Flüsse, Schnitte, bipartite Graphen

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1 Flüsse, chnitte, bipartite Graphen Matthias Hoffmann Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48

2 Übersicht Einführung Beispiel Definitionen Ford-Fulkerson-Methode Beispiel Aufwand 3 Maximaler Fluss bei minimalen Kosten 4 Minimaler chnitt 5 Reduktionen 6 Bipartites Matching

3 Übersicht Einführung Beispiel Definitionen Ford-Fulkerson-Methode Beispiel Aufwand 3 Maximaler Fluss bei minimalen Kosten 4 Minimaler chnitt 5 Reduktionen 6 Bipartites Matching

4 Verschicken von Daten im Internet A 3 Gb/s 3 Gb/s Gb/s B 5 Gb/s C Gb/s 4 Gb/s 3 Gb/s D Gb/s E Abbildung: Aufbau des Netzwerkes Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48

5 Verschicken von Daten im Internet A / 3 / 3 / B 0 / 5 C / / 4 / D / E Abbildung: Optimale Lösung Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48

6 Übersicht Einführung Beispiel Definitionen Ford-Fulkerson-Methode Beispiel Aufwand 3 Maximaler Fluss bei minimalen Kosten 4 Minimaler chnitt 5 Reduktionen 6 Bipartites Matching

7 Definitionen I Netzwerk gerichteter Graph G = (V, E) Kapazitätsfunktion c(u, v) > 0 für jede Kante (u, v) E Nicht vorhandene Kante hat Kapazität 0 zwei spezielle Knoten: uelle (ource) und enke (ink) jeder andere Knoten v liegt auf Weg v Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48

8 Definitionen II Fluss Funktion, die Kanten einen Wert zuordnet f (u, v) Beschränkungen: Kapazitätsbeschränkung: Keiner Kante darf ein Wert zugeordnet werden, der höher als ihre Kapazität ist Asymmetrie: Für eine Kante (u, v) E gilt: f (u, v) = f (v, u) Flusserhaltung: Bei einem Knoten muss der Zufluss gleich dem Abfluss sein. (Ausnahme: uelle und enke) Ziel: Maximaler Fluss f = v V f (q, v) Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48

9 Übersicht Einführung Beispiel Definitionen Ford-Fulkerson-Methode Beispiel Aufwand 3 Maximaler Fluss bei minimalen Kosten 4 Minimaler chnitt 5 Reduktionen 6 Bipartites Matching

10 Algorithmisches chema Initialisiere Fluss f mit 0 while (es gibt einen erweiterter Weg p) do 3 erweitere Fluss f entlang p 4 return f Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48

11 Restnetzwerk Restnetzwerk Kanten, deren Kapazität nicht ausgeschöpft ist. Kapazität der Kante ist Restkapazität: c r (u, v) = c(u, v) f (u, v) Abbildung: Kanten im Restnetzwerk 0 / 3 3 / 3 0 / 0 3 / 3 3 Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48

12 Erweiternde Wege Weg im Restnetzwerk von uelle zu enke über diesen Weg kann der Fluss verstärkt werden Fluss wird entlang des gefundenen Weges um die kleinste Restkapazität im erweiternden Weg erhöht Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48

13 . Iteration: Erstellen des Restnetzwerk 0 / 3 A 0 / 3 0 / B 0 / 4 0 / 5 D 0 / C 0 / E 0 / 3 A 3 B 5 C 4 D E Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48

14 . Iteration 3 A 3 B 5 C 4 D E A 0 / 3 0 / 3 / B / 5 C / 0 / 4 D E 0 / 0 / Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48

15 . Iteration: Erstellen des Restnetzwerk A 0 / 3 0 / 3 / B / 5 C / 0 / 4 D E 0 / 0 / 3 A 3 B 4 C 4 D Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48 E

16 . Iteration 3 A 3 B 4 C 4 D E / 3 A / 3 / B / 4 0 / 5 D / C / E / Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48

17 3. Iteration: Erstellen des Restnetzwerk A B 5 C 3 D E Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48

18 3. Iteration A B 5 C 3 D E Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48

19 Ergebnis A / 3 / 3 / B 0 / 5 C / / 4 / D / E Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48

20 Ergebnis: Erstellen des Restnetzwerk A B 5 C 3 D E Abbildung: Kein erweiternder Weg kann gefunden werden Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48

21 Übersicht Einführung Beispiel Definitionen Ford-Fulkerson-Methode Beispiel Aufwand 3 Maximaler Fluss bei minimalen Kosten 4 Minimaler chnitt 5 Reduktionen 6 Bipartites Matching

22 Ford-Fulkerson(G, q, s) for alle Kanten (u, v) E O(E) do f [u, v] 0 3 f [v, u] 0 4 while es existiert ein Pfad p von O( f ) nach im Restnetzwerk G f O(E) 5 do 6 c f (p) min{c f (u, v) : (u, v) gehört zu p} 7 for alle Kanten (u, v) von p 8 do f [u, v] f [u, v] + c f (p) 9 f [v, u] f [v, u] Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48

23 Finden des erweiternden Weges Tiefensuche: O(E) O( f ) Edmonds-Karp-trategie: Mittels Breitensuche wird der Weg mit den wenigsten Knoten gesucht O(V E ) Verbesserung durch Dinic: Erstellen eines geschichteten Netzwerk O( V E ) Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48

24 Übersicht Einführung Beispiel Definitionen Ford-Fulkerson-Methode Beispiel Aufwand 3 Maximaler Fluss bei minimalen Kosten 4 Minimaler chnitt 5 Reduktionen 6 Bipartites Matching

25 Maximaler Fluss bei minimalen Kosten Jede Kante besitzt zusätzlich Kosten, die angeben, wie teuer es ist, eine Einheit Fluss über diese Kante zu leiten. A / 3 / 0 / 3 / 0 / / 0 B 0 / 5 /0 C / /50 0 / /0 / 4 / 30 / / 0 D / /30 E Abbildung: Maximaler Fluss mit Kosten 40 Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48

26 Maximaler Fluss bei minimalen Kosten uche im Restnetzwerk Möglichkeit Kosten zu senken: uche nach Zyklen mit negativen Kosten: A / -0 / 0 / 0 / -0 / -0 B 5 / 0 C / / 30 / -30 / 0 / -0 / 0 D / -30 / 30 E Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48

27 Maximaler Fluss bei minimalen Kosten Kreis mit Kosten = 0 Wenn Fluss hier im Kreis geleitet wird, verringern sich die Kosten. Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48 uche im Restnetzwerk Möglichkeit Kosten zu senken: uche nach Zyklen mit negativen Kosten: A / -0 / 0 / 0 / -0 / -0 B 5 / 0 C / / 30 / -30 / 0 / -0 / 0 D / -30 / 30 E

28 Maximaler Fluss bei minimalen Kosten A / 3 / 0 / 3 / 0 / / 0 B / 5 /0 C / /50 / /0 0 / 4 / 30 / / 0 D 0 / /30 E Abbildung: Maximaler Fluss mit Kosten 0 Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48

29 Übersicht Einführung Beispiel Definitionen Ford-Fulkerson-Methode Beispiel Aufwand 3 Maximaler Fluss bei minimalen Kosten 4 Minimaler chnitt 5 Reduktionen 6 Bipartites Matching

30 chnitte q-s-chnitt: Aufteilung des Graphen, wobei uelle und enke in verschiedenen Teilen sind Minimaler chnitt: chnitt, bei dem die Gesamtkapazität über den chnitt minimal ist. A 3 3 B 5 C 4 3 D E Abbildung: chnitt mit Wert Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48

31 Max-Flow-Min-Cut-Theorem Der minimale chnitt in einem Netzwerk hat denselben Wert wie der maximale Fluss A 3 3 B 5 C 4 3 D E Abbildung: chnitt mit Wert 3 Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48

32 Algorithmus MinCut(G, q, s) Berechne maximalen Fluss tarte Tiefensuche von q im Restnetzwerk 3 A von q erreichbare Knoten 4 return A, G \ A A B 3 5 D C E Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48

33 Algorithmus MinCut(G, q, s) Berechne maximalen Fluss tarte Tiefensuche von q im Restnetzwerk 3 A von q erreichbare Knoten 4 return A, G \ A A B 3 5 D C E Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48

34 Übersicht Einführung Beispiel Definitionen Ford-Fulkerson-Methode Beispiel Aufwand 3 Maximaler Fluss bei minimalen Kosten 4 Minimaler chnitt 5 Reduktionen 6 Bipartites Matching

35 Reduktionen Oft ergeben sich aus Problemstellungen keine normalen Flüsse: ungerichtete Kanten Mehrere uellen / enken Knoten mit Kapazitätsbeschränkung Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48

36 ungerichtete Kanten 5 A B A B 5 5 Lösung: Füge zwei gerichtete Kanten mit derselben Kapazität ein Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48

37 mehrere uellen/enken 3 3 Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48

38 mehrere uellen/enken ' 3 3 ' Lösung: Füge neue uelle bzw. enke ein. Verbinde sie mit den ursprünglichen über Kanten mit Kapazität Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48

39 Knoten mit Kapazitätsbeschränkung Durch den Knoten kann höchstens ein Fluss der Größe x fließen 5 C 5 C C Lösung: Teile den Knoten in Eingangs- und Ausgangsknoten und füge dazwischen eine Kante mit Kapazität x ein. Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48

40 Übersicht Einführung Beispiel Definitionen Ford-Fulkerson-Methode Beispiel Aufwand 3 Maximaler Fluss bei minimalen Kosten 4 Minimaler chnitt 5 Reduktionen 6 Bipartites Matching

41 Motivation Für die chlüsselqualifikation Politisch korrekter Umgang mit dem anderen Geschlecht (5 ECT) sollen sich Zweiergruppen unterschiedlichen Geschlechts zuammenfinden. Franz würde gerne mit Anja, Beatrix, Claudia oder Dora, Heiner mit Beatrix, Georg mit Beatrix oder Claudia, Michael mit Claudia oder Beatrix und Torsten mit Dora oder Elke in eine Gruppe gehen. (selbstverständlich auch vice versa) Kann der Leiter der Lehrveranstaltung alle Wünsche erfüllen? Wenn nein, wie weit kann er sie erfüllen? Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48

42 Bipartiter Graph Problem kann als Bipartiter Graph dargestellt werden. Franz Anja Heiner Beatrix Georg Claudia Michael Dora Torsten Elke Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48

43 Flussproblem Ziel: Maximales Bipartites Matching. Vorgehensweise: Füge uelle und enke ein, die mit je mit allen Knoten einer Partition verbunden sind. Ersetze ungerichtete Kanten durch gerichtete Kanten mit Kapazität. Franz Anja Heiner Beatrix Georg Michael Claudia Dora Torsten Elke Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48

44 Flussproblem Ziel: Maximales Bipartites Matching. Vorgehensweise: Füge uelle und enke ein, die mit je mit allen Knoten einer Partition verbunden sind. Ersetze ungerichtete Kanten durch gerichtete Kanten mit Kapazität. Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48

45 Lösen des Flussproblems Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48

46 Lösen des Flussproblems Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48

47 Zusammenfassung Flussprobleme können auf Netzwerkgraphen abgebildet und berechnet werden Der minimale chnitt und der maximale Fluss haben den selben Wert Komplizierte Netzwerkgraphen können auf reguläre zurückgeführt werden Maximales bipartites Matching kann mittels Flussalgorithmen berechnet werden Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48

48 uellen Cormen, Leiserson, Rivest, tein: Algorithmen - eine Einführung Jungnickel: Graphen, Netzwerke und Algorithmen Vortrag Flüsse, chnitte und bipartite Abbildungen 007, Thomas Fersch Vortrag Flüsse, chnitte, bipartite Graphen 008, Martin Öttinger module=tatic&d=tutorials&d=maxflow Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen / 48

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