Mathematik Semesterarbeit

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1 Mathematik Semesterarbeit Eingereicht von: Heller Markus Student HFTG Zug 3. Semester Bei Dozentin Stähli Franziska

2 2 Inhaltsverzeichnis Einleitung...3 Die Strecke...4 Die Daten...5 Das Datenblatt der Tour...5 Die Daten aufbereitet...5 Die Formeln...6 Hangabtriebskraft und Normalkraft...6 mechanische Arbeit...6 Leistung...6 Erste Berechnung...7 Skizze Arbeit Leistung Zweite Berechnung...9 Skizze Arbeit Leistung Die Hubarbeit...12 Erkenntnisse...12 Funktionen...13 Die Hangabtriebskraft im Vergleich zur Steigung...13 Der Rollwiderstand im Vergleich zur Steigung...14 Schlussfolgerung...15 Quellenverzeichnis...16 Bestätigung...16

3 3 Einleitung Keine Fortbewegung zu Lande, zu Wasser oder in der Luft ist so effizient wie das Radfahren, wenn man das Verhältnis bewegte Masse, Geschwindigkeit und eingesetzte Kraft vergleicht. Es soll also die energiesparendste Fortbewegungsart überhaupt sein. ( Und genau darum geht es in dieser Mathematik-Arbeit: ich will die physische Arbeit und die Leistung beim Fahrrad fahren berechnen. Dazu unternehme ich eine kleine Velotour, welche auf der Luzerner Allmend beginnt und auf der Krienseregg am Pilatushang endet. Eines steht schon am Anfang fest: trotz des effizienten Fortbewegungsmittels wird das ein hartes Stück Arbeit in Bezug auf die Tour und des Dokumentes. Bei der Einarbeitung in die Materie stiess ich auf Widerstände. Nämlich genau vier an der Zahl; den Luftwiderstand, den Rollwiderstand, den Steigungswiderstand (Hangabtriebskraft) und den Beschleunigungswiderstand. Den Luft- und den Beschleunigungswiderstand werde ich in meiner Arbeit nicht berücksichtigen und ich konzentriere mich voll auf den Rollwiderstand und die Hangabtriebskraft. Beim Rollwiderstand gilt es den Rollwiderstandskoeffizienten zu beachten, welcher beim Fahrrad auf Asphalt und mit gut gepumpten Rädern 0,007 beträgt. Zudem erlaube ich mir das g mit 10 N/kg in den Berechnungen einzusetzen.

4 4 Die Strecke Start/ Ziel Zwischenstopp Strecke Ausschnitt aus der Wanderkarte Luzern Pilatus; Mst. 1:25000

5 Die Daten 5 Das Datenblatt der Tour Die Daten aufbereitet Ort Fahrmeter Meter über Meer Fahrmeterdifferenz Höhendifferenz(m) Allmend Kriens, Talstation Buurestübli Grauenstein Kreuzung Naturfreundehaus Krienseregg Total Gewicht Total Fahrzeit Total Fahrzeit retour 89kg 57min 35s = 3455s 21min 29s = 1289s Das Beweisbild vom Ziel: 9,98 gefahrene Kilometer

6 6 Die Formeln Hangabtriebskraft und Normalkraft mechanische Arbeit Bei einer schiefen Ebene (Steigung/ Gefälle) teilt sich die Gewichtskraft in zwei grundlegende Kräfte: Normalkraft: ist die Kraft welche senkrecht zum Boden wirkt. Fn = Masse * g * cos (alpha) -> Aus dieser Formel leite ich den Rollwiderstand ab: F Roll = Masse * g * froll *cos (alpha) Der Rollwiderstandskoeffizient (froll) beträgt beim Fahrrad und wird bei den nachfolgenden Berechnungen eingesetzt. Hangabtriebskraft: ist die Kraft welche ich überwinden muss um den Berg hinaufzufahren. Fh = Masse * g * sin (alpha) Die mechanische Arbeit ist das Produkt aus Kraft (in Wegrichtung) mal Weg, die Einheit ist das Newtonmeter (Nm), auch bezeichnet als Joule (J) oder Wattsekunde (Ws). W = (F) * (s) Quelle: U. Jakober Physik 15 Leistung In der Physik wird der Quotient aus Arbeit (W) und der dafür erforderlichen Zeit (t) als Leistung (P) mit der Einheit Watt definiert. P = (W) / (t) Quelle: U. Jakober Physik 16 Die Hangabtriebskraft steigt mit zunehmendem Neigungswinkel Alpha. Die Normalkraft ist bei 0º maximal und nimmt mit steigendem Neigungswinkel ab. Quelle: Duden, Abiturwissen Physik, Seite 74

7 7 Erste Berechnung Bei meiner ersten Berechnung gehe ich von einer gleichmässigen Steigung aus. Der Steigungswinkel alpha ist elementar für die weiteren Berechnungen und ich ermittle ihn gleich mit der Sinusfunktion im rechtwinkligen Dreieck. sin alpha = a/c sin alpha = 575m / 9985m sin alpha = 0, alpha = º sin-1 Skizze 1 c = Krienseregg Allmend alpha Masstab 1:50'000 a = Nun berechne ich die Kräfte Hangabtriebskraft: F h = Masse * g * sin (alpha) F h = 89kg * 10N/kg * sin (3.301) F h = 51,2518 N Rollwiderstand: F Roll = Masse * g * froll *cos (alpha) F Roll = 89kg * 10 N/kg * *cos (3.301) F Roll = 6,2196 N Summiert ergibt das eine Fahrwiderstandskraft von 57,471 N

8 8 Arbeit 1 Leistung 1 Die verrichtete Arbeit ist nun einfach zu berechnen: Auch die Leistung stellt kein Problem dar: W = F * s W = 57,4714 N * 9985m W = 573'852 Nm W = 573,8 KNm P = W / t P = Nm / 3455s P = Ws / 3455s P = 166,093 Watt P =0,166KW

9 9 Zweite Berechnung Nun wird es kompliziert; die Steigungen werden in sechs Teilabschnitte unterteilt, gemäss den Daten von Seite 5. Mehrere Sinus und cosinus-funktionen wollen berechnet werden und die dazu entsprechenden Fahrwiderstandskräfte. Deshalb wechsle ich auf ein Excel-Tabellenblatt, welches auf der nachfolgenden Seite abgebildet ist. Doch zunächst werden die Steigungswinkel ermittelt. sin alpha = a/c sin alpha = 63m / 3510m sin alpha = 0, alpha = 1,02844º sin-1 sin delta = a/c sin delta = 54m / 670m sin delta = 0, delta = 4,62288º sin-1 sin beta = a/c sin beta = 171m / 1940m sin beta = 0, beta = 5,05686º sin-1 sin alpha' = a/c sin alpha' = 141m / 2410m sin alpha' = 0, alpha' = 3,35408º sin-1 sin gamma = a/c sin gamma = 105m / 860m sin gamma = 0, gamma = 7,01291º sin-1 sin beta' = a/c sin beta' = 41m / 595m sin beta' = 0, beta' = 3,95124º sin-1 Skizze 2 Allmend alpha beta gamma delta alpha' beta' Masstab 1:50'000 Krienseregg

10 10 Strecke (m) Höhendifferenz (m) Hangabtriebskraft (N) Fahrwiderstandskraft (N) Kriens, Talstation sin alpha Buurestübli sin beta Grauenstein sin gamma Kreuzung sin delta Naturfreundehaus sin alpha Krienseregg sin beta Strecke (m) Strecke horizontal Rollwiderstand (N) Kriens, Talstation cos alpha Buurestübli cos beta Grauenstein cos gamma Kreuzung cos delta Naturfreundehaus cos alpha Krienseregg cos beta Masse (kg) 89 g (N/kg) 10 Rollwiderstandskoeffizient Zeit (t) in sec 3455 Zum besseren Verständnis liste ich nochmals die beiden Formeln auf: F Roll = Masse * g * froll *cos (alpha) Fh = Masse * g * sin (alpha) (Nm) Arbeit Arbeit 2' Arbeit Arbeit Arbeit Arbeit Arbeit Total (Nm) Leistung Total (Watt)

11 11 Arbeit 2 Leistung 2 Arbeit 1 Arbeit 2' Arbeit 3 Arbeit 4 Arbeit 5 Arbeit 6 Arbeit Total Arbeit Total 77933,78 Nm ,16 Nm 98767,72 Nm 52220,52 Nm ,58 Nm 40188,04 Nm ,79 Nm 573,8 KNm P = W / t P = ,79 Nm / 3455s P = ,79 Ws / 3455s P = 166,083 Watt P =0,166KW Die einzelnen Teil-Arbeitssummen vom Excelblatt werden hier nochmals aufgelistet und zusammengezählt. Danach wird die verrichtete Arbeit wieder durch die 3455 Sekunden geteilt, wodurch ich die Leistung erhalte.

12 12 Die Hubarbeit Als Vergleichswert rechne ich noch die Hubarbeit aus. Das heisst wie hoch ist der Kraftaufwand um mein Gewicht und das Fahrrad (890 N) 575 m anzuheben. W HUB = F G * s W = 890 N * 575m W = Nm W = 511,75 KNm Erkenntnisse Wenn ich die Ergebnisse aus der ersten und der zweiten Berechnung vergleiche, sehe ich, dass die Abweichung gering ist. Bei der Arbeit beträgt sie 34 Newtonmeter und bei der Leistung 0,01 Watt. Das heisst sie sind nahezu identisch und ich hätte mir die Unterteilung ich sechs Abschnitte sparen können. Im Vergleich zur Hubarbeit besteht eine Differenz von gut 62 KNm. Ich erkläre mir den Unterschied dadurch, dass es definitiv zwei verschiedene physische Arbeiten sind. Einerseits das Fahrrad mit Rollwiderstand und Hangabtriebskraft, andererseits die Hubarbeit wo ich die volle Gewichtskraft nehmen muss.

13 13 Funktionen Die Hangabtriebskraft im Vergleich zur Steigung sin x Steigung Hangabtriebskraft (N) x y=f(x) 0 0% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% y=f(x) Die Kurve ist leicht gekrümmt und wäre bei einer senkrechten Wand gleich der Gewichtskraft; die 890 Newton. 50% 55% 60% 65% 70% 75% 80% 85% 90% 95% 100% y=f(x)

14 14 Der Rollwiderstand im Vergleich zur Steigung cos x Steigung Rollwiderstandskraft(N) x y=f(x) 1 0% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50% y=f(x) 55% 60% 65% 70% 75% 80% 85% Auch diese Kurve ist leicht gekrümmt, jedoch in die andere Richtung. Der Rollwiderstand wäre bei der senkrechten Wand gleich null. 90% 95% 100% y=f(x)

15 15 Schlussfolgerung Keine Fortbewegung ohne Krafteinsatz. Egal ob es die Muskel- oder die Motorkraft ist, welche die Bewegung initiiert, immer ist dabei die Kraft (Newton) in Wegrichtung am Werk. Wenn dabei noch eine Steigung zu überwinden ist, so wird es definitiv kompliziert. Mit meiner Leistung von 166 Watt bin ich zufrieden. Die verrichtete Arbeit von 574 KNm ( = 574KJ) entsprechen in etwa 60g Ruchbrot oder 100g Eier-Spätzli. Dank dieser Arbeit befasste ich mich mit dem Rollwiderstand sowie der Hangabtriebskraft und ich habe in diesem Bereich sicher etwas dazugelernt. Genaue Messwerte sind schwer zu ermitteln, und wohl nur im Labor oder mit modernsten Messinstrumenten zu erreichen. Ich hatte jedoch nicht den Anspruch auf superexakte Messwerte, sondern wollte mit möglichst einfachen Instrumenten und geringen Kosten meine Daten ermitteln. Der Zeitaufwand für die vorliegende Abeit war gross, ich weiss die Stundenzahl nicht genau, aber ich schätze den Aufwand zwischen 32 und 37 Stunden.

16 16 Quellenverzeichnis Fundamentum Mathematik und Physik Dossier Physik Urs Jakober Duden, Abiturwissen Physik, Seite de.wikipedia.org/wiki/hangabtriebskraft Bestätigung Die hier vorliegende Arbeit wurde von mir eigenhändig erarbeitet und geschrieben. Alle externen Text- und Bildquellen sind gekennzeichnet. Luzern, im Oktober 2008 Unterschrift Student: (Markus Heller)... Unterschrift Dozentin: (Franziska Stähli)...