiger kognitiver, musischer und körperlicher Anregung und nachhaltigem Üben.

226 226 Motivation & Fleiß Gerhard Roth: Wie Lernen gelingt, Bremen 2010 Neben Intelligenz sind Motivation und Fleiß die wichtigsten Bedingungen für den Lernerfolg. Motivation zum Lernen und Fleiß sind wie Intelligenz teils abhängig von der Persönlichkeit (Gewissenhaftigkeit, Ausdauer, Zielorientierung, Belohnungserwartung), teils sind sie umweltabhängig, insbesondere von prägenden Faktoren in Kindheit und früher Jugend wie einem lernbegünstigenden und intellektuell offenem Familienklima, dem Vorbild der Eltern, Ermutigung und frühen Lernerfolgen. Dies erklärt, warum Motivation und Fleiß signifikant mit dem Bildungsgrad der Eltern korrelieren. Die Einstellung zum Fleiß ist in Deutschland (und Österreich) deutlich geschlechts-spezifisch ausgeprägt: bei Mädchen wird Fleiß toleriert, bei Buben gilt er als uncool. Dies drückt signifikant die Schulleistung der Buben.

227 227 Episodisches Gedächtnis Gerhard Roth: Wie Lernen gelingt, Bremen 2010 Lernen geschieht primär über das episodischkontextuelle Gedächtnis, d.h. über Inhalte, die mit mir und meiner Umgebung zu tun haben. Abstraktes Wissen ist kontextlos und deshalb schwer direkt zu vermitteln. Abstraktes Wissen entsteht normalerweise über eine Filterung episodischen Wissens durch zunehmenden Fortfall des Kontextes. Daher ist es gut, Inhalte lebensnah und kontextreich darzubieten.

228 228 Hirngerechte Darbietung des Stoffes Hirngerechte Darbietung des Stoffes Kurze Einführung in den Inhalt und Überprüfen des Vorwissens. Unterteilung des Stoffes in kurze, inhaltlich zusammenhängende Abschnitte von maximal 5 Minuten. Dann eine Denkpause, in der kurz geklärt wird, ob alles verstanden wurde. Dann erst weiter. Zum Schluss Zusammenfassung des Vorgetragenen bzw. gemeinsam Erarbeiteten Wiederholung in kürzeren und längeren Abständen ist wichtig, z.b. nach 6 Stunden, 24 Stunden, 2 Wochen und 6 Wochen. Nichts wird mit einem Mal gelernt. Gerhard Roth: Wie Lernen gelingt, Bremen 2010 (Vergleiche sinnvoll-rezeptives Lernen nach Ausubel)

229 229 Merkmale guten Unterrichts Hilbert Meyer Vorbereitete Umgebung Klare Strukturierung Hoher Anteil echter Lernzeit Leistungserwartung transparent Lernförderliches Klima Intelligentes Üben Inhaltliche Klarheit Methodenvielfalt Individuelles Fördern Sinnstiftendes Kommunizieren

230 230 Merkmale der Unterrichtsqualität Andreas Helmke Passung: Umgang mit Heterogenität Führung & Zeitnutzung effizient Vielfältige Motivierung Strukturiert, klar, verständlich Lernförderliches Klima Konsolidieren, sichern, intelligent üben an Ziel, Wirkung & Kompetenz orientiert Aktives & selbstständiges Lernen fördern Sinnvolle Variation v. Methode & Sozialform Schülerorientierung Unterstützung

231 231 Differenziert fördern Höhmann: Differenziert fördern. In: Guter Unterricht. Friedrich Jahresheft XXV, 2007, S. 56f

232 232 Differenziert fördern Höhmann: Differenziert fördern. In: Guter Unterricht. Friedrich Jahresheft XXV, 2007, S. 56f

233 233 Vollrath: Grundlagen des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe. Spektrum Akademischer Verlag, 2001, S Einführung in die Didaktik der Mathematik Unterrichtsplanung

234 Unterrichtsplanung Leistungsbeurteilung 234 Unterrichtsplanung Fachpraktische Übung, 1. Abschnitt PS Unterrichtsplanung (Pädagogik) SE Schulpraktisches Seminar I (Mathematik Didaktik) Leistungsbeurteilung Übungsphase, 2. Abschnitt PS Unterrichten und Beurteilen (Pädagogik) SE Schulpraktisches Seminar II (Mathematik Didaktik): konkrete Informationen über die geltenden Bestimmungen und praktische Beispiele, z.b. gemeinsame Schularbeitskorrektur Wichtigste Frage dabei: Wie lassen sich die gesetzlichen Bestimmungen in der Praxis pädagogisch sinnvoll umsetzen? Unterrichtspraktikum nach Studienabschluss Spezieller Tag zur Leistungsbeurteilung im Fach Mathematik Für Interessierte: Leistungsbeurteilungsverordnung (LBVO, bm:ukk)

235 235 Jahresplanung Jahresplanung nach jeweiligem Lehrplan Siehe Kapitel Lehrpläne in Österreich Zeitlicher Umfang der Behandlung von Themen Gefahr: Man hält sich bei einzelnen Themen (zu Beginn des Schuljahres) zu lange auf und hat am Ende zu wenig Zeit für wesentliche Gebiete. Bildung von Unterrichtssequenzen Entwicklung, Vertiefung, Erarbeitung, Erfassen von Zusammenhängen benötigt mehrere zusammenhängende Unterrichtseinheiten. Anordnung der Unterrichtssequenzen Sachlogik Didaktische Prinzipien

236 236 Beispiel: Jahresstoffverteilung 2. Klasse Gymnasium Sandra Reichenberger, Gymnasium Dachsberg, 2009/10 September I.Teilbarkeit natürlicher Zahlen 1. Teiler, Vielfache 2. Teilbarkeitsregeln 3. Primzahlen 4. ggt 5. kgv Oktober II. Brüche und Bruchzahlen 1. Wiederholung (Erweitern und Kürzen) 2. Bruch als angezeigte Division 3. Bruchzahlen auf dem Zahlenstrahl 4. Vergleichen und Ordnen von Bruchzahlen III. Das Koordinatensystem 1. Punkte und Geraden im Koordinatensys. IV. Der Winkel 1. Bezeichnungen - Winkelmaße 2. Übertragen von Winkeln 3. Parallelwinkel und Normalwinkel November V. Das Dreieck 1. Bezeichnungen und Winkelsumme 2. Dreiecke mit besonderen Eigenschaften 3. Dreieckskonstruktionen 4. Flächeninhalt rechtwinkeliger Dreiecke 5. Besondere Linien und Punkte Dezember II. Brüche und Bruchzahlen 5. Addieren und Subtrahieren 6. Multiplzieren und Dividieren Jänner 7. Verbindung der Grundrechnungsarten VI. Symmetrie 1. Symmetrische Figuren 2. Streckensymmetrale 3. Winkelsymmetrale

237 237 Februar VII. Gleichungen und Formeln 1. Lösen von Gleichungen 2. Arbeiten mit Formeln März VIII. Vierecke und Vielecke Beispiel: Jahresstoffverteilung 2. Klasse Gymnasium Sandra Reichenberger, Gymnasium Dachsberg, 2009/10 1. Allgemeine Vierecke 2. Parallelogramm 3. Trapez 4. Deltoid 5. Vielecke IX. Direkte und indirekte Proportionalität 1. Direkte Proportionalität April Mai Juni Juli X. Prozentrechnung XI. Regelmäßige Vielecke XII. Das Prisma XIII. Statistik XV. Projekt 2. Indirekte Proportionalität 3. Vermischte Aufgaben 1. Grafische Darstellung 2. Rechnen mit Prozenten 1. Konstruktion 1. Eigenschaften und Formen 2. Netz und Oberfläche 3. Rauminhalt 1. Relative Häufigkeit 2. Datendarstellung und Manipulation

238 238 Unterrichtssequenz Entscheidung über die Didaktische Konzeption Hintergrundtheorie (Beispiel: Bruchrechnung) Roter Faden (Schlüsselbegriff, durchgängige Problemstellung, durchgängige Methode) Auswahl der Inhalte Welche Begriffe, Sachverhalte, Verfahren, Anwendungen und Probleme sollen wie ausführlich bearbeitet werden? Lehre nichts, was dem Schüler dann, wenn er es lernt, noch nichts ist, und lehre nichts, was dem Schüler später nichts mehr ist! (Diesterweg) Anordnung/Verteilung der Inhalte Genetisches Prinzip, operatives Prinzip, Prinzip der Isolation der Schwierigkeiten, Vom Leichteren zum Schwereren Unterrichtseinheiten nicht überladen Gründlich beginnen und tragfähige Vorstellungen aufbauen

239 239 Unterrichtseinheit Einstieg Erarbeitung Sicherung Vertiefung Ergebnisse festhalten Erreichen der Lernziele mit Hilfe geeigneter Aufgaben überprüfen

240 240 Unterrichtseinheit Einstiege sollen die Schüler motivieren, sich mit mathematischen Fragestellungen auseinander zu setzen den Unterricht von Beginn an problemorientiert ausrichten den Unterrichtsverlauf (vor-)strukturieren Übungen sollen neue Entdeckungen zulassen problemorientiert sein das operative Prinzip berücksichtigen (Variation von Darstellungsebene und Ausgangssituation) produktiv sein (d.h. möglichst mit praktischen Tätigkeiten verbunden) anwendungsorientiert sein (d.h. Sachsituationen mit einbeziehen und praktische Erfahrungen vermitteln)

241 Grundfragen der Unterrichtsplanung 241 Wie ist die fachliche Struktur des Themas? Wie kann das Thema erarbeitet werden? Welche Voraussetzungen (Wissen & Fähigkeiten) müssen die Schüler mitbringen? Welche Lernziele sollen erreicht werden? Wie sollen die Schüler motiviert werden? Wie soll der Einstieg in das Thema erfolgen? Welche Repräsentationsformen sind angemessen? Welche Medien sollen eingesetzt werden? In welchen Sozialformen soll gearbeitet werden? Welcher Grad der Selbsttätigkeit wird angestrebt? Wie soll geübt und vertieft werden?

242 Sozialformen und Selbsttätigkeitsgrad 242 Sozialform Selbsttätigkeit Instruktion gelenktes Entdecken nur Impulse Klassen- bzw. Frontalunterricht Lehrervortrag Freies Unterrichtsgespräch Fragendentwickelnder Unterricht Gruppenarbeit Gruppeninstruktion Partnerarbeit Partnerinstruktion Einzelarbeit Individualisierte Instruktion

243 Beispiel: Unterrichtssequenz Flächeninhalte, 3. Klasse AHS 243 Inhalte Flächeninhalt des Dreiecks Flächeninhalt des Parallelogramms Flächeninhalt des Trapezes inhaltsgleiche Figuren Querverbindung zu binomischen Formeln Lehrplan AHS Unterstufe 3.3 Arbeiten mit Figuren und Körpern Formeln für Flächeninhalte von Dreiecken und Vierecken begründen und damit Flächeninhalte berechnen können

244 244 Themenkreis Flächeninhalt Flächeninhalt?! Axiome des Flächeninhalts Flächenmessung Flächenvergleich Seitenlängen aus N Ergänzungsgleichheit Zerlegungsgleichheit Seitenlängen aus Q + Seitenlängen aus R +

245 Stufen beim Erarbeiten von Größen Stufe: Erfahrungen in Sach- und Spielsituationen sammeln 2. Stufe: Direktes Vergleichen von Repräsentanten 3. Stufe: Indirektes Vergleichen mit Hilfe selbst gewählter Maßeinheiten ein drittes Objekt als Vermittler benutzen ein Objekt als selbst gewählte Einheit benutzen 4. Stufe: Indirektes Vergleichen mit Hilfe standardisierter Maßeinheiten, Messen mit verschiedenen Messgeräten 5. Stufe: Umrechnen: Verfeinern und Vergröbern der Maßeinheiten 6. Stufe: Aufbau von Größenvorstellungen (!!) 7. Stufe: Rechnen mit Größen

246 246 Axiome des Flächeninhalts Nichtnegativität Die Maßzahl A des Flächeninhalts ist nichtnegativ. (A 0) Normierung Ein Quadrat der Seitenlänge 1 LE hat den Flächeninhalt A = 1 LE 2. Additivität Der Flächeninhalt einer Figur ist gleich der Summe der Flächeninhalte der Teilfiguren, in die die Fläche zerlegt werden kann. Kongruenz Kongruente Figuren haben denselben Flächeninhalt.

247 Rechtecksflächeninhalt (a, b N) 247 Flächenmessung Auslegen mit Einheitsquadraten. b Reihen, zu je a Einheitsquadraten A = a b b 1 LE² a

248 Flächengleiche Figuren: Tangram 248

249 249 Flächeninhaltsbestimmung Rechteck Flächenmessung, d. h. Auslegen mit Einheitsquadraten Dreieck Flächenvergleich mit dem Rechteck Vieleck Fläche des Rechtecks: A Rechteck = g * h Formel deshalb ist die Fläche des Dreiecks A Dreieck = 1/2 * g * h Regler nach rechts ziehen > Triangulierung (Einteilen in Dreiecke) A g C h Das Dreieck kann an den Eckpunkten verändert werden B A C h Regler nach rechts ziehen > R B Kreis (4. Klasse AHS) Einschachtelung

250 250 Kreisinhaltsbestimmung

251 Fläche eines Kontinents (Antarktis) 251 Schätze die Fläche der Antarktis, indem du den Maßstab der Karte benutzt. Schreibe deine Rechnung auf und erkläre, wie du zu deiner Schätzung gekommen bist. Du kannst in der Karte zeichnen, wenn dir das bei deiner Schätzung hilft. Kilometer PISA-Aufgabe

252 Idee: Mit Einheitsfläche auslegen Schätze die Fläche der Antarktis, indem du den Maßstab der Karte benutzt. Schreibe deine Rechnung auf und erkläre, wie du zu deiner Schätzung gekommen bist. Du kannst in der Karte zeichnen, wenn dir das bei deiner Schätzung hilft. Kilometer PISA-Aufgabe Didaktik der Mathematik Fläche mit Schelfeistafeln: km 2 252

253 253 Parallelogramm D C A B D C A B

254 Flächeninhaltsbestimmung am Trapez 254

255 255 Projekte Ludwig: Projekte im Mathematikunterricht des Gymnasiums. Franzbecker, 1998 Projektthemen sollen aus den Inhalten der Jahrgangsstufe erwachsen. möglichst mehrere mathematische Themen miteinander verbinden und früher behandelte Inhalte einbeziehen. möglichst Verbindungen zu anderen Fächern herstellen. einen Bezug zum Leben haben. fachliche und historische Hintergründe erhellen können. Möglichkeiten zur Entfaltung von Ideen und zu selbstständiger Tätigkeit bieten. unterschiedliche Interessen und Fähigkeiten ansprechen. die Beschaffung notwendiger Informationen durch die Schüler erlauben. ergiebig sein, also Arbeit in mehreren Gruppen ermöglichen und Einsichten vermitteln. so gestaltet sein, dass am Ende etwas vorgezeigt werden kann.

256 256 Projektorganisation Projektorganisation Zeitraum (benötigt / zur Verfügung stehend) Gruppen Präsentation Materialien Kosten (evtl. Sponsoring) Beispiel Einparken, Oberstufe SE Aktuelle Themen der Fachdidaktik

257 257 Methodik Wie? Wie kann man ein mathematisches Thema unterrichten? Wahl von Einstiegen, Sozialformen, Lernformen Stellung von Arbeitsaufträgen, Erklärungen Ergebnissicherung, Übungsformen Computereinsatz Formen der Diagnose und Leistungsbeurteilung SE Methodik des Mathematikunterrichts Barzel, Büchter, Leuders (2007): Mathematik Methodik - Handbuch für die Sekundarstufe I und II. Cornelsen Verlag, Berlin

258 Einführung in die Didaktik der Mathematik Computereinsatz am Beispiel DMS in der Sekundarstufe 1 Didaktik der Mathematik Dynamisches Mathematiksystem (DMS) 258

259 259 DMS in der Sekundarstufe 1 DMS in der Sekundarstufe 1 Wozu und wie? Dynamische Mathematiksysteme (DMS) Wozu DMS im Mathematikunterricht? Ziele, Inhalte und Beispiele Wie sollte man DMS einsetzen? Methodisches und Organisatorisches

260 260 Computerwerkzeuge Computerwerkzeuge Flexibel einsetzbare Universalwerkzeuge Nutzer entscheidet, welche Funktion er wozu einsetzt. Computerwerkzeuge fu r das Fach Mathematik Dynamische Geometriesysteme (DGS): Cabri Tabellenkalkulationsprogramme (TKP): Excel, Libre Office Calc Computeralgebrasysteme (CAS): Derive Dynamische Mathematiksysteme (DMS) DMS = DGS + TKP + CAS GeoGebra

261 261 DMS ist Experimentierumgebung Vermutungen aufstellen überprüfen korrigieren Erkenntnisse gewinnen funktionale Zusammenhänge erfahren Kommunikationsmittel Darstellung / Visualisierung Fokussierung auf Wesentliches Repräsentationen vernetzen Dynamik (Denkprozesse anstoßen / vermitteln Heuristisches Hilfsmittel Routinedenkprozesse auslagern Gedächtnis entlasten (Parameter-)Variation Interaktion Computer Nutzer Kontrollinstanz Modellierungswerkzeug Manipulation komplexer Modelle Verarbeitung realistischer Daten

262 262 DMS: Systematisch Variieren Roth: Systematische Variation. In: Mathematik lehren, Heft 146, 2008, S

263 263 Beispiel: Flächeninhalt Bifie: Bildungsstandards, Freigegebene Items aus der Pilotierung 2011 Mathematik 8,

264 264 Vierecke und funktionale Zusammenänge Ziele Form erkunden Begriffe bilden Sinnvolle Termumformungen Grenzfälle untersuchen Formeln interpretieren Funktionale Zusammenhänge entdecken und untersuchen

265 265 Begriffshierarchie und Vernetzung

266 266 Beispiel: Rettungshubschrauber Bifie: Freigegebene Items aus der Pilotierung 2011 Mathematik 8,

267 267 Libellen und Mathematik

268 268 Wozu DMS im Unterricht? Inhalte Begriffsbildung Sachverhalte Verfahren Modellieren Problemlösen Einsatz Visualisieren Entdecken und Erarbeiten Vernetzen (Inhalte und Repräsentationsformen) Selbständiges Üben & Vertiefen Lernpfade Themen Ziele Geometrie Algebra Stochastik Analysis Analytische Geometrie / LA planen, analysieren, argumentieren (weniger Kalkül) selbsttätig-entdeckend lernen kreativ und produktiv arbeiten authentische Probleme lösen

269 Grundvorstellungen zur Addition von Brüchen 269

272 272 Grundvorstellungen zur Addition von Brüchen

273 DMS: Potential für Problemlösen / Beweisen 273 Problemlösen Voraussetzungen durchschauen Ideen finden Erfassen notwendiger Fallunterscheidungen Verwendete Heurismen rückblickend analysieren Beweisen Entdecken der Gesetzmäßigkeiten Beziehungen zwischen Voraussetzungen und Behauptungen erschließen Beweisideen Erarbeiten Vermitteln überblicksartig wiederholen Präformale Beweise führen

274 Satz des Pythagoras: Scherungsbeweis 274

275 275 Problemlösen Polya (1945/49) Verstehen der Aufgabe Ausdenken eines Plans Ausführen des Plans Rückschau Beweisen Sie: Die Winkelsymmetrale des rechten Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck halbiert das Quadrat über der Hypotenuse.

276 276 Problemlösen

277 Wie sollte man DMS einsetzen? 277 DMS

278 Drei Stufen der Fokussierungshilfen 278 Konfiguration vollständig vorgegeben Fokussierungshilfen für alle wesentlichen Aspekte (z. B. Farbgebung, Linienstärken, Mitführung von Messwerten ) Elemente können evtl. ein- und ausgeblendet werden Variationsmöglichkeiten evtl. bewusst eingeschränkt Veränderbare (Teil-)Konfiguration vorgegeben kann / muss ergänzt oder verändert werden nur einzelne Fokussierungshilfen vorhanden Leere, unstrukturierte DMS-Datei DMS wird selbstständig und ohne Vorgaben benutzt

279 279 Medien vernetzen

280 280 Einführung in die Didaktik der Mathematik Werkzeuge & Materialien

281 281 GeoGebra GeoGebra = Geometrie + Algebra Interaktive dynamische Verbindung von ikonischer & symbolischer Darstellungsform (vgl. Bruner & operatives Prinzip) Open Source, kostenlos verfügbar von Dynamische Geometrie, Tabellenkalkulation, Computeralgebra Speziell für den Mathematikunterricht entwickelt Freie Online-Unterrichtsmaterialien GeoGebraTube, Creative Commons Share-Alike Lizenz

282 282 Maxima & Open Office Calc Maxima Computeralgebra Open Source Libre Office Calc Tabellenkalkulation Open Source