Tutorium 23 Grundbegriffe der Informatik (6. Sitzung)

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1 Tutorium 23 Grundbegriffe der Informatik (6. Sitzung) Tutor: Felix Stahlberg SOFTWARE DESIGN AND QUALITY GROUP Source: pixelio.de KIT The cooperation of Forschungszentrum Karlsruhe GmbH and Universität Karlsruhe (TH)

2 Agenda - 6. Sitzung Anmerkungen zu den Übungsblättern Homomorphismen Huffman-Codierungen Graphen

3 Abschreiben Sehr gute Idee: Lerngruppen Halbwegs schlechte Idee: Abschreiben Geht nicht in der Klausur Sehr schlechte Idee: gedankenlos Abschreiben Geht nicht in der Klausur Kein Lerneffekt

4 Abschreiben (Neue Policy) Halbwegs schlechte Idee: Abschreiben Wenn offensichtlich : < die Hälfte der Punkte Sehr schlechte Idee: gedankenlos Abschreiben Wenn offensichtlich : 0 Punkte

5 Formulierung der Induktionsvoraussetzung Sei n N 0 beliebig aber fest und gelte ist nicht nur Schikane! FALSCHE Alternativen aus den Übungsblättern: Für alle n N 0 gilt Behauptung im Beweis benutzt. Negativbeispiel: Zeige per Induktion: Für alle n N 0 gilt: 3n=5n IA: n=0: 4*0=5*0=0 Korrekt. IV: Für alle n N 0 gilt: 3n=5n IS: Zeige Behauptung für n+1. Sei m:=n+1 IV gilt dann insbesondere für m. Also: 3(n+1)=3m=5m=5(n+1)

6 Formulierung der Induktionsvoraussetzung Sei n N 0 beliebig aber fest und gelte ist nicht nur Schikane! FALSCHE Alternativen aus den Übungsblättern: Es gibt ein n N 0 für das gilt IV damit zu schwach Negativbeispiel: Zeige per Induktion: Alle n N 0 sind kleiner als 10. IA: n=0: 0<10 Korrekt. IV: Es gibt ein n N 0, das kleiner als 10 ist IS: Zeige: n+1 ist kleiner als 10. Sei z.b. n=5. Dann ist n+1=6<10 und die Behauptung gilt auch für n

7 Agenda - 6. Sitzung Anmerkungen zu den Übungsblättern Homomorphismen Huffman-Codierungen Graphen

8 Homomorphismen (1) Eine Übersetzung ist eine Abbildung f: L A L B, die die Bedeutung erhält (L A, L B seien Sprachen) Legalität Lesbarkeit Verschlüsselung Kompression Fehlererkennung/Fehlerkorrektur Eine injektive Übersetzung heißt Codierung Die Menge *f(w) w L A + (Bildmenge) heißt dann Code Deren Elemente Codewörter heißen

9 Homomorphismen (2) Seien A und B Alphabete und eine : A B Abbildung. Definiere zu die Funktion : A B mit ε = ε w A : x A: wx = w (x) ist dann ein Homomorphismus heißt ε frei gdw. x A: (x) ε heißt präfixfrei gdw. x, y A: x ist kein Präfix von (y) Manchmal schreibt man auch einfach statt (Warum?)

10 Homomorphismen (Beispiel) Sei a = 001, b = 1101 Berechne (bba) ε = ε w A : x A: wx = w (x)

11 Homomorphismen (Beispiel - ε Freiheit) Sei a = 001, b = ε Was ist w, wenn w = ? Genau zwei a, beliebig viele b an beliebiger Stelle => Information geht verloren ε = ε w A : x A: wx = w (x) heißt ε frei gdw. x A: (x) ε

12 Homomorphismen (Beispiel - Präfixfreiheit) Sei a = 001, b = 1101 => h ist präfixfrei Sei a = 01, b = 011 => h ist nicht präfixfrei Ist das ein Problem in diesem Fall? Gibt es eine Umkehrabbildung? Sei a = 01, b = 010, c = 1 => h ist nicht präfixfrei Problem: aa = (bc) = 0101 => Information geht verloren ε = ε w A : x A: wx = w (x) heißt präfixfrei gdw. x, y A: x ist kein Präfix von (y)

13 Homomorphismen (Abschluss) Formalisiere Information geht verloren nicht injektiv Präfixfreiheit garantiert, wenn alle Codewörter gleich lang und injektiv Beispiel ASCII Nicht unbedingt die optimale Herangehensweise

14 Agenda - 6. Sitzung Anmerkungen zu den Übungsblättern Homomorphismen Huffman-Codierungen Graphen

15 Huffman-Codierung (Motivation) David A. Huffman (August 9, 1925 October 7, 1999) Pionier der Informatik "My products are my students." Huffman-Kodierung Anwendung fast in Allem, was mit Kompression zu tun hat Kompressionsverfahren gzip, bzip2 Fax, Modems, Computer-Netzwerke, HDTV Optimal für Sequenzen voneinander (statistisch) unabhängiger Symbole (möglichst kurze Codewörter) präfixfrei

16 Huffman-Codierung (Beispiel) Kodiere w = deedbeef als Wort über {0,1} Primitiver Ansatz Zum Beispiel h(b) = 00, h(d) = 01, h(e) = 10, h(f) = 11 => h(w) = => h(w) =

17 Huffman-Codierung (Beispiel) Kodiere w = deedbeef als Wort über {0,1} Hufmancodierung Symbol b 1 f 1 d 2 e 4 h(b) = 110, h(f) = 111, h(d) = 10, h(e) = 0 Häufigkeit => h(w) = => h(w) = 14 e,4 d,2 b,1 f,

18 Huffman-Codierung (Beispiel) Kodiere w = dcaababddabb als Wort über {0,1} Hufmancodierung 12 0 Symbol Häufigkeit a 4 b 4 c 1 1 d a,4 b,4 c,1 d,3 h(a) = 00, h(b) = 01, h(c) = 10, h(d) = 11 => h(w) = => h(w) = 24 ( = w *2 Warum?)

19 Huffman-Codierung (Beispiel) Kodiere w = caabdacdab als Wort über {0,1} mit Hufmancodierung Symbol a 4 b 2 c 2 d 2 Häufigkeit

20 Agenda - 6. Sitzung Anmerkungen zu den Übungsblättern Homomorphismen Huffman-Codierungen Graphen

21 Graphen (Motivation) Gaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaanz wichtig in der Informatik Reflex des Informatikers: Modelliere Problem als Graphen Beispiele von Problemen, die weniger offensichtlich als Graph modelliert/auf Graphen reduziert werden können Stundenplanproblem Färbungszahl von Landkarten Positionierungsproblem von Geldautomaten Hochintegrierte Schaltkreise (Planarität) (letzendlich) Modellierung objektorientierter Software- oder Prozessentwürfen (UML) uvm

22 Gerichtete Graphen (1) Knoten Eingangsgrad: 2 Ausgangsgrad: 2 Eingangsgrad: 1 Ausgangsgrad: Kante 2 Schlinge Gerichteter Graph ist ein 2-Tupel G = (V,E) mit V ist Knotenmenge und E ist Kantenmenge

23 Gerichtete Graphen (2) Pfad (3, 2, 0, 1)

24 Gerichtete Graphen (3) Pfad (0, 3, 3, 3)

25 Gerichtete Graphen (4) Zyklus (2, 0, 3, 2)

26 Gerichtete Graphen (Baum) Wurzel r V: v V: genau ein Pfad von r nac v Innere Knoten Blätter

27 Gerichtete Bäume (Alternative Definitionen?) r V: v V: genau ein Pfad von r nac v in G mit G=(V,E) ist Graph ist äquivalent zu G ist zyklenfrei? G ist zyklenfrei und weder transitiv, noch symmetrisch, noch reflexiv? Die Eingangsgrade aller Knoten in V sind kleiner oder gleich 1 Die Wurzel hat Eingangsgrad 0, alle anderen Eingangsgrad gleich 1 Zusätzlich G noch zyklenfrei? Scheint korrekt zu sein

28 Fragen?

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