Flüsse, Schnitte, bipartite Graphen
|
|
|
- Innozenz Kerner
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Flüsse, chnitte, bipartite Graphen Matthias Hoffmann Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48
2 Übersicht Einführung Beispiel Definitionen Ford-Fulkerson-Methode Beispiel Aufwand 3 Maximaler Fluss bei minimalen Kosten 4 Minimaler chnitt 5 Reduktionen 6 Bipartites Matching
3 Übersicht Einführung Beispiel Definitionen Ford-Fulkerson-Methode Beispiel Aufwand 3 Maximaler Fluss bei minimalen Kosten 4 Minimaler chnitt 5 Reduktionen 6 Bipartites Matching
4 Verschicken von Daten im Internet A 3 Gb/s 3 Gb/s Gb/s B 5 Gb/s C Gb/s 4 Gb/s 3 Gb/s D Gb/s E Abbildung: Aufbau des Netzwerkes Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48
5 Verschicken von Daten im Internet A / 3 / 3 / B 0 / 5 C / / 4 / D / E Abbildung: Optimale Lösung Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48
6 Übersicht Einführung Beispiel Definitionen Ford-Fulkerson-Methode Beispiel Aufwand 3 Maximaler Fluss bei minimalen Kosten 4 Minimaler chnitt 5 Reduktionen 6 Bipartites Matching
7 Definitionen I Netzwerk gerichteter Graph G = (V, E) Kapazitätsfunktion c(u, v) > 0 für jede Kante (u, v) E Nicht vorhandene Kante hat Kapazität 0 zwei spezielle Knoten: uelle (ource) und enke (ink) jeder andere Knoten v liegt auf Weg v Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48
8 Definitionen II Fluss Funktion, die Kanten einen Wert zuordnet f (u, v) Beschränkungen: Kapazitätsbeschränkung: Keiner Kante darf ein Wert zugeordnet werden, der höher als ihre Kapazität ist Asymmetrie: Für eine Kante (u, v) E gilt: f (u, v) = f (v, u) Flusserhaltung: Bei einem Knoten muss der Zufluss gleich dem Abfluss sein. (Ausnahme: uelle und enke) Ziel: Maximaler Fluss f = v V f (q, v) Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48
9 Übersicht Einführung Beispiel Definitionen Ford-Fulkerson-Methode Beispiel Aufwand 3 Maximaler Fluss bei minimalen Kosten 4 Minimaler chnitt 5 Reduktionen 6 Bipartites Matching
10 Algorithmisches chema Initialisiere Fluss f mit 0 while (es gibt einen erweiterter Weg p) do 3 erweitere Fluss f entlang p 4 return f Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48
11 Restnetzwerk Restnetzwerk Kanten, deren Kapazität nicht ausgeschöpft ist. Kapazität der Kante ist Restkapazität: c r (u, v) = c(u, v) f (u, v) Abbildung: Kanten im Restnetzwerk 0 / 3 3 / 3 0 / 0 3 / 3 3 Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48
12 Erweiternde Wege Weg im Restnetzwerk von uelle zu enke über diesen Weg kann der Fluss verstärkt werden Fluss wird entlang des gefundenen Weges um die kleinste Restkapazität im erweiternden Weg erhöht Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48
13 . Iteration: Erstellen des Restnetzwerk 0 / 3 A 0 / 3 0 / B 0 / 4 0 / 5 D 0 / C 0 / E 0 / 3 A 3 B 5 C 4 D E Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48
14 . Iteration 3 A 3 B 5 C 4 D E A 0 / 3 0 / 3 / B / 5 C / 0 / 4 D E 0 / 0 / Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48
15 . Iteration: Erstellen des Restnetzwerk A 0 / 3 0 / 3 / B / 5 C / 0 / 4 D E 0 / 0 / 3 A 3 B 4 C 4 D Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48 E
16 . Iteration 3 A 3 B 4 C 4 D E / 3 A / 3 / B / 4 0 / 5 D / C / E / Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48
17 3. Iteration: Erstellen des Restnetzwerk A B 5 C 3 D E Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48
18 3. Iteration A B 5 C 3 D E Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48
19 Ergebnis A / 3 / 3 / B 0 / 5 C / / 4 / D / E Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48
20 Ergebnis: Erstellen des Restnetzwerk A B 5 C 3 D E Abbildung: Kein erweiternder Weg kann gefunden werden Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48
21 Übersicht Einführung Beispiel Definitionen Ford-Fulkerson-Methode Beispiel Aufwand 3 Maximaler Fluss bei minimalen Kosten 4 Minimaler chnitt 5 Reduktionen 6 Bipartites Matching
22 Ford-Fulkerson(G, q, s) for alle Kanten (u, v) E O(E) do f [u, v] 0 3 f [v, u] 0 4 while es existiert ein Pfad p von O( f ) nach im Restnetzwerk G f O(E) 5 do 6 c f (p) min{c f (u, v) : (u, v) gehört zu p} 7 for alle Kanten (u, v) von p 8 do f [u, v] f [u, v] + c f (p) 9 f [v, u] f [v, u] Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48
23 Finden des erweiternden Weges Tiefensuche: O(E) O( f ) Edmonds-Karp-trategie: Mittels Breitensuche wird der Weg mit den wenigsten Knoten gesucht O(V E ) Verbesserung durch Dinic: Erstellen eines geschichteten Netzwerk O( V E ) Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48
24 Übersicht Einführung Beispiel Definitionen Ford-Fulkerson-Methode Beispiel Aufwand 3 Maximaler Fluss bei minimalen Kosten 4 Minimaler chnitt 5 Reduktionen 6 Bipartites Matching
25 Maximaler Fluss bei minimalen Kosten Jede Kante besitzt zusätzlich Kosten, die angeben, wie teuer es ist, eine Einheit Fluss über diese Kante zu leiten. A / 3 / 0 / 3 / 0 / / 0 B 0 / 5 /0 C / /50 0 / /0 / 4 / 30 / / 0 D / /30 E Abbildung: Maximaler Fluss mit Kosten 40 Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48
26 Maximaler Fluss bei minimalen Kosten uche im Restnetzwerk Möglichkeit Kosten zu senken: uche nach Zyklen mit negativen Kosten: A / -0 / 0 / 0 / -0 / -0 B 5 / 0 C / / 30 / -30 / 0 / -0 / 0 D / -30 / 30 E Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48
27 Maximaler Fluss bei minimalen Kosten Kreis mit Kosten = 0 Wenn Fluss hier im Kreis geleitet wird, verringern sich die Kosten. Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48 uche im Restnetzwerk Möglichkeit Kosten zu senken: uche nach Zyklen mit negativen Kosten: A / -0 / 0 / 0 / -0 / -0 B 5 / 0 C / / 30 / -30 / 0 / -0 / 0 D / -30 / 30 E
28 Maximaler Fluss bei minimalen Kosten A / 3 / 0 / 3 / 0 / / 0 B / 5 /0 C / /50 / /0 0 / 4 / 30 / / 0 D 0 / /30 E Abbildung: Maximaler Fluss mit Kosten 0 Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48
29 Übersicht Einführung Beispiel Definitionen Ford-Fulkerson-Methode Beispiel Aufwand 3 Maximaler Fluss bei minimalen Kosten 4 Minimaler chnitt 5 Reduktionen 6 Bipartites Matching
30 chnitte q-s-chnitt: Aufteilung des Graphen, wobei uelle und enke in verschiedenen Teilen sind Minimaler chnitt: chnitt, bei dem die Gesamtkapazität über den chnitt minimal ist. A 3 3 B 5 C 4 3 D E Abbildung: chnitt mit Wert Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48
31 Max-Flow-Min-Cut-Theorem Der minimale chnitt in einem Netzwerk hat denselben Wert wie der maximale Fluss A 3 3 B 5 C 4 3 D E Abbildung: chnitt mit Wert 3 Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48
32 Algorithmus MinCut(G, q, s) Berechne maximalen Fluss tarte Tiefensuche von q im Restnetzwerk 3 A von q erreichbare Knoten 4 return A, G \ A A B 3 5 D C E Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48
33 Algorithmus MinCut(G, q, s) Berechne maximalen Fluss tarte Tiefensuche von q im Restnetzwerk 3 A von q erreichbare Knoten 4 return A, G \ A A B 3 5 D C E Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48
34 Übersicht Einführung Beispiel Definitionen Ford-Fulkerson-Methode Beispiel Aufwand 3 Maximaler Fluss bei minimalen Kosten 4 Minimaler chnitt 5 Reduktionen 6 Bipartites Matching
35 Reduktionen Oft ergeben sich aus Problemstellungen keine normalen Flüsse: ungerichtete Kanten Mehrere uellen / enken Knoten mit Kapazitätsbeschränkung Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48
36 ungerichtete Kanten 5 A B A B 5 5 Lösung: Füge zwei gerichtete Kanten mit derselben Kapazität ein Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48
37 mehrere uellen/enken 3 3 Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48
38 mehrere uellen/enken ' 3 3 ' Lösung: Füge neue uelle bzw. enke ein. Verbinde sie mit den ursprünglichen über Kanten mit Kapazität Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48
39 Knoten mit Kapazitätsbeschränkung Durch den Knoten kann höchstens ein Fluss der Größe x fließen 5 C 5 C C Lösung: Teile den Knoten in Eingangs- und Ausgangsknoten und füge dazwischen eine Kante mit Kapazität x ein. Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48
40 Übersicht Einführung Beispiel Definitionen Ford-Fulkerson-Methode Beispiel Aufwand 3 Maximaler Fluss bei minimalen Kosten 4 Minimaler chnitt 5 Reduktionen 6 Bipartites Matching
41 Motivation Für die chlüsselqualifikation Politisch korrekter Umgang mit dem anderen Geschlecht (5 ECT) sollen sich Zweiergruppen unterschiedlichen Geschlechts zuammenfinden. Franz würde gerne mit Anja, Beatrix, Claudia oder Dora, Heiner mit Beatrix, Georg mit Beatrix oder Claudia, Michael mit Claudia oder Beatrix und Torsten mit Dora oder Elke in eine Gruppe gehen. (selbstverständlich auch vice versa) Kann der Leiter der Lehrveranstaltung alle Wünsche erfüllen? Wenn nein, wie weit kann er sie erfüllen? Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48
42 Bipartiter Graph Problem kann als Bipartiter Graph dargestellt werden. Franz Anja Heiner Beatrix Georg Claudia Michael Dora Torsten Elke Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48
43 Flussproblem Ziel: Maximales Bipartites Matching. Vorgehensweise: Füge uelle und enke ein, die mit je mit allen Knoten einer Partition verbunden sind. Ersetze ungerichtete Kanten durch gerichtete Kanten mit Kapazität. Franz Anja Heiner Beatrix Georg Michael Claudia Dora Torsten Elke Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48
44 Flussproblem Ziel: Maximales Bipartites Matching. Vorgehensweise: Füge uelle und enke ein, die mit je mit allen Knoten einer Partition verbunden sind. Ersetze ungerichtete Kanten durch gerichtete Kanten mit Kapazität. Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48
45 Lösen des Flussproblems Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48
46 Lösen des Flussproblems Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48
47 Zusammenfassung Flussprobleme können auf Netzwerkgraphen abgebildet und berechnet werden Der minimale chnitt und der maximale Fluss haben den selben Wert Komplizierte Netzwerkgraphen können auf reguläre zurückgeführt werden Maximales bipartites Matching kann mittels Flussalgorithmen berechnet werden Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48
48 uellen Cormen, Leiserson, Rivest, tein: Algorithmen - eine Einführung Jungnickel: Graphen, Netzwerke und Algorithmen Vortrag Flüsse, chnitte und bipartite Abbildungen 007, Thomas Fersch Vortrag Flüsse, chnitte, bipartite Graphen 008, Martin Öttinger module=tatic&d=tutorials&d=maxflow Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48
Flüsse, Schnitte, bipartite Graphen
Flüsse, Schnitte, bipartite Graphen Vlad Popa 08.06.2010 Inhaltsverzeihnis 1. Flussnetzwerke und Flüsse 1.1 Ford- Fulkerson 1.2 Edmond Karp 1.3 Dinic 2. Schnitte 3. Maximaler Fluss bei minimalen Kosten
Wiederholung zu Flüssen
Universität Konstanz Methoden der Netzwerkanalyse Fachbereich Informatik & Informationswissenschaft SS 2008 Prof. Dr. Ulrik Brandes / Melanie Badent Wiederholung zu Flüssen Wir untersuchen Flüsse in Netzwerken:
Algorithmen und Datenstrukturen Kapitel 10
Algorithmen und Datenstrukturen Kapitel 10 Flüsse Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 6. Januar 2016 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1/8 Flüsse Graphen Grundlagen Definition
Flüsse, Schnitte, bipartite Graphen. Martin Oettinger
Flüsse, Schnitte, bipartite Graphen Martin Oettinger Übersicht Einführung Algorithmen für maximalen Fluss Preflow-Push Ford-Fulkerson Spezialfall: Maximaler Fluss bei minimalen Kosten Reduktionen Bipartites
Anwendungen von Netzwerkfluss. Wojciech Polcwiartek Institut für Informatik FU Berlin
Anwendungen von Netzwerkfluss Wojciech Polcwiartek Institut für Informatik FU Berlin 13. 01. 2009 Gliederung Einführung Netzwerk, Fluss und Schnitt Max-Flow-Min-Cut Theorem Algorithmen zum Bestimmen vom
KAPITEL 4 FLÜSSE IN NETZWERKEN
KAPITEL 4 FLÜSSE IN NETZWERKEN F. VALLENTIN, A. GUNDERT 1. Das Max-Flow-Min-Cut Theorem Es sei D = (V, A) ein gerichteter Graph, s, t V zwei Knoten. Wir nennen s Quelle und t Senke. Definition 1.1. Eine
4.7 Der Algorithmus von Dinic für maximalen Fluss
4.7 Der Algorithmus von Dinic für maximalen Fluss Wir kennen bereits den Algorithmus von Ford Fulkerson zur Suche nach einem maximalen Fluss in einem Graphen. Wir lernen nun einen Algorithmus für maximalen
Algorithmentheorie. 13 - Maximale Flüsse
Algorithmentheorie 3 - Maximale Flüsse Prof. Dr. S. Albers Prof. Dr. Th. Ottmann . Maximale Flüsse in Netzwerken 5 3 4 7 s 0 5 9 5 9 4 3 4 5 0 3 5 5 t 8 8 Netzwerke und Flüsse N = (V,E,c) gerichtetes Netzwerk
Seminar über aktuelle Forschungsthemen in der Algorithmik, Dozent Prof. Dr. Alt;
Seminar über aktuelle Forschungsthemen in der Algorithmik, Dozent Prof. Dr. Alt Referent Matthias Rost 1 Einleitung Definitionen Maximaler Dynamischer Fluss Algorithmus von Ford-Fulkerson Techniken zur
Algorithmen und Datenstrukturen 2
Algorithmen und Datenstrukturen 2 Sommersemester 2006 5. Vorlesung Peter F. Stadler Universität Leipzig Institut für Informatik studla@bioinf.uni-leipzig.de Wdhlg.: Dijkstra-Algorithmus I Bestimmung der
Flüsse in Netzwerken. Seminar über Algorithmen SoSe 2005. Mike Rohland & Julia Schenk
Flüsse in Netzwerken Seminar über Algorithmen SoSe 2005 Mike Rohland & Julia Schenk Inhalt Einführung Definition Maximale Flüsse Schnitte Restgraphen Zunehmende Wege Max-Fluss Min-Schnitt Theorem Ford-Fulkerson
Formale Grundlagen der Informatik
Formale Grundlagen der Informatik / 2015 1 Die Elemente einer (endlichen) Menge sollen den Elementen einer zweiten, gleichmächtigen Menge zugeordnet werden Problemstellung Bipartite Graphen Zuordnungsprobleme
Grundlagen Datenstrukturen Transitive Hülle Traversierung Kürzeste Wege Spannender Baum Max. Fluss Zuordnungen. 6. Graphen
. Graphen viele praktische (Optimierungs-)Probleme sind als graphentheoretische Probleme formulierbar z.b. in Produktionsplanung, Personaleinsatzplanung,.... Grundlagen gerichteter, ungerichteter und gewichteter
Kapitel 7: Flüsse in Netzwerken und Anwendungen Gliederung der Vorlesung
Gliederung der Vorlesung. Fallstudie Bipartite Graphen. Grundbegriffe. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen. Minimal spannende Bäume. Kürzeste Pfade. Traveling Salesman Problem. Flüsse in Netzwerken
Kombinatorische Optimierung
Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke 1 Henning Meyerhenke: KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu Vorlesung 4 Programm des
Netzwerkfluß. Gegeben ist ein System von Wasserrohren: Die Kapazität jedes Rohres ist 3, 5 oder 8 l/s.
Netzwerkfluß (Folie, Seite 78 im Skript) Gegeben ist ein System von Wasserrohren: Quelle s t Senke Die Kapazität jedes Rohres ist, oder 8 l/s. Frage: Wieviel Wasser kann von der Quelle zur Senke fließen?
Algorithmen und Komplexität Teil 1: Grundlegende Algorithmen
Algorithmen und Komplexität Teil 1: Grundlegende Algorithmen WS 08/09 Friedhelm Meyer auf der Heide Vorlesung 8, 4.11.08 Friedhelm Meyer auf der Heide 1 Organisatorisches Am Dienstag, 11.11., fällt die
Algorithmen zur Berechnung von Matchings
Algorithmen zur Berechnung von Matchings Berthold Vöcking 1 Einleitung Matchingprobleme sind Zuordnungsprobleme. Es geht darum z.b. Studierenden Plätze in Seminaren zuzuordnen, Bewerber auf freie Stellen
ADS: Algorithmen und Datenstrukturen 2
ADS: Algorithmen und Datenstrukturen Der Tragödie IV. Theyl Peter F. Stadler & Konstantin Klemm Bioinformatics Group, Dept. of Computer Science & Interdisciplinary Center for Bioinformatics, University
Felix Brandt, Jan Johannsen. Vorlesung im Wintersemester 2008/09
Felix Brandt, Jan Johannsen Vorlesung im Wintersemester 2008/09 Übersicht Übersicht Definition Ein Matching in G = (V, E) ist eine Menge M E mit e 1 e 2 = für e 1, e 2 M, e 1 e 2 Ein Matching M ist perfekt,
6. Flüsse in Netzwerken Berechnung maximaler Flüsse. dann berechnet der Markierungsalgorithmus für beliebige Kapazitätsfunktionen
6. Flüsse in Netzwerken Berechnung maximaler Flüsse Satz 6.4. Ersetzt man in Algorithmus 6.1 den Schritt 2 durch 2a. Wähle den Knoten, der zuerst in eingefügt wurde. Setze. dann berechnet der arkierungsalgorithmus
Algorithmische Graphentheorie
Algorithmische Graphentheorie Sommersemester 204 4. Vorlesung Matchings / Paarungen Kombinatorische Anwendungen des Max-Flow-Min-Cut-Theorems Prof. Dr. Alexander Wolff 2 Paarungen (Matchings) Def. Sei
6. Übung zur Linearen Optimierung SS08
6 Übung zur Linearen Optimierung SS08 1 Sei G = (V, E) ein schlichter ungerichteter Graph mit n Ecken und m Kanten Für eine Ecke v V heißt die Zahl der Kanten (u, v) E Grad der Ecke (a) Ist die Anzahl
Graphentheorie. Maximale Flüsse. Maximale Flüsse. Maximale Flüsse. Rainer Schrader. 31. Oktober Gliederung. sei G = (V, A) ein gerichteter Graph
Graphentheorie Rainer Schrader Zentrum ür Angewandte Inormatik Köln 31. Oktober 2007 1 / 30 2 / 30 Gliederung maximale Flüsse Schnitte Edmonds-Karp-Variante sei G = (V, A) ein gerichteter Graph sei c eine
Minimal spannende Bäume
http://www.uni-magdeburg.de/harbich/ Minimal spannende Fakultät für Informatik Otto-von-Guericke-Universität 2 Inhalt Definition Wege Untergraphen Kantengewichtete Graphen Minimal spannende Algorithmen
Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen Arbeitsbereich für Algorithmen und Datenstrukturen
Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen Arbeitsbereich für Algorithmen und Datenstrukturen 186.172 Algorithmen und Datenstrukturen 1 VL 4.0 Übungsblatt 4 für die Übung
Effiziente Algorithmen Übung 2 Lösungen
TU Ilmenau, Fakultät für Informatik und Automatisierung FG Komplexitätstheorie und Effiziente Algorithmen Univ.-Prof. Dr. M. Dietzfelbinger, M. Sc. Stefan Walzer https://www.tu-ilmenau.de/iti/lehre/lehre-ws-016017/ea/
Kapitel 1: Flussalgorithmen
Netzwerke und Flüsse Kapitel 1: Flussalgorithmen Ein Flussnetzwerk ist ein gerichteter Graph G = (V, E, q, s, c) mit zwei ausgewählten Knoten q, s V und einer Kapazitätsfunktion c : E N. Die Quelle q hat
6. Flüsse und Zuordnungen
6. Flüsse und Zuordnungen In diesem Kapitel werden Bewertungen von Kanten als maximale Kapazitäten interpretiert, die über solch eine Kante pro Zeiteinheit transportiert werden können. Wir können uns einen
Matching markets Seminar maschinelles Lernen WS 10/11
Matching markets Seminar maschinelles Lernen WS 10/11 08.12.2010 Matching markets Rebekka Gohla 1 Einführung Matching markets ist das erste Kapitel des Themenkomplexes Märkte und strategische Interaktionen
Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen
Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen Dr. Hanjo Täubig Lehrstuhl für Eziente Algorithmen (Prof. Dr. Ernst W. Mayr) Institut für Informatik Technische Universität München Wintersemester 2007/08
3.4 Maximale Flüsse und der Algorithmus von Ford Fulkerson
3.4 Maximale Flüsse und der Algorithmus von Ford Fulkerson Definition 3.4.1 Die Aufgabe, zu jedem Netzwerk N = (s, t, V, E, c o ) mit n = V Knoten und m = E Kanten den Fluß f IR m mit maximalem Wert zu
Das Briefträgerproblem
Das Briefträgerproblem Paul Tabatabai 30. Dezember 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Problemstellung und Modellierung 2 1.1 Problem................................ 2 1.2 Modellierung.............................
Very simple methods for all pairs network flow analysis
Very simple methods for all pairs network flow analysis Tobias Ludes 02.07.07 Inhalt Einführung Algorithmen Modifikation der Gomory-Hu Methode Einführung Nach Gomory-Hu nur n-1 Netzwerk-Fluss- Berechnungen
Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II
Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II Jonathan Hacker 06.06.2016 Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II 06.06.2016 1 / 42 Gliederung Einführung Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite
Systems of Distinct Representatives
Rheinisch-Westfälische Technische Hochschule Aachen Lehr- und Forschungsgebiet Theoretische Informatik Prof. Dr. Peter Rossmanith Systems of Distinct Representatives Seminar: Extremal Combinatorics SS
Maximaler Fluß und minimaler Schnitt. Von Sebastian Thurm sebastian.thurm@student.uni-magedburg.de
Maximaler Fluß und minimaler Schnitt Von Sebastian Thurm sebastian.thurm@student.uni-magedburg.de Maximaler Fluß und minimaler Schnitt Wasist das? Maximaler Fluss Minimaler Schnitt Warumtut man das? Logistische
Gliederung. Kapitel 4. Lokale Suchverfahren. Meta-Heuristiken. Simulated Annealing. Lokale Suchverfahren. Optimierungsalgorithmen
Kapitel Optimierungsalgorithmen Gunnar Klau Institut für Computergraphik und Algorithmen Gliederung Kombinatorische vs. Ganzzahlige Optimierung Exakte Verfahren Branch-and-Bound Schnittebenenverfahren
entheoretische Konzepte und Algorithmen
Sven Oliver Krumke, Hartmut Noitemeier entheoretische Konzepte und Algorithmen Teubner Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 1.1 Routenplanung 1 1.2 Frequenzplanung im Mobilfunk I 1.3 Museumswärter 3 1.4 Das
Proseminar Online Algorithmen, Prof. Dr. Rolf Klein
Proseminar Online Algorithmen, Prof. Dr. Rolf Klein Vortrag von Michael Daumen am 13.12.2000 Thema : Minimum Spanning Tree und 2-Approximation der TSP-Tour Inhalt des Vortrags : 1. genaue Vorstellung des
Kombinatorische Optimierung
Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke 1 Henning Meyerhenke: KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu Vorlesungen 5 und 6 Programm
Lernmodul 2 Graphen. Lernmodul 2: Geoobjekte und ihre Modellierung - Graphen
Folie 1 von 20 Lernmodul 2 Graphen Folie 2 von 20 Graphen Übersicht Motivation Ungerichteter Graph Gerichteter Graph Inzidenz, Adjazenz, Grad Pfad, Zyklus Zusammenhang, Trennende Kante, Trennender Knoten
Effiziente Algorithmen I
H 10. Präsenzaufgabenblatt, Wintersemester 2015/16 Übungstunde am 18.01.2015 Aufgabe Q Ein Reiseveranstalter besitzt ein Flugzeug, das maximal p Personen aufnehmen kann. Der Veranstalter bietet einen Flug
Algorithmen und Datenstrukturen
Algorithmen und Datenstrukturen Datenstrukturen: Anordnung von Daten, z.b. als Liste (d.h. in bestimmter Reihenfolge) Beispiel: alphabetisch sortiertes Wörterbuch... Ei - Eibe - Eidotter... als Baum (d.h.
NP-Vollständigkeit. Krautgartner Martin (9920077) Markgraf Waldomir (9921041) Rattensberger Martin (9921846) Rieder Caroline (0020984)
NP-Vollständigkeit Krautgartner Martin (9920077) Markgraf Waldomir (9921041) Rattensberger Martin (9921846) Rieder Caroline (0020984) 0 Übersicht: Einleitung Einteilung in Klassen Die Klassen P und NP
Kapitel 4: Minimal spannende Bäume Gliederung der Vorlesung
Kapitel : Minimal spannende Bäume Gliederung der Vorlesung. Fallstudie Bipartite Graphen 2. Grundbegriffe. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen. Minimal spannende Bäume. Kürzeste Wege. Traveling
4 Greedy-Algorithmen (gierige Algorithmen)
Greedy-Algorithmen (gierige Algorithmen) Greedy-Algorithmen werden oft für die exakte oder approximative Lösung von Optimierungsproblemen verwendet. Typischerweise konstruiert ein Greedy-Algorithmus eine
Praktikum Planare Graphen
1 Praktikum Planare Graphen Michael Baur, Martin Holzer, Steffen Mecke 10. November 2006 Einleitung Gliederung 2 Grundlagenwissen zu planaren Graphen Themenvorstellung Gruppeneinteilung Planare Graphen
Kapitel 4: Minimale spannende Bäume Gliederung der Vorlesung
Kapitel : Minimale spannende Bäume Gliederung der Vorlesung. Grundbegriffe 2. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen. Kürzeste Wege. Minimale spannende Bäume. Färbungen und Cliquen. Traveling Salesman
Ausarbeitung über den Satz von Menger und den Satz von König
Ausarbeitung über den Satz von Menger und den Satz von König Myriam Ezzedine, 0326943 Anton Ksernofontov, 0327064 Jürgen Platzer, 0025360 Nataliya Sokolovska, 0326991 1. Beweis des Satzes von Menger Bevor
Definition Ein gerichteter Graph G = (V, E) ist ein Graph von geordneten Paaren (u, v) mit u V und v V.
Kapitel 4 Graphenalgorithmen 4.1 Definitionen Definition 4.1.1. Der Graph G = (V, E) ist über die beiden Mengen V und E definiert, wobei V die Menge der Knoten und E die Menge der Kanten in dem Graph ist.
4. Kreis- und Wegeprobleme Abstände in Graphen
4. Kreis- und Wegeprobleme Abstände in Graphen Abstände in Graphen Definition 4.4. Es sei G = (V,E) ein Graph. Der Abstand d(v,w) zweier Knoten v,w V ist die minimale Länge eines Weges von v nach w. Falls
Guten Morgen und Willkommen zur Saalübung!
Guten Morgen und Willkommen zur Saalübung! 1 Wie gewinnt man ein Spiel? Was ist ein Spiel? 2 Verschiedene Spiele Schach, Tic-Tac-Toe, Go Memory Backgammon Poker Nim, Käsekästchen... 3 Einschränkungen Zwei
Kapitel 5: Minimale spannende Bäume Gliederung der Vorlesung
Gliederung der Vorlesung 1. Grundbegriffe 2. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen 3. Kürzeste Wege. Minimale spannende Bäume. Färbungen und Cliquen. Traveling Salesman Problem. Flüsse in Netzwerken
3.1 Konstruktion von minimalen Spannbäumen Es gibt zwei Prinzipien für die Konstruktion von minimalen Spannbäumen (Tarjan): blaue Regel rote Regel
3.1 Konstruktion von minimalen Spannbäumen Es gibt zwei Prinzipien für die Konstruktion von minimalen Spannbäumen (Tarjan): blaue Regel rote Regel EADS 3.1 Konstruktion von minimalen Spannbäumen 16/36
Algorithmische Mathematik
Algorithmische Mathematik Wintersemester 2013 Prof. Dr. Marc Alexander Schweitzer und Dr. Einar Smith Patrick Diehl und Daniel Wissel Übungsblatt 6. Abgabe am 02.12.2013. Aufgabe 1. (Netzwerke und Definitionen)
Verteilen von Bällen auf Urnen
Verteilen von Bällen auf Urnen Szenario: Wir verteilen n Bälle auf m Urnen, d.h. f : B U mit B = {b 1,..., b n } und U = {u 1,..., u m }. Dabei unterscheiden wir alle Kombinationen der folgenden Fälle
Maximale s t-flüsse in Planaren Graphen
Maximale s t-flüsse in Planaren Graphen Vorlesung Algorithmen für planare Graphen June 1, 2015 Ignaz Rutter INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg
9. Übung Algorithmen I
INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK 1 KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft Institut für Theoretische www.kit.edu Informatik Musterlösung
8 Das Flussproblem für Netzwerke
8 Das Flussproblem für Netzwerke 8.1 Netzwerke mit Kapazitätsbeschränkung Definition 15 Ein Netzwerk N = (V, E, γ, q, s) besteht aus einem gerichteten Graph G = (V, E), einer Quelle q V und einer Senke
8. Übung zu Algorithmen I 15. Juni 2016
8. Übung zu Algorithmen I 15. Juni 2016 Lisa Kohl Lisa.Kohl@kit.edu (mit Folien von Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag, Christian Staudt und Christoph Striecks) Nachtrag: Quicksort, alternative
Durchschnitt von Matroiden
Durchschnitt von Matroiden Satz von Edmonds Dany Sattler 18. Januar 2007/ Seminar zur ganzzahligen Optimierung / Wallenfels Definition: Unabhängigkeitssystem Definition: Ein Mengensystem (S, J ) nennt
Routing Algorithmen. Begriffe, Definitionen
Begriffe, Definitionen Routing (aus der Informatik) Wegewahl oder Verkehrslenkung bezeichnet in der Telekommunikation das Festlegen von Wegen für Nachrichtenströme bei der Nachrichtenübermittlung über
1 topologisches Sortieren
Wolfgang Hönig / Andreas Ecke WS 09/0 topologisches Sortieren. Überblick. Solange noch Knoten vorhanden: a) Suche Knoten v, zu dem keine Kante führt (Falls nicht vorhanden keine topologische Sortierung
Graphalgorithmen 2. Oleksiy Rybakov. 3. Juni Betreuer: Tobias Werth, Daniel Brinkers
Graphalgorithmen 2 Oleksiy Rybakov 3. Juni 2015 Betreuer: Tobias Werth, Daniel Brinkers 1 / 40 Inhaltsverzeichnis 1 Minimale Spannbäume und Datenstrukturen 2 Kürzeste Wege 3 Spezielle Graphen 2 / 40 Minimale
Seminarvortag zum Thema Virtual Private Network Design im Rahmen des Seminars Network Design an der Universität Paderborn
Seminarvortag zum Thema Virtual Private Network Design im Rahmen des Seminars Network Design an der Universität Paderborn Ein 5.55-Approximationsalgorithmus für das VPND-Problem Lars Schäfers Inhalt Einführung:
Klausur Informatik-Propädeutikum (Niedermeier/Hartung/Nichterlein, Wintersemester 2012/13)
Berlin, 21. Februar 2013 Name:... Matr.-Nr.:... Klausur Informatik-Propädeutikum (Niedermeier/Hartung/Nichterlein, Wintersemester 2012/13) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Σ Bearbeitungszeit: 90 min. max. Punktezahl:
16. All Pairs Shortest Path (ASPS)
. All Pairs Shortest Path (ASPS) All Pairs Shortest Path (APSP): Eingabe: Gewichteter Graph G=(V,E) Ausgabe: Für jedes Paar von Knoten u,v V die Distanz von u nach v sowie einen kürzesten Weg a b c d e
Algorithmen II Vorlesung am
Algorithmen II Vorlesung am 0..0 Minimale Schnitte in Graphen INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und Algorithmen nationales Forschungszentrum
Netzwerk-Simplex. MinCostFlow als Lineares Programm. 1 of 12 Netzwerksimplex
Netzwerk-Simplex MinCostFlow als Lineares Programm of 2 Netzwerksimplex MinCostFlow geg: gerichteter Graph G, Kapazitäten u R R 0 { }, Bedarfe b V R, Pfeilkosten c R R ges: zulässiger b-fluss f mit minimalen
3. Musterlösung. Problem 1: Boruvka MST
Universität Karlsruhe Algorithmentechnik Fakultät für Informatik WS 06/07 ITI Wagner. Musterlösung Problem : Boruvka MST pt (a) Beweis durch Widerspruch. Sei T MST von G, e die lokal minimale Kante eines
8 Diskrete Optimierung
8 Diskrete Optimierung Definition 8.1. Ein Graph G ist ein Paar (V (G), E(G)) besteh aus einer lichen Menge V (G) von Knoten (oder Ecken) und einer Menge E(G) ( ) V (G) 2 von Kanten. Die Ordnung n(g) von
MafI I: Logik & Diskrete Mathematik (F. Hoffmann)
Lösungen zum 14. und letzten Aufgabenblatt zur Vorlesung MafI I: Logik & Diskrete Mathematik (F. Hoffmann) 1. Ungerichtete Graphen (a) Beschreiben Sie einen Algorithmus, der algorithmisch feststellt, ob
Graphen: Datenstrukturen und Algorithmen
Graphen: Datenstrukturen und Algorithmen Ein Graph G = (V, E) wird durch die Knotenmenge V und die Kantenmenge E repräsentiert. G ist ungerichtet, wenn wir keinen Start- und Zielpunkt der Kanten auszeichnen.
Prüfungsklausur Operations Research,
HTWD, FB Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt Prüfungsklausur Operations Research, 10.7.2008 A Name, Vorname Matr. Nr. Aufgabe 1 : In drei Porzellanwerken W 1, W 2 und W 3 werden Speiseservice hergestellt,
Kürzeste Wege in Graphen. Maurice Duvigneau Otto-von-Guericke Universität Fakultät für Informatik
Kürzeste Wege in Graphen Maurice Duvigneau Otto-von-Guericke Universität Fakultät für Informatik Gliederung Einleitung Definitionen Algorithmus von Dijkstra Bellmann-Ford Algorithmus Floyd-Warshall Algorithmus
Algorithmen zum Lösen von Vertex und Set Cover Instanzen zur Planung von Angriffen auf Netzwerke
Algorithmen zum Lösen von Vertex und Set Cover Instanzen zur Planung von Angriffen auf Netzwerke Steve Göring 13.07.2012 1/18 Gliederung Einleitung Grundlagen Vertex-Cover-Problem Set-Cover-Problem Lösungsalgorithmen
Stefan Schmid TU Berlin & T-Labs, Berlin, Germany. Reduktionen in der Berechenbarkeitstheorie
Stefan Schmid TU Berlin & T-Labs, Berlin, Germany Reduktionen in der Berechenbarkeitstheorie Problem: Wie komme ich von hier zum Hamburger Hbf? 2 Beispiel P1 Wie komme ich von hier zum Hamburger Hbf? kann
2 Tiefen- und Breitensuche
2 Tiefen- und Breitensuche Übersicht 2.1 SpannendeBäume... 21 2.2 WiefindetmanspannendeBäume?... 24 2.3 AnwendungenvonBFSundDFS... 29 2.4 Aufgaben... 33 2.1 Spannende Bäume Vor nicht allzu langer Zeit
WS 2009/10. Diskrete Strukturen
WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910
Überblick. TSP Vergleich der Lösungen. Das Travelling Salesman Problem. Nearest-Neighbor Heuristik für TSP
Kap..1 Heuristiken Kap.. Approximative Algorithmen und Gütegarantien Professor Dr. Lehrstuhl für Algorithm Engineering, LS11 Fakultät für Informatik, TU Dortmund 3. VO DAP SS 008 14. Juli 009 Überblick
Vorlesung Kombinatorische Optimierung (Wintersemester 2016/17)
Vorlesung Kombinatorische Optimierung (Wintersemester 06/7) Kapitel : Flüsse und Zirkulationen Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 4. Oktober 06) Definition. Ein Netzwerk
Einführung in Netzwerk-Fluss-Probleme Das min-cut max-flow Theorem
Einführung in Netzwerk-Fluss-robleme Das min-cut max-flow Theorem Felix Meyner Betreuer: Stephan Günther Hauptseminar Innovative Internet-Technologien und Mobilkommunikation WS 11/12 Lehrstuhl Netzarchitekturen
Kombinatorische Optimierung
Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke 1 Henning Meyerhenke: KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu Vorlesung 1 Programm des
Einführung in Approximative Algorithmen und Parametrisierte Komplexität
Einführung in Approximative Algorithmen und Parametrisierte Komplexität Tobias Lieber 10. Dezember 2010 1 / 16 Grundlegendes Approximationsalgorithmen Parametrisierte Komplexität 2 / 16 Grundlegendes Definition
Datenstrukturen & Algorithmen
Datenstrukturen & Algorithmen Matthias Zwicker Universität Bern Frühling 2010 Übersicht Binäre Suchbäume Einführung und Begriffe Binäre Suchbäume 2 Binäre Suchbäume Datenstruktur für dynamische Mengen
Kapitel 4: Dynamische Datenstrukturen. Algorithmen und Datenstrukturen WS 2012/13. Prof. Dr. Sándor Fekete
Kapitel 4: Dynamische Datenstrukturen Algorithmen und Datenstrukturen WS 2012/13 Prof. Dr. Sándor Fekete 4.4 Binäre Suche Aufgabenstellung: Rate eine Zahl zwischen 100 und 114! Algorithmus 4.1 INPUT: OUTPUT:
Effiziente Algorithmen und Datenstrukturen I. Kapitel 9: Minimale Spannbäume
Effiziente Algorithmen und Datenstrukturen I Kapitel 9: Minimale Spannbäume Christian Scheideler WS 008 19.0.009 Kapitel 9 1 Minimaler Spannbaum Zentrale Frage: Welche Kanten muss ich nehmen, um mit minimalen
Übungsblatt 2 - Lösung
Institut für Theoretische Informatik Lehrstuhl Prof. Dr. D. Wagner Übungsblatt 2 - Lösung Vorlesung Algorithmentechnik im WS 08/09 Ausgabe 04. November 2008 Abgabe 8. November, 5:0 Uhr (im Kasten vor Zimmer
Algorithmen und Datenstrukturen 2
Algorithmen und Datenstrukturen 2 Sommersemester 2007 4. Vorlesung Peter F. Stadler Universität Leipzig Institut für Informatik studla@bioinf.uni-leipzig.de Traversierung Durchlaufen eines Graphen, bei
Matchings (Paarungen) in Graphen. PS Algorithmen auf Graphen SS `06 Steven Birr
Matchings (Paarungen) in Graphen PS Algorithmen auf Graphen SS `06 Steven Birr 1 Gliederung 1) Definitionen und Beispiele 2) Algorithmus des maximalen Matchings 3) Das Personal-Zuteilungsproblem Ungarischer
Maximale s t-flüsse in Planaren Graphen
Maximale s t-flüsse in Planaren Graphen Vorlesung Algorithmen für planare Graphen June 18, 2012 Ignaz Rutter INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg
WS 2013/14. Diskrete Strukturen
WS 2013/14 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws1314
Datenstrukturen und Algorithmen. Christian Sohler FG Algorithmen & Komplexität
Datenstrukturen und Algorithmen Christian Sohler FG Algorithmen & Komplexität 1 Clustering: Partitioniere Objektmenge in Gruppen(Cluster), so dass sich Objekte in einer Gruppe ähnlich sind und Objekte
Literatur. Dominating Set (DS) Dominating Sets in Sensornetzen. Problem Minimum Dominating Set (MDS)
Dominating Set 59 Literatur Dominating Set Grundlagen 60 Dominating Set (DS) M. V. Marathe, H. Breu, H.B. Hunt III, S. S. Ravi, and D. J. Rosenkrantz: Simple Heuristics for Unit Disk Graphs. Networks 25,
Ein Graph ist ein Paar (V,E), wobei V eine Menge von Knoten und E eine Menge von Kanten (v,w) mit v,w in V ist.
Graphen Definition: Ein Graph ist ein Paar (V,E), wobei V eine Menge von Knoten und E eine Menge von Kanten (v,w) mit v,w in V ist. Begriffe: Gerichteter Graph: Alle Kanten haben eine Richtung vom Anfangsknoten
Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse
Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke Institut für Theoretische Informatik 1 KIT Henning Universität desmeyerhenke, Landes Baden-Württemberg Institutund für Theoretische
SS 2005 FAU Erlangen 20.6.2005. Eine Wegeplanungs-Strategie. Jeremy Constantin, Michael Horn, Björn Gmeiner
SS 2005 FAU Erlangen 20.6.2005 Voronoi Diagramm Eine Wegeplanungs-Strategie Jeremy Constantin, Michael Horn, Björn Gmeiner Grundseminar: Umgebungsexploration und Wegefindung mit Robotern am Beispiel "Katz
Polygontriangulierung
Vorlesung Algorithmische Geometrie Polygone triangulieren INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Martin Nöllenburg 03.05.2012 Das Kunstgalerie-Problem Aufgabe: Installiere ein Kamerasystem
Information Systems Engineering Seminar
Information Systems Engineering Seminar Algorithmische Prüfung der Planarität eines Graphen Marcel Stüttgen, 22.10.2012 FH AACHEN UNIVERSITY OF APPLIED SCIENCES 1 Planarität - Definition Ein Graph heißt