Kapitel 13. Evolutionäre Spieltheorie. Einleitung. Evolutionäre Biologie. Übersicht 2. Alternative: Biologische Evolutionstheorie

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1 Übersicht : Evolutionäre Spieltheorie Einleitung Evolutionäre Biologie Evolutionäre Spieltheorie: Idee Gefangenendilemma (Beispiel) Evolutionäre Stabilität Beispiele Wiederholtes Gefangenendilemma Chicken-Spiel Koordinationsspiel 1 Übersicht 2 Einleitung Rationalität als zentrale Annahme der Spieltheorie. Sinnvoll in vielen ökonomischen Zusammenhängen Empirisch bestätigt? Können wir diese Annahme fallen lassen? Was sind die Alternativen? Einleitung 3 Einleitung 4 Alternative: Biologische Evolutionstheorie Keine Rationalität, da keine bewussten Entscheidungen gefällt werden. Gute Strategien werden gegenüber schlechten belohnt. Evolutionäre Biologie Gute Strategien erhöhen die Fitness der Anwender und vermehren sich dadurch stärker in der Bevölkerung. Einleitung 5 Evolutionäre Biologie 6

2 Grundlagen der evolutionären Biologie Fitness Tierisches Verhalten ist weitgehend genetisch bestimmt. Zusammenwirken der Gene bestimmt eine Verhaltensweise. Fitness: Mass für den Erfolg eines Phänotypen. Einige Phänotypen passen besser zu den herrschenden Umweltbedingungen als andere. Phänotyp: Spezielles Verhaltensmuster, welches durch ein oder mehrere Gene bestimmt wird. Evolutionäre Biologie 7 Evolutionäre Biologie 8 Selektion Mutationen Selektion: Ändert die Zusammensetzung der Phänotypen. Anzahl der Tiere mit einer höheren Fitness nimmt zu, weil sie relativ mehr Nachkommen haben. Der Zufall produziert Mutationen: Es entstehen neuen Phänotypen. Fitness und Selektion bestimmen den Erfolg der Mutanten. Die meisten Phänotypen, welche durch eine Mutation entstehen, sind schlecht an die Umwelt angepasst und verschwinden unmittelbar wieder. Evolutionäre Biologie 9 Evolutionäre Biologie 10 Evolutionäre Stabilität Von Zeit zu Zeit entsteht ein neuer Phänotyp, der besser an die Umwelt angepasst ist. Der Mutant kann in eine bestehende Population von Phänotypen eindringen und erreicht einen signifikanten Anteil in der Bevölkerung. Ein Phänotyp wird evolutionär stabil genannt, wenn keine Mutanten den Phänotypen verdrängen können. Eine Population heisst monomorph, wenn sie aus nur einem Phänotypen besteht. Eine Population heisst polymorph, wenn sie aus mehreren Phänotypen besteht. Evolutionäre Biologie 11 Evolutionäre Biologie 12

3 Evolutionäre Spieltheorie: Anwendung der evolutionären Biologie auf Strategien. Evolutionäre Spieltheorie: Idee Strategien werden nicht mehr vom Spieler durchdacht, vielmehr sind sie angeboren. Fitness und Selektion bestimmen dann den Erfolg der Strategie. Evolutionäre Spieltheorie:Idee 13 Evolutionäre Spieltheorie: Idee 14 Wir nutzen die evolutionäre Spieltheorie, um die Annahme der Rationalität vollständig fallen zu lassen. Spieler treffen keine bewussten Entscheidungen, da sie die Strategien erben. Spieler müssen daher nicht rational sein: sie müssen die Welt nicht verstehen. Interpretation erben : Akteure erhalten Strategien mittels nichtgenetischer Prozesse: z.b. Imitation, Erziehung etc.. Fitness beinhaltet Gewinne, Macht, Prestige usw. und nicht das Überleben als solches. Evolutionäre Spieltheorie: Idee 15 Evolutionäre Spieltheorie: Idee 16 Das Nashgleichgewicht wird ersetzt durch zwei Konzepte: Evolutionär stabile Strategie Populationsdynamik Das sind unsere neuen Prognosetools Der Ansatz der Populationsdynamik betrachtet dynamische Prozesse, die beschreiben wie sich die relative Häufigkeit, mit den unterschiedlichen Strategien in einer Bevölkerung, im Zeitablauf ändern. Der Ansatz der evolutionär stabilen Strategien versucht einen Bevölkerungszustand zu beschreiben, unter dem sich keine alternative Strategie (eine Mutation ) in der Bevölkerung ausbreiten kann. Evolutionäre Spieltheorie: Idee 17 Evolutionäre Spieltheorie: Idee 18

4 Evolutionary Theory of Gravitation Question: Why does an apple fall from the tree to the earth? Answer: Originally, apples that came loose from trees went in all directions. But only those that were genetically predisposed to fall to the earth could reproduce. Gefangenendilemma Evolutionäre Spieltheorie: Idee 19 Gefangenendilemma 20 Bevölkerung besteht aus 2 Phänotypen Kooperierende: Gestehen nicht Abweichende: Gestehen Spieler können Strategie nicht wählen: Sie werden als Kooperierende oder Abweichende geboren. Um die durchschnittliche Auszahlung (Fitness) einer Strategie zu bestimmen, braucht es ein Modell der Interaktion innerhalb der Bevölkerung. Zufälliges Aufeinandertreffen vs. geordnetes Aufeinandertreffen. Wir betrachten das einfachste Modell der Interaktion innerhalb einer Bevölkerung. Gefangenendilemma 21 Gefangenendilemma 22 Für jedes Individuum in der Bevölkerung gilt: die Wahrscheinlichkeit, dass er auf ein Individuum mit einer gegebenen Verhaltensweise trifft, entspricht genau der relativen Häufigkeit dieser Verhaltensweise in der Bevölkerung. ZEILE Gestehen Kooperieren SPALTE 1 - x x Gestehen Kooperieren 10 yr, 10 yr 1 yr, 25 yr 25 yr, 1 yr 3 yr, 3 yr Sei x der Anteil kooperierender Spieler (Phänotyp nicht gestehen ). x = Wahrscheinlichkeit auf einen Kooperierenden zu treffen (1 x) = Wahrscheinlichkeit auf einen nicht kooperierenden zu treffen Gefangenendilemma 23 Gefangenendilemma 24

5 Erwartete Freiheitsstrafe für kooperieren 3x + 25(1 x) = 25 22x Erwartete Freiheitsstrafe für gestehen x + 10(1 x) = 10 9x Für jedes 0 x 1gilt: 10 9x < 25 22x 13x < 15 Evolutionär stabile Strategie Die Strategie gestehen erwartet eine geringere Haftstrafe für jedes x (0,1). In einer Population in der alle Spieler gestehen, kann damit die Mutation kooperieren nicht erfolgreich eindringen. Falls kooperieren per Zufall entsteht, wird sie unmittelbar wieder verdrängt. Die Strategie gestehen ist damit evolutionär stabil (ESS) im Gefangenendilemma. Gefangenendilemma 25 Gefangenendilemma 26 Populationsdynamik Im Gegensatz dazu ist die Strategie kooperieren nicht evolutionär stabil. In einer Population in der alle Spieler die Strategie kooperieren anwenden, kann die Strategie gestehen erfolgreich eindringen. Sei x der Anteil Spieler die anfänglich nicht gestehen. Wie ändert sich x über die Zeit? Da für jedes x gestehen eine geringere Haftstrafe erzielt als kooperieren wird x über die Zeit abnehmen. Dieser Prozess hört erst auf, wenn es nur noch Spieler gibt, welche gestehen. Daher ist nur x = 0 ein Gleichgewicht (stabiler Zustand) der Populationsdynamik. Gefangenendilemma 27 Gefangenendilemma 28 Evolutionäre Stabilität für reine Strategien Symmetrisches 2-Personen-Spiel in strategischer Form mit m Aktionen. Zumeist betrachten wir den Fall m = 2. In biologischen Anwendungen ist die Betrachtung von 2-Personen-Spielen die Regel. Stabilität für reine Strategien 29 Stabilität für reine Strategien 30

6 Auszahlungsfunktion: verwendet in einer Interaktion ein Spieler die Aktion k so ist seine Auszahlung u(k, l) wenn sein Gegenspieler die Aktion l verwendet. Wir betrachten in diesem Abschnitt den Fall, in dem jeder einzelne Spieler eine reine Strategie verwendet, d.h. eine der m Aktionen verwendet. Definition: Eine Aktion k ist eine evolutionär stabile Strategie, wenn für jede Aktion l k entweder u(k, k) > u(l, k) oder u(k, k) = u(l, k) und u(k, l) > u(l, l) gilt. Stabilität für reine Strategien 31 Stabilität für reine Strategien 32 Es wird eine Situation betrachtet, in der die gesamte Bevölkerung die Aktion k verwendet. Wechselt nun ein Teil ε der Bevölkerung zu einer alternativen Aktion l k, so sind die durchschnittlichen Auszahlungen: (1 ε)u(k, k) + εu(k, l) für die Aktion k (1 ε)u(l, k) + εu(l, l) für die Aktion l Die Aktion k erzielt eine strikt grössere durchschnittliche Auszahlung als die Aktion l (und kann diese daher per Annahme aus der Bevölkerung verdrängen) falls (1 ε) [u(k, k) u(l, k)] + ε[u(k, l) u(l, l)] > 0 gilt. Stabilität für reine Strategien 33 Stabilität für reine Strategien 34 Die Bedingungen in der Definition einer evolutionär stabilen Strategie sind genau diejenigen, die sichern, dass diese Ungleichung für alle hinreichend kleinen ε > 0 erfüllt sind. Gilt u(k, k) > u(l, k) wird die Mutation l verdrängt, da der erste Summand strikt positiv und der zweite Summand für hinreichend kleine ε diesen Effekt nicht umdrehen kann Gilt u(l, k) = u(k, k), so ist der Gesamtausdruck für ε > 0 genau dann strikt positiv, wenn u(k, l) > u(l, l) gilt. Theorem: Ist k eine evolutionär stabile Strategie, so ist (k, k) ein Nash- Gleichgewicht in reinen Strategien. Stabilität für reine Strategien 35 Stabilität für reine Strategien 36

7 Das Theorem liefert eine Rechtfertigung für das Konzept des Nash-Gleichgewichts aus evolutionärer Sicht. Theorem: Ist (k, k) ein striktes Nash-Gleichgewicht so ist k evolutionär stabil. Die Rechtfertigung ist nur teilweise, da nur symmetrische Nash-Gleichgewichte einer evolutionär stabilen Strategie entsprechen können. nicht jedes Nash-Gleichgewicht evolutionär stabil ist. In einem symmetrischen 2-Personen-Spiel ist (k, k) genau dann ein striktes Nash-Gleichgewicht, wenn u(k, k) > u(l, k) für alle l gilt. Stabilität für reine Strategien 37 Stabilität für reine Strategien 38 Insbesondere ist (k, k) ein striktes Nash- Gleichgewicht und damit k evolutionär stabil - wenn k eine dominante Aktion ist (Beispiel: einfaches Gefangenendilemma). Wiederholtes Gefangenendilemma Stabilität für reine Strategien 39 Wiederholtes Gefangenendilemma 40 Zwei Wiederholungen Spiel für die Strategien A und T Wiederholtes Gefangenendilemma (zweimal) Zwei Strategien Immer gestehen (A) Tit-for-tat (T) SPALTE A 1 -x T x A 20, 20 11, 35 ZEILE T 35, 11 6, 6 x = Wahrscheinlichkeit auf einen T Spieler zu treffen (1 x) = Wahrscheinlichkeit auf einen A Spieler zu treffen Copyright 2000 by W.W. Norton & Company Wiederholtes Gefangenendilemma 41 Wiederholtes Gefangenendilemma 42

8 Evolutionär stabile Strategien (A, A) und (T, T) sind strikte Nashgleichgewichte in reinen Strategien. A und T sind damit evolutionär stabile Strategien (ESS). Populationsdynamik Sei x der Anteil der tit-for-tat (T) Spieler. Wie ändert sich dieser Anteil über die Zeit? Die erwartete Freiheitsstrafe eines A Spielers beträgt 11x + 20(1 x) = 20 9x. Die erwartete Freiheitsstrafe eines T Spielers ist 6x + 35(1 x) = 35 29x. Wenn x > 3 / 4 : 35 29x < 20 9x Wiederholtes Gefangenendilemma 43 Wiederholtes Gefangenendilemma 44 Wenn mehr als 75% der Bevölkerung schon vom Typ T ist, dann hat T eine höhere Fitness als A und wird zu 100% anwachsen (x = 1). Unfitness (Jahre im Gefängnis) Typ A Unfitness des Typ T 35 29x Wenn weniger als 75% der Bevölkerung vom Typ T ist, hat A eine höhere Fitness und wird zu 100% wachsen (x = 0). 20 9x Anteil x des Typs T in der Bevölkerung Copyright 2000 by W.W. Norton & Company Wiederholtes Gefangenendilemma 45 Wiederholtes Gefangenendilemma 46 Ein polymorphes Gleichgewicht existiert, wenn die Bevölkerung exakt zu 75% aus T und zu 25% aus A besteht. Beide Typen besitzen dieselbe Fitness und vermehren sich proportional. Chicken-Spiel Dies ist ein Gleichgewicht, es ist aber nicht stabil. Einführung eines Mutanten eines Typs stürzt das Gleichgewicht. Wiederholtes Gefangenendilemma 47 Chicken-Spiel 48

9 Evolutionär stabile Strategien B Ist Wimp eine ESS? A Wimp Macho Wimp 0, 0 1, -1 Macho -1, 1-2, -2 Wimp ist evolutionär stabil, falls u(wimp, Wimp) > u(macho, Wimp) Es gilt u(wimp, Wimp) = 0 und u(macho, Wimp) = 1. Somit ist Wimp keine ESS. Copyright 2000 by W.W. Norton & Company Chicken-Spiel 49 Chicken-Spiel 50 Evolutionär stabile Strategien Ist Macho eine ESS? Macho ist evolutionär stabil, falls u(macho, Macho) > u(wimp, Macho) Es gilt u(macho, Macho) = -2 und u(wimp, Macho) = -1. Somit ist Macho keine ESS. Jeder Typ hat eine höhere Fitness, wenn er in der Bevölkerung eine Minderheit repräsentiert. Jeder Typ kann somit erfolgreich in eine Bevölkerung eindringen, welche nur aus Spielern mit den anderen Phänotypen besteht. Die reinen Strategien Wimp und Macho sind damit keine ESS. Chicken-Spiel 51 Chicken-Spiel 52 Evolutionär stabile Strategien Das Chicken Spiel hat das symmetrische Nashgleichgewicht [(0.5, 0.5), (0.5, 0.5)]. Ist die gemischte Strategie (0.5, 0.5) ein ESS? Betrachten wir noch einmal die Definition einer EES. Definition: Eine Aktion k ist eine evolutionär stabile Strategie, wenn für jede Aktion l k entweder oder gilt. u(k, k) > u(l, k) u(k, k) = u(l, k) und u(k, l) > u(l, l) Chicken-Spiel 53 Stabilität für reine Strategien 54

10 Evolutionär stabile Strategien Evolutionär stabile Strategien Die gemischte Strategie (0.5, 0.5) ist eine evolutionär stabile Strategie falls, u[(0.5, 0.5), i] > u(i, i) wobei i entweder Wimp = (1, 0) oder Macho = (0, 1) ist. Es gilt dass u[(0.5, 0.5), (1, 0)] = 0.5 und u[(1, 0), (1, 0)] = 0. Es gilt auch dass u[(0.5, 0.5), (0, 1)] = -1.5 und u[(0, 1), (0, 1)] = -2. Somit ist (0.5, 0.5) ein ESS. Chicken-Spiel 55 Chicken-Spiel 56 x = Anteil Machos, (1 x) = Anteil Wimps Fitness eines Wimps: (0)(1 x) + (-1)x = -x Fitness eines Machos: 1(1 x) + (-2)x = 1 3x Populationsdynamik Typ Macho hat die höhere Auszahlung wenn: 1 3x > -x, d.h. wenn x < ½. Wenn die Bevölkerung also weniger als zur Hälfte aus Machos besteht, haben Machos eine höhere Fitness und der Anteil an Machos nimmt zu. (0.5, 0.5) ist ein polymorphes Gleichgewicht. Dieses Gleichgewicht ist stabil: nach einer kleine Änderung der Anteile gehen die Anteile wiederum auf (0.5, 0.5) zu. Chicken-Spiel 57 Chicken-Spiel 58 Fitness Vergleich mit klassischer Spieltheorie 1 0 Macho Wimp 1/2 1 Anteil x an Machos Machos in Bevölkerung Klassische Spieltheorie: Das Chicken Spiel hat die drei Nashgleichgewichte [(0.5, 0.5), (0.5, 0.5)], [(1, 0), (0, 1)] und [(0, 1), (1, 0)] Evolutionäre Spieltheorie: Die zwei reinen Strategien sind nicht evolutionär stabil. Fitness Graphen und polymorphes Gleichgewicht für Chicken-Spiele Copyright 2000 byw.w. Norton & Company Die gemischte Strategie ist evolutionär stabil. Chicken-Spiel 59 Chicken-Spiel 60

11 Interpretationen unterscheiden sich: In der klassischen Spieltheorie mischen die Spieler. In evolutionären Spielen ist die Bevölkerung eine Mischung aus ihren Phänotypen. Koordinationsspiele Chicken-Spiel 61 Koordinationsspiele 62 Evolutionär stabile Strategien T B M (M,M) und (T,T) sind strikte Nashgleichgewichte in reinen Strategien. A T M 1, 1 0, 0 0, 0 2, 2 M und T sind damit evolutionär stabile Strategien (ESS). Copyright 2000 by W.W. Norton & Company Koordinationsspiele 63 Koordinationsspiele 64 Evolutionär stabile Strategien Evolutionär stabile Strategien [(2/3,1/3), (2/3,1/3)] ist ein symmetrisches Nashgleichgewicht in gemischten Strategien. Die gemischte Strategie (2/3,1/3) ist eine ESS falls, Da u((2/3,1/3), T) = 2/3 und u(t, T) = 1, ist die gemischte Strategie nicht evolutionär stabil. u[(2/3,1/3), i] > u(i, i) wobei i entweder T = (1, 0) oder M = (0, 1) ist. Koordinationsspiele 65 Koordinationsspiele 66

12 T hat Fitness: x(1) + (1 x)(0) = x Populationsdynamik M hat Fitness: x(0) + (1 x)(2) = 2(1 x) T hat grössere Auszahlung wenn x > 2/3 M wenn x < 2/3 Populationsdynamik Sei x > 2/3, dann konvergiert x gegen x = 1. Sei x < 2/3, dann konvergiert x gegen x = 0. Instabiles Gleichgewicht der Populationsdynamik wenn x = 2/3. Instabil: jegliche Mutation von T oder M führt weg von x = 2/3. Koordinationsspiele 67 Koordinationsspiele 68 Fitness 2 Typ M Vergleich mit klassischer Spieltheorie Typ T 1 Klassische Spieltheorie: Drei Nash Gleichgewichte [(1, 0),(1,0)], [(0,1), (0,1)], und [( 2 / 3, 1 / 3 ), ( 2 / 3, 1 / 3 )]. 0 2/3 1 Anteil x an T Typen In der Bevölkerung Evolutionäre Spieltheorie: Die gemischte Strategie ist keine evolutionär stabile Strategie. Die reinen Strategien sind evolutionär stabile Strategien (ESS). Copyright 2000 by W.W. Norton & Company Koordinationsspiele 69 Koordinationsspiele 70