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1 1 )LQDQ]PDWKHPDWLNI U :LUWVFKDIWVZLVVHQVFKDIWOHU :,)%:/ :6 9RUOHVXQJEHL 3URI'U:DOWHU.LHO =XVDPPHQIDVVXQJ YRQ.DQGHUW'DQLHO

2 *UXQGODJHQGHU)LQDQ]PDWKHPDWLN => Analyse von dynamischen Kapitalvorgängen => Analyse des zeitlichen Aspekts der Verzinsung, der Verrentung und der Tilgung 2 Zins: =LQVUHFKQXQJ Art Leihgebühr für die Überlassung von Werten für eine bestimmte Zeitdauer (Laufzeit) Verzinsung vorschüssig (Mietzins, Pachten) QDFKVFK VVLJ Anfangskapital, Endkapital (AK + Zins = EK) Aufzinsen, Abzinsen (Diskontieren) Art der Verzinsung einfache zinseszinsliche - jährlich - unterjährlich - stetig Zeitbezug, Analysemittel: =HLWVWUDKO K0 Zeitperiode z.b. Jahr Einzahlungen n t Bezugspunkt Auszahlungen Zeitpunkt Kn K0 Kn p i q v Anfangskapital (Barwert) Endkapital (nach n Zahlungsperioden) Zinsfuß in Prozent, zeitlich z.b. auf ein Jahr bezogen (p.a.) Zinssatz ( Zinsfuß-Hundertstel) Aufzinsungsfaktor T L bzw. 1 + (p/100) Abzinsungsfaktor (Diskontierungsfaktor) Y T!T bzw. 1 / 1 + i oder 1 / 1 + p / 100 n Anzahl der Jahre m Anzahl der Zinsperioden / Jahr

3 3 1.1 Einmalige Einzahlungen (LQIDFKHMlKUOLFKH9HU]LQVXQJ bürgerliche Verzinsung Zinsen werden nicht kapitalisiert! Erhebung von Zinseszinsen zw. Privatpersonen ist nicht statthaft! Kn = K 0 + Zn Zn = n * i * K 0 Kn = K 0 + n * i * K 0.Q. QL Beispiel: Gegeben: K 0 = ¼S Q -DKUH Gesucht: K 5 K 5 = 1500 ( * 0,04) K 5 = 1800 ¼!MlKUOLFK¼=LQVHQ Umformungen: - nach K 0 : K 0 = (Kn / 1) + i * n - nach i: 1 + i * n = Kn/ K 0 => i = 1/n (Kn/ K 0-1) - nach n: n = 1/i (Kn/ K 0-1) 8QWHUMlKUOLFKH9HU]LQVXQJ m = Zinsperiode pro Jahr 360 Tage => m = 360 bzw. t = 360.Q. WL Die unterjährliche Verzinsung ist bei einfacher Verzinsung weder vorteil- noch nachteilhaft.

4 4 =LQVHV]LQVMlKUOLFK => Zinsen werden kapitalisiert K 0 K 1 = K 0 (1 + i) K 2 = K 1 (1 + i) = K 0 (1 + i) (1 + i) = K 0 (1 + i)² Kn * q = K 0 * q * q = K 0 * q² K 3 = K 0 * q 3.. T => geometrische Folge (nicht wie bei einfacher Verzinsung jedes Jahr 60 ¼) Umformungen: (Zwischenschritt: q n = Kn / K 0 ) - nach K 0 : K 0 = Kn / q n bzw. Kn * q -n - nach q: q = n Kn / K 0 - nach i: 1 + i = n Kn / K 0 => i = n Kn / K nach n: q n = Kn / K 0 => n * log q = log Kn/K 0 => n = log Kn/K 0 / log q Äquivalenzprinzip in der Finanzmathematik Kapitalien werden mit der Zinseszinsformel (Auflösungen Kn bzw. K 0 ) beliebig zeitnah transformiert. K 0 * q -n K 0 * q -n K 0 Kn Zeit n Zinsperioden in die Vergangenheit n Zinsperioden in die Zukunft

5 5 Beispiele: In wie vielen Jahren hat sich ein Kapital bei zinseszinslicher Verzinsung (Zinsannahme: 4% p.a.) verdoppelt? Gegeben: q = 1,04 ; Kn = 2 * K 0 Gesucht: n n = log 2 / log 1,04 = 17,67 Jahre Welcher Betrag muss zu 5% jährlicher Zinserhebung (mit Zinseszins!) angelegt werden, damit daraus nach 7 Jahren ¼ZHUGHQ" Gegeben: n = 7 Jahre ; Kn = ¼L Gesucht: K 0 K 0 = Kn / q n = Kn * q n = ¼ -7 = ,22 ¼ Aus einem Anfangskapital von ¼ZXUGHQQDFK-DKUHQEHLXQYHUlQGHUWHP Zinssatz 5.624,32 ¼ Gegeben: K 0 = ¼.Q ¼ ; n = 3 Gesucht: i i = n Kn / K 0 1 = ,32 / = 0,04

6 =LQVHV]LQVPLWXQWHUMlKUOLFKHU9HU]LQVXQJ 6 Kn = K 0 q n => Kn = K 0 (1 + i) n Kn => K 0 (1 + p/100) n.q. SP!#"%$ Beispiel: Ein Kapital von ¼ZLUG]X-DKUHV]LQVHQTXDUWHLOVZHLVHYHU]LQVW Welches Endkapital wäre nach 3 Jahren verzinst? Gegeben: K 0 = ¼ ; p = 6 % ; m = 4 ; n = 3 Gesucht: Kn Kn = (1 + 6/4 * 100) 3 * 4 = * 1,1956 = 2.989,05 ¼ => Hier haben wir HIIHNWLYPLWPHKUDOV=LQVHQ gerechnet, da nach Kn = K 0 q n das Ergebnis bei 2977,54 ¼OLHJW => 8PUHFKQXQJ]ZLVFKHQ1RPLQDOXQG(IIHNWLYYHU]LQVXQJLVWQRWZHQGLJ Umrechnung: jährlich unterjährlich $ K 0 (1 + p effektiv/100) n = K 0 (1 + p nominal/m * 100) n * m 1 + p effektiv/100 = (1 + p nominal/m * 100) m p effektiv/100 = (1 + p nominal/m * 100) m - 1 SHIIHNWLY >SQRPLQDOP ±@ p effektiv = [(1 + p nominal/m * 100) m 1] * 100 = [(1 + 6/4 * 100) 4 1] * 100 = 6, => oben wurden bei der unterjährlichen Formel effektiv 6,13 % angesetzt. bzw. p nominal/m = [(1 + 6/100) 1/4-1] * 100 = 1, Probe: Kn = (1 + 5, / 400) 3 * 4 = 2977,54

7 7 =DKOHQEHLVSLHO Zur Verdeutlichung der Unterschiede zwischen einfacher und zinseszinslicher Verzinsung sowie jährlicher und unterjährlicher Verzinsung., HLQIDFKH9HU]LQVXQJ MlKUOLFK K 1 = (1 + 0,06) = 2650,00 ¼ K 2 = (1 + 0,06 * 2) = 2800,00 ¼ XQWHUMlKUOLFK4XDUWDOH!P K I. 1 = (1 + 0,06 * 0,25) = 2537,50 ¼ K II. 1 = (1 + 0,06 * 0,50) = 2575,00 ¼ K III. 1 = (1 + 0,06 * 0,75) = 2612,50 ¼ K IV. 1 = (1 + 0,06 * 1) = 2650,00 ¼ usw K IV. 2 = (1 + 0,06 * 2) = 2800,00 ¼,, ]LQVHV]LQVOLFKH9HU]LQVXQJ MlKUOLFK K 1 = (1 + 0,06) 1 = 2650,00 ¼ (Schnittpunkt der Graphen) K 2 = (1 + 0,06) 1 = 2809,00 ¼ ) XQWHUMlKUOLFK4XDUWDOH!P SQRPLQDO > K I. 1 = (1 + 1,47 / 100) 1 = 2.536,75 ¼ K II. 1 = (1 + 1,0147) 2 = 2.574,04 ¼ K III. 1 = (1 + 1,0147) 3 = 2.611,88 ¼ K IV. 1 = (1 + 1,0147) 4 = 2.650,27 ¼ (Rundungsdifferenz) usw. K IV. 2 = (1 + 1,0147) 4 * 2 = 2.809,58 ¼ (Rundungsdifferenz)

8 8 VWHWLJH9HU]LQVXQJ6RQGHUIRUPGHUXQWHUMlKUOLFKHQ9HU]LQVXQJ Kn = lim m =>. 0 (1 + p / m * 100) m * n.q. * "! bzw. statt n, da kein ganzes Jahr W (für Zeit) Umformungen: (Zwischenschritt: Kn / K 0 = i * t ) K 0 = Kn * -i * t bzw. Kn / i * t t = LN ( Kn/K 0 ) / i i = LN ( Kn/K 0 ) / t Beispiel: Gegeben: K 0 = ¼ ; p nominal = 5% Gesucht: Kn nach 10 Jahren! einfache Verzinsung: K 10 = (1 + 0,05*10) = ,00 ¼ zinseszinsl. jährlich: K 10 = *1,05 10 = ,95 ¼ (Mit Jahresformel besteht kein Unterschied zwischen effektiv und nominell) quartal: (m = 4) K 10 = ( / 4*100) 4*10 = ,19 ¼ monatlich: (m = 12) K 10 = ( / 12*100) 12*10 = ,10 ¼ täglich: (m = 360) K 10 = ( / 360*100) 360*10 = ,62 ¼ stündlich: (m = 360 * 24) K 10 = ( / 360*24*100) 360*24*10 = ,19 ¼ stetig: (m = K 10 = ,05*10 = ,21 ¼ Da die stetige Verzinsung (stetiges Wachstum) ein Spezialfall der unterjährlichen Verzinsung ist, ist wieder eine => 8PUHFKQXQJ]ZLVFKHQ1RPLQDOXQG(IIHNWLYYHU]LQVXQJQRWZHQGLJ

9 9 Umrechnung: jährlich unterjährlich K 0 (1 + p effektiv/100) n = K 0 * p nominal/100 * n K 0 und n kürzen 1 + p effektiv/100 = p effektiv/100 = p nominal/100 p nominal/100-1 SHIIHNWLY +,!-$ *!./ ' & ± p effektiv = ( p nominal/100 1) * 100 p effektiv/100 = p nominal/100 1 p effektiv/ = p nominal/100 /1 LN (p effektiv/ ) = p nominal/ * LN (p effektiv/ ) = p nominal SQRPLQDO /1SHIIHNWLY Beispiel oben: p effektiv = 100 ( 0,05-1) = 5, Probe: Umgekehrt: in die jährliche Zinsformel einsetzten K 10 = * 1, = 16,487,21 ¼ Um einen effektiven Jahreszins von 5% zu erhalten müsste bei der stetigen Verzinsung das folgende p nominal verwendet werden. p nominal = 100 * LN (1 + 5/100) = 100 * LN 1,05 = 4, % Probe: in die stetige Zinsformel einsetzten K 10 = * 0, = ,95 ¼

10 Zinseszins mit regelmäßigen Einzahlungen MlKUOLFKH(LQ]DKOXQJHQ n vorschüsige Sparraten r E r E r E r E (letzte Sparrate) n - 1 n Zeit Kn (Auszahlung) vorschüssige bzw. nachschüssige Sparraten n - 1 n Zeit Kn Kn = r E * q n + r E * q n r E * q n r E * q 1 = r E (q n + q n-1 + q n q 1 ) = r E (q + q² + q q n-1 + q n ) = r E * q (1 + q + q² + + q n-1 ).Q U0 T>T! T±@(vorschüssig) nachschüssig wird eine Einzahlung weniger verzinst => ein q weniger Beispiel: Im Rahmen eines Bausparvertrages werden jeweils zum 1. Januar ¼ eingezahlt. Welches Kapital wird bei 3%iger Verzinsung nach 10 Jahren ausgezahlt? Gegeben: Gesucht: vorschüssig ; r E = ¼i = 1,03 ; n = 10 Jahre Kn Kn = * 1,03 * 1, / 1,03 1 = ,98 ¼

11 11! Umformungen:.Q U0 T>T r E = Kn * 1/q * q-1 / q n -1 = Kn * q-1 / q(q n -1) = Kn * q-1 / q n+1 - q n =? q n 1 = Kn * q-1 / r E *q q n = 1 + Kn * q-1 / r E *q ORJ n log q = log (1 + Kn * q-1 / r E *q) ORJT n = log (1 + Kn * q-1 / r E *q) log q q =? Kn (q-1) = r E * q (q n -1) Knq Kn = r E ( q n+1 q) r E Polynom (n+1)-ten Grades => Nährungsweise Lösung (Nst. suchen) Beispiele: Welche Jahressparrate müssen wir vorschüssig einzahlen, wenn bei einem über ¼DEJHVFKORVVHQHQ%DXVSDUYHUWUDJELV]XUJHSODQWHQ=XWHLOXQJLQ-DKUHQ 40 % der Bausparsumme angespart sein sollen? (i = 0,025) Gegeben: Gesucht: n = 7 Jahre ; n 7 = ¼T r E r E = * 1,025-1 / 1,025 (1, ) = 5170,55 ¼

12 12 Jemand zahlt zu Jahresbeginn ¼DXIHLQ.RQWRHLQ1DFKZLHYLHOHQ-DKUHQLVW bei einem Jahreszinssatz von 3 % ein Kontostand von mindestens ¼HUUHLFKW" Gegeben: r E = ; q = 1,03 ; Kn = Gesucht: n n = n = log (1 + Kn * q-1 / r E *q) log q log ( * 1,03-1 / 2.000*1,03) log 1,03 n = 12,26... => 13 Jahre XQWHUMlKUOLFKH(LQ]DKOXQJHQ m =? z.b. quartalsweise => m = 4 vorschüssig 1. Jahr 2. Jahr Zeit PS T!.Q U0 >P@ T Anhand der genannten Formeln kann (fast) jeder 3UR]HVVGHV.DSLWDODXIEDXV erfasst werden. Kompliziertere Prozesse müssen immer in 7HLOSUR]HVVH zerlegt werden. Typische Konstellationen im Rahmen der Zinsrechnung: Veränderung des =LQVVDW]HV. Der $QVSDUEHWUDJ kann während der Sparphase modifiziert werden..dslwdouxkw nach n Jahren werden Sparraten dazu gezahlt. Zwischen Ende der Ansparphase und der Auszahlung kann eine 5XKHSKDVHliegen.

13 13 Zahlenbeispiel: Auf einem Konto ruht seit dem ein Guthaben von Ab dem werden für 5 Jahre jährlich ¼HLQJH]DKOW'HU=LQVVDW]VHLI U und % ab dem %. Wie hoch ist das Guthaben am ? Unbedingt notwendig: =HLWVWUDKODQDO\VH ¼ Zeit % 5 % Zerlegung in Teilprozesse: K = K K aus den ¼ aus den Sparraten K = * 1,03 2 * 1,05 15 = ,35 ¼ K = K * q 10 K = * 1,05 * (1, / 0,05) = ,74 ¼ = ,74 * 1,05 10 = ,11 ¼ K = ,46 ¼ Achtung: Nur zeitgleiche Beträge können addiert werden! ( Äquivalenzprinzip )

14 14 5HQWHQUHFKQXQJ r v = vorschüssig ; r n = nachschüssig extrem langer Planungshorizont bei Renten => langer Ansparvorgang => lange Rentenphase R 0 = Rentenbarwert (was man bis zum 65. Lebensjahr gespart haben sollte) R n = Rentenendwert R n = R 0 * q n => R 0 = R n * q -n NRQVWDQWHMlKUOLFKHQDFKVFK VVLJH5HQWH R n - 1 n Zeit!!! r n r n r n r n Bewertung dieser Rente? R n = r n + r n * q + r n * q² + + r n * q n-1 R n = r n (1 + q + q² + + q n-1 ) 5 U >T ±T@ Beispiel: Welche nachschüssige jährliche Rentenendbetrag ergibt sich bei einer jährlichen Verzinsung von 4 % für 15 Jahre aus einem Rentenwert von ¼ Gegeben: Gesucht: q = 1,04 ; n = 15 Jahre ; R n = ¼ r n R n = r n * [(q n 1)/(q - 1)] >T n 1)/(q - 1)] r n = R n * [(q 1)/(q n -1)] r n = * [0,04/1, ] r n = 7.491,17 ¼

15 15 5HQWHQEDUZHUW R 0 * q n = r n * [(q n 1)/(q - 1)] 5 U! T! >T! ±T@= nachschüssige Rentenbarwertfaktor Beispiel: Eine Bank hat an eine Firma für 10 Jahre eine jährliche Forderung von ¼'D die Firma Konkurs angemeldet hat, kann beim Konkursverwalter der Barwert für diese Forderung geltend gemacht werden. Welchen Barwert muss die Bank fordern, wenn 4,5 % Zins unterstellt wird? Gegeben: q = 1,045 ; n = 10Jahre ; r n = ¼ Gesucht: R 0 R 0 = r n * 1/q n * [(q n 1)/(q - 1)] R 0 = ,15 ¼ Umformungen: r n = R 0 * q n * [(q 1)/(q n - 1)] bzw. r n = R 0 * q /q n n =? r n (1-1/q n ) = R 0 * (q 1) / r n 1-1/q n = R 0 * (q 1) * 1/r n - 1-1/q n = R 0 * (q 1) * 1/r n 1 Vorzeichen vertauschen 1/q n = 1 -[R 0 * (q 1)]/r n q n = 1 1 -[R 0 * (q 1)]/r n 1 n log q = log ORJT 1 -[R 0 * (q 1)]/r n => siehe nächste Seite

16 n = log [R 0 * (q 1)]/r n log q q =? Polynom (n+1)-ten Grades => Nährungsweise Lösung (Nst. suchen) Beispiel: Aus einem Rentenbarwert von ¼VROOHLQHQDFKVFK VVLJH5HQWHYRQMlKUOLFK ¼JH]DKOWZHUGHQ Welche Laufzeit ergibt sich, wenn zusätzlich ein Zinsfluß von 3% unterstellt wird? Gegeben: Gesucht: q = 1,03 ; R 0 = ¼U n = ¼ n n = 1 log 1 -[ * (1,03 1)]/ log 1,03 n = 33,18 Jahre

17 Bisher war es nicht so wichtig wie ein Rentenbarwert im Zeitablauf in Rente umgewandelt wird. 17 Jetzt interessiert aber der Kontostand nach Jahren! R 0 Kontostand zum Zeitpunkt 0 1 j j +1 n Zeit r n r n r n r n 51 5 T 1 U! >T 1 ±T@ bzw..1. T 1 U! >T 1 ±T@ sog. Sparkassenformel für den Kapitalaufbau Zahlungen nach t=j bleiben unberücksichtigt Bankbeispiel (siehe Seite 15): Welchen Wert kann die Bank vom Konkursverwalter fordern, wenn die Firma unmittelbar nach Entrichtung der 4. Rate pleite gemacht hätte? M => K 4 = ,15 * 1, * [(1, )/(1,045-1)] Extrembeispiele: ,62 ¼ M => K 0 = ,15 * 1, * [(1, )/(1,045-1)] ,15 ¼ M => K 9 = ,15 * 1, * [(1, )/(1,045-1)] 2.870,81 ¼ (Probe: 2.870,81 * 1,045 = ¼ M => K 10 = ,15 * 1, * [(1, )/(1,045-1)] 0 ¼ (aufzehren endlicher Rente)

18 18 (ZLJH5HQWH U!. T±E]Z. L K j = K 0 * q j - K 0 (q - 1) * [(q j 1)/(q-1)] einsetzen in Spark.formel K j = K 0 * q j - K 0 * q j + K 0 K j = K 0 Wenn nur das ausgeschüttet wird, was an Zinsen anfällt, bleibt der Barwert für alle Zeit (ewig!) unverändert. r n = K 0 (q 1) => r e-max r n < K 0 (q 1) => K 0 wird größer! Zahlenbeispiel Bank : r e-max = ,15 ¼ r e-max = 1.068,22 ¼ Ewige Rente als Gleichgewichtspreis zwischen K 0, q und r. Sparkassenformel mit ewiger Rente j = 17 M => K 17 = ,15 * 1, ,22 * [(1, )/(1,045-1)] ,15 ¼ => Barwert wird nicht angegriffen!

19 19 Umformungen:.1. T 1 U! >T 1 ±T@ Endliche Rente => K j = 0 q j 1 K 0 * q j - r n * = 0 q 1 r n =? K 0 * q j = r n q j 1 q 1 q 1 q 1 r n = K 0 * q j = K 0 q j 1 1 1/q j K 0 =? K 0 = r n * 1 q j 1 q j q 1 j =? j = log 1 1 -[K 0 * (q 1)]/r n log q Beispiel 1: Welcher Barwert R 0 ergibt bei einer jährlichen Verzinsung von 3,5 %, 20 Jahre lang eine jährliche Rente von ¼ 1 1, R 0 = * * 1, ,035 1 R 0 = ,84 ¼

20 20 Beispiel 2: Wie viel muss jemand 25 Jahre jährlich vorschüssig einzahlen, damit 25 Jahre lang eine nachschüssige jährliche Rente von ¼DXVJH]DKOWZHUGHQNDQQ"L => Zuerst: Welchen Wert hat die Rente? 1 1, R 0 = * * 1, ,04 1 R 0 = ,44 ¼ => Jetzt: Wie hoch ist die jährliche Einzahlung? Kn = r E * q * [(q n -1) / (q 1)] r E = Kn * [(q -1) / /(q (q n 1))] Kn = R 0 r E = 6492,41 ¼ Beispiel 3: Ein Kapital R 0 = ¼ZLUGMlKUOLFK]XDQJHOHJW Wie lange kann daraus eine jährliche Rente von ¼JH]DKOWZHUGHQ" j = 1 log 1 -[ * (1,04 1)]/ log 1,04 j = 20,68 Jahre => 20 Jahre Abrunden, Restbetrag wird Mit letzter Rente ausbezahlt. (einsetzten in Sparkassenformel) r n so berechnen, dass es genau aufgeht (r n > ¼ Zusatzfrage: r e-max =? r e-max = * 0,04 = ¼

21 Differenzierung zwischen vorschüssiger und nachschüssiger Rente: 21 R n - 1 n Zeit r n r n r n r n r v r v r v r v 5! U2 T>T! ±T@.1. T 1 U2 T>T 1 ±T@ 53 4 $,.65. T±T Auflösungen analog zur nachschüssigen Rente. (lediglich immer 1 q mehr) XQWHUMlKUOLFKH5HQWHQ]DKOXQJHQZLUGQLFKWLQ.ODXVXUJHIUDJW 1. Jahr 2. Jahr Zeit r n r n r n r n m = 4, d.h. quartalsweise (m - 1) * p r n = r n unterjährlich [m + ] 200 (m + 1) * p r n = r v unterjährlich [m + ] 200

22 Kompliziertere Prozesse müssen immer in 7HLOSUR]HVVH zerlegt werden. 22 Typische Konstellationen im Rahmen der Rentenrechnung: Variation der =LQVDQQDKPH. Wechsel zwischen vorschüssiger und nachschüssiger )looljnhlw. %DUZHUW ist nicht auf einmal da, sondern wird angespart. Zwischen Ende der Ansparphase und der Auszahlung kann eine 5XKHSKDVHliegen.

23 & 23 7LOJXQJVUHFKQXQJ => keine grundlegenden neuen Formeln! Zielsetzung: Analyse der Verzinsung und Rückzahlung einer Schuld Leistung der Schuldner wird zerlegt in 2 Komponenten: - Zinsanteil - Tilgungsanteil Gebräuchliche Tilgungsarten: - Unregelmäßig - Ratentilgung - Annuitätentilgung Später: Spezialkonstellation Tilgungsrechnung Zeitstrahlanalyse: K 0 Leistung Gläubiger n - 1 n Zeit &! & 4 Z 1 Z 2 Z n-1 Z n Leistung Schuldner + T 1 + T 2 + T n-1 + T n $ $7 $ $ Weiteres Analyseinstrument: => Tilgungsplan Grundgleichungen der Tilgungsrechnung: & 4 & 8 9 $8 =8 78 Annuität als Summe von Zins + Tilgung Schuld wird durch Tilgung abgetragen. 78 =8 L.8 Zinsberechnung. $T Ausgangsschuld ist gleich dem Barwert der Annuitäten

24 24 7LOJXQJPLWXQUHJHOPl LJHQ%HLWUlJHQ Analyse hier ausschließlich über Tilgungsplan. => Excel Beispiel: Ein Darlehen über ¼ZLUGMlKUOLFK]XYHU]LQVWXQGVROOLQ-DKUHQ vollständig getilgt werden. Jeweils am Ende der ersten Jahre sind folgende Annuitäten vereinbart. A 1 = A 2 = A 3 = A 4 = A 5 = A 6 wird aus dem Tilgungsplan abgeleitet Jahre 7LOJXQJVSODQI UGDV%HLVSLHO (Rest) Schuld Zinsen Tilgung Annuität (Rest) Schuld Jahresbeginn Jahresende , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,57 729, , ,74 0 Bezüge zu den obigen Grundformeln: n K 0 = 7 t = , , , ,57 = t= n K 0 = $T -t = /1, ,08² ,74/1,08 6 = t=

25 25 5DWHQWLOJXQJ T 1 = T 2 = T 3 =.. = T n K 0 = n * T T = K 0 /n Beispiel: Ein Darlehen zu ¼VROOEHLLJHU9HU]LQVXQJzu 6 gleichen Raten zu je ¼JHWLOJWZHUGHQ Jahre 7LOJXQJVSODQI UGDV%HLVSLHO (Rest) Schuld Zinsen Tilgung Jahresbeginn Annuität (Rest) Schuld Jahresende W.: ; < =: 7 $:.: , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00 800, , ,00 0 Konstante Tilgungen führen zu (arithmetisch) degressiven Annuitäten. => Zinsen, Annuitäten und (Rest-)Schulden können bei einem regelmäßigen Prozess auch bestimmt werden, ohne den kompletten Tilgungsplan aufzustellen. (a) K t = K 0 - t * T K t = K 0 t * (K 0 /n).8. >±WQ@ (b) Z t = i * K t-1 =8 L >±WQ@. (c) A t = Z t + T A t = K 0 /n + i * [ 1 (t-1)/n ] $8. >QL±WQ@ oder: A t = K 0 /n + i [ n/n (t-1)/n ] * K 0 A t = K 0 /n + K 0 * i * [ (n t + 1)/n ] $8. Q>LQ±W@

26 26 Bezug zu dem Beispiel oben: K t = K 0 [ 1 (t/n) ] K 4 = [ 1 (4/6) ] K 4 = ¼ Z t = i * [ 1 (t-1)/n] * K 0 Z 4 = 0,08 * [ 1 (4-1)/6] * Z 4 = ¼ A t = K 0 /n [ 1 + i * (n t + 1) ] A t = /6 [ 1 + 0,08 * ( ) ] A t = ¼ Weitere Aspekte der Ratenzahlung (z.b. unterjährlich) werden hier nicht besprochen. $QQXLWlWHQWLOJXQJ A 1 = A 2 = A 3 =.. = A n-1 = A n = A Beispiel: Ein Darlehen zu ¼VROOEHLLJHU9HU]LQVXQJGXUFKJOHLFKH$QQXLWlWHQYRQ ,92 ¼LQ-DKUHQJHWLOJWZHUGHQ Jahre 7LOJXQJVSODQI UGDV%HLVSLHO (Rest) Schuld Zinsen Tilgung Jahresbeginn Annuität (Rest) Schuld Jahresende W.: ; < =: 7 $:.: , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,55 961, , ,92 0 Struktur vergleichbar mit der Ä6SDUNDVVHQIRUPHOI UGHQ.DSLWDODEEDX³ Ä5HVWVFKXOGIRUPHO³

27 .8. T 8 $>T 8 ±T@ Gültigkeit dieser Formel am Zahlenbeispiel oben z.b. für t = 2 K 2 = * 1, ,92 * [(1,08 2 1)/(1,08-1)] K 2 = ,85 ¼ 27 Umformungen: (unter der Annahme, dass die Schuld getilgt wird) q t 1 K 0 * q t - A * = 0 q 1 A =? K 0 * q t = A q j 1 q 1 q 1 q 1 A = K 0 * q t = K 0 q t 1 1 1/q t K 0 =? K 0 = A * 1 q t 1 q t q 1 t =? t = log 1 1 -[K 0 * (q 1)]/A log q Zusätzlich sind hier noch folgende Formeln wichtig! =8 $ & T 8 4 & 78 $±= & T 8 4 & 78 $±. LT 8 4 &

28 28 Beispiel 1: Eine Hypothek zu 7% p.a. über ¼VROOLQ-DKUHQYROOVWlQGLJYHU]LQVW werden. a) A =? b) Restschuld nach 5, 10 und 15 Jahren? T 1 =? c) Tilgungsplan in 10 Jahren? a) q 1 A = K 0 * q t q t 1 A = * 1,07 20 * 0,07/1, A = ,94 ¼ T 1 = A - Z 1 = A - K 0 * i = , ,00 = 3.658,94 ¼ b) Restschuldformel => K t = K 0 * q t - A * [(q t 1)/(q-1)] K 5 = * 1, ,94 * [(1,07 5 1)/(1,07-1)] = ,39 ¼ K 10 = * 1, ,94 * [(1, )/(1,07-1)] = ,45 ¼ K 15 = * 1, ,94 * [(1, )/(1,07-1)] = ,39 ¼ c) T 10 = T 1 * q 9 K 10 = ,45 ¼(siehe oben) = 3.658,94 * 1,07 9 = 6.726,81 ¼ K 9 = K 10 T 10 = ,25 ¼ Z 10 = K 9 * i Z 10 = ,25 * 0,07 Z 10 = 7.432,13 ¼ Jahre (Rest) Schuld Jahresbeginn Zinsen Tilgung Annuität (Rest) Schuld Jahresende W.: ; < =: 7 $:.: , , , , ,44

29 29 Beispiel 2: Jemand plant ein Haus zu bauen, hat aber kein Eigenkapital. Möglich wären jedoch jährliche Annuitäten von ¼I UHLQH/DXI]HLt von 25 Jahren. Wie hoch könnte ein Hypothekendarlehen ausfallen, wenn ein Zinssatz von 9 % unterstellt wird? => Gesucht: K 0 K 0 = A * 1 q t 1 q t q 1 K 0 = ,80 ¼ Beispiel 3: Hypothek von ¼ZLUG]XYHU]LQVWXQGVROOPLW$QQXLWlWHQYRQ¼ zurückgezahlt werden. Gesucht: t und Tilgungsplan für das letzte Jahr! t = log 1 1 -[K 0 * (q 1)]/A log q t = 9, Jahre Ungeradzahliges Ergebnis für Jahre; d.h. der Tilgungsplan geht nicht auf!? Restschuld nach 9 Jahren: K 9 = K 0 * q 9 - A * [(q 9 1)/(q-1)] K 9 = ,09 ¼ Lösung des Problems von oben:,5hvwvfkxogzlug]xvdpphqplwghuohw]whqyroohq$qqxlwlwehjolfkhq A 9 = A + K 9 A 9 = ,09 ¼

30 30,,D5HVWVFKXOGZLUGDOV6RQGHU]DKOXQJYRUDELQW EHJOLFKHQ S = K 9 * q -9 S = 6.296,68 ¼ K 0 * = K 0 S K 0 * = ,68 K 0 * = ,32 ¼,,E6RQGHU]DKOXQJQLFKWYRUDEVRQGHUQ]XVDPPHQPLWGHUHUVWHQ $QQXLWlW S = K 9 * q -8 S = 6.800,41 ¼,,,,UUHJXOlUH$EVFKOXVVDQQXLWlW A 1 = A 2 = A 3 =.. = A n-1 = A n = A A 1 = Z 10 + T 10 (=K 9 ) A 10 = ,09 * 0, ,09 A 10 = ,06 ¼ Jahre (Rest) Schuld Jahresbeginn Zinsen Tilgung Annuität (Rest) Schuld Jahresende W.: ; < =: 7 $:.: , , ,06 0,00 Spezialprobleme der Tilgungsrechnung: => Zerlegung in Teilprozesse (bereits angesprochen) => unterjährlich (bereits angesprochen) => Auswirkung von tilgungsfreien Zeiten => Zinsänderung => Prozentannuität => Auszahlungsgebühren (Disagio) => Aufgeld (Agio)

31 31 $XVZLUNXQJYRQ³WLOJXQJVIUHLHQ=HLWHQ³ Tilgung ist z.b. am Anfang nicht möglich. => 2KQH=LQV]DKOXQJ 6FKXOGVWHLJWDQ=LQVHV]LQVIRUPHO => 0LW=LQV]DKOXQJ. EOHLEWNRQVWDQW Zahlenbeispiel: Kredit über ¼ZLUGPLWYHU]LQVW'LHHUVWHQGUHL-DKUHVHLHQWLOJXQJVIUHLH Zeiten. Am Ende des 4. Jahres soll eine Annuitätentilgung derart beginnen, dass die Schuld 10 Jahre nach Gewährung des Kredites getilgt ist. Gesucht: A=? I. ohne Zinszahlung: II. mit Zinszahlung: K 0 * = K 0 * q 3 Die ersten drei Jahre muss jedes Jahr * 0,09 = ¼=LQVHQ K 0 * = ,73 ¼ gezahlt werden! Annuit. Tilgung für die restl. 7 Jahre: Annuit. Tilgung für die restl. 7 Jahre: A = ,73 * 1,09 7 * 0,09/1, A = ,00 * 1,09 7 * 0,09/1, A = 6.432,75 ¼ A = 4.967,26 ¼ =LQVlQGHUXQJ Zahlenbeispiel: K 0 = ¼$ ¼ Zinsannahme für die ersten 5 Jahre: 9% danach 7 %. Wie lange ist die Laufzeit der Tilgung? %HUHFKQXQJGHU5HVWVFKXOGQDFK-DKUHQW & K 5 = K 0 * q 5 - A * [(q 5 1)/(q-1)] K 5 = ,87 ¼ => neu K 0 %HUHFKQXQJGHU5HVWODXI]HLW log t 2 = 1 1 -[K 0 * (q 1)]/A log q

32 32 t 2 = 9,62537 Jahre %HUHFKQXQJGHU*HVDPWODXI]HLW t = t 1 + t 2 t = 14,62537 Jahre (ganzahliges Problem, siehe oben) 3UR]HQWDQQXLWlW(A = konstant!) Bisher bei annuitätischer Tilgung: - Vorgabe von Absolutbeträgen bei der Höhe der Annuität. ( z.b. A = ¼ Jetzt: - Relative Bemessung der Höhe der Annuität Praxis: Neben dem =LQVVDW] wird ein 7LOJXQJVVDW] im ersten Jahr als Prozentsatz GHU *HVDPWVFKXOG vereinbart. $. LL! 3= Formulierung: Zinsen x % p. a. Tilgung y % p. a. Ä]X] JOLFKHUVSDUWHU=LQVHQ³ oder ÄGXUFKIRUWVFKUHLEHQGH7LOJXQJHUVSDUWH=LQVHQ³ Zahlenbeispiel: Ein Baudarlehen von ¼VROOPLWYHU]LQVWXQGPLW]X] JOLFKHUVSDUWHU Zinsen getilgt werden. Tilgungsplan für die ersten 2 Jahre? Tilgungsdauer? Tilgungsplan: A = K 0 * ( i + i neu ) A = * ( 0,08 + 0,02) A = ¼

33 33 Jahre (Rest) Schuld Jahresbeginn Zinsen Tilgung Annuität (Rest) Schuld Jahresende W.: ; < =: 7 $:.: , , , , , , ,00 0,00 2 % gilt nur für das erste Jahr! Laufzeit: t = log A A -[K 0 * (q 1)] log q GD $±.> T± $±.> L = $±=? 7? t = log A T 1 log q W ORJ$±ORJ7? ORJT t = (log log 2.000) / log q t = 20,91 Jahre t = log A T 1 log q.> ORJ.> W ORJT Unabhängig von K 0, nur abhängig von i und i neu also den beiden relativen Größen!

34 34 $XV]DKOXQJVJHE KUHQ'LVDJLR *UXQGPRGHOO Kredit wird QLFKWYROODXVJH]DKOW weil von der Schuldsumme sofort die.uhglw JHE KUDEJH]RJHQ wird. Zu tilgen ist die volle Schuldsumme. Zahlenbeispiel: Darlehen zu ¼VROO]XDXVJH]DKOWZHUGHQ'LVDJLR$OV=LQVVDW] werden 8,5 % Zinsen vereinbart. Tilgung wird mit 1 % zuzüglich ersparter Zinsen festgelegt. Wie hoch ist die Annuität? A = K 0 * ( i + i neu ) A = * ( 0, ,01) A = ¼ (trotz 93%-iger Auszahlung bezieht sich der Tilgungsvorgang auf die !) 93% Auszahlung => ¼ZHUGHQDXsgezahlt. Eventuell Problem der Finanzierungslücke von ¼³!=XVDW]GDUOHKHQ *UXQGPRGHOO Kredit wird in der YROOHQ+ KHDXVJH]DKOW Anfangsschuld setzt sich aus der YHUHLQEDUWHQ6FKXOG]X] JOLFK$XV]DKOXQJVJHE KUHQ Zahlenbeispiel: Kredit über ¼VROOYROODXVJH]DKOWZHUGHQ%HLGHU7LOJXQJZHUGHQ Kreditgebühren berücksichtigt. Als Zinssatz werden 7 % festgelegt. Tilgung zu 2 % zuzüglich ersparter Zinsen. Wie hoch ist die Annuität? K 0 neu K 0 neu K 0 neu = K 0 + K 0 * i Gebühr = * 0,03 = ¼ A = K 0 neu * ( i + i neu ) A = * ( 0,07 + 0,02) A = ¼ (statt 4.500!)

35 35 $XIJHOG$JLR Häufig wird zwischen Gläubiger und Schuldner außer Zins und Tilgung noch ein ]XVlW]OLFKHV$XIJHOG vereinbart, das in der Regel als 3UR]HQWVDW]GHU7LOJXQJV UDWH festgelegt wird. %HLGHU5DWHQWLOJXQJ T 1 = T 2 = T 3 =.. = T n = T Mathematisch: Neben den Zinsen ist das (1 + Alpha)fache der Standardtilgungsrate zu zahlen. Beim Tilgungsplan ist eine zusätzliche Spalte für das Aufgeld zu berücksichtigen! $JLRW $OSKD7 $C =C $OSKD7 Zahlenbeispiel: Kredit über ¼7LOJXQJLQ-DKUHQi = 6 %, Aufgeld: 2% der Tilgungsrate Jahre (Rest) Schuld Jahresbeginn Zinsen Tilgung Agio Annuität (Rest) Schuld Jahresende W.: ; < =: 7 $:.: ,00 600, , , ,00 480, , , ,00 360, , , ,00 240, , , ,00 120, ,00 0,00

36 36 %HLGHU$QQXLWlWHQWLOJXQJ A 1 = A 2 = A 3 =.. = A n-1 = A n = A würden sich bei dieser Vorgehensweise VWHLJHQGH$QQXLWlWHQ ergeben. => Passt nicht zum Grundmodell mit NRQVWDQWHQ Annuitäten. Mathematische Lösung: Agio muss bei der Festlegung der Annuität einbezogen werden. neue Formel: C LN $.> N PLWN L$OSKD Zahlenbeispiel: K 0 = , das mit 6 % zu verzinsen ist und unter Einschluss eines Aufgeldes von 2 % annuitätisch in 6 Jahren getilgt werden soll. Tilgungsplan? K = 0,06/ 1,02 = 0, i (1 + k) t A = K 0 * = ,83 ¼ (1 + k) t - 1 Z 1 = K 0 * i = ¼ T = (A Z 1 ) / (1 + Alpha) = 8.627,28 ¼ Agio 1 = 0,002 * T 1 = 172,55 ¼ Jahre (Rest) Schuld Jahresbeginn Zinsen Tilgung Agio Annuität (Rest) Schuld Jahresende W.: ; < =: 7 $:.: , , ,28 172, , , , , ,77 182, , , , , ,11 193, , , , , ,06 204, , , , , ,47 216, , , ,31 688, ,32 229, ,83 0,00