Verschlüsselungs- und Codierungstheorie PD Dr. Thomas Timmermann Westfälische Wilhelms-Universität Münster Sommersemester 2017

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1 Verschlüsselungs- und Codierungstheorie PD Dr. Thomas Timmermann Westfälische Wilhelms-Universität Münster Sommersemester 2017 Lineare Codes (Ausarbeitung von Benjamin Demes) 1) Was sind lineare Codes und worin besteht ihr Vorteil? 2) Wie werden lineare Codes erzeugt? 3) Wie funktioniert die Fehlerüberprüfung bei linearen Codes? 1) Was sind lineare Codes und worin besteht ihr Vorteil? Im Vortrag Grundbegriffe der Codierungstheorie wurden bereits Block-Codes definiert. Man hat gesehen, dass es von Vorteil ist, wenn man möglichst effizient mit den Codewörtern rechnen kann, um gute Codes zu erzeugen. Um für das Rechnen mit den Codewörtern nun einen geeigneten Rahmen zu schaffen, betrachtet man die Codewörter als Vektoren im Vektorraum K n und nicht mehr nur noch als n-tupel über einem Alphabet A. Ganz allgemein kann man endliche Körper K betrachten. Diese neue Betrachtungsweise eröffnet einem nun neue, wichtige Möglichkeiten, um gute Codes zu konstruieren. Man kann die Vektoren nun komponentenweise miteinander addieren und man kann Unterräume des Vektorraums bilden. Da Unterräume immer eine Basis besitzen reicht es aus, die Basisvektoren des Unterraums zu betrachten, sodass man sich nicht mehr jedes einzelne Codewort merken muss. Definition 1.1 (Linearer Code) Sei K ein endlicher Körper und K =q. Ein Block-Code C mit Alphabet K und Länge n heißt linearer Code, wenn C ein Unterraum des Vektorraums K n ist. Hat C die Dimension dim(c)=k und den Mindestabstand d(c)=d, so nennt man C einen [n,k,d]-code. Definition 1.2 (Minimalgewicht) Sei K ein endlicher Körper, d(, ) der Hamming-Abstand auf K n und C ein linearer Code in K n. 1) Man nennt wt(v)=d(v,0)= {i : v i 0} das Gewicht von v=(v,, v n ) ϵ K n 2) Ist C 0, so nennt man wt(c)=min{wt(c) 0 cϵc} das Minimalgewicht von C. Für C={0} setzt man sinngemäß wt(c)=0 Aus der Translations-Invarianz der Hamming-Metrik folgt: Lemma: Sei C ein linearer Code. Dann sind sein Minimalgewicht und Minimalabstand gleich. e linearer Codes Im Vortrag Grundbegriffe der Codierungstheorie wurden bereits einige e von Codes genannt, die zu den linearen Codes gehören. e hierfür waren der Paritätscheck-Code und der ISBN 10-Code. Beide dieser Codes gehören zu den sogenannten Kontrollcodes, da sie zur Fehlerüberprüfung sogenannte Kontrollgleichungen verwenden. Ein Kontrollcode lässt sich dabei allgemein folgendermaßen definieren: Ein linearer Kontrollcode ist ein Code der Form C={(c,,c n ) K n : λ i i c i =0} mit gewissen λ,,λ n K n. 1

2 e aus Grundbegriffe der Codierungstheorie 1) Paritätscheck-Code Beim Paritätscheck-Code wird dem Datenwort jeweils ein weiteres Bit angehängt, sodass die Anzahl der Einsen immer wieder gerade wird. So werden die Bits wie folgt angehängt: Ein Paritätscheck-Code C lässt sich daher wie folgt definieren: C :={(c, c n ) c i ϵ K, n i= c i =0} Verwendung findet der Paritätscheck-Code in Computernetzwerken zur Erkennung einer ungeraden Anzahl von Fehlern bei der Übertragung, da genau dann die n Kontrollgleichung ( =0) nicht mehr erfüllt ist. i= c i 2) Der ISBN 10-Code Die Kontrollgleichung des ISBN 10 lautete wie folgt: 10c +9c + +c 9 +c 0 mod 11, wobei K=Z/ Z und c,,c 9 ϵ Z/ Z und c ϵ K Der ISBN10-Code ist eine Teilmenge des linearen Codes C :={(c,,c ) c i ϵ K, i= i c i mod } Sowohl der Paritätscheck-Code als auch der ISBN 10-Code sind jeweils 1- fehlererkennend, jedoch 0-fehlerkorrigierend. 3) Ein weiteres, welches noch nicht vorgestellt wurde, ist der ebenfalls zu den Kontrollcodes gehörende EAN 13-Code (seit 2009 vom GTIN Global Trading Item Number abgelöst), der sich folgendermaßen definieren lässt. Sei dazu C ein EAN13-Code C :={(c,,c ) c i ϵ Z, c +3c +c + +c +c 0 mod 10} (c,,c ) bezeichnet hierbei die Folge der 13 Ziffern des Codes. Wie man erkennt, berechnet sich der EAN 13-Code, indem man die Summe aller Folgenglieder errechnet, wobei die Glieder mit geraden Koeffizienten jeweils noch mit 3 multipliziert werden. Die letzte Ziffer, die Prüfziffer, ist dabei jene Zahl für die der Code modulo 10 null ergibt. EAN 13 Code: Welchen Wert muss nun c haben, damit daraus ein korrekter EAN13-Code wird? Laut Definition errechnet man die Prüfziffer nun durch die Gleichung c 0 mod c mod Als Prüfziffer ergibt sich also die Ziffer 7, sodass das Codewort lautet:

3 Im Gegensatz zu den beiden Kontrollcodes zuvor ist der EAN 13-Code kein linearer Code, da es sich durch das Rechnen im Z nicht mehr um einen Körper, sondern um einen Ring handelt. Die Bedingung des Vektorraums ist also nicht gegeben, somit ist der Code nicht linear. 2) Wie werden lineare Codes erzeugt? Wie anfangs erwähnt handelt es sich bei linearen Codes um Unterräume des K n, welche dementsprechend immer eine Basis besitzen. Schreibt man diese Basisvektoren als Zeilen einer Matrix, so nennt man diese Matrix eine Generatormatrix des Codes C. Ein linearer Code wird nun erzeugt, indem man ein Wort mit der Generatormatrix multipliziert. Definition 2.1 (Generatormatrix) Ist C ein [n,k,d]-code über einem Körper K, so nennt man eine k n Matrix G eine Generatormatrix für C, falls C=K k G={(u,,u k ) G u i ϵk} ist, also die Zeilen von G eine Basis von C bilden. Sei G=( ) eine Generatormatrix. Da die Zeilen von G die Basisvektoren des aufgespannten Unterraums bilden, besteht unser Code also aus dem Erzeugnis der drei Zeilenvektoren. Das bedeutet jedes Element aus unserem Code lässt sich schreiben als eine Linearkombination der Form a +b +c, ( ) ( ) ( ) wobei beispielsweise bei einem unserer binären Codes a,b,c ϵ {0,1} wäre. Da die Zeilen von G eine Basis von C bilden, und eine Basis nicht eindeutig ist, ist auch eine Generatormatrix nicht eindeutig. Eine Generatormatrix kann auch mittels elementarer Zeilenund Spaltenvertauschungen so verändert werden, dass sie eine besonders gut handhabbare Generatormatrix für einen äquivalenten Code ergibt, was im Vortrag e linearer Codes näher erläutert wird. Codieren wir nun zur Übung ein Datenwort x= (1010) mittels Matrixmultiplikation mit einer gegebenen Generatormatrix G = ( ) Übungsaufgabe: Codiere das Wort (1100). x G =(1010) ( ) = ( ) 3

4 3) Wie funktioniert die Fehlerüberprüfung bei linearen Codes? Während ein linearer Code mittels einer Generatormatrix erzeugt wird, geschieht die Fehlerüberprüfung mit Hilfe einer Kontrollmatrix H. Jeder lineare Code besitzt eine solche Matrix. Ist cϵc dabei tatsächlich ein Codewort, so ist das Produkt der Kontrollmatrix mit dem transponierten Element c T gleich null. Die Kontrollmatrix wird wie folgt definiert: Definition 3.1 (Kontrollmatrix) Sei C ein Code der Länge n und Dimension k über dem Körper K. Ist k<n, so ist eine (n-k) n Matrix H eine Kontrollmatrix für C, falls C={u uϵk n : H u T =0} ist. Kontrollieren wir nun unser zuvor konstruiertes Codewort ( ) mit der Kontrollmatrix H=( ) ( ) =( ) die Gleichung ist erfüllt, also handelt es sich um ein Codewort. ( ) Übungsaufgabe: Überprüfe mit Hilfe der Kontrollmatrix, dass das zu vor konstruierte Codewort ( ) keinen Fehler enthält. Eine weitere Herangehensweise, die Kontrollmatrix zu definieren, ist über die dualen Codes. Definition 3.2 (dualer Code C ) Sei C ein linearer [n,k,d]-code über einem endlichen Körper K und, das Skalarprodukt auf K n, also x,,x n ),(y,,y n = x y + +x n y n. Dann ist C ={vϵk n v,c= cϵc} der duale Code zu C. Satz: H ist Kontrollmatrix von C genau dann, wenn H die Generatormatrix des zu C dualen Codes C ist. Beweis (nach Willem): Sei H eine Kontrollmatrix für C vom Rang n-k. Es gilt dim(c )= n-dim(c)=n-k=rg H. Da offenbar die Zeilen von H in C liegen, bilden die Zeilen von H eine Basis von C, das heißt H ist eine Erzeugermatrix für C. Die Umkehrung folgt ähnlich. Wann ist H also nun eine Kontrollmatrix zum Code C? Sei dazu G eine Generatormatrix von C und (b,,b k ) eine Basis von C. So lässt sich G auch b. schreiben als G=( ). b k Offensichtlich ist eine notwendige Bedingung für eine Kontrollmatrix H, dass H b i T =0 für alle i=,,k da insbesondere b,,b k ϵc H G T =0 4

5 Mit Satz 1 folgt weiter, dass H genau dann eine Kontrollmatrix für C ist, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: 1) H hat n-k Zeilen 2) Die Zeilen sind linear unabhängig 3) Es gilt H G T Hamming-Codes: Widmen wir uns abschließend noch einer besonderen Familie linearer Codes. Die im Jahre 1950 von Richard Hamming publizierten Hamming-Codes können durch das Einsetzen mehrerer Paritätsbits bis zu zwei Fehler erkennen und einen Fehler sicher korrigieren. Definition 3.3 (Hamming-Codes) Es sei k eine natürliche Zahl und K ein endlicher Körper mit K =q. Der bis auf Äquivalenz eindeutig bestimmte lineare Code mit Kontrollmatrix M heißt Hamming-Code Ham q k. Seine Parameter sind [n, n k, ] q mit n= qk q. Die Matrix M wird dabei folgendermaßen konstruiert. Sei k eine natürliche Zahl und K ein endlicher Körper mit K =q. Man wähle willkürlich n verschiedene Vektoren aus dem Vektorraum K k und schreibe sie jeweils als Spalten zu einer Matrix. Dabei sollte ein Vektor kein Vielfaches eines anderen der Vektoren sein und es gilt v i für alle i=,,n. Man konstruiert so eine Matrix M=(v,, v n mit k Zeilen und n Spalten. Die Reihenfolge der Spalten ist dabei offenbar zufällig. Da man für jedes v i auch ein von null verschiedenes Vielfaches av i, wobei 0 a K, hätte wählen können, gibt es für jede Spalte q-1 weitere Möglichkeiten. Ein Vielfaches jedes Vektors 0 v K k steht in genau einer der Spalten von M. Demnach ist q k -1= K k \{,,} = n und somit q n=qk. Die k Zeilen der Matrix M sind linear unabhängig. q Anhand eines s soll nun erläutert werden, wie Hamming-Codes Fehler korrigieren. Dabei überprüfen wir das 8-Bit Datenwort und setzen jeweils Paritätsbits an der Stelle i für i=0,1,2,3. P1 P2 1 P P Um nun die Paritätsbits zu berechnen, bilden wir in Abhängigkeit der Koeffizienten der jeweiligen Paritätsbits die Ziffernfolge, indem wir für Paritätsbit Pn bei Pn beginnen und n Stellen notieren, n Stellen überspringen, wieder n Stellen notieren, bis wir am Ende des Codes angelangt sind. Die Anzahl der Einsen zeigt uns dann, welchen Wert das jeweilige Paritätsbit annehmen muss. Praktisch sehen die Folgen dann wie folgt aus: P1: P P1=1, da es ansonsten eine ungerade Anzahl an Einsen gibt P2: P P2=0 P4: P P4=1 P8: P P8=1 So ergibt sich folgendes Hamming-Codewort: Angenommen, an Stelle 5 hat sich nun ein Fehler eingeschlichen. Unser Hamming-Code habe also nun die Form

6 Überprüfe den Code nun mittels der Paritätsbits. Die Ziffernfolge lässt sich dabei nach demselben Schema schreiben wie zuvor bei der Berechnung der Paritätsbits. Somit lässt sich dann leicht erkennen, ob ein Paritätsbit jeweils den korrekten Wert hat. P1: das erste Bit (P1) müsste 0 sein, da die Anzahl der Einsen ungerade ist P2: P2 ist offenbar korrekt P4: P4 müsste wieder 0 sein, hier liegt also auch ein Fehler vor P8: P8 ist korrekt Sobald ein Paritätsbit nicht korrekt ist, liegt in dem Hamming-Code ein Fehler vor. Um den Fehler nun zu korrigieren, müssen wir die fehlerhafte Stelle ermitteln. Dazu betrachtet man jene Stellen, welche offensichtlich korrekt zu sein scheinen. In diesem Fall sind die Folgen P2 und P8 jeweils korrekt, die Stellen 2,4,6,8,9,10,11,12 kommen also nicht als Fehler in Frage. Wir können davon ausgehen, dass die Paritätsbit P1 und P4 ebenfalls korrekt sind, da wir diese ja selbst berechnet haben. Somit ergibt sich als einzige Möglichkeit die Stelle 5 als fehlerhaftes Bit. So kann der Fehler korrigiert werden. Übungsaufgabe: Berechne die Paritätsbits des Datenworts und prüfe, ob sich das Ausschlussverfahren erfolgreich anwenden lässt, wenn an einer beliebig wählbaren Stelle ein Bit nicht korrekt ist. 6

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