Wasserstoff-Atom Lösung der radialen SGL

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1 Wassestoff-Atom Lösung de adialen SGL Die adiale SGL des H-Atoms lautet: d R d + dr d + ηr + α R ( + 1) R = mit μee η= μ Ze α= e 4 πε Lösungsansatz: 1) Auffinden de Lösung fü (Asymptotische Lösung: R ()) ) Multiplikation von R () mit Potenzeihe 3) Randbedingungen Abbuch de Potenzeihe 1) Asymptotische Lösung : η R () = Be η<

2 ) Ansatz fü allgemeine Lösung de adialen SGL: β R() R () P() B e P() = = β= η q q 1 Unendliche Potenzeihe q= P() = b = b + b + b + d R dr α ( + 1) Einsetzen in adiale SGL: + + ηr + R R = d d d d ( 1) P P()e P( )e P()e β β β α β + β + ( )e + η + P()e = d d d β d β dp() β P()e P()e e = β + = d d d β β dp() d P() β β dp() =β P()e β e + e βe d d d

3 d β dp() β β P()e = e β P()e = d d dp() β e P()e d β = β e β Alle Teme in adiale SGL enthalten als Fakto: Heausküzen dp() d P() dp() dp() β β P() β + β + P() + η η=β d d d β = η d α P() + P() ( + 1) P() = β P() dp() d P() dp() β d d d β + + dp() d β P() β P ( ) + α P() ( + 1) P() =

4 Zusammenfassen und odnen de Teme nach Odnung de Ableitung von P(): β dp( ) d P() dp() dp() β α ( + 1) + β + P() d d d d + P() P() = dp() 1 dp() α β ( + 1) + P() β + = d d q Diffeentialgleichung fü P(); Einsetzen von P() = bq liefet eine sogenannte Rekusionsfomel fü die Koeffizienten de Reihe: q= = β (q + 1) α bq+ 1 b q (q + )(q + 1) ( + 1) 3) Potenzeihe P() divegiet fü (P( ) ) β = β + β e 1 R () konvegiet fü We dominiet? P()!!

5 Damit R() fü muss Potenzeihe nach endliche Anzahl von Temen abbechen, z.b. fü q = p Unendliche Potenzeihe Polynom p-ten Gades β (p + 1) α bp+ 1= bp = (p + )(p + 1) ( + 1) Gleichung efüllt, wenn Zähle de Rekusionsfomel = β (p + 1) α= α α β= = (p + 1) n n = ganze Zahl p =,1,,3 n = 1,,3, 4, (Haupt)Quantenzahl n Zusatzbedingung: Nenne des Ausducks fü b p+1 daf nicht Null weden (p + )(p + 1) > ( + 1)

6 n(n + 1) > ( + 1) n > ode n + 1 Wichtige Beziehung zwischen Quantenzahlen n und Aus α μee β=, β= η, η= und n μ Ze e α= 4 πε Zeμ E = E = n = 1,,3, 4 1 e 1 n (4 πε) n = Bohsches Egebnis fü H-Atom, wenn Z = 1 E ist nu von Quantenzahl n abhängig und nicht von und m ( Entatung de Wellenfunktionen des H-Atoms)

7 Radiale Eigenfunktionen: R() = Ne P () β = βn n, n 1 an Lague sche Polynome a = Bohsche Radius Nomieungsfakto Definition des Bohschen Radius: a = h ε πμ ee β α μ Ze 1 μ e 4π Z= 1 e e n = = = n 4πε n 4π ε μ e π 1 1 n e = = h εh n a Angabe von Abständen in Einheiten des Bohschen Radius: R ( ρ ) = Ne P ( ρ) ρ= ρ/n n, n, a

8 Eigenfunktionen des Wassestoff-Atoms Zusammensetzen von Radial- und Winkelanteil: ψ = N e P ( ρ) P (cos ϑ) e ρ/n m imϕ nm n n, ψ = R ( ρ) θ ( ϑ) Φ ( ϕ) nm n m m m Y ( ϑ, ϕ) Lague- Polynome Legende- Polynome Kugelflächen- Funktionen

9 Quantenzahlen und Entatung de Wellenfunktionen 3 Quantenzahlen: Hauptquantenzahl: n = 1,, 3,.. Nebenquantenzahl: =, 1,,., n-1 n Magnetische Quantenzahl: m = +1, + 1,,, + 1, +,, + 1, + Mögliche Kombinationen von Quantenzahlen: m n = 1 3 = 1 1 m = Jede -Wet + 1 m-wete Jede n-wet =, 1,., n-1 Zustände des H-Atoms mit Quantenzahl n sind n -fach entatet Zahl de zu einem n gehöigen linea unabhängigen Eigenfunktionen: = n 1 = ( + 1) = n

10 Wassestoff-Atom Nomiete adiale Eigenfunktionen R ( ρ) = N P ( ρ) e ρ = a ; a = ρ n n R n Bohsche Radius Laguesches Polynom R /a 3 n, Bitte beachten: Die Angabe de adialen Eigenfunktionen des H-Atoms im Atkins, 4.Aufl., Tab. 1.1, sowie in füheen Auflagen, ist stak fehlehaft. Im Wedle titt in den Tabellen mit den adialen Eigenfunktionen sowie mit den gesamten Eigenfunktionen leide auch 3 ein Fehle auf: es wude de Fakto a vegessen. Dies ist im Gäbeskipt und auf diesen Folien koigiet.

11 Wassestoff-Atom Nomiete Kugelflächenfunktionen Y m ( ϑφ, ) = N P m (cos ϑ) e imφ Y Assoziietes Legende- Polynom

12 Nomiete Eigenfunktionen des H-Atoms ψ ρϑφ ρ ϑ ρ / (,, ) ( ) n m (cos ) im φ nm = Nn Pn e P e 3 ψ /a ψ 1 ψ ψ 1-1 ψ 1 ψ 11 ψ 3 ψ 31-1

13 Nomiete Eigenfunktionen des H-Atoms ψ ρϑφ ρ ϑ ρ / (,, ) ( ) n m (cos ) im φ nm = Nn Pn e P e 3 ψ /a ψ 31 ψ 311 ψ 3- ψ 3-1 ψ 3 ψ 31 ψ 3

14 Reelle Eigenfunktionen des H-Atoms Ν /a 3 Katesische Koodinaten ρcos ϑ= z a ρsin ϑcos φ x = a ρsin ϑsin φ y = a

15 Reelle Eigenfunktionen des H-Atoms Ν /a 3

16 Nomenklatu de Quantenzahlen des H-Atoms Hauptquantenzahl n Enegie des Elektons: n = K- L- M- N-Schale (Bohs Atommodell) Nebenquantenzahl Bahndehimpuls des = 1 3 n-1 Elektons s p d f (shap, pincipal, diffuse, fundamental) Magnetische Quantenzahl m z-komponente des m =,, -, -1,, +1, -, Bahndehimpuls des Elektons 1 Spinquantenzahl S Eigendehimpuls S = 3 4 ; Sz = ± des Elektons (Nicht aus SGL ableitba; folgt aus Diacs (Pauli-Vebot Pinzip de elativistische Quantenmechanik) Spinpaaung: max. e - po Obital) Expt. Magnet. Eigenschaften von Atomen + ( )

17 Enegietemschema des Wassestoff-Atoms

18 Pinzipielle Dastellungsweisen de Eigenfunktionen: ψ ( 1 m) (ψ 1) 1 ( 1 m) 3 y 1 1 m 1 1 m 1 1 m x 1 1 m 1 Obital = ψnm Aufenthaltswahscheinlichkeitsdichte = nm ψ = W(x,y,z) dxdydz 3 Wolkendastellung =^ Dichte de Punkte entspicht de Göße von ψ

19 Pinzipielle Dastellungsweisen de Eigenfunktionen: ψ ( 1 m) 1 Obital = ψnm x 1 1 m Aufenthaltswahscheinlichkeitsdichte = nm ψ = W(x,y,z) dxdydz

20 Pinzipielle Dastellungsweisen de Eigenfunktionen: y 1 1 m x 1 1 m 3 Wolkendastellung =^ Dichte de Punkte entspicht de Göße von ψ

21 Pinzipielle Dastellungsweisen de Eigenfunktionen: 4 Radiale Aufenthaltswahscheinlichkeitsdichte dw/d dw/d = Wahscheinlichkeit, das Elekton in eine Kugelschale mit Radius und Dicke d anzuteffen d Volumen eine Kugelschale: 4 π d Wahscheinlichkeit/Volumen = Wahscheinlichkeitsdichte: ψ Radiale Aufenthaltswahscheinlichkeit: dw =ψ 4π d dw d = ψ 4π

22 Pinzipielle Dastellungsweisen de Eigenfunktionen: 4 Radiale Aufenthaltswahscheinlichkeitsdichte dw/d Beispiel: 1s-Obital ψ = 1 / a / e ψ = e 3 3 a πa π 1 a dw 1 4 = e 4π = e d πa a /a 3 3 /a

23 Pinzipielle Dastellungsweisen de Eigenfunktionen: 4 Gaphische Dastellung von dw/d fü 1s-Obital

24 Pinzipielle Dastellungsweisen de Eigenfunktionen: 5 Höhenlinien-Dastellung W = Wahscheinlichkeit, das Elekton in eine Kugel mit Radius anzuteffen W = ψ 4π d = const ; fü = a const =.3 Wahscheinlichkeit, das Elekton in Kugeln mit Radius a anzuteffen, betägt ~ 1/3; bei /3 de Atome hat Elekton einen gößeen Abstand. Höhenliniendiagamm fü ein 1s Elekton im H-Atom Räumliche Dastellung von Obitalen (Kalottenmodelle): 1.) Obeflächen, die 99.7% de Elektonendichte umschließen (const =.997).) Obeflächen, auf denen die Wellenfunktion auf ±.1 abgefallen ist (vgl. Atikel von Bickmann, Gäbeskipt)

25 Gaphische Dastellung de Eigenfunktionen: Radialanteil Zahl de Nullduchgänge = n- -1, d.h. Zunahme mit n, Abnahme mit R( ) f ( ϑ, φ) Nullstelle Knotenkugelfläche

26 Gaphische Dastellung de Eigenfunktionen: Winkelanteil s-obitale: Y = 1 4π s-obital = Kugel mit Radius 1 4π p-obitale: z.b. p x : Y ( ϑ, φ) = 3 sinϑ cosφ 4π + +

27 Gaphische Dastellung de Eigenfunktionen: Winkelanteil Pespektivische Dastellung: s- und p-obitale

28 Gaphische Dastellung de Eigenfunktionen: Winkelanteil d-obitale:

29 Gaphische Dastellung de Eigenfunktionen: Winkelanteil d-obitale: Pespektivische Dastellung

30 Gaphische Dastellung von ψ : Radialanteil

31 Gaphische Dastellung von ψ : Winkelanteil p x Kugelgestalt geht veloen Pespektivische Dastellung:

32 Gaphische Dastellung de adialen Aufenthaltswahscheinlichkeit = 4πρ R ( ) dw d 1s: maximale adiale Aufenthaltswahscheinlichkeit bei = a s, 3s: maximale adiale Aufenthaltswahscheinlichkeit wandet nach außen