Was Sie letzte Woche hörten. 3.0 VU Formale Modellierung. Was Sie letzte Woche hörten. Äquivalenz, Konsequenz und Gültigkeit. Semantische Äquivalenz

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1 Ws Sie letzte Woche hörten 3. VU Formle Modellierung Gernot Slzer Aussgenlogik 3.. Ws ist Logik? 3.2. Aussgenlogische Funktionen 3.3. Syntx und Semntik der Aussgenlogik 3.4. Von der Funktion zur Formel 3.5. Normlformen 3.6. Ds Erfüllrkeitsprolem 3.7. Beispiel: Ost, Schchteln und Aufschriften 3.8. Dulität von Funktionen, Opertoren und Formeln 2 Äquivlenz, Konsequenz und Gültigkeit Semntische Äquivlenz Zwei Formeln F und G heißen äquivlent, geschrieen F = G, wenn vl I (F ) = vl I (G) für lle Interprettionen I gilt. F = G gilt genu dnn, wenn F G eine gültige Formel ist. B, nd, or, not,, ist eine Boolesche Alger. F,..., F n = I G: Aus vl I (F ) = = vl I (F n ) = folgt vl I (G) =. Logische Konsequenz Die Formel G folgt us den Formeln F,..., F n, geschrieen F,..., F n = G, wenn F,..., F n = I G für lle Interprettionen I gilt. Ws Sie letzte Woche hörten 3. Aussgenlogik 3.. Ws ist Logik? 3.2. Aussgenlogische Funktionen 3.3. Syntx und Semntik der Aussgenlogik 3.4. Von der Funktion zur Formel 3.5. Normlformen 3.6. Ds Erfüllrkeitsprolem 3.7. Beispiel: Ost, Schchteln und Aufschriften 3.8. Dulität von Funktionen, Opertoren und Formeln F,..., F n = G gilt genu dnn, wenn (F F n ) G gültig ist. 3 4

2 Von der Funktion zur Formel Gegeen: Funktion f : B n B (z.b. ls Whrheitstfel) Gesucht: Formel, die f drstellt Ws Sie letzte Woche hörten A A 2 A 3 f ( ) K A A 2 A 3 =: K A A 2 A 3 =: K A A 2 A 3 =: K D A A 2 A 3 =: D A A 2 A 3 =: D A A 2 A 3 =: D A A 2 A 3 =: D A A 2 A 3 =: D 3. Aussgenlogik 3.. Ws ist Logik? 3.2. Aussgenlogische Funktionen 3.3. Syntx und Semntik der Aussgenlogik 3.4. Von der Funktion zur Formel 3.5. Normlformen 3.6. Ds Erfüllrkeitsprolem 3.7. Beispiel: Ost, Schchteln und Aufschriften 3.8. Dulität von Funktionen, Opertoren und Formeln DNF f = K K K KNF f = D D D D D 5 6 Normlformen Literl: Vrile oder negierte Vrile, lso A, A, B, B,... Negtionsnormlform (NNF) Literle sowie und sind in NNF. (F G) und (F G) sind in NNF, wenn F und G in NNF sind. Keine Formel sonst ist in NNF. Disjunktive Normlform (DNF), sowie Disjunktionen von Konjunktion von Literlen: (( ) A, ( ) A,2 ( ) A,3 ) (( ) A2, ( ) A2,2 ( ) A2,3 ) Konjunktive Normlform (KNF), sowie Konjunktionen von Disjunktion von Literlen: (( ) A, ( ) A,2 ( ) A,3 ) (( ) A2, ( ) A2,2 ( ) A2,3 ) Konstruktion von DNFs/KNFs Semntische Methode Gegeen: Aussgenlogische Formel F Gesucht: Äquivlente Formel in DNF/KNF Stelle die zu F gehörige Funktion f ls Whrheitstfel dr. 2 Konstruiere DNF f zw. KNF f. A A 2 A 3 F := (A (A 2 A 3 )) ( A (A 2 A 3 )) K D D K K D D D DNF: F = K K K KNF: F = D D D D D 7 8

3 Konstruktion von DNFs/KNFs Algerische Methode Gegeen: Aussgenlogische Formel F Gesucht: Äquivlente Formel in DNF/KNF Ersetze lle Junktoren durch, und. 2 Verschiee Negtionen nch innen, eliminiere Doppelnegtionen. 3 Wende ds Distriutivgesetz n. 4 Eliminiere und. ((A A 2 ) A 2 ) ( A (A 2 )) ( ( A A 2 ) A 2 ) ( A (A 2 )) 2 ((A A 2 ) A 2 ) (A (A 2 )) 3 Whl des Distriutivgesetzes je nch Normlform DNF: (A A 2 ) ( A 2 A ) (A A 2 ) ( A 2 A 2 ) KNF: (A A 2 ) (A 2 A 2 ) (A A 2 ) (A ) Ws Sie letzte Woche hörten 3. Aussgenlogik 3.. Ws ist Logik? 3.2. Aussgenlogische Funktionen 3.3. Syntx und Semntik der Aussgenlogik 3.4. Von der Funktion zur Formel 3.5. Normlformen 3.6. Ds Erfüllrkeitsprolem 3.7. Beispiel: Ost, Schchteln und Aufschriften 3.8. Dulität von Funktionen, Opertoren und Formeln 4 A 9 Ds Erfüllrkeitsprolem der Aussgenlogik Erfüllrkeitsprolem (Stisfiility, SAT) Gegeen: ussgenlogische Formel F Frge: Ist F erfüllr, d.h., git es ein I I, sodss vl I (F ) =? Effiziente Verfhren zur Lösung von SAT sind wichtig in der Prxis: Viele prktische Aufgen sind Proleme der Aussgenlogik. Aussgenlogische Frgen lssen sich uf SAT zurückführen. Unruchre Verfhren: Whrheitstfel: Prüfe, o es Interprettion mit Ergenis git. Umwndlung in DNF: Antwort nein, wenn mn erhält, sonst j. SAT-Solver: Progrmme, die SAT lösen. Lösen SAT mit fortgeschrittenen Methoden und Dtenstrukturen. Können SAT für Formeln mit Millionen von Vrilen lösen. Aer: immer noch ineffizient für estimmte Formeltypen. P = NP? P: Klsse der Proleme, deren Lösungen sich polynomiell finden lssen. NP: Klsse jener Proleme, deren Lösungen sich polynomiell verifizieren lssen; die Suche nch der Lösung knn er ufwändig sein. P versus NP Gilt P = NP oder P NP (gleichedeutend mit P NP)? SAT ist in NP: Gegeen I, lässt sich vl I (F ) = leicht üerprüfen. Die Suche nch so einem I scheint er ufwändig (exponentiell?). SAT ist NP-vollständig: SAT gehört zu den schwierigsten Prolemen in NP. Knn mn ein NP-vollständiges Prolem effizient lösen, dnn knn mn lle Proleme in NP effizient lösen. SAT polynomiell lösr = P = NP SAT nicht polynomiell lösr = P NP 2

4 Ws Sie letzte Woche hörten Ost, Schchteln und Aufschriften Auf dem Tisch stehen drei Schchteln. 2 Jede Schchtel enthält Äpfel, Bnnen oder Orngen. 3. Aussgenlogik 3.. Ws ist Logik? 3.2. Aussgenlogische Funktionen 3.3. Syntx und Semntik der Aussgenlogik 3.4. Von der Funktion zur Formel 3.5. Normlformen 3.6. Ds Erfüllrkeitsprolem 3.7. Beispiel: Ost, Schchteln und Aufschriften 3.8. Dulität von Funktionen, Opertoren und Formeln 3 Keine zwei Schchteln enthlten dssele Ost. 4 Jede Schchtel trägt die Aufschrift Äpfel, Bnnen oder Orngen. 5 Keine zwei Schchteln trgen diesele Aufschrift. 6 In keiner Schchtel ist drin, ws druf steht. 7 Sie öffnen die Schchtel mit der Aufschrift Orngen und finden drin Äpfel. Welches Ost verirgt sich hinter den nderen Aufschriften? F 2, F 3, F 4, F 5, F 6, F 7, F 8 = A Bo F 2, F 3, F 6, F 7 = A Bo 3 Die Schchtel Äpfel enthält Bnnen, die Schchtel Bnnen enthält Orngen. 4 Ws Sie letzte Woche hörten 3. Aussgenlogik 3.. Ws ist Logik? 3.2. Aussgenlogische Funktionen 3.3. Syntx und Semntik der Aussgenlogik 3.4. Von der Funktion zur Formel 3.5. Normlformen 3.6. Ds Erfüllrkeitsprolem 3.7. Beispiel: Ost, Schchteln und Aufschriften 3.8. Dulität von Funktionen, Opertoren und Formeln Dulität von Funktionen, Opertoren und Formeln Dule Funktionen Zwei n-stellige Funktionen f und g heißen dul zueinnder, wenn gilt: not f (x,..., x n ) = g(not x,..., not x n ). Dule Opertoren Zwei Opertoren heißen dul, wenn die zugehörigen Funktionen dul sind. Dule Formeln Zwei Formeln F [A,..., A n ] und G[A,..., A n ] heißen dul zueinnder, wenn gilt: F [A,..., A n ] = G[ A,..., A n ] F [ A,..., A n ] ist dul zu F [A,..., A n ]. Sei G die Formel, die us F durch Ersetzen ller Opertoren durch ihre dulen hervorgeht. Dnn ist G dul zu F. 5 F = G gilt genu dnn, wenn F = G gilt. 6

5 Ws Sie heute erwrtet 3. Aussgenlogik 4. Endliche Automten 4.. Einleitung 4.2. Anwendungseispiele Ampelsteuerungen Reelle Numerle 4.3. Grundlgen formler Sprchen 4.4. Deterministische endliche Automten 4.5. Nichtdeterministische endliche Automten 4.6. Trnsducer Endlicher Trnsducer Mely-Automten Moore-Automten 4.7. Büchi-Automten Dr. House Mx wird mit hohem Fieer und usgeprägten Gliederschmerzen in ds Spitl eingeliefert. Dr. House diskutiert die Dignose mit einer Kollegin. House: Wenn der Ptient Fieer ht, hndelt es sich um Grippe oder Erkältung. Cmeron: Wenn er keine strken Gliederschmerzen ht, dnn ht er uch keine Grippe. House: Jedenflls weisen hohes Fieer und strke Gliederschmerzen immer uf Grippe hin. Cmeron: Er ht sicher nicht eide Krnkheiten gleichzeitig. Wie lutet die Dignose? Wie lässt sie sich mit Hilfe der Aussgenlogik finden und egründen? 7 8 Dr. House Whl der Aussgenvrilen Aussgenvrilen können nur Aussgen repräsentieren, die einen Whrheitswert esitzen. Einzelnen Hupt-, Zeit- oder Eigenschftswörter sind keine Aussgen! Flsch: A = krnk oder A = Fieer. Möglich: A = Mx ist krnk oder A = Der Ptient ht Fieer. Mx wird mit hohem Fieer und usgeprägten Gliederschmerzen in ds Spitl eingeliefert. Mx wird mit... eingeliefert = A? Mx ht hohes Fieer = A, Mx ht usgeprägte Gliederschmerzen = B und Mx wird in ds Spitl eingeliefert = C? Mx ht hohes Fieer = Mx ht Fieer = A und Mx ht usgeprägte Gl.schmerzen = Mx ht Gl.schmerzen = B? 9 Dr. House Whl der Aussgenvrilen Dr. House diskutiert die Dignose mit einer Kollegin. Dr. House diskutiert... mit einer Kollegin = D? Wenn der Ptient Fieer ht, hndelt es sich um Grippe oder Erkältung. Der Ptient ht Fieer = E? Der Ptient ht Fieer = Mx ht Fieer = A? Cmeron: Er ht sicher nicht eide Krnkheiten gleichzeitig. Cmeron sgt, dss er nicht eide Krnkheiten gleichzeitig ht. = F? Mx knn nicht eide Krnkheiten gleichzeitig hen. = F? 2

6 Aer: Elimintion von Akürzungen und Referenzen Er ht eide Krnkheiten = P. ht Grippe + P. ht Erkältung Generlisierung: Zusmmenfssen von gleichrtigen Aussgen Astrktion: Weglssen von Detils Konzentrtion uf ds Wesentliche: Identifiktion der relevnten Teilussgen Ws zusmmengefsst wurde, knn nicht mehr getrennt nlysiert werden. Ws weggelssen wurde, knn nicht für die Argumenttion verwendet werden. Ws nicht zusmmenfsst wurde, er zusmmengehört, muss durch zusätzliche Formeln in Beziehung gesetzt werden. Ws knn mn zusmmenfssen? Ws weglssen? Ws ist wesentlich? Dr. House Whl der Aussgenvrilen Mx wird mit hohem Fieer und usgeprägten Gliederschmerzen in ds Spitl eingeliefert. Dr. House diskutiert die Dignose mit einer Kollegin. House: Wenn der Ptient Fieer ht, hndelt es sich um Grippe oder Erkältung. Cmeron: Wenn er keine strken Gliederschmerzen ht, dnn ht er uch keine Grippe. House: Jedenflls weisen hohes Fieer und strke Gliederschmerzen immer uf Grippe hin. Cmeron: Er ht sicher nicht eide Krnkheiten gleichzeitig. F... Mx/Ptient ht (hohes) Fieer. S... Mx/Ptient ht strke/usgeprägte Gliederschmerzen. G... Mx/Ptient ht eine Grippe. E... Mx/Ptient ht eine Erkältung Dr. House ussgenlogische Modellierung Dr. House Dignose Mx wird mit hohem Fieer und usgeprägten Gliederschmerzen in ds Spitl eingeliefert. Dr. House diskutiert die Dignose mit einer Kollegin. House: Wenn der Ptient Fieer ht, hndelt es sich um Grippe oder Erkältung. Cmeron: Wenn er keine strken Gliederschmerzen ht, dnn ht er uch keine Grippe. House: Jedenflls weisen hohes Fieer und strke Gliederschmerzen immer uf Grippe hin. Cmeron: Er ht sicher nicht eide Krnkheiten gleichzeitig. F := F S F 2 := F (G E) F 3 := S G F 4 := (F S) G F 5 := (G E) Finde lle Interprettionen I, in denen lle Formeln whr sind. Vereinfchung: Prüfe nur Interprettionen, in denen F = F S whr ist. F S G E F F (G E) S G (F S) G (G E) I(G) =, I(E) = = Die Dignose lutet uf Grippe

7 Ws Sie heute erwrtet 3. Aussgenlogik 4. Endliche Automten 4.. Einleitung 4.2. Anwendungseispiele Ampelsteuerungen Reelle Numerle 4.3. Grundlgen formler Sprchen 4.4. Deterministische endliche Automten 4.5. Nichtdeterministische endliche Automten 4.6. Trnsducer Endlicher Trnsducer Mely-Automten Moore-Automten 4.7. Büchi-Automten Endliche Automten Binärddition: Üerprüfung von rechts nch links,, = = 5 = 6 + +,, +... kein Üertrg +... Üertrg Endliche Automten Binärddition: Üerprüfung von links nch rechts = = 5 = 6 Endliche Automten Binärddition: Berechnung von rechts nch links = = 5 = 6,, + +,, +... kein Üertrg +... Üertrg /, /, / / + + / /, /, / +... kein Üertrg +... Üertrg 27 28

8 Endliche Automten Binärddition: Berechnung von links nch rechts /, /, / = = 5 = 6 / + + / /, /, / +... kein Üertrg +... Üertrg Achtung, Indeterminismus! Zustnd + esitzt ei Einge zwei Endliche Automten modellieren Systeme zw. Aläufe, die nur eine egrenzte, feste Zhl n unterscheidren Zuständen esitzen. Kennzeichen: endliche Menge von Zuständen Üergänge zwischen Zuständen Eingen, die die Üergänge steuern. Ausgen oder Aktionen, die in den Zuständen oder während der Üergänge getätigt werden. Anfngszustnd Endzustände (optionl) deterministisch: Der momentne Zustnd und die nächste Einge estimmen eindeutig den Folgezustnd. nichtdeterministisch: Es git Zustände, die mnchen Eingen mehrere mögliche Folgezustände esitzen. Folgezustände, eenso Zustnd + ei Einge. 29 Arten endlicher Automten (Klssischer) Endlicher Automt: Anfngs- und Endzustände nur Eingen (zw. nur Ausgen) Ein-/Ausgen verknüpft mit Zustndsüergängen verreitet endliche Symolfolgen Unterrten: deterministisch, nichtdeterministisch mit/ohne ε-üergängen Trnsducer: wie endlicher Automt, er mit Ein- und Ausgen. Mely-Automt: deterministischer Trnsducer; in der Regel keine Endzustände, verreitet dher unendliche Symolfolgen. Moore-Automt: wie Mely-Automt, die Ausgen sind er mit den Zuständen verknüpft. Büchi-Automt: wie endlicher Automt, verreitet er unendliche Symolfolgen Weitere Typen: Verllgemeinerter endlicher Automt, Muller-Automt, Rin-Automt, Bumutomten,... 3 Englische Begriffe: utomton/utomt, finite stte mchine, DFA (Deterministic Finite Automton), NFA (Non-Determinstic FA) Weitere (nicht-endliche) Automtenrten: Kellerutomten (Push-down utomt), Turing-Mschinen, Registermschinen etc. können Ausgen wieder lesen zusätzlicher Speicher, mächtiger ls endliche Automten. Spezifiktion von Automten: Grphisch: Zustände sind Knoten, Üergänge sind Knten, Ein- und Ausgen sind Beschriftungen von Knoten und Knten. Tellrisch: Zu jedem Zustnd und Eingesymol git es einen Eintrg mit zugehöriger Ausge und den Folgezuständen. 3 32

9 Ws Sie heute erwrtet 3. Aussgenlogik 4. Endliche Automten 4.. Einleitung 4.2. Anwendungseispiele Ampelsteuerungen Reelle Numerle 4.3. Grundlgen formler Sprchen 4.4. Deterministische endliche Automten 4.5. Nichtdeterministische endliche Automten 4.6. Trnsducer Endlicher Trnsducer Mely-Automten Moore-Automten 4.7. Büchi-Automten Ampelsteuerungen Spezifiktion Verkehrsmpel Spezifiktion Fußgängermpel Zustände (sttes) werden drgestellt durch Kreise (Grphentheorie: Knoten, nodes) Zustände können Bezeichnungen (lels) trgen:,,,,, Zustndsänderungen/-üergänge (trnsitions) drgestellt durch Pfeile (Grphentheorie: gerichtete Knten, directed edges/rcs, rrows) Schleifen ermöglichen, dss Zeit ohne Zustndsänderung vergeht. Die Digrmme definieren die zulässigen Aläufe/Durchläufe (runs): 33 etw oder Fußgängerkreuzung = Verkehrsmpel für Autos + Fussgängermpel Wünschenswerte Systemeigenschften: Korrektheit: Die Ampeln verhlten sich gemäß Spezifiktion. Sicherheit (Sfety): Nichts Böses (wie ) knn pssieren. Leendigkeit (Liveness): Ds Gute ( zw. ) tritt immer wieder ein. Firness: Kein Systemteil(nehmer) wird für immer vom Fortschritt usgeschlossen. Ampelsteuerung 2: Korrekt, fir, leendig, er gefährlich Korrekt: Jede Ampel durchläuft nur erlute Anzeigenfolgen. Projektion uf Verkehrsmpel: Ampelsteuerung : Korrekt, sicher, er tot Sicher, d keine verotenen Zustände uftreten. Projektion uf Fußgängermpel: Entsprechen der Ampelspezifiktionen, die möglichen Aläufe sind drin enthlten. Korrekt, d die Projektionen und der Spezifiktion entsprechen. Nicht leendig, d die Zustände und nie erreicht werden. 35 Fir und leendig, weil in jeder Projektion die Zustände und grntiert wiederkehren (niemnd muss ewig wrten). 36

10 Ampelsteuerung 2: Korrekt, fir, er gefährlich Ampelsteuerung 4: Sicher, fir, er defekt Defekt: Die Verkehrsmpel entspricht nicht der Spezifiktion: Gefährlich, d die verotenen Zustände und uftreten. Ampelsteuerung 3: Korrekt, sicher, leendig, er unfir Ampelsteuerung 5: Sicher, fir, korrekt Ampelsteuerung 6: Sicher, fir, korrekt, stressfrei Unfir gegenüer Fußgängern: Es git einen Aluf, in dem die Autos immer grün und die Fußgänger immer rot hen Ws Sie heute erwrtet Reelle Numerle mit Exponentilteil 3. Aussgenlogik 4. Endliche Automten 4.. Einleitung 4.2. Anwendungseispiele Ampelsteuerungen Reelle Numerle 4.3. Grundlgen formler Sprchen 4.4. Deterministische endliche Automten 4.5. Nichtdeterministische endliche Automten 4.6. Trnsducer Endlicher Trnsducer Mely-Automten Moore-Automten 4.7. Büchi-Automten 39 Z.B. 3.4,.34E (=.34 ), 34.E-2 (= 34 2 ) Mindestens eine Ziffer vor Dezimlpunkt Dezimlpunkt Nchkommstellen optionl Exponentilteil optionl: eingeleitet durch E Vorzeichen optionl mindestens eine Ziffer Endlicher Automt für die reellen Numerle E ε Akürzung für prllele Üergänge eschriftet mit is 9. ε... Leerwort, Nichts 4

11 E ε Zustndseschriftungen 6 dienen nur der Bezugnhme, irrelevnt für ds Verhlten des Automten Knten sind mit Symolen eschriftet, die gelesen/geschrieen werden. Anfngszustnd () ist durch einen Pfeil us dem Nichts mrkiert. Endzustände (3, 6) sind durch einen Doppelkreis mrkiert. Zwei Sichtweisen: Akzeptor: Der Automt liest Symole und kzeptiert lle Zeichenketten, die vom Anfngs- zu einem der Endzustände führen. Genertor: Der Automt schreit Symole und generiert jene Zeichenketten, die vom Anfngs- zu einem der Endzustände führen. Syntxdigrmm für die rellen Numerle E Akürzung für prllele Knoten eschriftet mit is 9. Die gelesenen/geschrieenen Symole stehen ei den Knoten. Knten uneschriftet, können sich verzweigen und vereinigen. ein einziger Eingng (Anfng) links mrkiert durch Pfeil us dem Nichts ein einziger Ausgng (Ende) rechts mrkiert durch Pfeil ins Nichts Syntxdigrmme sind verwndt mit Automten, er nicht dssele Ws Sie heute erwrtet 3. Aussgenlogik 4. Endliche Automten 4.. Einleitung 4.2. Anwendungseispiele Ampelsteuerungen Reelle Numerle 4.3. Grundlgen formler Sprchen 4.4. Deterministische endliche Automten 4.5. Nichtdeterministische endliche Automten 4.6. Trnsducer Endlicher Trnsducer Mely-Automten Moore-Automten 4.7. Büchi-Automten RLL (run-length limited) Codes Dten werden uf Festpltten, CDs und DVDs inär kodiert. Binär-: Mgnetisierungswechsel zw. Vertiefung ( pit ) er zu dicht: werden ununterscheidr zw. schwächen sich. er zu weit useinnder: Synchronistion geht verloren. Einfche Lösung: Wähle Bitstnd so groß, dss er-folgen richtig erknnt werden. Füge nch jedem Dtenit ein zusätzliches Synchronistionsit ein. Benötigt mehr Pltz ls notwendig. Idee: Nütze die ntürlichen er-strecken und er im Dtenstrom. (m : n)-(d, k)-rll-code: m Dtenits werden so in n Codeits üersetzt, dss zwischen zwei ern mindestens d und höchstens k er uftreten. Existiert nur für estimmte Werte von m, n, d, k Ziel: minimiere n/m, mximiere d 43 DVD: (8 : 6)-(2, )-RLL-Code 44

12 ( : 2)-(, )-RLL-Code: 2 Codeits/Dtenit, mx. ein er zwischen ern. Zustnd : zwei Codeworte für zwei Dtenits reicht. Zustnd : ein Codewort für zwei Dtenits reicht nicht. Potenzieren des Automten:, Zustnd : drei Codeworte für zwei Dtenits reicht. Zustnd : zwei Codeworte für zwei Dtenits reicht. Codierungsutomt (Mely-Automt): / / / oder /,/ / oder oder oder... (2 : 3)-(, )-RLL-Code: 3 Code-/2 Dtenits, mx. ein er zwischen ern. Dritte Potenz des Automten:,,,, Teilung von Zustnd : Mely-Automt Zustnd : zwei Code- für vier Dtenworte reicht nicht. Zustnd : ein Codewort für vier Dtenworte reicht nicht. Zustnd : fünf Code- für vier Dtenworte reicht. Zustnd : drei Code- für vier Dtenworte reicht nicht. / / / / / 2 / / / / / / / 46 (2 : 3)-(, )-RLL-Code: 3 Code-/2 Dtenits, mx. ein er zwischen ern. Dritte Potenz des Automten:,,,, Teilung von Zustnd : Ws Sie heute erwrtet Zustnd : zwei Code- für vier Dtenworte reicht nicht. Zustnd : ein Codewort für vier Dtenworte reicht nicht. Zustnd : fünf Code- für vier Dtenworte reicht. Zustnd : drei Code- für vier Dtenworte reicht nicht Aussgenlogik 4. Endliche Automten 4.. Einleitung 4.2. Anwendungseispiele Ampelsteuerungen Reelle Numerle 4.3. Grundlgen formler Sprchen 4.4. Deterministische endliche Automten 4.5. Nichtdeterministische endliche Automten 4.6. Trnsducer Endlicher Trnsducer Mely-Automten Moore-Automten 4.7. Büchi-Automten 46 47

13 Formle Sprchen Alphet (Σ): endliche, nicht-leere Menge tomrer Symole Menge ller lteinischen Buchsten, Ziffern und Sonderzeichen Menge ller ägyptischen Hieroglyphen {,,,,, } {,..., 9,., E, +, -} {, } {,,, } Wort üer Σ: (endliche) Folge von Zeichen us dem Alphet Σ ε... Leerwort Σ + = { s s n s i Σ, i n }... Menge ller nicht-leeren Wörter üer Σ Σ = Σ + {ε}... Menge ller Wörter üer Σ (inklusive Leerwort) 48 Einschu: Zum Ursprung der Schreiweise 2 A f : A B... Funktion, die die Elemente der Menge A uf Elemente der Menge B ildet. A B... Menge ller derrtigen Funktionen Wieviele derrtige (totle) Funktionen git es, wenn A, B endlich sind? Für jedes A-Element ist ein B-Element ls Ergenis von f festzulegen. D.h.: Jeder von A Plätzen ist mit einem von B Werten zu elegen. = Es git B A Funktionen des Typs A B, d.h., A B = B A Dvon geleitet schreit mn dher uch B A nstelle von A B. Eine Menge B A knn ls Funktion B : A {, } ufgefsst werden: B(x) = edeutet x B, B(x) = edeutet x / B. Sttt {, } knn jede zweielementige Menge verwendet werden. Verwendet mn 2 ls generischen Nmen dfür, erhält mn B : A 2. Die Menge ller Teilmengen von A ist dher 2 A, ihre Anzhl 2 A. Schreiweisen für die Potenzmenge von A: 2 A, P(A), P(A), (A) 5 w w 2 = w w 2... Verkettung der Wörter w, w 2 Σ Σ,, ε ildet ein Monoid D.h.: Für lle Wörter u, v, w Σ gelten folgende Gleichungen: (u v) w = u (v w) Assozitivität w ε = ε w = w Neutrlität Σ = {, } Σ = {ε,,,,,,,,,... } ε = (Klmmerung irrelevnt, Assozitivität!) ε ε ε = ε Formle Sprche üer Σ: elieige Teilmenge von Σ die Menge ller deutschen Sätze (Alphet: Buchsten+Stzzeichen) die Menge ller Jv-Progrmme (Alphet: ASCII-Zeichen) {}, {ε}, Σ 2 Σ... Menge ller Sprchen üer Σ = Menge ller Teilmengen von Σ 49 Ws Sie heute erwrtet 3. Aussgenlogik 4. Endliche Automten 4.. Einleitung 4.2. Anwendungseispiele Ampelsteuerungen Reelle Numerle 4.3. Grundlgen formler Sprchen 4.4. Deterministische endliche Automten 4.5. Nichtdeterministische endliche Automten 4.6. Trnsducer Endlicher Trnsducer Mely-Automten Moore-Automten 4.7. Büchi-Automten 5

14 Deterministische endliche Automten Deterministischer endlicher Automt (DEA)... wird eschrieen durch ein 5-Tupel A = Q, Σ, δ, q, F, woei Q... endliche Menge der Zustände Σ... Eingelphet (input lphet) δ : Q Σ Q... Üergngsfunktion (totl) (trnsition function) q Q... Anfngszustnd (initil stte) F Q... Menge der Endzustände (finl sttes) δ ist eine totle Funktion: Folgezustnd δ(q, s) ist für jeden Zustnd q Q und jede Einge s Σ eindeutig definiert. = deterministisch Erweiterte Üergngsfunktion δ : Q Σ Q δ (q, ε) = q, δ (q, sw) = δ (δ(q, s), w) für lle q Q, s Σ, w Σ. Akzeptierte/Generierte Sprche L(A) = { w Σ δ (q, w) F } 52 Beispiel: -freie Binärstrings, c δ (, ) = δ (δ(, ), ) δ (q, sw) = δ (δ(q, s), w) = δ (, ) = δ (δ(, ), ) = δ (, ) = δ (δ(, ), ε) = δ (, ε) δ (q, ε) = q = Ds Wort wird von A kzeptiert/generiert, d.h., L(A), weil δ (, ) = ein Endzustnd ist. Beispiel: -freie Binärstrings, c A = Q, Σ, δ, q, F, woei Q = {,, c}... Zustndsmenge Σ = {, }... Eingelphet c... Flle, Fehlerzustnd wird oft uch weggelssen δ : Q Σ Q... Üergngsfunktion definiert durch: q =... Anfngszustnd F = {, }... Endzustände Beispiel: -freie Binärstrings, c δ c c c c δ (, ) = δ (δ(, ), ) δ (q, sw) = δ (δ(q, s), w) = δ (, ) = δ (δ(, ), ) = δ (c, ) = δ (δ(c, ), ε) = δ (c, ε) δ (q, ε) = q = c Ds Wort wird von A nicht kzeptiert/generiert, / L(A), weil δ (, ) = c kein Endzustnd ist L(A) = { w {, } kommt nicht in w vor } 55

15 Beispiel: reelle Numerle Beispiel: reelle Numerle E ,E E ,-.,E,+,- E,+,-.,+,-.,E,+,-.,E,+,- +, A = {,..., 7}, {,..., 9,., E, +, -}, δ,, {3, 6}, woei δ 9. E ,E,+,-, δ 9. E + - AZ EZ EZ Ws Sie heute erwrtet Nichtdeterministische endliche Automten 3. Aussgenlogik 4. Endliche Automten 4.. Einleitung 4.2. Anwendungseispiele Ampelsteuerungen Reelle Numerle 4.3. Grundlgen formler Sprchen 4.4. Deterministische endliche Automten 4.5. Nichtdeterministische endliche Automten 4.6. Trnsducer Endlicher Trnsducer Mely-Automten Moore-Automten 4.7. Büchi-Automten Nichtdeterministischer endlicher Automt (NEA)... wird eschrieen durch ein 5-Tupel A = Q, Σ, δ, q, F, woei Q, Σ, q, F... siehe DEAs δ Q (Σ {ε}) Q... Üergngsreltion Erweiterte Üergngsreltion δ Q Σ Q δ ist die kleinste Menge mit folgenden Eigenschften: (q, ε, q) δ für lle q Q Wenn (q, w, q 2 ) δ und (q 2, s, q 3 ) δ, dnn (q, ws, q 3 ) δ. Die Reltion δ ist der reflexive und trnsitive Aschluss der Reltion δ. Akzeptierte/Generierte Sprche L(A) = { w Σ (q, w, q f ) δ für ein q f F } 57 58

16 Unterschiede von NEAs gegenüer DEAs: Es knn mehrere Folgezustände zu einem Zustnd und einer Einge geen. Es sind Zustndswechsel ohne Einge möglich (ε-üergänge). Es knn keinen Folgezustnd zu einem Zustnd und einer Einge geen E ε In den Zuständen und 5 sind für jede Ziffer jeweils zwei Folgezustände möglich: und 2 zw. 5 und 6. In Zustnd 4 ist ein Wechsel zu Zustnd 5 ohne Einge möglich. In Zustnd git es für die Einge E keinen Folgezustnd (eenso wie ei llen nderen Zuständen ei Eingefehler ). Beispiel: 42.E ist ein reelles Numerl Zu zeigen: 42.E L(A), woei L(A) = { w Σ (, w, q f ) δ für ein q f {3, 6} } und A folgender Automt ist: E ε (q, w, q 2 ) δ,(q 2, s, q 3 ) δ = (q, ws, q 3 ) δ (, ε, ) (, 4, ) (, 4, ) (, 4, ) (, 2, 2) (, 42, 2) (, 42, 2) (2,., 3) (, 42., 3) (, 42., 3) (3, E, 4) (, 42.E, 4) (, 42.E, 4) (4, ε, 5) (, 42.E, 5) (, 42.E, 5) (5,, 6) (, 42.E, 6) +..9 (, 42.E, 6) δ, ist Anfngs- und 6 Endzustnd = 42.E L(A) 6 59 Tellrische Drstellung der Üergngsreltion δ Q (Σ {ε}) Q Für jeden Zustnd q Q und jede Einge s Σ {ε}: Telleneintrg mit der Menge { q Q (q, s, q ) δ } der Folgezustände E ε δ 9. E + - ε AZ {, 2} {, 2} {} {} {} {} {} 2 {} {} {3} {} {} {} {} EZ 3 {3} {3} {} {4} {} {} {} 4 {} {} {} {} {5} {5} {5} 5 {5, 6} {5, 6} {} {} {} {} {} EZ 6 {} {} {} {} {} {} {} +..9 Alterntive Definition von NEAs: Üergngsfunktion δ : Q (Σ {ε}) 2 Q (ist totl!) sttt Üergngsreltion δ Q (Σ {ε}) Q 6 Vergleich DEA NEA DEAs und NEAs esitzen diesele Ausdrucksstärke. Jeder DEA ist per Definition uch ein NEA. Zu jedem NEA git es einen DEA, der diesele Sprche kzeptiert. (Lässt sich utomtisch finden.) Vorteile von NEAs: Benötigen teilweise erhelich weniger Zustände und Üergänge ls äquivlente DEAs. Die Zustndszhl im DEA knn exponentiell größer sein ls im NEA. Bei Modellierungsufgen leichter zu konstruieren. Vorteile von DEAs: Effiziente Areitung, kein Bcktrcking. 62

17 Beispiel: Suche nch Mx und An Ws Sie heute erwrtet Gesucht: Automt zur Suche nch mx und n in einem Text Σ = {, m, n, x, z} (z... Stellvertreter für l, o w, y, z,... ) NEA: DEA:,m,n,x,z n,x,z m n,x,z x,z m m 2 3 m 2 3 n m n m z n,x,z n x x 6 6,m,n,x,z,m,n,x,z Aussgenlogik 4. Endliche Automten 4.. Einleitung 4.2. Anwendungseispiele Ampelsteuerungen Reelle Numerle 4.3. Grundlgen formler Sprchen 4.4. Deterministische endliche Automten 4.5. Nichtdeterministische endliche Automten 4.6. Trnsducer Endlicher Trnsducer Mely-Automten Moore-Automten 4.7. Büchi-Automten 64 Trnsducer Endlicher Trnsducer... wird eschrieen durch ein 6-Tupel A = Q, Σ, Γ, δ, I, F, woei Q, Σ, F... siehe DEAs Γ... Ausgelphet (output lphet) δ Q (Σ {ε}) (Γ {ε}) Q... Üergngsreltion I Q... Anfngszustände Erweiterte Üergngsreltion δ Q Σ Γ Q δ ist die kleinste Menge mit folgenden Eigenschften: (q, ε, ε, q) δ für lle q Q (q, w, w, q 2 ) δ, (q 2, s, s, q 3 ) δ = (q, ws, w s, q 3 ) δ ( : 2)-(, )-RLL-Encoder ls Trnsducer A = {, }, {, }, {,, }, δ, {}, {, } / / / / δ {(, )} {(, )} {(, )} {(, )} [A] = { (ε, ε), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),... } Nichtdeterminismus: Im Allgemeinen mehrere Ausgen zu einer Einge! Üersetzungsreltion [A] Σ Γ [A] = { (w, w ) Σ Γ (i, w, w, f ) δ für ein i I und ein f F } 65 66

18 Ws Sie heute erwrtet 3. Aussgenlogik 4. Endliche Automten 4.. Einleitung 4.2. Anwendungseispiele Ampelsteuerungen Reelle Numerle 4.3. Grundlgen formler Sprchen 4.4. Deterministische endliche Automten 4.5. Nichtdeterministische endliche Automten 4.6. Trnsducer Endlicher Trnsducer Mely-Automten Moore-Automten 4.7. Büchi-Automten Mely-Automt... wird eschrieen durch ein 6-Tupel A = Q, Σ, Γ, δ, γ, q, woei Q, Σ, δ, q... siehe DEAs Γ... Ausgelphet (output lphet) γ : Q Σ Γ... Ausgefunktion (output function) Erweiterte Üergngsfunktion δ : Q Σ Q siehe DEA. Erweiterte Ausgefunktion γ : Q Σ Γ γ (q, ε) = ε für lle q Q, s Σ, w Σ γ (q, sw) = γ(q, s) γ (δ(q, s), w) Üersetzungsfunktion [A]: Σ Γ [A](w) = γ (q, w) Mely-Automten sind ein Spezilfll von Trnsducern: Nur ein Anfngszustnd: I = {q } Die Üergngsreltion ist deterministisch: Der Folgezustnd δ(q, s) ist eindeutig durch q und s estimmt. Keine ε-üergänge Reltionstupel: (q, s, γ(q, s), δ(q, s)) Alle Zustände sind Endzustände: F = Q ( : 2)-(, )-RLL-Encoder ls Mely-Automt A = {, }, {, }, {,, }, δ, γ, δ γ / / / / w: ε [A](w): ε 69 Detektor für fllende Flnken Ausge, wenn in der Einge ein Wechsel von uf stttfindet. / / / / w: [A](w): Detektor für -Blöcke Ausge, wenn in der Einge drei er ufeinnder folgen. / / / / / c / w: [A](w): 7

19 Ws Sie heute erwrtet 3. Aussgenlogik 4. Endliche Automten 4.. Einleitung 4.2. Anwendungseispiele Ampelsteuerungen Reelle Numerle 4.3. Grundlgen formler Sprchen 4.4. Deterministische endliche Automten 4.5. Nichtdeterministische endliche Automten 4.6. Trnsducer Endlicher Trnsducer Mely-Automten Moore-Automten 4.7. Büchi-Automten Moore-Automt... wird eschrieen durch ein 6-Tupel A = Q, Σ, Γ, δ, γ, q, woei Q, Σ, δ, q... siehe DEAs Γ... Ausgelphet (output lphet) γ : Q Γ... Ausgefunktion (output function) (Mely: γ : Q Σ Γ) Erweiterte Üergngsfunktion δ : Q Σ Q siehe DEA. Erweiterte Ausgefunktion γ : Q Σ Γ γ (q, ε) = ε für lle q Q, s Σ, w Σ γ (q, sw) = γ(δ(q, s)) γ (δ(q, s), w) (Mely: γ (q, sw) = γ(q, s) γ (δ(q, s), w)) Üersetzungsfunktion [A]: Σ Γ [A](w) = γ (q, w) 7 72 Moore-Automten sind ein Spezilfll von Trnsducern: Nur ein Anfngszustnd: I = {q } Alle Üergnge in einen Zustnd geen dssele Symol us. Die Üergngsreltion ist deterministisch: Der Folgezustnd δ(q, s) ist eindeutig durch q und s estimmt. Keine ε-üergänge Reltionstupel: (q, s, γ(δ(q, s)), δ(q, s)) Alle Zustände sind Endzustände: F = Q Vergleich von Moore- und Mely-Automten Die Ausge erfolgt... ei Moore-Automten eim Betreten des Zustndes, unhängig von der Herkunft. Die Ausge hängt nur vom Zustnd.... ei Mely-Automten eim Zustndswechsel, der durch Ursprungszustnd und Einge festgelegt ist. Moore- und Mely-Automten esitzen diesele Ausdrucksstärke, sind er schwächer ls Trnsducer. Moore-Automten hen in der Regel mehr Zustände ls Mely-Automten. 73 ( : 2)-(, )-RLL-Encoder ls Moore-Automt A = {, 2, }, {, }, {,, }, δ, γ, δ γ w: ε [A](w): ε Zum Vergleich: Mely-Automt δ γ 2 / / / / 74

20 Detektor für fllende Flnken Ausge, wenn in der Einge ein Wechsel von uf stttfindet. 2 w: [A](w): Relevnz von Mely- und Moore-Automten Mely-Schltwerk Moore-Schltwerk Detektor für -Blöcke Ausge, wenn in der Einge drei er ufeinnder folgen. c w: [A](w): 75 Ws Sie heute erwrtet 3. Aussgenlogik 4. Endliche Automten 4.. Einleitung 4.2. Anwendungseispiele Ampelsteuerungen Reelle Numerle 4.3. Grundlgen formler Sprchen 4.4. Deterministische endliche Automten 4.5. Nichtdeterministische endliche Automten 4.6. Trnsducer Endlicher Trnsducer Mely-Automten Moore-Automten 4.7. Büchi-Automten c 2 77 inputs stmmen us dem Eingelphet Σ outputs stmmen us dem Ausgelphet Γ Flip-Flops speichern den Zustnd us Q; Reset: Anfngszustnd q comintion logic : relisiert die Üergngsfunktionen δ und γ. Grphiken: Ken Reid, Indin University Purdue University Indinpolis Büchi-Automten Deterministischer Büchi-Automt... wird eschrieen durch ein 5-Tupel A = Q, Σ, δ, q, F, woei Q, Σ, δ, q, F wie ei DEAs definiert sind. Σ ω... Menge ller unendlichen Wörter (= ω-wörter) üer Σ Akzeptnz von Wörtern Ein deterministischer Büchi-Automt A kzeptiert ein Wort s s 2 s 3 Σ ω, wenn es Zustände q, q, q 2, q 3, Q git, sodss q Q der Strtzustnd ist, δ(q i, s i ) = q i für lle i N gilt und es unendlich viele i git, sodss q i ein Endzustnd ist (q i F ). Akzeptierte/Generierte Sprche L(A) = { w Σ ω w wird von A kzeptiert } 76 78

21 Fire Verkehrsmpel g h f d c e Der Automt kzeptiert genu jene Wörter us {,..., h} ω, ei denen es immer wieder grün wird. Nichtdeterministischer Büchi-Automt... wird eschrieen durch ein 5-Tupel A = Q, Σ, δ, I, F, woei Q, Σ, F... siehe DEA I Q... Anfngszustände δ Q Σ Q... Üergngsreltion Akzeptnz von Wörtern Ein nichtdeterministischer Büchi-Automt A kzeptiert ein Wort s s 2 s 3 Σ ω, wenn es Zustände q, q, q 2, q 3, Q git, sodss q Q ein Strtzustnd ist (q I), (q i, s i, q i ) δ für lle i N gilt und es unendlich viele i git, sodss q i ein Endzustnd ist (q i F ). Akzeptierte/Generierte Sprche L(A) = { w Σ ω w wird von A kzeptiert } 79 8 Nur endlich viele er Gesucht: Ein Büchi-Automt, der genu jene ω-wörter üer {, } kzeptiert, die nur eine endliche Anzhl n ern enthlten., Kein deterministischer Büchi-Automten kzeptiert diese Sprche. = Nichtdeterministische Büchi-Automten sind usdrucksstärker ls deterministische! 8