Errata zu Goebbels, Ritter: Mathematik verstehen und anwenden

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1 Errata zu Goebbels, Ritter: Mathematik verstehen und anwenden Stand 20. Februar 203 Wir danken allen Lesern, die uns auf Fehler hingewiesen haben. Seite Position gedruckt korrekt 36 Beispiel.26 = 0,22+ = 0,2+ 43 Definition.2 siehe Anhang im Anschluss an die Tabelle 47 zweiter Satz In der Mathematik nennt man eine annähernde Berechnung eine Approximation. 49 Tabelle.5 Griechische Buch- Ausgewählte griechische staben Buchstaben 77 Definition.28 k Z k N 0 Zeile 3 h(0,8) h(0,65) 08 Abb..32 tany tan y, der Wert ist positiv, da Quotient zweier negativer Strecken 70 nach erster Dieser Ansatz klappt, wenn Formelzeile man zu Zeilen ausschließlich Vielfache von vorangehenden Zeilen addiert. Addiert man nachfolgende Zeilen oder vertauscht man Zeilen, erhält man keine linke Dreiecksmatrix. Zu jeder Matrix gibt es eine Umsortierung der Zeilen, für die der Algorithmus funktioniert. ( 7 Zeile 4 9 4, 9 6, ) ( , 8, ) 7 8

2 2 230 letzte Zeile k= k = + 2 k=2 k 2 n k= k = + n Kasten besitzt ein größtes besitzt ein größtes k=2 n k, so dass n 0 {n,...,n m }, n k + / m k= ] n k,[ so dass n 0 + / m k= ] n k,[ 244 Zeile x < π/2 0 < x < π/2 k 2 (für π/2 < x < 0 analog) 245 Zeile 25 ]x 0 δ, x 0 [ ]x 0 δ 0,x 0 [ und die Bedingung x x 0 < δ durch 0 < x 0 x < δ ersetzt 245 Zeile 32 ]x 0,x 0 + δ 0 [ ]x 0, x 0 + δ 0 [ und die Bedingung x x 0 < δ durch 0 < x x 0 < δ ersetzt 248 Zeile 4 x n D x n D \ {x 0 } 262 Zeile für y 0 = a oder in Randpunkten y 0 = b einseitige einseitige 28 Zeile 6 f(x) 0 f(x) > Zeile 9 Zeile 8 x kπ x ]0,π[ df(dx) f (x 0 ) x dx x df(dx) dx 292 Definition 2.25 x x Zeile 5 (k > ) = f (x 0 ) x x 296 Zeile 2 lim x g(x) lim x ± g(x) 3 Zeile 20 Isaac Barrows Isaac Barrow 338 Zeile vor n k=2 ] n = [ x n k= n dx k 2 x 2 = k n+ 2 n k=2 n dx k 2 x 2 n +. = [ x] n = n +. x dx n k= 2 k n+ x dx = [ln x ] n+ 2 = ln n+. = [ln x ]n+ = ln(n + ). 339 Zeile 0 = 6 = Zeile 8 Mantelflächen angenäherte Mantelflächen 343 Satz 2.50 x [a,b] x ]a,b[ 349 Beweis c) f (m) (ξ(x ± h)) > 0 f (m) (ξ(x 0 ± h)) > 0 f (m) (ξ(x ± h)) < 0 f (m) (ξ(x 0 ± h)) < 0

3 3 37 vorletzte Zeile für x 0 = 0 für x 0 = x 372 Zeile b) Sei 0 < r < b) Sei 0 < r < 402 Zeile 2 e i e i = 0 e i e i = vorletzte Zeile a c = (0,, ) a c = (0,, ) 436 Zeile 9 k > 2 k Zeile 24 (R,+; R, ) (R n, +; R, ) 450 Zeile 7 Jetzt zeigen wir... siehe Anhang 3 im Anschluss an die Tabelle 459 Zeile 3 x lineare lineare 462 Zeile 0 L : R 2 R 3 L : R 2 R letzte Zeile 499 letzte Zeile b,..., b n d,..., ( ) ( ) ( ) d n ( ) a 0 0 a,, 0 a siehe Anhang 2 im Anschluss an die Tabelle 509 Definition 4.3 aber f muss in einer aber f muss in einer (Klammer) vollständigen Umgebung vollständigen Umgebung von x 0 erklärt sein von x 0 mit Ausnahme der Stelle x 0 erklärt sein 58 Definition 4.8ff Jakobi Jacobi 58 Definition 4.8 Jakobi-Matrix von f Jacobi-Matrix von f 520 Zeile 4 (grad f)(g(t)) (grad f)( g(t)) 544 Zeile 8 [x 2,l, x,l ] [x 2,l,x 2,l ] 548 Zeile 2 = 2e = 2(e ) 549 Satz 3 Zusätzlich müssen die Integranden die Voraussetzungen von Satz 4.2 erfüllen. 558 Zeile 7 Viertelkugel Achtelkugel 566 Definition 4.25 V 2 ( x) dx V 2 ( x) dx Definition 4.26 G R 2 G R n 569 Zeile 4 Gebiet beweist man Gebiet des R 3 beweist man 569 Lemma 4.5 Gebiet Gebiet G R Zeile 3 V (x,y) = (V (x),v 2 (y)) V (x, y) = (V (x,y), a 0

4 4 V 2 (x,y)) 573 Beispiel 4.39 E := [0, ] [0, ] E :=]0, [ ]0, [ f 597 Zeile y f(x,y) y f(x,y) 625 Zeile 0 = µ(u) = u 2 = µ(u) = cu Zeile 8 = A[ y (x)... y (x)] = A[ y (x)... y n (x)] 640 Zeile 3 (a 2 + 3b 2 )e x +(a 2 3b 2 )e x Zeile 9 a 2 + 3b 2 = 0 a 2 3b 2 = 0 Zeile 0 b 2 = 6 b 2 = 6 Zeilen 2/ x + 6 e x x 6 e x 657- Sowohl Polynomgrad als 659 auch Ordnung der Differenzialgleichung werden mit n bezeichnet, können aber verschieden sein. 665 Zeile 5/6 Gegenkathete... Ankathete... Ankathete Gegenkathete 675 Zeile 22 Eine Periode ist dann Eine Periode ist dann gleich ω q = ω 2 p gleich 2π ω p = 2π ω 2 q 68 Zeile 5 (ψ k = π 2 ϕ k) 688 Zeile 0 Orthogonalbbasis Orthogonalbasis 707 (6.9) k= n k= 72 Definition 6.3 und f(t) auf und f(t) auf 724 Zeile 22 = 2π [ f(t)g(t) e j[ ω]t dt ] = f(t)g(t)ej[ ω]t dt 725 Zeile faltet man multipliziert man 733 Zeile 20 M exp((s 0 s)r) M exp([s 0 Re(s)]r) j +j 754 Formel (6.43) j +j 4 +j j +j j

5 5 756 Zeile 2 j +j +j j j +j 4 +j j 762 Zeile 6 = y 3 = y 6 = = 6 = y 3 = y 6 = = ( ) 792 Beispiel 6.44 n n l=0 f ( ) l f a n f a l=0 f l f a ( ) exp j2πk l f a exp ( ) j2πk l n 80 Zeile 3 quater quarter 80 Zeile 9 bei zwei Modalwerten bei zwei deutlichen (spricht man von) einer bimodalen Verteilung Verteilungsgipfeln, die nicht gleich groß sein müssen, spricht man von einer bimodalen Verteilung 89 Zeile 8 gibt es in jedem Fall kann es ein (globales) ein (globales) Minimum Minimum geben 830 Zeile 24 {(x i,...,x im ) : {(x,...,x m ) i i 2 i m } {, 2,...,n} m : x x 2 x m } 837 Zeile 9 nur, falls E 2 eintritt nur, falls F 2 eintritt 866 unten stochastischer stochastischer Konvergenz oder schwacher Konvergenz Konvergenz 869 Zeile 5 Standardnormal- Normalverteilung 87 Zeile 4 verteilung σ n Y n + µ x σ n Y n (ω) + µ x Zeile 5 Y n x µ σ n Y n (ω) x µ σ n 872 Beispiel 7.49 nicht mehr als ein weniger als ein vorgegebenes ε von π abweicht, kleiner als 0,00 ist 0,999 ist vorgegebenes ε von π abweicht, größer als 873 Zeile 4 (x) 0,9995 (x) > 0, unten Eine Schätzfunktion ˆθ Eine erwartungstreue heißt konsistent Schätzfunktion ˆθ

6 6 882 Zeile 2 0,05 2,5758 ] 0,05 0, heißt konsistent 0,05+2,5758 0,05 0, ] 895 Zeile 7 Hachenbacher Hachenberger Anhang. Präzisierung der Definition.2 (S. 43), mit der reelle Zahlen axiomatisch eingeführt werden Ein Körper K, der als Menge total geordnet ist und für den die Ordnung verträglich mit Addition und Multiplikation ist, d. h. für alle a, b,c K gilt a > b = a + c > b + c, a > 0 b > 0 = a b > 0, und für den das sogenannte Vollständigkeitsaxiom gilt, heißt ein ordnungsvollständiger geordneter Körper. Vollständigkeitsaxiom: Jede nach oben beschränkte, nicht-leere Teilmenge E K hat ein Supremum in K. Man kann zeigen, dass die reellen Zahlen R dadurch charakterisiert sind, dass sie einen ordnungsvollständigen geordneten Körper bilden. Sie sind durch diese Eigenschaft im Wesentlichen (bis auf Umbenennung der Zahlen) eindeutig definiert. Es gibt also in diesem Sinne genau eine Zahlenmenge, die ein ordnungsvollständiger geordneter Körper ist, die vorangehenden Axiome legen das Zahlensystem R fest und beschreiben es komplett. Man kann außerdem zeigen, dass der Körper Q in diesem Zahlensystem enthalten ist.

7 7 2. Korrektur der Rechnung von Seite 499/500 ( ) [ ] n ( ) [ [ ] n ( ) a n a 0 = = X ]X a n 0 a [ ] ( ) n 0 = X [ ] 0 n X 0 [ ] [ ][ ]( ) = n 0 [ ] 5 0 n 0 [ ] [ ]( ) = n 0 [ ] 5 0 n [ ] ( ) ( = n 5 [ ] n = n [ ] n ) 5 n [ ] n. Dies ist die Binet-Formel für die Fibonacci-Folge. Damit ist aber lim n a n a n = lim n ] n n [ n [ ] n =, denn wegen 0 < < ist lim [ ] n n [ = limn n ] = 0. Damit strebt die Folge der Quotienten a n a n tatsächlich gegen den goldenen Schnitt. 3. Verdeutlichung des Beweises von Seite 450, ab Zeile 7 Jetzt zeigen wir, dass p der eindeutige Vektor aus U ist, der einen minimalen Abstand zu a hat (so dass die vorangehende Definition sinnvoll ist). Dazu sei q U beliebig gewählt: a q 2 = ( a p) + ( p q) 2 = (( a p) + ( p q)) (( a p) + ( p q)) = a p 2 + p q 2 + 2( a p) ( p q), wobei der letzte Summand wegen p q U und a p U verschwindet. Damit ist a p 2 + p q 2 = a q 2, }{{} 0 und wir erhalten a p a q. Da für p q sogar a p < a q gilt, haben wir auch die Eindeutigkeit des Minimums p gezeigt.

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