Grundlagen der Informatik 2. Grundlagen der Digitaltechnik. 3. Entwicklungssatz der Schaltalgebra

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1 Grudlage der Iormatk Grudlage der Dgtaltechk 3. Etwcklugssatz der Schaltalgebra Pro. Dr.-Ig. Jürge Tech Dr.-Ig. Chrsta Haubelt Lehrstuhl ür Hardware-Sotware Sotware-Co-Desg Grudlage der Dgtaltechk

2 Etwcklugssatz der Schaltalgebra Normalormtheoreme Ermöglche ee edeutge (kaosche Darstellug eder belebge Schaltukto Schaltuktoe sd alle durch 3 logsche Operatoe realserbar Ud, Oder ud Negato Der Boolesche Etwcklugssatz st ee ormelle Methode zur gezelte Umwadlug edes belebge schaltalgebrasche Ausdrucks ee der bede Normalorme Ergebs: ee der kaosche Darstelluge KNF bzw. DNF Weterh erhält ma durch Awedug des Boolesche Etwcklugssatzes de Darstellug eer Schaltukto als BDD. Techsche Iormatk I

3 Etwcklugssatz der Schaltalgebra Mterme Terme m : ür geau ee Belegug wrd der Wert ageomme; orthogoale Bassuktoe zur Bldug der DNF Proekto vo Esstelle au belebge Postoe m Smmetredagramm Auswahl der rchtge Fuktoswerte DNF -> Esstellemege Mterme (x,x x & (, m x m & x m & x m 3 & x x (, x (, x (, Techsche Iormatk I 3

4 Etwcklugssatz der Schaltalgebra Maxterme Terme M : ür geau ee Belegug wrd der Wert ageomme; orthogoale Bassuktoe ür Bldug der KNF Proekto vo Nullstelle au belebge Postoe m Smmetredagramm Auswahl der rchtge Fuktoswerte KNF -> Nullstellemege Maxterme (x,x x (, M x M x x M x (, x (, M 3 x x (, Techsche Iormatk I 4

5 DNF (Dsuktve Normalorm Schaltukto DNF-Form: besteht aus mehrere dsuktv verküpte (-> Oder- Fukto Terme, de aus kouktv verküpte (-> Ud- Fukto Lterale bestehe Bespele: (x (x &x &x (x &x &x (x &x &x xx x x x x xx x (x (x & x (x & x (x & x x x x x x x Techsche Iormatk I 5

6 DNF (Dsuktve Normalorm Also: DNF lstet alle Beleguge, de de Fuktoswert erzeuge solle, ezel au x x (x (x (x & x (x & x Techsche Iormatk I 6

7 KNF (Kouktve( Normalorm Schaltukto KNF-Form: besteht aus mehrere kouktv verküpte Terme, de aus dsuktv verküpte Lterale bestehe Bespel: (x (x x x &(x x x &(x x x Techsche Iormatk I 7

8 KNF (Kouktve( Normalorm Also: be der KNF etsprcht eder Term vo kouktv verküpte Lterale eer verterte Belegug mt Fuktoswert. Trtt dese Wertkombato au, so wrd der etsprechede Term ud der komplette Schaltuktoswert wrd auch x x (x (x (x x & (x x Techsche Iormatk I 8

9 Etwcklugssatz der Schaltalgebra Der Etwcklugssatz st ee ormale Methode, ee Fukto (x,..., x 3, x, x ee DNF (oder KNF umzuwadel De Etwcklug der Fukto ach der Varable x -> Autelug zwe Fälle: x ud x (x,...,x,...,x [x [x & & (x ],...,,...,x [x [x & (x & x x,...,,...,x ] ] Techsche Iormatk I 9

10 Etwcklugssatz der Schaltalgebra Oder ür ee KNF: [ ] ( x, K,x, K,x [ x ( x, K,, K,x ]& x ( x, K,, Kx [ ] [ ] x & x x x Techsche Iormatk I

11 Etwcklugssatz der Schaltalgebra Bewes der bede Fälle: ( x, K, x, K, x [ & ] [ & ] x x [ & ] [ & ] x x x ( x, K, x, K, x [ & ] [ ] x & x [ & ] [ & ] x x x x x Techsche Iormatk I

12 Awedug : BDD-Bestmmug Bestmmug BDDs basere au dem Boolesche Etwcklugssatz: Pro Varable hat de Fukto zwe Restuktoe bzw. sog. Co- Faktore x Resultat ür x x Resultat ür x x x x x Techsche Iormatk I

13 Awedug : BDD-Bestmmug Bestmmug Gegebe se de Schaltukto (x,x (x & x (x & x x x Gesucht: OBDD Lösug: Etwcklug vo ach x : (x & x (x & x x x (& x ( & x x x ( & x (& x x Techsche Iormatk I 3

14 Awedug : BDD-Bestmmug Bestmmug Gegebe se de Schaltukto (x,x (x & x (x & x x Nu: Etwcklug der Restuktoe ach x : x x (x & (x x (x & (x & & x Techsche Iormatk I 4

15 Varableordug BDDs sd edeutg ür ee gegebee Varableordug Daher werde O(rderedBDDs verwedet (este Ordug Ordug bestmmt maßgeblch de Größe vo BDDs a a b a a a 3 a b (a (a (a 3 b b b 3 a 3 a 3 b a 3 b b b a 3 b b b 3 b 3 Techsche Iormatk I 5

16 Awedug : Bestmmug der DNF x ud x werde als Restuktoe oder Koaktore bezechet der ach x etwckelte Ausdruck lässt sch ach de wetere Varable etwckel Bespel eer Fukto mt zwe Varable: ( x,x x & ( x, x & ( x, Etwcklug ach x x & [ x & (, x & (, ] Etwcklug ach x x & [ x & (, x & (, ] x & x & (, x & x & (, x & x & (, x & x & (, 443 m 3 3 & ( m & 3 m & m & m DNF & Techsche Iormatk I 6

17 Awedug : Bestmmug der DNF Bespel: Addto zweer Bärzahle S A+B Aubau eer Volladdererzelle c - a b s c a b c - c - a b VA s s c c Techsche Iormatk I 7

18 Awedug : Bestmmug der DNF Bespel: Addto zweer Bärzahle S A+B Aubau eer Volladdererzelle a b c - s c s a a b (c & (b & a xor & (c & b b xor xor c b & a (c c & a a & (c & a & (b xor b & b (c c & a & (c & b b & a (c & a & (c & b & a Techsche Iormatk I 8

19 Bespel: Volladderer a b c - DNF: s c c - a b s c s (c & a & b (c & a & b (c & a & b (c & a & b Techsche Iormatk I 9

20 Bassssteme der Schaltalgebra Es glt: De Normalormtheoreme ud der Hauptsatz der Schaltalgebra zege de edeutge Darstellbarket belebger Schaltuktoe mttels der 3 Grudverküpuge Koukto, Dsukto ud Negato Daher: ma bezechet dese 3 Verküpuge [&, V, _ ] als e Basssstem der Schaltalgebra Weterh: - es exstere wetere Bassssteme - lasse sch mttels der De Morga sche Theoreme vom erste Basssstem ablete: x x x & x bzw. x & x x x Also: Nebe dem berets vorgestellte Basssstem mt 3 Verküpuge [ &, V, _ ] exstere Bassssteme mt zwe oder gar eem Operator Techsche Iormatk I

21 Techsche Iormatk I Basss Bassssteme steme der Schaltalgebra der Schaltalgebra Bespel: Herletug vo Bassssteme mt Verküpuge [ V, _ ] bzw. [&, _ ] ausgehed vo DNF bzw. KNF ( ( ( ( ( ( ( ( &M V bzw. m & M V bzw. &m & M & bzw. &m V M & bzw. &m V

22 Bassssteme der Schaltalgebra Weterh: DNF realsert ur Mterme ud KNF realsert ur Maxterme ud m m & M M ma erhält: & m V M Techsche Iormatk I

23 Bassssteme der Schaltalgebra Also: Ma erhält zwe eue Bassssteme mt ewels ur eer ezge Verküpug, de: [&] ud [ V ] blde ebealls Bassssteme der Schaltalgebra wobe: Negatoe ezeler Varable werde mt Kostate / dargestellt: x x & x x x x & x x Techsche Iormatk I 3