Standortplanung im Mathematikunterricht *

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1 Standortplanung i atheatikunterricht * von Dr. atthias Ehrgott ( Angela Euteneuer ( Prof. Dr. Horst W. Haacher (3 * Eine odifizierte For dieses Berichts, ergänzt durch Berichte über Unterrichtserfahrungen, ist erschienen als Inforation 3/000 des pädagogischen Zentrus Rheinland-Pfalz, Bad Kreuznach ( Departent of Engineering Science, University of Auckland, Neuseeland ( Pädagogisches Zentru Rheinland-Pfalz, Bad Kreuznach (3 Fachbereich atheatik, Universität Kaiserslautern WiS/TeS wird teilweise gefördert durch ittel des inisterius für Wissenschaft, Weiterbildung, Forschung und Kultur, Rheinland-Pfalz und der VolkswagenStiftung i Rahen des Wettbewerbs "Perspektiven der atheatik an der Schnittstelle von Schule und Universität"

2 Inhalt : Standortplanung i atheatikunterricht. Didaktisch-ethodische Grundüberlegungen... S.. Was bedeutet Standortplanung? - Einige einführende Beispiele... S. 7. Das Zentrallagerproble. Produktion von Halbleiterplatinen.3 Planung eines Feuerwehrhauses 3. Geoetrische Lösungen zu ausgesuchten Standortprobleen... S. 3. Lösung des Zentrallagerprobles durch Konstruktion des Ferat-Punktes 3. Planung eines Feuerwehrhauses 3.. Proble für Standorte: Ex,Ex 3... Proble für 3 Standorte Ex,Ex,Ex Verfahren für beliebig viele Standorte 3.3 Restriktive Standortproblee 4. Eckige Kreise und geknickte ittelsenkrechten als odellwerkzeuge... S Lösung von Standortodellen durch Kurvendiskussion differenzierbarer Funktionen... S Zentrallagerproble it l -Entfernung 5. Beispiele, bei denen f(x nur stückweise differenzierbar ist 6. Anhang... S Beweise zu Ferat-Punkt 6.. Beweis A zu Ferat-Punkt 6.. Beweis B zu Ferat-Punkt

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4 . Didaktisch-ethodische Grundüberlegungen 3 Die Idee, dass Fragestellungen der Standortplanung den atheatikunterricht in der Schule bereichern, dort behandelt und gelöst werden können, führte i Oktober 997 zu einer Veranstaltung, die vo SIL an der Universität Kaiserslautern durchgeführt wurde. Die von Prof. Haacher und seinen itarbeitern auf dieser Veranstaltung vorgestellten Beispiele, die einen Einblick in das Arbeitsgebiet seiner Arbeitsgruppe "Optiierung" an der Universität Kaiserslautern, Fachbereich atheatik geben, werden in den folgenden Kapiteln vorgestellt. Standortplanung beschäftigt sich it den öglichkeiten, it Hilfe atheatischer odelle günstige Standorte i Sinne der Fragestellung von Wirtschaft und Verwaltung zu eritteln. So ist z. B. ein günstiger Standort für das Zentrallager einer Fira dann gefunden, wenn die Sue der Transport- und Lagerkosten iniiert und wenn das Lager optial ausgelastet wird. Sucht andererseits die Verwaltung den Standort für eine neue Feuerwache oder ein Krankenhaus, so ist ein zu berücksichtigendes Kriteriu für den optialen Ort, dass der längste Anfahrtsweg einen gewissen Wert nicht überschreitet. Die in dieser Veröffentlichung vorgestellten Standortproblee gehören zu der Gruppe der sogenannten planaren Probleen, weil die gegebenen Standorte durch zwei Koordinaten festgelegt werden, d. h. das Proble in der Ebene behandelt wird. Außerde wird die Suche auf diejenigen nach eine optialen neuen Standort beschränkt. Einfache Standortproblee können effektiv it Dreieckskonstruktionen, Entfernungsberechnungen in Koordinatensysteen und den ethoden der Differentialrechnung gelöst werden. Auf diese Weise basiert der obige Theenbereich priär auf Inhalten aus de atheatikunterricht der ittel- und Oberstufe und kann aus diese Grund gut i Zusaenhang it de entsprechenden Schulstoff i atheatikunterricht behandelt werden. Diese Einschätzung bezüglich der Einsetzbarkeit solch anwendungsbezogener Fragestellungen i Schulunterricht wurde ebenfalls ehrheitlich von den an der Fortbildung teilnehenden Lehrerinnen und Lehrer geteilt, nachde sich diese zunächst von eine solchen unkonventionellen Ansatz überrascht gezeigt hatten. Eine Einbeziehung der Standortplanung in die Schulatheatik ist jedoch nicht nur aus fachlich Überlegungen problelos öglich, sie bietet darüber hinaus auch eine Vielzahl didaktisch-ethodischer Vorteile. So spricht für diesen Ansatz neben der stärker otivierenden, da praxisbezogenen Herangehensweise und der an vielen Stellen öglichen Wiederholung und Vertiefung von bereits gelehrte Stoff, insbesondere die Chance, den Erwerb der vielfach geforderten Sozial- und Handlungskopetenzen durch eine entsprechende ethodische Unterrichtsgestaltung zu eröglichen. Darüber hinaus stellt die Standortplanung auch eine der ansonsten seltenen öglichkeit dar, den Anspruch des atheatiklehrplans hinsichtlich der Trias Anwendungsrelevanz, Interdisziplinarität und atheatische odellierung einzulösen.

5 4 So fordert beispielsweise der Lehrplan für die gynasiale Oberstufe explizit: "Eine weitere Aufgabe des atheatikunterrichts ist es, Schülerinnen und Schülern den Prozess des atheatisierens nahe zu bringen. Wo sich atheatische ittel anbieten, ein Sachproble zu strukturieren, wesentliche Aspekte eines koplexen Sachverhalts in eine odell darzustellen und eine Lösung zu suchen, können Wechselbeziehungen zwischen Theorie und Praxis erfahren werden. (... Schülerinnen und Schüler (... sollen Beziehungen zwischen eine außeratheatischen Sachverhalt und der atheatik herstellen, das Proble it atheatischen itteln bearbeiten, gefundene Lösungen interpretieren und kritisch beurteilen. Dabei sollen auch Grenzen der fachspezifischen Verfahren und Grenzen der atheatisierung erkannt werden." Aus den oben genannten Überlegungen heraus bildete sich eine Arbeitsgruppe, die zu bestiten Standortprobleen die hier vorgestellten Unterrichtsreihen entwickelte und sie in verschiedenen Klassenstufen erprobte. Die hierbei erzielten Ergebnisse sind in dieser Schrift dokuentiert und wurden absichtlich nur it eine geringen Stundenansatz geplant, dait sie leichter in de vo Lehrplan gegebenen pädagogischen Freirau eingesetzt werden können. Für den Unterricht wurden Beispiele ausgewählt, die - ausgehend von der Erfahrungswelt der Jugendlichen - aufzeigen, wie it Hilfe der atheatik Problee in Wirtschaft, Gesellschaft und Wissenschaft\Technik gelöst werden können. Es sollte sich dabei u typische odellierungsaufgaben aus der Standortplanung handeln, die it atheatischen ethoden gelöst werden können, die entweder de Kenntnisstand der Schüler entsprechen oder aber als Erweiterung bekannter Sachverhalte leicht eingeführt werden können. Von den Aufträgen, die die Arbeitsgruppe "Optiierung" an der Universität Kaiserslautern für die Wirtschaft bearbeitet hatte, wurden deshalb die i Folgenden beschriebenen drei typischen Aufgabenstellungen ausgewählt und i atheatikunterricht an Gynasien erprobt.. Das Zentrallagerproble (siehe. steht für einen Aufgabentyp, bei de die Sue der Entfernungen von gegebenen Standorten - wie z. B. Auslieferungslagern - zu de zu errichtenden Ort z. B. de Zentrallager - iniiert werden uss. Er begegnet uns in verschiedenen Variationen: Wo uss die zentrale Gepäckausgabe bei eine Flughafen gebaut werden, dait die Passagiere von den verschiedenen Flugsteigen aus öglichst wenig laufen üssen? Wo sollte der Spielplatz in eine Wohngebiet angelegt werden, dait dieser für die Kinder aus den uliegenden Wohnblocks durch öglichst kurze Wege attraktiv ist? Lehrplan atheatik, Grund- und Leistungsfach Jahrgangsstufen bis 3 der gynasialen Oberstufe (ainzer Studienstufe, 998, Seite 7. Sowie "Problelösendes Verhalten" und "atheatisierung von Sachprobleen" i Lehrplan atheatik (Klasse 7-9/0, Hauptschule, Realschule, Gynasiu 984, Seite -3

6 5 Dieses Proble lässt sich auf verschiedene Arten lösen, wodurch die Bearbeitung dieses Theas auch in verschiedenen Klassenstufen öglich wird: Bei drei gegebenen Standorten durch die Konstruktion eines ausgezeichneten Punktes (Ferat-Punkt ittels besonderer Linien i Dreieck (Sison-Linien. Durch die iniierung der Entfernungssue it ethoden der Differentialrechnung. Will an ein solches Standortproble (STOP in der ittelstufe behandeln, so bietet sich dazu das 8. oder 9. Schuljahr an. Die genaue Wahl des Schuljahrs wird davon abhängen, inwieweit an einen der Beweise zur Existenz und den Eigenschaften des Ferat-Punktes erarbeiten öchte (vergl. 6.. Benötigt werden in diese Fall neben den Kongruenzsätzen entweder noch der Satz vo Sehnenviereck it seiner Ukehrung (i. Beweis oder die Eigenschaften der Drehung als Kongruenzabbildung (i. Beweis. Ein solchen atheatisch exakten Nachweis des Ferat-Punktes kann jedoch aus gewichtigen pädagogischen oder zeitlichen Gründen auch ausgespart werden, ohne dass hierdurch zu starke Einbußen hinsichtlich der Qualität der Unterrichtsreihe zu befürchten wären. Für eine zeichnerische Lösung üssen it den entsprechenden Punkten - i Koordinatensyste oder direkt auf einer Landkarte - Konstruktionen durchgeführt werden, wobei die gängigen Grundkonstruktionen eingeübt bzw. wiederholt werden können. Das Ergebnis kann für drei Standorte auch an eine odell experientell erittelt werden. In eine Oberstufenkurs kann an dieses STOP ittels Differentialrechnung lösen. Die Aufgabenstellung bietet die öglichkeit, Funktionen it zwei Variablen einzuführen. Hieran lässt sich zeigen, dass eine Lösung, wie die Schüler es bei Funktionen it einer Variablen gewohnt sind, nur bei "geschickt gewählter" Entfernung öglich ist: Nur bei der Verwendung des Quadrates der Entfernung erhält an eine Zielfunktion, die sich so in zwei Suanden aufspalten lässt, dass jeder nur von einer Variablen abhängt. In diese Fall kann an das Extreu auf de üblichen Wege bestien. Das atheatische odell kann darüber hinaus auch erweitert werden, u so eine größere Realitätsnähe zu erzielen: Werden die Auslieferungslager verschieden häufig angefahren, so versieht an die Entfernungen vo Zentrallager zu diesen it entsprechenden Faktoren (gewichtete Entfernung. Für den allgeeinen Fall bei n gegebenen Orten it unterschiedlichen Gewichten und quadratischer Entfernung lässt sich auf diese Weise eine Forel für die Koordinaten des besten Standortes herleiten (vergl. 5. und 5... Weil bei der odellbildung die Berechnung der Entfernung zweier Punkte oft eine entscheidende Rolle spielt, wurden in der Lehrerfortbildung auch verschiedene etriken vorgestellt. Neben der in der Schule verwendeten euklidischen Entfernung ist es anchal auch sinnvoll, das Quadrat dieses Abstandes oder anders definierte Entfernungen zu betrachten. A Beispiel der Produktion von Halbleiterplatinen (., die von Robotern bestückt werden, wurde gezeigt, dass die zurückgelegten Wege je nach Bewegungsart des Roboters unterschiedlich berechnet werden üssen. Wenn sich das otorgetriebene Werkzeug nur parallel zu den Koordinatenachsen bewegen kann und wenn diese Bewegungen längs der Achsen nacheinander ausgeführt werden,

7 6 ist die Entfernung eines Punktes P(x,x vo Ursprung durch die sogenannte l -Nor gekennzeichnet: l (OP = lx l+lx l. Eine anschauliche Bedeutung gewinnt diese Art der Entfernungsessung, wenn an Weglängen entlang der Straßen in einer der schachbrettartig angelegten Innenstadt wie beispielsweise annhei berechnet. Da Schüler (und Lehrer it einer solchen Abstandsberechnung in der Geoetrie i allgeeinen nicht vertraut sind, sind sie über die Lösungsengen zu den Fragestellungen, welche Punkte der Ebene eine konstante Entfernung zu eine oder zwei gegebenen festen Punkten haben, verblüfft. Die i Unterricht it den üblichen - in der euklidischen Geoetrie benutzten - Definitionen erittelten Lösungsengen sind "geknickte ittelsenkrechten" und "eckige Kreise". Auch dieses Unterrichtsbeispiel lässt sich noch weiter ausbauen: Gibt an die Bedingungen für die Koordinaten aller Punkte an, die von eine festen Punkt eine bestite Entfernung nicht überschreiten, führt an sodann bei den erhaltenen Ungleichungen alle Fallunterscheidungen vollständig durch und betrachtet anschließend die Funktionsgraphen zu den entsprechenden Lösungsengen, so kann an diese Aufgaben auch gut i 9. Schuljahr i Theenbereich lineare Gleichungen und Ungleichungen behandeln. 3. Für die Überlegungen zur Planung eines Feuerwehrhauses (siehe.3 soll die axiale Entfernung des gesuchten Standortes zu den gegebenen Orten öglichst gering gewählt werden. Das Proble lässt sich it Hilfe des Ukreises zu de aus den drei gegeben Orten gebildeten Dreieck lösen. Auch für ehr als drei Orte kann an so verfahren, wenn an dabei alle Kobinationen it drei Orten durchspielt und die günstigste Lösung auswählt. Da an bei diese Vorgehen zwischen spitz- und stupfwinkligen Dreiecken unterscheiden uss und bei de rechtwinkligen Dreieck der Satz des Thales zur Anwendung kot, bietet es sich an, diese Unterrichtsreihe i 8. Schuljahr durchzuführen, wobei sie sich insbesondere für die Einführung dieses Satzes geeignet erscheint. Außerde findet sich hier neben de Einüben von Konstruktionen und Konstruktionsbeschreibungen auch eine öglichkeit, einen Algorithus zu forulieren. Alle vorgestellten Unterrichtsreihen sind vo Ufang her auf ca. 5 bis 8 Stunden begrenzt und sollten auch nicht ehr Zeit in Anspruch nehen. Hierdurch wird die Erarbeitung des regulären Schulstoffs zu einen nicht zu stark beschnitten, andererseits liefert die Beschäftigung it eine solch anwendungsbezogenen Proble wie der Standortplanung aber bereits neue otivation für den üblichen Stoffkanon. Dies Begrenzung bedeutet für den planenden Lehrer jedoch auch, dass er sich bei der Durchführung der Reihe auf einige Schwerpunkte beschränken uss, an denen der Gegenstandsbereich sodann exeplarisch deutlich wird. Degeäß erheben die hier aufgeführten Unterrichtsreihen auch keinen Anspruch auf Vollständigkeit, sondern wollen vielehr Anregungen und Hinweise geben, wie die in den Abschnitten 3 bis 5 dargestellten atheatischen Inhalte in verschiedenen Klassenstufen ugesetzt werden können.

8 7 U den Prozess der odellierung, bei de ein Proble auf eine atheatische Fragestellung abgebildet und dort gelöst wird, zu vervollständigen, darf eine abschließende Betrachtung der gefundenen Lösung und ihre kritische Würdigung keinesfalls unterbleiben. Nicht ier genügt eine nach atheatischen ethoden erittelte Lösung den Anforderungen, wie an an folgende Beispiel erkennen kann: Erittelt an analog zur Standortsuche des Zentrallagers den Ort für eine ülldeponie, so erhält an öglicherweise eine solche itten in der Stadt, da hier eventuell die Sue der Transportwege inial wird! Die Reaktion der Schülerinnen und Schüler auf die bereits durchgeführten Unterrichtsreihen war durchweg positiv. Sie zeigten sich sehr otiviert und waren bereit, auch über ehrere Stunden hinweg neue Sachverhalte zu erarbeiten, die vo atheatischen Sachverhalt her nicht einfach waren. Häufig gelang es auch, gerade solche Schülerinnen und Schüler anzusprechen, die sich sonst i Unterricht nicht so stark beteiligten. Für sie war es interessant, zu erleben, welche Problee it atheatik gelöst werden können und das atheatik keinesfalls nur zu Selbstzweck betrieben wird. Die Erhöhung der otivation erklärt sich außer durch realitätsnahe Aufgabenstellung sicher auch dadurch, dass die eingesetzten Unterrichtsethoden die Diskussion der Schüler untereinander über das zu odellierende Proble gefördert haben. Gerade durch die gewählte ethodik des selbständigen Arbeitens in Kleingruppen wird es öglich, die heute allseits geforderten Handlungs- Kounikations- und Sozialkopetenzen effektiv zu fördern. So erfüllt etwa die Vorstellung der erarbeitete Lösungen durch die einzelnen Gruppen einen doppelten Zweck: Einal wird die Diskussion in eine erweiterten Kreis als in der Arbeitsgruppe öglich, zu anderen schult diese die Schülerinnen und Schüler hinsichtlich ihrer Fähigkeit zur Inforationsverarbeitung und -präsentation. Die Rückeldungen aus der Klasse beeinflussen dann wiederu positiv die otivation. Da die Schülerinnen und Schüler die entscheidenden Ideen selbst einbringen sollen, uss der Unterrichtende sich zurückhalten und sollte nur dann weiterführende Ipulse setzen, wenn wesentliche Aspekte zur Problelösung fehlen oder atheatische ethoden benötigt werden, die neu sind. Auf diese Weise versucht der Lehrer nicht länger Lernprozesse zu erzeugen, er initiiert und eröglicht sie vielehr. Hierzu nit er sich bewußt zurück und begleitet den Unterricht nun stärker aus einer Position des Beraters heraus. Darüber hinaus ist in diese Zusaenhang sowohl hinsichtlich der Schülerotivation als auch bezüglich der angesprochenen Schlüsselqualifikationen auf den Einsatz des Coputer als atheatisches Hilfsittel zu verweisen. So bietet etwa der Einsatz entsprechender Software die öglichkeiten zu Experientieren, eine ethode zu Entwickeln von Lösungen, die von Schülern bevorzugt wird. Gleichzeitig erwerben die Schülerinnen und Schüler hierbei auch eine größere Routine i Ugang it de PC. vgl. hierzu "Problelösen it atheatischen ethoden - odellbildung" Lehrplan atheatik, Grund- und Leistungsfach Jahrgangsstufen bis 3 der Studienstufe, 998, Seite 8 ff

9 . Was bedeutet Standortplanung?- Einige einführende Beispiele 8. Das Zentrallagerproble Bei Zentrallagerproble (warehouseproble soll zu bereits vorhandenen Auslieferungslagern ein Zentrallager so gebaut werden, dass die Gesatentfernung zwischen de Zentrallager und den einzelnen Auslieferungslager öglichst klein ist. Für die Problelösung werden die Auslieferungslager Ex (a,a und das zu bauende Zentrallager X(x,x durch Punkte in der Ebene dargestellt. Als Gesatentfernung wird die Sue der Einzelentfernungen zwischen de Zentrallager und den einzelnen Auslieferungslagern gewählt. Als Entfernung bietet sich die Euklidische Entfernung d ( Ex etrik ist., X = ( a x + ( a x = l ( Ex, X an, wobei l : IR IR eine Wenn an in diese odell noch die Häufigkeiten der Fahrten zwischen de Zentrallager und unterschiedlichen Auslieferungslagern berücksichtigen öchte, üssen die Entfernungen ihrer Häufigkeit entsprechend gewichtet werden. Zahlenbeispiel für die Wahl eines Zentrallagers 3 : In eine Industriebetrieb existieren drei Auslieferungslager, die auf einer Landkarte it den Koordinaten E (/, E (7/3 und E 3 (4/5 festgelegt werden können. Die Betriebsführung öchte nun ein Zentrallager an eine neuen Standort bauen und zwar so, dass die Gesatentfernung (also die Sue aller Entfernungen zwischen de Auslieferungslager und de Zentrallager öglichst klein ist.. odell: für einfache Entfernung it Zentrallager X(x,x 3 l ( Ex, X = ( x + ( x + (7 x + (3 x + (4 x + (5 x Wählt an z. B. X (4/, so erhält an durch Einsetzen die Gesatentfernung zu den Auslieferungslagern zu =6+ 0 9,. Wählt an dagegen X (4/5, so erhält an = ,8. Wenn in der Aufgabe keine weiteren Einschränkungen genannt werden, wird an also den Standort X (4/5 de ersteren vorziehen. 3 aus: Horst W. Haacher: atheatische Lösungsverfahren für planare Standortproblee, Vieweg Verlag Braunschweig/Wiesbaden 995

10 9. odell für gewichtete Entfernung Weiß an z. B. durch Datenerfassung, dass an von de zu errichtenden Zentrallager fünfal bzw. dreial häufiger zu den Auslieferungslager E bzw. E fährt als zu E 3,so ist ein realistisches odell für die Entfernungen dadurch gegeben, dass an die einfache Entfernung zwischen E und X it de Faktor w = 5 und die zwischen E und X it w = 3 ultipliziert. Also ergibt sich dait eine gewichtete Entfernung: 3 w l ( Ex, X = 5 ( x + ( x + 3 (7 x + (3 x + (4 x + (5 x Prüft an nun für die gewichtete Entfernung die beiden oben untersuchten Standorte, so erhält an für X (4/ = ,5 X (4/ = ,0 In diese Beispiel wäre also X (4/günstigeralsderzweiteOrtfürdasZentrallager. Nach diesen einfachen Beispielen erhält an ein Verständnis dafür, dass die Frage, wie an den bestöglichen Standort finden kann, noch genauer überlegt werden uss. 3. odell Auch für die Angabe der Entfernungen üsste an die odelle noch verbessern. Die Euklidische Entfernung ist nur dann sinnvoll anzunehen, wenn an sich zwischen de Zentral- und de Auslieferungslager direkt bewegen kann. Für Hubschrauber, Fahrzeuge in der Wüste und eventuell Boote in genügend tiefen Gewässern trifft das zu, nicht aber für unser Proble. Also sollte an für jeden öglichen Standort X (x /x die Entfernung zu den entsprechenden Auslieferungslagern d(ex,x aus eine (Straßen- Netzwerk ablesen können (z. B. Entfernungstabellen wie in Straßenatlanten. Bei einer odellbildung uss also überprüft werden, welche atheatische Definition an bei der Entfernungsodellierung sinnvollerweise zugrunde legt.. Produktion von Halbleiterplatinen: Ein anderes Beispiel zur Frage der zu verwendenden etrik ist die Produktion von Halbleiterplatten it Hilfe von Robotern: Bei Zusaenbau einer Halbleiterplatte werden Teile, die zu N verschiedenen Sorten (Transistoren, Speichereleente usw. gehören - wobei sinnvollerweise N ist - auf vorher festgelegten Einbauplätzen Ex ( =,..., eingebaut. an will nun Behälter aufstellen, in denen die verschiedenen Bauteilsorten gelagert sind. Bei der Wahl der Standorte X,..., X N für diese Behälter ist zu beachten, dass. ein Sicherheitsabstand zwischen Behälter und Platine vorhanden ist

11 0. die Gesatzeit für den Einbau inial ist. Für das odell setzen wir voraus, dass die Einbaureihenfolge festgelegt ist. (Das ist eventuell ein eigenes Optiierungsproble. Für die weitere Überlegung ist es wichtig zu wissen, wie sich der Roboterar bewegt, da hiervon die Berechnung der zurückgelegten Wege abhängt. a Zwei lineare otoren, die ein gleichzeitiges Bewegen in beiden Koordinatenrichtungen erlauben: Der nächste Arbeitsgang kann erst begonnen werden, wenn beide otoren stehen. Deshalb gilt folgende "Entfernung" zwischen eine Einbauplatz Ex (a,a und de Standort X (x,x für einen der Behälter: d(ex,x=ax{la -x l, la -x l} an bezeichnet d (Ex,Xauchit l (Ex,X b Hat der Roboterar nur einen otor, üssen die Bewegungen längs der Koordinatenachsen nacheinander ausgeführt werden und für die "Entfernung" zwischen Einbauplatz und Vorratsbehälter gilt: d(ex,x=la -x l+la -x l=l (Ex,X Zahlenbeispiele für die Produktion von Halbleiterplatten: Aus zwei Behältern (N =, die runde bzw. eckige Teile ( = enthalten, sollen auf derplatineanvierfestenstellenex,..., Ex 4 ( = 4 Teile eingebaut werden. Der Sicherheitsabstand ist durch ein Viereck u die Platine heru dargestellt: X ist ein öglicher Standort für den Behälter it runden Teilen X ist ein öglicher Standort für den Behälter it eckigen Teilen Von jeder Sorte werden zwei Teile eingebaut. Abbildung a: Halbleiterplatine (inneres Viereck it festen Einbauplätzen für vier Teile, die zu zwei Sorten gehören. 4 4 Aus: Horst W. Haacher: atheatische Lösungsverfahren für planare Standortproblee, Vieweg Braunschweig/Wiesbaden 995, Seite 5

12 Abbildung b: Robotertour bei gegebener Einbaureihenfolge (,, 3, 4 Die Robotertour für die Einbaureihenfolge (,, 3, 4 it X als Anfangs- und Endpunkt hat eine von X abhängige Länge: f(x = d(ex,x + d(ex,x +0 d(ex 3,X + d(ex 4,X d(ex,x bedeutet: Ein rundes Teil aus de bei X platzierten Behälter wird in Ex eingebaut und der Roboter läuft zurück zu X. 0 d(ex 3,X bedeutet: Es wird kein rundes Teil bei Ex 3 eingebaut. Da der Roboterar aber nach de Einbau bei Ex 4 wieder zu Behälter bei X zurückläuft, entsteht der Suand d(ex 4,X. Genauso wird der Weg für den Teil der Robotertour berechnet, die den Behälter für die eckigen Teile ansteuert, der bei X platziert wurde. f(x =0 d(ex,x + d(ex,x + d(ex 3,X + d(ex 4,X Bestit an das iniu der Funktionen f(x und f(x, so ergeben diese die Orte, an denen die Behälter für die runden bzw. eckigen Teile aufgestellt werden sollten, dait die zurückgelegten Wege öglichst gering sind. Allerdings können die Behälter nicht überall stehen, da die Auswahl für die Behälterstandorte eingeschränkt ist. So gibt es Restriktionen für den Standort, der eventuell aus eine Teilbereich der gegebenen Ebene gewählt werden uss..3 Planung eines Feuerwehrhauses Bei der Planung eines Feuerwehrhauses geht an von der Frage aus, wo es gebaut werden uss, dait i Falle eines Brandes die Anfahrtzeit der Feuerwehr eine bestite Zeit nicht überschreitet. So öchte an z. B. zu drei Industriebetrieben Ex, Ex,Ex 3 eine geeinsae Werksfeuerwehr a Ort so bauen, dass jeder Betrieb in höchstens 0 in erreicht wird. Es uss also für den Standort X des Feuerwehrhauses gelten:

13 l (Ex,X s für =,, 3. Dabei ist s die Wegstrecke, die in 0 in zurückgelegt werden kann. Noch besser wäre es, wenn die Feuerwehr so schnell wie öglich a Brandort ist, also ein r gefunden wird, für das gilt: l (Ex, X r it r öglichst klein für =,, 3. (it l ist hier wieder der Euklidische Abstand geeint Es ist günstig, bei der Suche nach eine Verfahren für die Erittlung von X die Aufgabe vo Ergebnis her zu betrachten: Ist der Standort X des Feuerwehrhauses bereits bekannt, gilt l (Ex,X r für alle. Also liegen dann die Industriebetriebe Ex,Ex, Ex 3 innerhalb eines Kreises u X it de Radius r oder auf seine Rand. Gesucht ist also der ittelpunkt eines Kreises, der it öglichst kleine Radius die gegebenen Standort überdeckt. 3. Geoetrische Lösungen zu ausgesuchten Standortprobleen Erfreulicherweise lassen sich einige der angesprochenen Beispiele bereits it einfachen Konstruktionen lösen, die von de Geoetrieunterricht in den Klassen 7-9 her bekannt sind. 3. Lösung des Zentrallagerprobles durch Konstruktion des Ferat-Punktes Wir erinnern uns: Zu drei gegebenen Standorten Ex (bestehende Auslieferungslager, die nicht auf einer Geraden liegen, soll ein neuer Standort X für ein Zentrallager so bestit werden, dass die (gewichtete Sue der Entfernungen inial wird. Das geoetrische Verfahren besteht für den Fall gleicher Gewichte aus folgenden Schritten (vergl. Abbildung :. Schritt: Zeichne das Dreieck A,B,C ( A=Ex,B=Ex,C=Ex 3. Schritt: Errichte auf jeder Seite des Dreiecks ein gleichseitiges Dreieck 3. Schritt: Verbinde jeweils den neu entstandenen Punkt i gleichseitigen Dreieck it de Eckpunkt des Dreiecks A,B,C, welcher nicht zu diese gleichseitigen Dreieck gehört. (Sison-Linien 5. 5 Benannt nach Robert Sison, englischer atheatiker

14 3 4. Schritt: Die Sison-Linien schneiden sich in eine Punkt, de optialen Standpunkt, de Ferat-Punkt F. B* C A* A F B C* Abbildung : Konstruktion des Ferat-Punktes it Hilfe der Sison-Linien Durch geoetrische Verfahren läßt sich das Zentrallagerproble auch bei gewichteten Entfernungen und bei vier gegebenen Standorten noch gut lösen. In allen anderen Fällen koen Iterationsverfahren zur Anwendung. Anerkung: Es handelt sich bei de obigen Verfahren u einen Spezialfall einer sog. Torricelli 6- Konfiguration, bei der auf jede Dreiecksseite eines beliebigen Grunddreiecks ABC untereinander gleichsinnig ähnliche Aufsatzdreiecke ABC*, BCA*, ACB* konstruiert werden (vgl. Abbildung 3. Für diese Figuren gelten folgende Sachverhalte: Die Diagonalen AA *, BB *, und CC * dieser Figur schneiden sich in eine Punkt, de Torricelli-Punkt T. An diese Schnittpunkt finden sich die Winkel α, β, γ der Aufsatzdreiecke wieder und die Längen der "Diagonalen" AA *, BB *, CC * dieser Figur verhalten sich wie die Höhen der Aufsatzdreiecke. I obigen Sonderfall it gleichseitigen Aufsatzdreiecken (α =β =γ = 60 sind die "Diagonalstrecken" AA *, BB *, CC* gleich lang und schließen Winkel von 60 ein. 6 Evangelista Torricelli (

15 4 Für diesen Spezialfall gilt: Wenn das Dreieck keinen Winkel über 0 enthält, schneiden sich die Verbindungslinien der Eckpunkte it den Spitzen der aufgesetzten Dreiecke innerhalb des Dreiecks. Die Sue der Abstände eines Punktes P von den Ecken A, B, C wird genau dann zu iniu, wenn P i "Diagonalenschnittpunkt" T liegt. Die Entfernungssue entspricht sodann der Diagonalstrecken. Da diese Extrealaufgabe von P. De Ferat 7 gestellt wurde, wird T auch Ferat-Punkt F genannt (vgl. Abbildung. In der englischsprachigen Literatur wird sie de u 750 an der Universität Glasgow lehrenden Robert Sison zugeschrieben 8. Für den Fall, dass ein Winkel 0 beträgt, fällt der Ferat-Punkt it de Scheitelpunkt dieses Winkels zusaen. Bei Winkeln, die größer sind, liegt der Schnittpunkt der Sison-Linien außerhalb des Dreiecks und ist nicht der Punkt für die iniale Entferungssue. Das läßt sich auch gut it einer dynaischen Geoetriesoftware zeigen, wenn an einen Eckpunkt des Dreiecks entsprechend bewegt. A* Abbildung 3: Torricelli-Konfiguration it α = 40, β =65 γ = 75 B* A C T B C* 7 8 Pierre de Ferat ( hat diese Aufgabe in seinen "Abhandlungen über axia und inia" 643/44 gestellt. vgl. Hoepage History of atheatics archive der Universität St. Andrews, Schottland. (unter Torricelli, Sison, Ferat

16 5 3. Planung eines Feuerwehrhauses Das Standortproble (STOP lautet: Zu existierenden Betrieben soll ein Feuerwehrhaus so gebaut werden, dass die axiale Entfernung zwischen den Betrieben und de Feuerwehrhaus öglichst klein ist. Es wird ein planares odell it euklidischer Entfernung benutzt. Hat an it X einen Ort für die Feuerwehr gefunden, derart dass die Entfernung zu allen Betrieben Ex i < s ist und jeder in weniger als der gegebenen Zeit (z.b. 0 in angefahren werden kann, dann enthält der Kreis 9 u X alle gegebenen Standorte. 3.. Proble für Standorte: Ex,Ex : Der gesuchte Ort X ist die itte der Strecke Ex Ex Proble für 3 Standorte Ex,Ex,Ex 3 : a Ex,Ex,Ex 3 bilden ein spitzwinkliges Dreieck. Dann ist der Ukreis des Ex Ex Ex 3 der kleinste Kreis, der die gegebenen Standorte enthält und der Ukreisittelpunkt ist der gesuchte Ort für das Feuerwehrhaus. b Ist Ex Ex Ex 3 stupfwinklig, dann gibt es eine bessere Lösung als den Ukreisittelpunkt: der ittelpunkt der längsten Dreiecksseite ist der optiale Ort für das Feuerwehrhaus Verfahren für ehr als drei Standorte: Gesucht ist also der kleinste Kreis (d.h. der Kreis it de kleinsten Radius, der alle gegebenen Standorte Ex überdeckt. Er enthält indestens Standorte auf seine Rand. Verfahren zur Lösung:. Zeichne alle Ukreise von Tripeln der Standorte (Ex i,ex j,ex k iti j, i k, j kfür alle i, j, k =,...,. Zeichne alle Kreise u den ittelpunkt der Strecken Ex Ex, die durch Ex i j i bzw. Ex j gehen. 3. Streiche alle Kreise, die nicht alle Standorte überdecken. 4. Von den verbliebenen Kreisen wähle den it de kleinsten Radius aus. Nuerisches Beispiel it 4 Standorten: Ex (0 3, Ex (5 8, Ex 3 (9 0, Ex 4 (9 3 Teilaufgaben. Zeichne die Punkte in ein Koordinatensyste! 9 Geeint ist dait das Gebiet des Kreisinneren vereinigt it de Rand

17 6. Wie viele Paare und wie viele Tripel gibt es? 3. Zeichne alle Ukreise durch drei der gegebenen Standorte! 4. Gibt es zulässige Kreise, die nur durch Standorte bestit werden? 5. Welcher Kreis ist der beste? 6. Was passiert, wenn Ex 4 (0/3 bzw. Ex 4 (/8 betrachtet wird? Die Lösung (Abbildung 4 wurde für Tripel erittelt: E E E 3 :Ukreisk hat den Radius r 4,6 L.E. E E E 4 :Ukreisk hat den Radius r 5L.E. E E 3 E 4 :Ukreisk 3 hat den Radius r 3 4,7 L.E. E E 3 E 4 :Ukreisk 4 hat den Radius r 4 7L.E. (es handelt sich u ein stupfwinkliges Dreieck k i ={P P r } i i k enthält alle 4 Punkte k enthält nicht E 3 k 3 enthält nicht E k 4 enthält alle 4 Punkte, aber r 4 >r Verändert an E 4 zu E 4 (0/3, so ist k ier noch der optialer Kreis, da alle existierenden Standorte auf seine Rand liegen. Für E 4 (/8 ist E E E 4 stupfwinklig und k 3 wird optialer Kreis, weil auch bei geänderter Lage von E 4 r 3 <r gilt. Dabei bleibt die Frage unbeantwortet, ob ein optialer Kreis stets eindeutig bestit werden kann.

18 7 Abbildung 4: Suche des optialen Standortes für ein Feuerwehrhaus bei vier gegebenen Betrieben (nuerisches Beispiel k4 E E E4 k 4 3 k E3 k3 3.3 Restriktive Standortproblee Bei vielen Aufgabenstellungen gibt es zusätzliche Einschränkungen für die Standortwahl. Beispiele für Restriktionen:. Platinenproble: U die Platine heru uss ein gewisser Sicherheitsabstand eingehalten werden, wo keine Behälter aufgestellt werden können. (Ähnliches wird auch bei der Fließbandproduktion gefordert.. Feuerwehrhaus: Ein Naturschutzgebiet steht für die Plazierung des Feuerwehrhauses nicht zur Verfügung. I atheatischen odell werden die Restriktionen so ausgedrückt, dass das Innere eines Polygons R ausgeschlossen wird. Auf seine Rand R können dagegen Anlagen plaziert werden. Lösungsansatz:. Löse das unrestriktive Proble (d.h. bestie alle optialen Standorte ohne Rücksicht auf das Gebiet R.. Falls in ( ein Standort erittelt wird, der zulässig ist, ist das Verfahren beendet. 3. Sonst: vergrößere den Zielfunktionswert solange, bis ein Standort X* it diese Zielfunktionswert gefunden wird, der zulässig ist.

19 8 Bei Feuerwehrproble erhält an den optialen Standort, inde an die Kreise u die Betriebe vergrößert, bis ein Schnittgebiet entsteht, das innerhalb des verbotenen Gebietes liegt und den Rand berührt. Beispiel: Erittlung des optialen Standortes bei eine odell it Restriktionen (Feuerwehr, Abbildung 5. ittelsenkrechte auf ExEx3 Ex4 ittelsenkrechte auf ExEx ittelsenkrechte auf ExEx4 Ex L4 P A4 L P P5 B A3 B3 P'4 B4 ittelsenkrechte auf Ex3Ex4 P3 Ex3 Ex Abbildung 5: Erittlung des optialen Standortes bei eine odell it Restriktionen. Beispielsweise ist der Standort für ein Feuerwehrhaus zu den Betrieben Ex,..,Ex 4 gesucht, wobei das Gebiet innerhalb des Fünfecks P,P,P 3,P 4,P 5 ein unzulässiges Gebiet ist. Als Lösung wird der ittelpunkt desjenigen Kreises gesucht, der die gegebenen Standorte der Industriebetriebe (hier 4 überdeckt. Als Kreisittelpunkt koen die Schnittpunkte der ittelsenkrechten von Ex Ex it de Rand des i j unzulässigen Gebietes in Frage (hier heißen sie A i und B j, sowie die Projektionen der Betriebe (Eckpunkte Ex k auf den Rand des unzulässigen Gebietes ( hier nur L und L 4, die anderen liegen nicht auf den Seiten des Fünfecks. Für alle Kreise, die einen größeren als den inialen Radius aufweisen gilt, dass ihr Durchschnitt ein "Rundstück" ist, dessen "Ecken" durch Schnittpunkte zweier Kreise und dessen Ränder von zwei Kreisbögen gebildet werden (vgl. Abbildung 6. Dabei können folgende Fälle auftreten: a Eine "Ecke" des "Rundstücks" berührt zuerst die Grenzlinie zu verbotenen Gebiet. b Der Rand des Polygons, das die Restriktion beschreibt, wird Tangente an den Kreisbogen.

20 9 Daraus ergibt sich als Vorschrift zur Erittlung des Standortes: a Betrachte alle Schnittpunkte zwischen den ittelsenkrechten zu Ex iex j, i j, i, j =,..., und de Rand R der Restriktionen. b Betrachte alle diejenigen Punkte auf de Rand R, in denen das Geradenstück des Restriktionspolygons Tangente für einen Kreis u Ex wird für =,...,. (Das bedeutet, dass alle existierenden Projektionen der Ex =,..., auf den Rand R betrachtet werden Der beste Kandidat aus a und b ist optialer Standort für das Proble. Zahlenbeispiel Ex (5 5, Ex (5 7, Ex 3 (7 5 sind gegebene Standorte. Die Restriktion wird beschrieben durch einen Polygonzug it den Ecken P (6 5, P (8 4, P 3 (0 4, P 4 (4 7 (vgl. Abbildung 6. ittelsenkrechte auf Ex Ex Ex3 P B4 P3 A3 B ittelsenkrechte auf Ex Ex3 ittelsenkrechte auf Ex Ex3 Zur Projektion vonex auf P P X B5 A B6 P4 Ex B3 A Ex X3 B P Abbildung 6 : Zu Algorithus, wie an den optialen Standort bei Restriktionen erittelt: X i sind die Projektionen von Ex i auf den Rand, B i sind die Schnittpunkte der ittelsenkrechten der Dreiecksseiten it de Rand des verbotenen Gebiets. Erittlung des Standortes geäß Lösungsansatz:. Ohne Restriktion: Der ittelpunkt des Dreiecksukreises von Ex Ex Ex 3 wird bestit.. Er liegt i unzulässigen Gebiet R. Suche einen zulässigen Standort.

21 0 3a Betrachte die Schnittpunkte zwischen den ittelsenkrechten der Dreieckseiten und de Rand R. Von allen B i wäre B 5 der beste Kandidat als Schnittpunkt zwischen P P und der ittelsenkrechten auf Ex Ex. 3b Zeichne die Projektionen für Ex,Ex,Ex 3 auf Rein:X,X,X 3 Für X ergibt sich der Kreis it de kleinsten Radius, da das "Rundstück" A,A,A 3 bei X den Polygonzug berührt. (Der Kreis u B 5 hat einen etwas größeren Radius! Lösung: X (6,8 8,7, r 9, 8 4. Eckige Kreise und geknickte ittelsenkrechten als odellwerkzeuge Wenn an sich in eine Koordinatensyste längs der Achsen bewegt (Beispiel Roboterar oder in eine rechtwinklig angelegten Straßennetz Wege zurücklegt, dann eignet sich die Euklidische Entfernung nicht zur odellierung des Probles. Eine bessere etrik für dieses odell ist die sog. l -Nor, die wie folgt definiert ist: l :IR IR; (x x x + x. Dies steht für die Entfernung des Punktes X (x Іx vo Ursprung. Ausführlich beschrieben bedeutet das: I. Quadrant x 0 x 0 l (x,x = x +x II. Quadrant x < 0 x 0 l (x,x =-x +x III. Quadrant x < 0 x < 0 l (x,x =-x -x IV. Quadrant x > 0 x < 0 l (x,x = x -x Die in der euklidischen Geoetrie häufig benutzten geoetrischen Orte Kreis (u einen gegebenen ittelpunkt it festgelegte Radius und ittelsenkrechte (zu einer gegebenen Strecke sehen it dieser etrik etwas ungewohnt aus, aber es liegt ihnen die gleiche Definition zugrunde. So entsteht für den Einheitskreis K(0,: = {(x,x IR l (x, x =} folgendes Bild i Koordinatensyste (Abbildung 7: Abbildung 7: Einheitskreis in der zur l -Nor gehörenden etrik x -Achse Durch Fallunterscheidung erhält an: für den I. Quadranten: x +x = für den II. Quadranten: -x +x = für den III. Quadranten: -x -x = für den IV.Quadranten: x -x = - x -Achse

22 Beispiel: In anhattan gibt es zwei Postäter Ex und Ex. Die Post öchte feststellen, für welchen Haushalt welches Postat a nächsten ist, d. h. anhattan in zwei Bezirke aufteilen, die den Postätern zugeordnet werden. Für die Trennungslinie zwischen den Bezirken uss die enge aller Punkte bestit werden, die bezüglich der l -Nor die gleiche Entfernung von Ex (a,a und von Ex (a,a haben (Bestiung der ittelsenkrechten. IB ={X IR l (X - Ex = l (X - Ex } ={(x,x IR x -a + x -a = x -a + x -a } Weil die Wege in einer solchen etrik davon abhängen, ob sie zu den Koordinatenachsen parallel verlaufen, unterscheiden sich die Graphen der ittelsenkrechten beträchtlich voneinander je nachde, ob die Lage der Postäter auf de Stadtplan durch Punkt dargestellt wird, die in nur einer oder in beiden Koordinaten verschieden sind. Zahlenbeispiel a: Ex (0 0, Ex (4 0, d.h. eine Koordinate ist gleich x -Achse Gebiet Abbildung 8: Eritteln der ittelsenkrechten für Zahlenbeispiel a Gebiet E E Gebiet 3 x -Achse Gebiet 4 Gebiet 6 Gebiet 5 Bei der Bedingung x -0 + x -0 = x -4 + x - 0 für die Punkte X(x Ix, die die ittelsenkrechte bilden, üssen Fallunterscheidungen durchgeführt werden, die zu 6 Gebieten i IR führen: Gebiet : 0 x 4 x 0 Bedingung für ittelsenkrechte: (x -0+(x -0=-(x -4+(x -0 x +x =-x +x +4 x = x 0 beliebig ll = {(x,x } IR x = x 0} Der Graph ist eine Parallele zur x -Achse it Abstand i. Quadranten.

23 Gebiet 5: 0 x 4 x < 0 Bedingung: (x -0-(x -0=-(x -4-(x -0 x < 0 x -x =-x +4-x x = x 0 ll 5 = {(x,x IR x = x < 0} Der Graph ist eine Parallele zur x -Achse it Abstand i 4. Quadranten. Gebiet : 0 < x x 0 Bedingung: - (x -0+(x -0=-(x -4+(x +0,x 0 -x +x =-x +4+x 0=4 x 0 ll = {} Für die Gebiete 3, 4, 6 gibt es - wie bei Gebiet - keine Zahlenpaare für die Lösung, also auch keine Punkte der Ebene, welche die Bedingungen erfüllen. Es entsteht eine ittelsenkrechte wie i Fall des euklidischen Abstands. Zahlenbeispiel b: Ex (0 0, Ex (4 beide Koordinaten sind verschieden Für den Ansatz l (X, Ex = l (X, Ex bzw. x -0 + x -0 = x -4 + x - üssen jetzt 9 Gebiete unterschieden werden: Gebiet Gebiet Gebiet 3 Abbildung 9: ittelsenkrechte, die den Einzugsbereich zweier Postäter Ex und Ex trennt, für Zahlenbeispiel b Gebiet 4 Gebiet 5 E Gebiet 6 E Gebiet 7 Gebiet 8 Gebiet 9 Gebiet : x < 0 x > Dort gibt es keine Lösung, d. h. die ittelsenkrechte verläuft nicht durch dieses Gebiet. Gebiet : 0 x 4 x > Bedingung: (x -0+(x -0=-(x -4+(x - x +x =-x +x + x = x = x > beliebig ll ={(x,x IR x = x >}. Der Graph ist eine Parallele zur x -Achse it Abstand für Punkte it Ordinaten größer als.

24 3 Gebiet 3: x >4 x > Gebiet 4: x <0 0 x keine Lösung keine Lösung Gebiet 5: 0 x 4 0 x Bedingung: (x -0+(x -0=-(x -4-(x - x +x =-x +4-x + x +x =6 x =-x +3 ll 5 ={(x,x IR x =-x +3 0 x 4 0 x } Der Graph ist eine Gerade it Steigung - durch (0 3 Gebiet 6: x >4 0 x keine Lösung Gebiet 7: x <0 x <0 keine Lösung Gebiet 8: 0 x 4 x <0 Bedingung: (x -0-(x -0=-(x -4-(x - x -x =-x -x +6 x =6 x =3 x <0 ll 8 ={(x,x IR x =3 x <0}. Der Graph ist eine Parallele zur x -Achse i Abstand 3. Gebiet 9: x >4 x <0 keine Lösung

25 4 Zahlenbeispiel c: Ex (0/0, Ex (4/4, beide Koordinaten sind verschieden. 7 Abbildung 0: ittelsenkrechte für Zahlenbeispiel c. In den Gebieten und 9 sind alle Punkte in der Lösungsenge enthalten. Gebiet Gebiet E Gebiet Gebiet 3 E Gebiet 5 Gebiet Gebiet 7 Gebiet 8 Gebiet 9 - Es gibt Lösungen in Gebiet, Gebiet 5, Gebiet 9 Gebiet : x <0 x >4 Bedingung: - (x -0+(x -0=-(x -4+(x -4 -x +x =-x +4+(x -4 0=0 x >4 ll ={(x,x IR x <0 x >4} Das ganze Gebiet gehört zur Lösungsenge. Gebiet 5: 0 x 4 0 x 4 Bedingung: (x -0+(x -0=-(x -4-(x -4 x +x =-x +4-x +4 x +x =8 x =-x +4 ll 5 ={(x,x IR x =-x +4,0 x 4 0 x 4} Der Graph ist eine Gerade i Gebiet 5 it Steigung - und de x - Achsenabschnitt 4.

26 5 Gebiet 9: x >4 x <0 Bedingung: (x -0-(x -0=(x -4-(x -4 x -x =x -4-x +4 0 = 0 ll 9 = {(x,x IR x >4 x <0} Das ganze Gebiet gehört zur Lösungsenge. Für die übrigen Gebiete gibt es keine Zahlenpaare, die die zugehörigen Bedingungen erfüllen. Verallgeeinerung der Ergebnisse: Fall : a =a a a Fall : a =a a a Die ittelsenkrechte besteht aus einer vertikalen Geraden. Die ittelsenkrechte besteht aus einer horizontalen Geraden. Fall 3: a a a a Fall 3a a -a > a -a Die ittelsenkrechte setzt sich aus zwei vertikalen Halbgeraden zusaen, die durch diagonale Geradensegente verbunden sind. Fall 3b a -a < a -a Die ittelsenkrechte setzt sich aus zwei horizontalen Halbgeraden zusaen, die durch diagonale Geradensegente verbunden sind. Fall 3c a -a = a -a Die ittelsenkrechte besteht aus zwei Quadranten und eine diagonalen Geradensegent. Fall 4: (entartet a =a a =a Die ittelsenkrechte ist die gesate Ebene.

27 6 5. Lösung von Standortprobleen durch Kurvendiskussion differenzierbarer Funktionen 5. Zentrallagerproble it l - Entfernung Zahlenbeispiel Ex ( Ex ( 4 Ex 3 ( Ex 4 (4 Ex 5 (4 4 Die Anzahl der Fahrten pro Woche zu den Auslieferungslagern Ex i sollen w i betragen, deshalb werden in der Berechnung folgende Gewichte berücksichtigt: w =,w =, w 3 =,w 4 =,w 5 = 4. Ohne weitere Inforation nehen wir für die Entfernung die Euklidische Entfernung an ( l etrik, vergl. Ausführungen in.. Die Lösung der Aufgabe besteht also darin, die Sue der gewichteten Entfernungen zu iniieren: d(ex, X = (a x + (a x = l (Ex, X S(X= w (a x + (a x Zunächst betrachten wir die Sue der quadratischen Entfernungen und iniieren diese. 0 Wir untersuchen deshalb: f(x= w ( (a x + (a x Für das Zahlenbeispiel ergibt sich: f(x= (( x + ( x + (( x + (4 x + (( x + ( x + ((4 x + ( x + 4 ((4 x + (4 x f(x= 3 ( x + ( x + 6 (4 x + f(x=f (x +f (x 5 ( x + 5 (4 x Die Sue kann in die Sue zweier Funktionen zerlegt werden, die jeweils nur von einer Variablen x bzw. x abhängen. U f (X zu iniieren, üssen f (x und f (x iniiert werden. Es genügt, dass gilt: f' i (x i =0 f i "(x i >0 Für das Zahlenbeispiel ergibt sich also: f (x =0x 58x + 03 f '(x =0x 58 f "(x =0>0 f (x =0x 50x + 85 f '(x =0x 50 f "(x =0>0 f '(x =0 x =,9 ; f '(x =0 x =,5 0 Die zugehörige quadratische Funktion liefert nicht die gleichen Lösungen, weil wegen des Quadrierens des Abstandes weiter entfernte Punkte stärker gewichtet werden. Andererseits ist [S (X] auf IRdifferenzierbar, wohingegen bei S (X die Ableitung in x und x nicht definiert ist.

28 7 Dait wurde erittelt: Das Zentrallager liegt bei X* (,9,5, d.h. die Entfernung zu. Standort Ex ( beträgt d (Ex,X=,9 +,5,4 L.E. Löst an das Proble it Paraetern, so ergibt sich eine explizite Forel, it der der optiale Standort ausgerechnet werden kann. Vorher sollte an allerdings nochals ein konkretes Beispiel durchrechnen, deshalb hier noch eine weitere Übungsaufgabe: Gegeben sind: Ex (,5 8, Ex (8,6, Ex 3 (,5 5, Ex 4 (9, 3, Ex 5 (0 0 w =4, w =8, w 3 =6, w 4 =4, w 5 =5 Berechnen Sie den optialen Standort it l Entfernung! Lösung: f (x = 4 (,5 x +8 (8,6 x +6 (,5 x +4 (9, x +5 (0 x +4 (8 x +8 ( x +6 (5 x +4 (3 x +5 (0 x it f '(x =0 8 (,5 x (- + 6 (8,6 x (- + (,5 x (- +8 (9, x (- + 0 (0 x (- = 0 und f '(x =0 8 (8 x (- + 6 ( x (- + (5 x (- +8 (3 x (- + 0 (0 x (- Daraus folgt die Lösung X* (3,58,67. an erkennt hieran auch, wie sich die allgeeine Lösung ergibt: f(x = w ((a x + (a x = w (a x + (a x = f(x + f(x '(x = w (a x ( = w x w a f ''(x w f = > 0, weil alle Gewichte positiv sind. f (x hat ein iniu für positive Gewichte, dessen x -Wert sich aus f' (x = 0 errechnet : x = w w a.

29 8 Analog leitet sich aus f '(x = 0 der Wert für x her: x = w w a Setzen wir in diese Forel die Werte der Übungsaufgabe ein, so erkennen wir: x = w a + w w a + w + w 3 + w a w + w 4 4 a + w w 5 a 5 4, ,6 + 6, , ,6 = = = 3, x = w a + w w a + w + w 3 + w a w + w 4 4 a + w w 5 a = = =, Bisher wurde das Quadrat der euklidischen Entfernung betrachtet. Was passiert, wenn die "norale" euklidische Entfernung benutzt wird? Gesucht ist das iniu von f(x= w (a x + (a x. Dabei treten folgende "Erschwernisse" auf:. f(x lässt sich nicht als Sue zweier Funktionen schreiben, bei der jede nur von einer Variablen abhängt.. an uss partielle Ableitungen nach x bzw. x bilden: f x (a x ( i i = w i (a x + (a x, i =, 3. Die partiellen Ableitungen existieren in den gegebenen Standorten Ex,,.., nicht. 4. an kann it Hilfe eines Tests feststellen, ob einer der existierenden Standorte optial ist. Wenn dies nicht der Fall ist, uss ein Iterationsverfahren benutzt werden.

30 9 5. Beispiele, bei denen f (x nur stückweise differenzierbar ist: Zentrallagerproble it l -Entfernung In vielen Fällen ist die l - oder Entfernungsodellierung. l -etrik kein geeignetes Werkzeug für die Soistz.B.für die Entfernung i Straßennetz von anhattan oder annhei, bei der Bewegung des Roboterars und bei Entfernungen zwischen zwei Plätzen in eine Hochregallager die Rechteckentfernung geeigneter (vgl. Abschnitt 4. Da ein Kreis in dieser etrik "eckig" ist und von Geraden gebildet wird, gilt dasselbe für die Punkte gleicher Entfernung von eine festen Punkt: Sie liegen auf eine "eckigen Kreis" u den festen Punkt (a,a und erfüllen die Bedingung a -x + a -x =r Für das Zahlenbeispiel a =4,a = und r = 3 besteht der Kreis ll = {(x,x 4 -x + -x =3} aus den Geradenstücken x =-x +3für x 4 x und x =x 5 für x > 4 x x =-x +9für x > 4 x > und x =x + für x 4 x > D. h. die Sue der Entfernungen in Richtung der Koordinatenachsen zu jede Punkt auf de "Kreis" beträgt 3 L.E. Benutzen wir die l -Nornunfür unser Standortproble (Zentrallagerproble aus Kapitel 4, dann ergibt sich für die Funktion, deren iniu gesucht wird: f(x = w ( a -x + a -x = w a -x + w a -x =f (x +f (x Die Funktion von zwei Variablen lässt sich wieder als Sue zweier Funktionen it jeweils einer Variablen schreiben, die wir getrennt untersuchen. Als Zahlenbeispiel für die Standorte und Gewichte werden wieder die Werte aus 5. gewählt: Ex (, Ex ( 4, Ex 3 (, Ex 4 (4, Ex 5 (4 4 it den Gewichten w =, w =,w 3 =,w 4 = und w 5 =4 Dann ergibt sich: f (x = -x + -x + -x + 4-x +4 4-x =3 -x + -x +6 4-x

31 30 Durch den Betrag uss an nun eine Fallunterscheidung durchführen und es ergeben sich abschnittsweise definierte Funktionen, die it "Knick" ineinander übergehen, also stetig aber nicht überall differenzierbar sind. Fallunterscheidung für f (x :. Fall x : f (x =3 ( - x +(-x +6 (4 - x =9-0x. Fall x : f (x =3 (x -+(-x +6 (4 - x =3-4x 3. Fall x 4: f (x =3 (x -+(x -+6 (4 - x =9-x 4. Fall x 4: f (x =3 (x + (x -+6 (x -4=-9+0x Zeichnet an nun f (x, so kann an folgendes beobachten (vgl. Abbildung :. f (x ist stückweise linear. Der Graph ist auf den verschiedenen Intervallen eine Gerade.. f hat "Knickpunkte", in denen die Funktion stetig aber nicht differenzierbar ist. 3. Das iniu liegt in de Knickpunkt, bei de ein Vorzeichenwechsel in der Steigung stattfindet. 4. Die x - Koordinate des optialen Standortes ist x =4. f(x f(x 0 4 Abbildung : Stückweise differenzierbare Funktionen f (x und f (x Fallunterscheidung für f (x = x + 4 x + x + x x = 5 x x. Fall x f (x = ( x + 5 (4 x =5 0 x 5. Fall x 4 f (x = - ( x + 5 (4 x =5 5

32 3 3. Fall 4 < x f (x = - 5 ( x 5 (4 x =-5+0x Aus der Zeichnung für f (x kann an ablesen (Abbildung :. f (x ist linear, denn der Graph ist auf den verschiedenen Intervallen eine Gerade.. f hat "Knickpunkte", in denen die Funktion stetig aber nicht differenzierbar ist. 3. indestens ein iniu liegt an eine solchen Knickpunkt. 4. Die x -Koordinate des optialen Standortes liegt in de Intervall [; 4], d. h. alle Punkte der Strecke AB it A (4, B (4 4 sind inia für f (x. Die inia sind die einzigen Punkte, an denen eine waagerechte Gerade "unterhalb der Funktion" gezeichnet werden kann, die die Funktion schneidet. (Entsprechend der achsenparallelen Tangente i iniu einer indestens zweial differenzierbaren Funktion. Das Kriteriu für ein iniu ist hier der Wechsel der Steigung der Funktion vo negativen zu positiven Wert. Die allgeeine Fragestellung lautet: Wie findet an das iniu der Funktion g(x= w a x, d.h. wie findet an den "Knickpunkt", an de der Vorzeichenwechsel in der Steigung der stückweise linearen Funktion auftritt? Wir nehen an, dass in g(x gleiche Tere schon zusaengefasst sind und deshalb gilt: a <a <.. < a n (n. Nun betrachten wir die Funktion auf de Intervall [a q ;a q+ ]. Für > q+ gilt a x = (a x,für q gilt a x = x a, alsolässt sich g(x als Sue dieser beiden Tere schreiben: q q q g(x= w (x a + w (a x =( w w x +( w a w a q+ q+ =c q x+b q ; g (x ist soit eine lineare Funktion. Es gilt jetzt, das a q wechselt. q+ zu bestien, an de die Steigung von g(x das Vorzeichen Die Steigung "links von a q "(alsofür x<a q heißt g (a q = die Steigung "rechts von a q "(alsofür x>a q heißt g + (a q = Gesucht ist das a q für das gilt: g (a q 0 g + (a q 0. q q w w, q w w. q+ Wenden wir diese Überlegungen auf das oben angegebene Beispiel f (x =3 -x + -x +6 4-x an, so erhalten wir: Steigung links von a :g ( = rechts von a :g + ( = 0 3 w w = - 0, 3 w w =3-7=-4.

33 3 Steigung links von a :g ( = g + (= - 4, rechts von a :g + ( = Steigung links von a 3 :g (4 = g + (=-, rechts von a 3 :g + (4= 3 3 w w =4-6= w w = 0, also liegt der Vorzeichenwechsel in der Steigung bei a 3 = 4 (siehe Abbildung. Durch die Änderung des oberen Suationsindex wird bei Übergang von a q auf a q+ jedes al zweial das Gewicht w q hinzugefügt, da es i additiven Ter neu auftritt und in der zu subtrahierenden Sue wegfällt. (Vgl. Beispiel, wo w +w +w 3 = 0 und daher g (= -0, =-4=g ( usw. Anders ausgedrückt wird das kleinste q gesucht, für das gilt: g + (q 0,woalsoder q q Vorzeichenwechsel auftritt. w w + w q w q+ w : w q w Wenn die Ungleichung (* it de Größer-Zeichen erfüllt ist, dann ist a q der eindeutige 3 iniierer. (Vgl. Lösung von f (x : Der edianwert ist 5 und w = 0, also ist a 3 eindeutiger iniierer der Funktion. Ist die Ungleichung (* dagegen it de Gleichheitszeichen erfüllt, so iniieren alle Werte zwischen a q und a q+ die Funktion. (Vgl. f (x : der edianwert ist 5 und w =5. Insgesat können also vier Fälle auftreten:. Fall: Die Lösung für x und x ist eindeutig, dann ist die optiale Lösung des STOP durch einen Punkt P(x,x gegeben.. Fall: Die Lösung ist für x eindeutig und für x ehrdeutig, dann ergibt sich als Graph der Lösungsenge eine Strecke, die parallel zur x -Achse verläuft. 3. Fall: Die Lösung ist für x ehrdeutig und für x eindeutig, dann ergibt sich als Graph der Lösungsenge eine Strecke, die parallel zur x -Achse verläuft. 4. Fall: Die Lösung ist für x und für x ehrdeutig, dann ergibt sich als Graph der Lösungsenge eine durch ein Rechteck begrenzte Teilenge i IR x IR. (*

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