Mathematik 2 (Statistik und Finanzmathematik)

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1 Mathematik (Statistik und Finanzmathematik) im Studiengang Technik-Management (Bachelor) Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Weingarten Sommersemester 008 Organisatorisches zur Vorlesung Vorlesungsbegleitende Unterlagen: Foliensatz Aufgabenskript Literatur: Bamberg, G.; Baur, F.; Krapp, M. (006): Statistik, Oldenbourg, München, 3. Auflage. Luderer, B. (003): Starthilfe Finanzmathematik. Zinsen, Kurse, Renditen, Teubner, Stuttgart, Leipzig, Wiesbaden,. Auflage. Opitz, O. (004): Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, Oldenbourg, München, 9. Auflage. Vorlesungskonzept: Vorlesung und Übung gemischt Folien sind nur Grundlage für eigene Anmerkungen und Ergänzungen Fragenstellen ist jederzeit erwünscht Klausur: Am Ende des Semesters 60 Minuten Bearbeitungszeit Hilfsmittel: Schreibzeug, nicht-programmierbarer Taschenrechner, ein DIN-A4 Blatt mit handgeschriebenen Notizen (Vorder- und Rückseite kann beschrieben werden, keine Kopien oder Ausdrucke), ein beliebiges Buch

2 Übersicht Einführung Berühmte Leute zur Statistik Wie lügt man mit Statistik? Begriff Statistik Grundbegriffe der Datenerhebung Deskriptive Statistik Univariate Daten Multivariate Daten Verhältnis- und Indexzahlen 3 Wahrscheinlichkeitstheoretische Grundlagen Zufall und Wahrscheinlichkeit Zufallsvariablen und Verteilungen Verteilungsparameter 4 Induktive Statistik Grundlagen Punkt-Schätzung Intervall-Schätzung Signifikanztests 5 Finanzmathematik Lernziele Zins- und Zinseszinsrechnung Äquivalenzprinzip und Kapitalwert Rentenrechnung Tilgungsrechnung Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Übersicht. Einführung Einführung Berühmte Leute zur Statistik Wie lügt man mit Statistik? Begriff Statistik Grundbegriffe der Datenerhebung Deskriptive Statistik 3 Wahrscheinlichkeitstheoretische Grundlagen 4 Induktive Statistik 5 Finanzmathematik Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester 008 4

3 Zitate. Einführung Berühmte Leute zur Statistik Leonard Henry Courtney (83-98): There are three kinds of lies: lies, damned lies and statistics. Winston Curchill (angeblich): Ich glaube nur den Statistiken, die ich selbst gefälscht habe. Andrew Lang (844-9): Wir benutzen die Statistik wie ein Betrunkener einen Laternenpfahl: Vor allem zur Stütze unseres Standpunktes und weniger zum Beleuchten eines Sachverhalts. Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Einführung Begriff Statistik Bedeutungen des Begriffs Statistik Statistik Zusammenstellung von Zahlen Statistische Methodenlehre Wahrscheinlichkeitstheorie Induktive Statistik Deskriptive Statistik Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester 008 6

4 . Einführung Begriff Statistik Einfaches Beispiel Beispiel Beschäftigte werden nach der Entfernung zum Arbeitsplatz (in km) befragt. Antworten: 4,,, 3, 5, 4, 0, 4, 6, 6, 0, 6 deskriptiv: - Durchschnittliche Entfernung: 7,5 - Klassenbildung: Klasse [0; 5) [5; 5) [5; 30) Häufigkeit 5 5 induktiv: - Schätze die mittlere Entfernung aller Beschäftigten. - Prüfe, ob die mittlere Entfernung geringer als 0 km ist. Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Merkmale. Einführung Grundbegriffe der Datenerhebung Merkmalsträger: Merkmal: Untersuchte statistische Einheit Interessierende Eigenschaft des Merkmalträgers (Merkmals-)Ausprägung: Konkret beobachteter Wert des Merkmals Grundgesamtheit: Typen von Merkmalen: Menge aller relevanen Merkmalsträger a) qualitativ quantitativ qualitativ: z.b. Geschlecht quantitativ: z.b. Schuhgröße Qualitative Merkmale sind quantifizierbar (weiblich:, männlich: 0) b) diskret stetig diskret: Abzählbar viele unterschiedliche Ausprägungen stetig: Alle Zwischenwerte realisierbar Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester 008 8

5 . Einführung Grundbegriffe der Datenerhebung Skalenniveaus Nominalskala: Zahlen haben nur Bezeichnungsfunktion z.b. Artikelnummern Ordinalskala: zusätzlich Rangbildung möglich z.b. Schulnoten Differenzen sind aber nicht interpretierbar! Addition usw. ist unzulässig. Kardinalskala: zusätzlich Differenzbildung sinnvoll z.b. Gewinn Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Einführung Grundbegriffe der Datenerhebung Skalendegression und Skalenprogression Ziel der Skalierung: Gegebene Information angemessen abbilden, möglichst ohne Über- bzw. Unterschätzungen Es gilt: Grundsätzlich können alle Merkmale nominal skaliert werden. Grundsätzlich kann jedes metrische Merkmal ordinal skaliert werden. Das nennt man Skalendegression. Dabei: Informationsverlust Aber: Nominale Merkmale dürfen nicht ordinal- oder metrisch skaliert werden. Ordinale Merkmale dürfen nicht metrisch skaliert werden. Das nennt nennt man Skalenprogression. Dabei: Interpretation von mehr Informationen in die Merkmale, als inhaltlich vertretbar. (Gefahr der Fehlinterpretation) Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester 008 0

6 Klassische Informationsniveaus. Einführung Grundbegriffe der Datenerhebung Absolutskala Verhältnisskala Intervallskala Nominal Ordinal Metrisch Informationsniveau hoch niedrig Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester 008 Übersicht. Deskriptive Statistik Einführung Deskriptive Statistik Univariate Daten Multivariate Daten Verhältnis- und Indexzahlen 3 Wahrscheinlichkeitstheoretische Grundlagen 4 Induktive Statistik 5 Finanzmathematik Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester 008

7 Häufigkeitsverteilungen. Deskriptive Statistik Univariate Daten Auswertungsmethoden für eindimensionales Datenmaterial Merkmal X wird an n Merkmalsträgern beobachtet Urliste (x,..., x n ) Im Beispiel: x = 4, x =,..., x = 6 Urlisten sind oft unübersichtlich, z.b.: Dann zweckmäßig: Häufigkeitsverteilungen Ausprägung (sortiert) a j absolute Häufigkeit h(a j ) = h j kumulierte abs. Häufigkeit j H(a j ) = h(a i ) relative Häufigkeit f(a j ) = h(a j )/n kumulierte rel. Häufigkeit F(a j ) = j f(a i ) Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Graphische Darstellungen. Deskriptive Statistik Univariate Daten ➊ Balken- oder Stabdiagramm (Höhe proportional zu Häufigkeit) Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester 008 4

8 Graphische Darstellungen. Deskriptive Statistik Univariate Daten ➋ Kreissektorendiagramm 4 Winkel: w j = 360 f(a j ) 3 z.b. 5 w = = 7, w 7 = = 57,6 7 (Fläche proportional zu Häufigkeit) 6 Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Graphische Darstellungen. Deskriptive Statistik Univariate Daten ➌ Histogramm - für klassierte Daten - Fläche proportional zu Häufigkeit: Höhe j Breite j = c h(a j ) Höhe j = c h(a j) Breite j - Im Beispiel mit c = 5: Klasse [0; 5) [5; 5) [5; 30] h(a j ) 5 5 Breite j Höhe j 5 7,5 5 7, Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester 008 6

9 Lageparameter. Deskriptive Statistik Univariate Daten Modus x Mod : häufigster Wert Beispiel: a j 4 h(a j ) 4 3 Sinnvoll bei allen Skalenniveaus. } x Mod = Median x Med : mittlerer Wert, d.h.. Urliste aufsteigend sortieren: x x x n. Dann { = x n+, falls n ungerade x Med [x n ; x n + ], falls n gerade (meist x Med = (x n + x n Im Beispiel oben:,,,,,,, 4 x Med [; ], z.b. x Med =,5 Sinnvoll ab ordinalem Skalenniveau. + )) Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Lageparameter (). Deskriptive Statistik Univariate Daten Arithmetisches Mittel x: Durchschnitt, d.h. Im Beispiel: x = n x i = n k a j h(a j ) j= x = 8 ( }{{} }{{} 3 Sinnvoll nur bei kardinalem Skalenniveau. Bei klassierten Daten: Im Beispiel: x = }{{}) =, x = n Klassenmitte Klassenhäufigkeit (, ,5 ) = 8,96 7,5 = x Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester 008 9

10 Streuungsparameter. Deskriptive Statistik Univariate Daten Voraussetzung: kardinale Werte x,...,x n Beispiel: Spannweite: SP = max Im Beispiel: a) x i b) x i i x i min i x i } je x = 000 a) SP = = 00 b) SP = = 6000 Mittlere quadratische Abweichung: s = n (x i x) = x i n x }{{} Verschiebungssatz Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Streuungsparameter (). Deskriptive Statistik Univariate Daten Mittlere quadratische Abweichung im Beispiel: a) s = 3 ( ) = 3 ( ) 000 = 666,67 b) s = 3 ( ) = 3 ( ) 000 = Standardabweichung: s = s Im Beispiel: a) s = 666,67 = 40,8 b) s = = 88,43 Variationskoeffizient: V = s x (maßstabsunabhängig) Im Beispiel: a) V = 40,8 000 = 0,0 ( = %) b) V = 88, =,4 ( = 4 %) Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester 008 3

11 Konzentrationsmaße. Deskriptive Statistik Univariate Daten Gegeben: kardinale Werte 0 x x x n Achtung! Die Werte müssen aufsteigend sortiert werden! Lorenzkurve: Wieviel Prozent der Merkmalssumme entfällt auf die x Prozent kleinsten Merkmalsträger? Beispiel: Die 90 % ärmsten besitzen 0 % des Gesamtvermögens. Streckenzug: (0, 0), (u, v ),..., (u n, v n ) = (,) mit v k = Anteil der k kleinsten MM-Träger an der MM-Summe = k x i x i u k = Anteil der k kleinsten an der Gesamtzahl der MM-Träger = k n Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Lorenzkurve: Beispiel. Deskriptive Statistik Univariate Daten Markt mit fünf Unternehmen; Umsätze: 6, 3,,, 3 (Mio. ) 5 n = 5, x k = 5 v k k= k x k p k 5 v k 5 u k Linie L Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester u k

12 Lorenzkurve. Deskriptive Statistik Univariate Daten Knickstellen: - Bei i-tem Merkmalsträger x i+ > x i - Empirische Verteilungsfunktion liefert Knickstellen: Vergleich von Lorenzkurven: a j 3 6 h(a j ) f(a j ) 5 F(a j ) Gleichverteilung extreme Konzentration ➀ ➁ ➁ höher konzentriert als ➀ ➀ ➁ unvergleichbar Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Deskriptive Statistik Univariate Daten Lorenzkurve: Beispiel Bevölkerungsanteil gegen BSP.0 Bangladesch Brasilien Deutschland Ungarn USA (Stand 000) Anteil am BSP Anteil der Bevölkerung Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester

13 Gini-Koeffizient. Deskriptive Statistik Univariate Daten Numerisches Maß der Konzentration: G = Fläche zwischen 45 -Linie und L Fläche unter 45 -Linie = Aus den Daten: G = n ix i (n + ) n x i n n = x i n ip i (n + ) n wobei p i = x i x i Problem: G max = n n Normierter Gini-Koeffizient: G = n n G [0;] Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Gini-Koeffizient: Beispiel. Deskriptive Statistik Univariate Daten Beispiel: i 3 4 x i 5 0 p i G = ( ) (4 + ) 4 = 0,55 Mit G max = 4 4 = 0,75 folgt G = 4 4 0,55 = 0,7 Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester

14 . Deskriptive Statistik Univariate Daten Weitere Konzentrationsmaße Konzentrationskoeffizient: CR g = Anteil, der auf die g größten entfällt = p i = v n g Herfindahl-Index: i=n g+ H = p i ( [ ;]) n Es gilt: H = n (V + ) bzw. V = n H Exponentialindex: E = n p p i i ( [ n ;]) wobei 0 0 = Im Beispiel: CR = 7 = 0,85; H = ( ) ( ( 0) = 0,59; E = ) 0 ) 5 5 ( 0 = 0, Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Deskriptive Statistik Multivariate Daten Auswertungsmethoden für mehrdimensionales Datenmaterial Kontingenztabelle und Streuungsdiagramm Gegeben: Urliste vom Umfang n zu zwei Merkmalen X und Y: (x, y ), (x, y ),..., (x n, y n ) Kontingenztabelle: Sinnvoll bei wenigen Ausprägungen bzw. bei klassierten Daten. Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester

15 Kontingenztabelle. Deskriptive Statistik Multivariate Daten Unterscheide: Gemeinsame Häufigkeiten: h ij = h(a i,b j ) Randhäufigkeiten: h i = l h ij und h j = j= k h ij Bedingte (relative) Häufigkeiten: f (a i b j ) = h ij h i h j und f (b j a i ) = h ij Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Häufigkeiten. Deskriptive Statistik Multivariate Daten Beispiel: 400 unfallbeteiligte Autoinsassen: leicht verletzt schwer verletzt tot (= b ) (= b ) (= b 3 ) angegurtet (= a ) (= h ) (= h ) (= h 3 ) (= h ) nicht angegurtet (= a ) (= h ) (= h ) (= h 3 ) (= h ) (= h ) (= h ) (= h 3 ) (= n) f (b 3 a ) = 4 40 = 0, f (a b 3 ) = 4 0 = 0,4 (0 % der nicht angegurteten starben.) (40 % der Todesopfer waren nicht angegurtet.) Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester 008 4

16 Streuungsdiagramm. Deskriptive Statistik Multivariate Daten Streuungsdiagramm sinnvoll bei vielen verschiedenen Ausprägungen (z.b. stetige Merkmale) Alle (x i,y i ) sowie ( x,ȳ) in Koordinatensystem eintragen. Beispiel: i x i y i x = 5 5 = 5 ȳ = 8 5 = 5, y ȳ Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester x x Korrelationsrechnung. Deskriptive Statistik Multivariate Daten Frage: Wie stark ist der Zusammenhang zwischen X und Y? Antwort: Korrelationskoeffizienten Wahl abhängig vom Skalenniveau von X und Y: Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester

17 . Deskriptive Statistik Multivariate Daten Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizient Voraussetzung: X, Y kardinalskaliert (x i x)(y i ȳ) x i y i n xȳ r = = [ ; +] (x i x) n (y i ȳ) x i n x y i nȳ Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Deskriptive Statistik Multivariate Daten Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizient Im Beispiel: i x i y i x i y i x i y i x = 5/5 = 5 ȳ = 8/5 = 5,6 r = , ,6 = 0,703 (stark positive Korrelation) Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester

18 . Deskriptive Statistik Multivariate Daten Rangkorrelationskoeffizient von Spearman Voraussetzung: X, Y (mindestens) ordinalskaliert Vorgehensweise: ➀ Rangnummern R i (X) bzw. R i (Y) mit R( ) i = bei größtem Wert usw. ➁ Berechne 6 n (R i R i ) r SP = [ ; +] (n )n(n + ) Hinweise: - r SP = + wird erreicht bei R i = R i i =,...,n - r SP = wird erreicht bei R i = n + R i i =,...,n Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Deskriptive Statistik Multivariate Daten Rangkorrelationskoeffizient von Spearman Im Beispiel: x i R i y i R i r SP = 6 [(5 4) + (3 5) + (4 3) + ( ) + ( ) ] (5 ) 5 (5 + ) = 0,6 Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester

19 Kontingenzkoeffizient. Deskriptive Statistik Multivariate Daten Gegeben: Kontingenztabelle mit k Zeilen und l Spalten (vgl. hier) Vorgehensweise: ➀ Ergänze Randhäufigkeiten h i = l h ij und h j = j= k h ij ➁ Berechne theoretische Häufigkeiten ➂ Berechne χ = h ij = h i h j n k l j= (h ij h ij ) h ij χ hängt von n ab! (h ij h ij χ χ ) Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Kontingenzkoeffizient. Deskriptive Statistik Multivariate Daten ➃ Kontingenzkoeffizient: K = χ n + χ [0;K max ] wobei M K max = mit M ➄ Normierter Kontingenzkoeffizient: M = min{k,l} K = K K max [0;] K = + bei Kenntnis von x i kann y i erschlossen werden u.u. Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester 008 5

20 Kontingenzkoeffizient Beispiel X : Staatsangehörigkeit (d,a) Y : Geschlecht (m,w). Deskriptive Statistik Multivariate Daten h ij m w h i h ij m w d d 4 36 a a 6 4 h j wobei h = = 4 usw. χ = (30 4) 4 + (30 36) 36 + (0 6) 6 + (30 4) 4 = 6,5 K = 6,5 00+6,5 = 0,45; M = min{, } = ; K max = K = 0,45 0,707 = 0,3430 = 0,707 Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Regressionsrechnung. Deskriptive Statistik Multivariate Daten Interpretiere Y als Funktion von X: y = f(x) X heißt Regressor bzw. unabhängige Variable Y heißt Regressand bzw. abhängige Variable Hauptfall: f ist eine Gerade: y = a + b x Lineare Regression: Schätze a und b Prinzip der kleinsten Quadrate: a, b so, dass Q(a,b) = [y i (a + b x i )] min Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester

21 . Deskriptive Statistik Multivariate Daten Prinzip der kleinsten Quadrate Eindeutige Lösung: ˆb = und = (x i x)(y i ȳ) (x i x) x i y i n xȳ x i n x â = ȳ ˆb x Regressionsgerade: ŷ = â + ˆb x Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Deskriptive Statistik Multivariate Daten Beispiel Regressionsrechnung Alle (x i,y i ) sowie ( x,ȳ) als Streuplot in Koordinatensystem eingetragen Beispiel: i x i y i x = 5 5 = 5 ȳ = 8 5 = 5, y x ȳ x Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester

22 . Deskriptive Statistik Multivariate Daten Regressionsrechnung: Beispiel i x i y i x i y i x i y i n = 5 x = 5 ȳ = 5,6 x i = 59 xi y i = 57 ˆb = , = 0,5 â = 5,6 0,5 5 = 3, y = 3, + 0,5 x y ȳ Prognose: ŷ(0) = 3, + 0,5 0 = 8, x â + ˆbx x Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Determinationskoeffizient. Deskriptive Statistik Multivariate Daten Wie gut beschreibt â + ˆbx den Zusammenhang von X und Y? Q(â, ˆb) = n (y i ŷ i ) als Gütemaß ungeeignet (beliebig groß) Determinationskoeffizient (Bestimmtheitskoeffizient): R = (ŷ i ȳ) = (y i ȳ) ŷ i nȳ = r [0;] y i nȳ R heißt auch durch die Regression erklärter Anteil der Varianz R = 0 wird erreicht wenn X, Y unkorreliert R = wird erreicht wenn ŷ i = y i i (alle Punkte auf Regressionsgerade) Im Beispiel: ŷ i = 3, + 0,5 x i, n = 5, ȳ = 5,6, y i = 74 i ŷ i 4, 5, 4,6 7,6 6,6 } R = 4, + +6,6 5 5, ,6 = 0,494 R = r = 0,703 = 0,494 Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester

23 . Deskriptive Statistik Multivariate Daten Modell des additiven Zeitreihenmodells Additives Zeitreihenmodell: y t = T t + Z t + S t + U t mit: T t : Trendkomponente, i.d.r. linear Z t : Zyklische Komponente, i.d.r. wellenförmig S t : Saisonkomponente, durch saisonalen Einfluss U t : Irreguläre Komponente, schwankt regellos um 0 Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Deskriptive Statistik Multivariate Daten Ermittlung der Zeitreihenkomponenten T t : i.d.r. mit Regression nach t, ˆT t = â + ˆb t = Trendbereinigte Zeitreihe y t ˆT t Z t : Schätze zuerst die glatte Komponente G t = T t + Z t auf Basis gleitender Durchschnitte = Ẑ t = Ĝt ˆT t (Hier nicht weiter betrachtet) S t : Schätzung durch Saisonbereinigung U t : Bleiben unberücksichtigt Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester 008 6

24 . Deskriptive Statistik Multivariate Daten Saisonbereinigung: Gleitende Durchschnitte Zur Schätzung der glatten Komponente Ordnung : Anzahl einbezogener Perioden = Saisonlänge Gleitender Durchschnitt ungerader Ordnung k + : y t = k + t+k τ=t k Gleitender Durchschnitt gerader Ordnung k: y t = y t+(k ) t k + y τ + y t+k k τ=t (k ) Problem: Am Rand gehen Werte verloren. y τ Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Deskriptive Statistik Multivariate Daten Beispiel gleitende Durchschnitte Beispiel: Wochentage, tägliche Daten = Saisonlänge: 7 Mo Di Mi Do Fr Sa So Mo Di Mi Do Fr Sa So y t y t 3,43 3,9 3,9 3,4 3,4 3,86,86 Wert. Donnerstag: Wert. Freitag: 7 ( ) = 3,43 7 ( ) = 3,9 = 3, Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester

25 Saisonbereinigung. Deskriptive Statistik Multivariate Daten Aus y t = T t + Z t + S t + U t unter Annahme von U t = 0 folgt S t = y t (T t + Z t ). }{{} =G t Also: Schätze G t mit gleitenden Durchschnitten y t und dann S t gemäß y t y t ( um die glatte Komponente bereinigte Zeitreihe ). Periodentypische Abweichung (konstante Saisonfigur): S j = m j (yt y t) Dabei: m j ist Anzahl der Werte, die in die Berechnung von S j eingehen (z.b. Anzahl aller gleitenden Durchschnittswerte für Januar) Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Saisonbereinigung Achtung: Anderer Index!. Deskriptive Statistik Multivariate Daten t=,...,n: j=,...,l : Alle Perioden der Zeitreihe Perioden einer Saison Aber: Im Allgemeinen ist l S j 0 j= = Saisonveränderungszahl: Ŝ j = S j l l S j j= Saisonbereinigte Zeitreihe: y t Ŝ j Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester

26 . Deskriptive Statistik Multivariate Daten Saisonbereinigung: Rezept Rezept Saisonbereinigung Dabei:. Gleitende Durchschnitte der Ordnung l: y t. Um glatte Komponente bereinigte Werte: y t y t 3. Periodendurchschnitte: Sj = m j (yt y t) 4. Normierte Werte: Ŝ j = S j l S j 5. Saisonbereinigte Zeitreihe: y t Ŝj m j ist Anzahl der Werte, die in die Berechnung von S j eingehen (z.b. Anzahl aller gleitenden Durchschnittswerte für Januar) l ist Anzahl der Saisonteile (z.b. l = bei Jahressaisonfiguren mit monatlichen Daten) Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Deskriptive Statistik Verhältnis- und Indexzahlen Klassifikation von Verhältniszahlen Verhältniszahlen und Indexzahlen Gliederungszahlen (z.b. Eigenkapitalquote) Verhältniszahlen (Quotienten) Messzahlen (z.b. Preismesszahlen) Beziehungszahlen (z.b. Variationskoeffizient) Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester

27 Preisindizes. Deskriptive Statistik Verhältnis- und Indexzahlen Preismesszahl: Misst Preisveränderung eines einzelnen Gutes: Preis zum Zeitpunkt j Preis zum Zeitpunkt i dabei: j: Berichtsperiode, i: Basisperiode Preisindex: Misst Preisveränderung mehrerer Güter (Aggregation von Preismesszahlen durch Gewichtung) Notation: p 0 (i) : Preis des i-ten Gutes in Basisperiode 0 p t (i) : Preis des i-ten Gutes in Berichtsperiode t q 0 (i) : Menge des i-ten Gutes in Basisperiode 0 q t (i) : Menge des i-ten Gutes in Berichtsperiode t Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Preisindizes. Deskriptive Statistik Verhältnis- und Indexzahlen Gleichgewichteter Preisindex: P G 0t = n p t (i) n p 0 (i) = p t (i) p 0 (i) g(i) mit g(i) = n Nachteil: Auto und Streichhölzer haben gleiches Gewicht Lösung: Preise mit Mengen gewichten! Preisindex von Laspeyres: P L 0t = p t (i)q 0 (i) p 0 (i)q 0 (i) = p t (i) p 0 (i) g 0(i) mit g 0 (i) = p 0(i) q 0 (i) p 0 (j) q 0 (j) j= Preisindex von Paasche: P P 0t = p t (i)q t (i) p 0 (i)q t (i) = p t (i) p 0 (i) g t(i) mit g t (i) = p 0(i) q t (i) p 0 (j) q t (j) j= Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester

28 Preisindizes: Beispiel. Deskriptive Statistik Verhältnis- und Indexzahlen Campuslebenshaltungskosten: Preis (DM) Menge/Woche Preis (DM) Menge/Woche Gut : Tasse Kaffee 0,65 3,0 Gut : Mensaessen 3,50 5 4,80 3 P L 90,0 =, ,80 5 0, ,50 5 = 7,3 9,45 =,4036 P90,0 P =,0 + 4,80 3 4,95 0,65 = + 3,50 3 0,85 =,38 Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Weitere Preisindizes. Deskriptive Statistik Verhältnis- und Indexzahlen Idealindex von Fisher: Marshall-Edgeworth-Index: Preisindex von Lowe: P ME 0t = P F 0t = P L 0t PP 0t P LO 0t = p t (i)[q 0 (i) + q t (i)] p 0 (i)[q 0 (i) + q t (i)] p t (i)q(i) p 0 (i)q(i) Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester 008 7

29 Weitere Preisindizes: Beispiel. Deskriptive Statistik Verhältnis- und Indexzahlen Campuslebenshaltungskosten: Preis (DM) Menge/Woche Preis (DM) Menge/Woche Gut : Tasse Kaffee 0,65 3,0 Gut : Mensaessen 3,50 5 4,80 3 P F 90,0 =,4036,38 =,393 90,0 =,0 (3 + ) + 4,80 (5 + 3) 4,5 0,65 (3 + = ) + 3,50 (5 + 3) 30,75 =,3955 P ME P LO 90,0 =,0 + 4,80 4 0,65 + 3,50 4 =,4 5,3 =,3987 Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Übersicht 3. Wahrscheinlichkeitstheorie Einführung Deskriptive Statistik 3 Wahrscheinlichkeitstheoretische Grundlagen Zufall und Wahrscheinlichkeit Zufallsvariablen und Verteilungen Verteilungsparameter 4 Induktive Statistik 5 Finanzmathematik Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester

30 3. Wahrscheinlichkeitstheorie Zufall und Wahrscheinlichkeit Zufallsvorgänge, Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten Zufallsvorgang: Geschehen mit ungewissem Ausgang, z.b. Münzwurf Elementarereignis ω: Ein möglicher Ausgang, z.b. Kopf Elementarereignisse schließen sich gegenseitig aus ( Kopf oder Zahl )! Ergebnismenge Ω: Menge aller ω Beispiel: Werfen zweier Würfel: (,) (,) (,6) (,) (,) (,6) Ω : (6,) (6,) (6,6) Ω = {(x,x ) : x,x {,...,6}} Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Wahrscheinlichkeitstheorie Zufall und Wahrscheinlichkeit Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten Ereignis A: Folgeerscheinung eines Elementarereignisses Formal: A Ω Ereignisse schließen sich nicht gegenseitig aus! Beispiel: Werfen zweier Würfel: Ereignis verbal formal A Augensumme = 4 {(,3), (,), (3,)} B Erste Zahl = {(,), (,),..., (,6)} Wahrscheinlichkeit P(A): Chance für das Eintreten von A Laplace-Wahrscheinlichkeit: P(A) = A Ω = Anzahl der für A günstigen Fälle Anzahl aller möglichen Fälle Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester

31 3. Wahrscheinlichkeitstheorie Zufall und Wahrscheinlichkeit Laplace Wahrscheinlichkeit und Urnenmodell Beispiel: Werfen zweier Würfel: Augensumme = 4 : A = {(,3), (,), (3,)} Ω = 36, A = 3 P(A) = 3 36 = = 0,083 Urnenmodell: Ziehe n Objekte aus einer Menge mit N Objekten Anzahl Möglichkeiten: mit Zurücklegen: N n ohne Zurücklegen: N (N ) (N (n )) = N! (N n)! Beispiel: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, aus einem gut gemischten 3-er Kartenblatt bei viermaligem Ziehen vier Asse zu bekommen? a) Ziehen mit Zurücklegen, b) Ziehen ohne Zurücklegen Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Wahrscheinlichkeitstheorie Zufall und Wahrscheinlichkeit Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten Wichtige Rechenregeln:. P(A). P( ) = 0 3. A B P(A) P(B) 4. P(Ā) = P(A) 5. P(A A ) = P(A ) + P(A ) P(A A ) Beispiel: P( Augenzahl 5 ) = P( Augenzahl = 6 ) = 6 = 5 6 Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester

32 3. Wahrscheinlichkeitstheorie Zufall und Wahrscheinlichkeit Bedingte Wahrscheinlichkeiten Wahrscheinlichkeit von A hängt von anderem Ereignis B ab. (B kann zeitlich vor A liegen, muss aber nicht!) Beispiel: Wahrscheinlichkeit für Statistiknote hängt von Mathenote ab. Formal: Im Venndiagramm: P(A B) = P(A B) P(B) B Ω P(A) = A P(A B) = Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Wahrscheinlichkeitstheorie Zufall und Wahrscheinlichkeit Unabhängigkeit von Ereignissen A, B unabhängig: Eintreten von A liefert keine Information über P(B) u.u. Formal: P(A B) = P(A) Äquivalent zu: P(A B) = P(A) P(B) Dann gilt: P(A B) = P(A) + P(B) P(A) P(B) Beispiel: Werfen zweier Würfel: A : B : } erster Würfel gleich 6 zweiter Würfel gleich 6 P(A B) = P(A B) P(B) = 36 6 = 6 = P(A) Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester

33 Zufallsvariablen 3. Wahrscheinlichkeitstheorie Zufallsvariablen und Verteilungen Zufallsvariablen und Verteilungen Beschreibung von Ereignissen durch reelle Zahlen Formal: X : Ω R Nach Durchführung des Zufallsvorgangs: Realisation: x = X(ω) Vor Durchführung des Zufallsvorgangs: Wertebereich: X(Ω) = {x : x = X(ω), ω Ω} Beispiel: Würfeln, X: Augenzahl, X(Ω) = {,,...,6}, x = 4 (z.b.) P(X = 4) = 6, P(X 3) = 3 6 = Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Verteilungsfunktion 3. Wahrscheinlichkeitstheorie Zufallsvariablen und Verteilungen Zuweisung von Wahrscheinlichkeiten zu Realisationen Formal: F(x) = P(X x) Eigenschaften: - F(x) [0;] - Definitionsbereich: R mit F( ) = 0, F( ) = - monoton wachsend, d.h. x < x F(x ) F(x ) - Es gilt: F(x).0 P(a < X b) = F(b) F(a) x Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester 008 8

34 Diskrete Zufallsvariablen 3. Wahrscheinlichkeitstheorie Zufallsvariablen und Verteilungen X heißt diskret, wenn X(Ω) = {x, x,...} endlich ist. Wahrscheinlichkeitsfunktion dann: f(x) = P(X = x) Beispiel: Münze mal werfen; X: Anzahl Kopf (Z, Z) (Z,K), (K, Z) (K,K) x i 0 f(x i ) 4 4 0, falls x < 0 F(x) =, falls 0 x < 4 3, falls x < 4, falls x f(x) 4 F(x) x 0 x Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Binomialverteilung 3. Wahrscheinlichkeitstheorie Zufallsvariablen und Verteilungen Wiederholter Zufallsvorgang n Durchführungen Pro Durchführung: A oder Ā mit P(A) = p ( = Ziehen mit Zurücklegen) Schreibe: X i = {, falls A bei i-ter Durchführung eintritt 0, falls Ā bei i-ter Durchführung eintritt Dann gibt X = an, wie oft A eintritt. Gesucht: Wahrscheinlichkeitsfunktion von X X i Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester

35 Binomialverteilung 3. Wahrscheinlichkeitstheorie Zufallsvariablen und Verteilungen Herleitung: ) P(X i = ) = P(A) = p, P(X i = 0) = P(Ā) = p ) x i = x entspricht x mal Ereignis A und n x mal Ā Wahrscheinlichkeit (bei Unabhängigkeit): p x ( p) n x ( n 3) Aber: Reihenfolge irrelevant! Anzahl Anordnungen: x) Wahrscheinlichkeitsfunktion: ( n p f(x) = x) x ( p) n x, falls x {0,,...,n} 0, sonst Kurzschreibweise: X B(n; p) F(x) in Tabelle ; für f(x) gilt: f(x) = F(x) F(x ) Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Binomialverteilung: Beispiel 3. Wahrscheinlichkeitstheorie Zufallsvariablen und Verteilungen Beispiel Aus einem 3-er Kartenblatt wird 3-mal eine Karte mit Zurücklegen gezogen. Wie wahrscheinlich ist es, -mal Herz zu ziehen? {, falls i-te Karte Herz X i = X 0, sonst i B(; 8 ) 3 X = n X i = X + X + X 3 X B(3; ) 4 Mithilfe der Wahrscheinlichkeitsfunktion: Mithilfe von Tabelle : ( 3 P(X = ) = f() = 0,5 ) 0,75 = 0,406 P(X = ) = F() F() = 0,9844 0,8438 = 0,406 Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester

36 3. Wahrscheinlichkeitstheorie Zufallsvariablen und Verteilungen Binomialverteilung (BB S. 308) Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Wahrscheinlichkeitstheorie Zufallsvariablen und Verteilungen Hypergeometrische Verteilung n-faches Ziehen ohne Zurücklegen aus N Objekten, davon M markiert. X = Anzahl gezogener Objekte mit Markierung heißt hypergeometrisch verteilt mit den Parametern N, M, n. Kurzschreibweise: X Hyp(N; M; n) Wahrscheinlichkeitsfunktion: ( )( ) M N M x n x (, falls x möglich f(x) = N n) 0, sonst Ist n N 0, so gilt: Hyp(N;M;n) B(n; M N ) Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester

37 3. Wahrscheinlichkeitstheorie Zufallsvariablen und Verteilungen Beispiel Aus einem 3-Kartenblatt wird 3-mal eine Karte ohne Zurücklegen gezogen. Wie wahrscheinlich ist es, -mal Herz zu ziehen? D.h.: N = 3, M = 8, n = 3, x =. ( )( ) ( )( ) ! 3 P(X = ) = f() = ( ) = ( ) =! 6! ! 3 3 3! 9! 9! 8! 3! 4 = = ! 6!! = = 55 = 0,355 ( ) ( ) n n! n Dabei wurde verwendet: = und = n. k k!(n k)! Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Poisson-Verteilung 3. Wahrscheinlichkeitstheorie Zufallsvariablen und Verteilungen Approximation für B(n; p) und Hyp(N; M; n) Geeignet, wenn p klein ( 0,), n groß ( 50) und np 0. Verteilung der seltenen Ereignisse (z.b. Anzahl 6-er pro Lottoausspielung) Kurzschreibweise: X P(λ) Wahrscheinlichkeitsfunktion: { λ x F(x) in Tabelle f(x) = Überblick: Approximation x! e λ, falls x = 0,,,... 0, sonst p = M N λ = np = n M N Hyp(N; M; n) B(n; p) P(λ) Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester

38 Poisson-Verteilung: Beispiel 3. Wahrscheinlichkeitstheorie Zufallsvariablen und Verteilungen Beispiel X B(0 000; 0,0003); In Tabelle nicht vertafelt! Approximation: p = 0,0003 < 0, n = 0000 > 50 B(0000; 0,0003) P(3) np = 3 < 0 Mithilfe der Wahrscheinlichkeitsfunktion: Mithilfe von Tabelle : P(X = 5) = 35 5! e 3 = 0,00888 P(X = 5) = F(5) F(4) = 0,96 0,853 = 0,008 Exakter Wert: P(X = 5) = 0,00839 Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Wahrscheinlichkeitstheorie Zufallsvariablen und Verteilungen Poisson-Verteilung (BB S. 37) Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester 008 9

39 Stetige Zufallsvariablen 3. Wahrscheinlichkeitstheorie Zufallsvariablen und Verteilungen X heißt stetig, wenn F(x) stetig ist. Dann gilt: F(x) = x F (x) = f(x) heißt Dichtefunktion von X. Dann: f(t) dt P(a < X < b) = P(a X < b) = P(a < X b) = P(a X b) = b a f(x)dx = F(b) F(a) Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Wahrscheinlichkeitstheorie Zufallsvariablen und Verteilungen Eigenschaften der Dichtefunktion f(x) 0 für alle x R Wegen F( ) = muss stets gelten: f(x)dx = P(X = x) = 0 für alle x R f(x) > ist möglich F (x) = f(x) Intervallgrenzen spielen keine Rolle: P(X [a;b]) = P(X (a;b]) = P(X [a;b)) = P(X (a;b)) = F(b) F(a) Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester

40 Dichtefunktion: Beispiel 3. Wahrscheinlichkeitstheorie Zufallsvariablen und Verteilungen Beispiel Verteilungsfunktion: x 0 0, falls x < 0 f(x) = 0, falls 0 x 0 0, falls x > 0 f(t)dt = x 0 0 dt = [ ] t x 0 0 0, falls x < 0 x F(x) = 0, falls 0 x 0, falls x > 0 = x 0 Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Gleichverteilung 3. Wahrscheinlichkeitstheorie Zufallsvariablen und Verteilungen Eine Zufallsvariable X mit f(x) = b a, falls a x b 0, sonst heißt gleichverteilt im Intervall [a; b]. f(x) b a a b x Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester

41 Gleichverteilung 3. Wahrscheinlichkeitstheorie Zufallsvariablen und Verteilungen Verteilungsfunktion: F(x) = 0, falls x < a x a b a, falls a x b, falls x > b Beispiel: X gleichverteilt in [; 0] P( X ) = F() F() = 0 0 = 0 = 0 9 = 0,563 Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Normalverteilung Eine Zufallsvariable X mit und σ > 0 heißt normalverteilt. 3. Wahrscheinlichkeitstheorie Zufallsvariablen und Verteilungen f(x) = (x µ) σ π e σ Kurzschreibweise: X N(µ; σ) Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester

42 3. Wahrscheinlichkeitstheorie Zufallsvariablen und Verteilungen Normalverteilung: Gaußkurve Gaußsche Glockenkurve f(x) C. F. Gauß Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Wahrscheinlichkeitstheorie Zufallsvariablen und Verteilungen Eigenschaften der Normalverteilung Dichte ist symmetrisch zu µ: f(µ x) = f(µ + x) µ ist Lage-, σ ist Streuungsparameter Standardnormalverteilung: N(0; ) mit Verteilungsfunktion Φ(x) ( Tabelle 3) Kenntnis von Φ(x), µ und σ genügt, denn: X N(µ;σ) X µ σ N(0;) ( ) x µ F(x) = Φ σ Tabelle 3 enthält nur positive x: Φ( x) = Φ(x) Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester

43 Normalverteilung: Beispiel 3. Wahrscheinlichkeitstheorie Zufallsvariablen und Verteilungen Beispiel: Projektdauer X N(39; ). Wahrscheinlichkeit für Projektdauer zwischen 37 und 4 Wochen? P(37 X 4) = F(4) F(37) = Φ ( ) ( 4 39 Φ = Φ() Φ( ) = Φ() [ Φ()] = Φ() = 0,843 = 0,686 ) Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Wahrscheinlichkeitstheorie Zufallsvariablen und Verteilungen Standardnormalverteilung (BB S. 39) Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester 008 0

44 Lageparameter 3. Wahrscheinlichkeitstheorie Verteilungsparameter a) Modus x Mod : f(x Mod ) f(x) für alle x (i.a. nicht eindeutig, z.b. Gleichverteilung) Beispiele: - Normalverteilung: x Mod = µ - Diskrete Verteilung mit: x 0 f(x) 4 4 } x Mod = b) Median x Med : F(x Med ) = bzw. kleinstes x mit F(x) > Beispiele: - Normalverteilung: x Med = µ - Diskrete Verteilung oben: F(0) = 4 <, F() = 3 4 > x Med = Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Lageparameter: Fraktile 3. Wahrscheinlichkeitstheorie Verteilungsparameter c) α-fraktil x α : F(x α ) = α (für stetige Verteilungen) Beispiel: X N(0; ), Y N(3; ) Hinweise: x 0,975 =,96 (Tab. 3) x 0,05 = x 0,975 =,96 y 0,05 = x 0,05 +3 = 0,9 - x Med = x 0,5 - Wenn x α nicht vertafelt Interpolation: x α x a + (x b x a ) α a b a mit a : größte vertafelte Zahl < α b : kleinste vertafelte Zahl > α Beispiel: X N(0;); x 0,6 0,5 + (0,6 0,5) 0,6 0,5987 0,606 0,5987 = 0,533 Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester

45 3. Wahrscheinlichkeitstheorie Verteilungsparameter Lageparameter: Erwartungswert d) Erwartungswert E(X) bzw. µ: x i f(x i ), i E(X) = xf(x) dx, falls X diskret falls X stetig Beispiel: Diskrete Verteilung x 0 f(x) 4 4 E(X) = = : Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Wahrscheinlichkeitstheorie Verteilungsparameter Rechenregeln für den Erwartungswert ➀ Ist f symmetrisch bzgl. a, so gilt E(X) = a Beispiel: f der Gleichverteilung symmetrisch bzgl. ➁ Lineare Transformation: a+b E(X) = a+b E(a + bx) = a + b E(X) ➂ Summenbildung: ( n ) E X i = E(X i ) Beispiel: X gleichverteilt in [0;0], Y N(; ); Z = X + 5Y E(Z) = E(X + 5Y) = E(X) + E(5Y) = E(X) + 5 E(Y) = = 0 ➃ Unabhängigkeit: X, Y unabhängig E(X Y) = E(X) E(Y) Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester

46 Streuungsparameter 3. Wahrscheinlichkeitstheorie Verteilungsparameter Varianz Var(X) bzw. σ : [x i E(X)] f(x i ), f. X diskret i Var(X) = E([X E(X)] ) = [x E(X)] f(x) dx, f. X stetig Standardabweichung Sta(X) bzw. σ: Sta(X) = Var(X) Beispiel: Diskrete Verteilung x 0 f(x) 4 4 : Var(X) = (0 ) 4 + ( ) + ( ) 4 = Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Wahrscheinlichkeitstheorie Verteilungsparameter Rechenregeln für die Varianz ➀ Verschiebungssatz: Beispiel: Diskrete Verteilung Var(X) = E(X ) [E(X)] x 0 f(x) : 4 4 E(X ) = = 3 E(X ) [E(X)] = 3 = = Var(X) ➁ Lineare Transformation: ➂ Summenbildung: Var(a + bx) = b Var(X) ( n ) Var X i = Var(X i ) Setzt Unabhängigkeit der X i voraus! Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester

47 3. Wahrscheinlichkeitstheorie Verteilungsparameter Erwartungswerte und Varianzen wichtiger Verteilungen Verteilung von X E(X) VarX Binomialverteilung B(n; p) np np( p) Hypergemoetrische Verteilung mit den Parametern N, M, n n M N n M N N M N N n N Posson-Verteilung P(λ) λ λ Gleichverteilung in [a; b] mit a < b a + b Normalverteilung N(µ;σ) µ σ (b a) Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Kovarianz und Korrelation 3. Wahrscheinlichkeitstheorie Verteilungsparameter Kovarianz: Cov(X,Y) = E[(X E(X))(Y E(Y))] = E(X Y) E(X) E(Y) (Verschiebungssatz) Korrelationskoeffizient: Bemerkungen: ρ(x, Y) = Cov(X, Y) Var(X) Var(Y) ➀ ρ ist r nachgebildet ρ [ ; ] ➁ ρ = Y = a + bx (mit b 0) ➂ ρ = 0 X, Y unkorreliert Varianz einer Summe zweier ZV: Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + Cov(X, Y) Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester 008 0

48 Übersicht 4. Induktive Statistik Einführung Deskriptive Statistik 3 Wahrscheinlichkeitstheoretische Grundlagen 4 Induktive Statistik Grundlagen Punkt-Schätzung Intervall-Schätzung Signifikanztests 5 Finanzmathematik Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Induktive Statistik Grundlagen Grundlagen der induktiven Statistik Vollerhebung of unmöglich, Deshalb: Beobachte Teilgesamtheit und schließe auf Grundgesamtheit Beispiel Warensendung von 000 Stück; darunter M Stück Ausschuss. M ist unbekannt. Zufällige Entnahme von n = 30 Stück ( Stichprobe ). Darunter Stück Ausschuss. Denkbare Zielsetzungen: Schätze M durch eine Zahl (z.b = 66,67) Schätze ein Intervall für M (z.b. M [58; 84]) Teste die Hypothese, dass M > 50 ist. Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester 008

49 Grundbegriffe 4. Induktive Statistik Grundlagen Grundgesamtheit (G): Menge aller relevanten Merkmalsträger. Verteilung von G: F(x) = P(X x) = Wahrscheinlichkeit, dass ein Merkmalsträger ausgewählt wird, der beim untersuchten Merkmal maximal die Ausprägung x aufweist. Uneingeschränkte (reine) Zufallsauswahl: Jedes Element von G hat die selbe Chance, ausgewählt zu werden. Stichprobenumfang (n): Anzahl der Merkmalsträger in der Stichprobe. Einfache Stichprobe: Uneingeschränkte Zufallsauswahl und unabhängige Ziehung. Alle Stichprobenvariablen X,..., X n sind iid. Stichprobenergebnis: n-tupel der Realisationen der Stichprobenvariablen, (x,...,x n ). Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Induktive Statistik Grundlagen Wichtige Stichprobenfunktionen Gegeben: Einfache Stichprobe X,...,X n, Beliebige Verteilung, mit E(X i ) = µ, Var(X i ) = σ Stichprobenfunktion V Bezeichnung E(V) Var(V) X i Merkmalssumme nµ nσ X = σ X n i Stichprobenmittel µ n X µ n Gauß-Statistik 0 σ n n (X i µ) mittlere quadratische Abweichung bezüglich µ σ (X i X) mittlere quadratische Abweichung S = n S = S n n (X i X) Stichprobenvarianz σ Stichproben-Standardabweichung σ X µ n S t-statistik Herleitungen: BB S. 40 Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester 008 4

50 Testverteilungen 4. Induktive Statistik Grundlagen ➀ Chi-Quadrat-Verteilung: Sind X,...,X n iid N(0;)-verteilte ZV, so wird die Verteilung von Z = als Chi-Quadrat-Verteilung mit n Freiheitsgraden bezeichnet. X i Kurzschreibweise: Z χ (n) Beispiel: χ (30): x 0,975 = 46,98 Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Induktive Statistik Grundlagen Testverteilungen: Tabelle der χ -Verteilung (BB S. 34) Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester 008 6

51 Testverteilungen 4. Induktive Statistik Grundlagen ➁ t-verteilung: Ist X N(0;), Z χ (n), X, Z unabhängig, so wird die Verteilung von T = X n Z als t-verteilung mit n Freiheitsgraden bezeichnet. Kurzschreibweise: T t(n) Beispiel: t(0) x 0,6 = 0,60, x 0,5 = 0, x 0, = x 0,9 =,37 Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Induktive Statistik Grundlagen Testverteilungen: Tabelle der t-verteilung (BB S. 30) Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester 008 8

52 Punkt-Schätzung 4. Induktive Statistik Punkt-Schätzung Ein unbekannter Parameter ϑ der Verteilung von G soll auf Basis einer Stichprobe geschätzt werden. Zum Beispiel: σ von N(0; σ) Schätzwert: ˆϑ Vorgehen: Verwendung einer Schätzfunktion ˆΘ = g(x,...,x n ) Beachte: Der Schätzwert ˆϑ ist die Realisierung der ZV (!) Frage: Welche Stichprobenfunktion ist zur Schätzung geeignet? Kriterien für die Beurteilung/Konstruktion von Schätzfunktionen! Im Folgenden: Vorliegen einer einfachen Stichprobe, d.h. X,...,X n iid. ˆΘ. Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Induktive Statistik Punkt-Schätzung Erwartungstreue und Wirksamkeit Eine Schätzfunktion ˆΘ = g(x,...,x n ) heißt erwartungstreu oder unverzerrt für ϑ, wenn unabhängig vom numerischen Wert von ϑ gilt: E(ˆΘ) = ϑ Beispiel Sind ˆΘ = X, ˆΘ = X +X n, ˆΘ = n a) ˆΘ: E( X) = µ ˆΘ ist erwartungstreu. b) ˆΘ : E ( X +X n ˆΘ ist erwartungstreu. ( ) c) ˆΘ : E X i ˆΘ n X i erwartungstreu für µ? ) = [E(X ) + E(X n )] = = n ist nicht erwartungstreu E(X i ) = n (µ + µ) = µ µ = n n µ µ Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester 008 0

53 4. Induktive Statistik Punkt-Schätzung Erwartungstreue und Wirksamkeit Welche der erwartungstreuen Schätzfunktionen ˆΘ, ˆΘ ist besser? Von zwei erwartungstreuen Schätzfunktionen ˆΘ, ˆΘ für ϑ heißt ˆΘ wirksamer als ˆΘ, wenn unabhängig vom numerischen Wert von ϑ gilt: Var(ˆΘ) < Var(ˆΘ ) Beispiel: (ˆΘ = X, Wegen ˆΘ = X +X n ) Var(ˆΘ) = Var( X) Var(ˆΘ ) = Var ( X +X (falls n > ) ist ˆΘ wirksamer als ˆΘ. = σ n ) = 4 (σ + σ ) = σ Var(ˆΘ) < Var(ˆΘ ) Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester 008 Intervall-Schätzung 4. Induktive Statistik Intervall-Schätzung Für einen unbekannten Verteilungsparameter ϑ soll auf Basis einer Stichprobe ein Intervall geschätzt werden. Verwendung der Stichprobenfunktionen V u, V o, so dass V u V o und P(V u ϑ V o ) = α stets gelten. [V u ; V o ] heißt Konfidenzintervall (KI) für ϑ zum Konfidenzniveau α. Beachte: Das Schätzintervall [v u ; v o ] ist Realisierung der ZV (!) V u, V o. Irrtumswahrscheinlichkeit α (klein, i.d.r. α 0,) Frage: Welche Konfidenzintervalle sind zur Schätzung geeignet? Hängt von Verteilung von G sowie vom unbekannten Parameter (µ, σ ) ab! Im Folgenden: Einfache Stichprobe X,...,X n mit E(X i ) = µ, Var(X i ) = σ Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester 008

54 Intervall-Schätzung 4. Induktive Statistik Intervall-Schätzung Wichtiger Spezialfall: Symmetrische Konfidenzintervalle Symmetrisch heißt nicht, dass die Dichte symmetrisch ist, sondern übereinstimmende W keiten für Über-/Unterschreiten des KI, d.h. P(V u > ϑ) = P(V o < ϑ) = α Wichtig: Eine Verkleinerung von α bewirkt eine Vergrößerung des KI. Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Induktive Statistik Intervall-Schätzung Überblick Intervallschätzung (BB S. 7) Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester 008 4

55 4. Induktive Statistik Intervall-Schätzung 3.. KI für µ bei Normalverteilung mit bekanntem σ Vorgehensweise: Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Intervallschätzung: Beispiel 4. Induktive Statistik Intervall-Schätzung Beispiel Normalverteilung mit σ =,4 (x,...,x 9 ) = (84,;8,6;85,3;84,5;86,;83,9;85,0;87,;84,4) Gesucht: KI für µ zum Konfidenzniveau α = 0,99. α = 0,99. N(0;): c = x α = x 0,0 = x 0,995 =,576 (Tab. 3; Interpolation) 3. x = 9 (84, ,4) = 84,8 σc 4. n =,4,576 9 =,06 5. KI = [84,8,06;84,8 +,06] = [8,74;86,86] Interpretation: Mit 99 % Wahrscheinlichkeit ist µ [8,74; 86,86]. Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester 008 6

56 Wichtige Fraktilswerte 4. Induktive Statistik Intervall-Schätzung Wichtige N(0; )-Fraktilswerte: α x α 0,9,855 0,95, ,975, ,99, ,995,57589 (I.d.R. genügen drei Nachkommastellen.) Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Intervalllänge 4. Induktive Statistik Intervall-Schätzung Im Fall 3.. gilt offenkundig L = V o V u = σc n Welcher Stichprobenumfang n sichert eine vorgegebene (Maximal-)Länge L? Nach n auflösen! ( σc n L Eine Halbierung von L erfordert eine Vervierfachung von n! Angewendet auf letztes Beispiel: ) L = 4 n ( ),4,576 4 = 9,556 n 0 L = n ( ),4,576 = 38, n 39 Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester 008 8

57 Konfidenzintervalllänge 4. Induktive Statistik Intervall-Schätzung KI für µ bei Normalverteilung mit unbekanntem σ Vorgehensweise: Zu Schritt : Falls n > 30 wird die N(0; )-Verteilung verwendet. Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Konfidenzintervalllänge 4. Induktive Statistik Intervall-Schätzung Beispiel: Wie das letzte Beispiel, jedoch σ unbekannt.. α = 0,99. t(8): c = x α = x 0,0 = x 0,995 = 3,355 (Tab. 4) 3. x = 9 (84, ,4) = 84,8 s = 8 [(84, ,4 ) 9 84,8 ] =,3 4. sc n =,3 3,355 9 =,47 5. KI = [84,8,47;84,8 +,47] = [83,33;86,7] Interpretation: Mit 99 % Wahrscheinlichkeit ist µ [83,33; 86,7]. Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester

58 4. Induktive Statistik Intervall-Schätzung Konfidenzintervall für µ bei beliebiger Verteilung Voraussetzung: n > 30, bzw. falls G dichotom: 5 n Vorgehensweise: x i n 5 Zu Schritt 3: Manchmal kann anderer Schätzwert ˆσ sinnvoller sein. Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Induktive Statistik Intervall-Schätzung Konfidenzintervall für µ bei beliebiger Verteilung Beispiel: Poisson-Verteilung mit λ (= µ = σ ) unbekannt. (x,...,x 40 ) = (3;8;... ;6) Gesucht: KI für λ zum Konfidenzniveau α = 0,9. α = 0,9. N(0;) : c = x α = x 0, = x 0,95 =, x = ( ) = 6,5 40 ˆσ = x = 6,5 =,55 (da σ = λ) ˆσc,55, = = 0,66 n KI = [6,5 0,66;6,5 + 0,66] = [5,84;7,6] Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester 008 3

59 4. Induktive Statistik Intervall-Schätzung 3. KI für σ bei Normalverteilung Vorgehensweise: Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Induktive Statistik Intervall-Schätzung KI für σ bei Normalverteilung Beispiel: G N(µ;σ); (x,...,x 5 ) = (;,5;,5;3;) Gesucht: KI für σ zum Konfidenzniveau α = 0,99. α = 0,99. χ (5) : c = x α = x 0,005 = 0,4; c = x α = x 0,995 = 6,75 3. x = 5 ( +,5 + + ) = 5 (x i x) = ( ) +(,5 ) +(,5 ) +(3 ) +( ) =,5 4. v u =,5 6,75 = 0,5; v o =,5 0,4 = 6,0 5. KI = [0,5; 6,0] (Extrem groß, da n klein.) Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester

60 Signifikanztests 4. Induktive Statistik Signifikanztests Vorliegen einer Hypothese über die Verteilung(en) der Grundgesamtheit(en). Beispiele: - - Der Würfel ist fair. Die Brenndauern zweier unterschiedlicher Glühbirnensorten sind gleich. Die Hypothese soll anhand einer Stichprobe überprüft werden. Prinzip: - Hypothese verwerfen, wenn signifikanter Widerspruch zur Stichprobe. - Ansonsten: Hypothese nicht verwerfen. Eine verworfene Hypothese gilt als statistisch widerlegt. Nicht-Verwerfung ist dagegen ein Freispruch aus Mangel an Beweisen. Zu Beachten: Nicht-Verwerfung ist kein statistischer Beweis, dass Hypothese wahr ist! ( Trick : Hypothese falsch Gegenhypothese wahr!) Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Einstichproben-Gaußtest 4. Induktive Statistik Signifikanztests Zunächst: - G N(µ; σ) mit σ bekannt - Einfache Stichprobe X,..., X n - (Null-)Hypothese H 0 : µ = µ 0 Beispiel: X,..., X 5 mit X i = Füllmenge der i-ten Flasche N(µ;,5) Nullhypothese H 0 : µ = 500, d.h. µ 0 = 500 Je nach Interessenlage sind unterschiedliche Gegenhypothesen möglich: Entscheidung: a) H : µ µ 0 b) H : µ < µ 0 c) H : µ > µ 0 H 0 : µ = µ 0 wird abgelehnt gegenüber a) H : µ µ 0, wenn x µ 0 sehr groß ist b) H : µ < µ 0, wenn x weit kleiner als µ 0 ist c) H : µ > µ 0, wenn x weit größer als µ 0 ist Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester

61 Einstichproben-Gaußtest 4. Induktive Statistik Signifikanztests Alternatives Kriterium: v = x µ 0 σ n Vorteil: Verteilung bekannt: N(0; ) Dann: H 0 : µ = µ 0 wird abgelehnt gegenüber a) H : µ µ 0, wenn v sehr groß ist b) H : µ < µ 0, wenn v sehr negativ ist c) H : µ > µ 0, wenn v sehr positiv ist Mögliche Fehlentscheidungen Ablehnung von H 0, obwohl H 0 richtig ist: Fehler. Art Nicht-Ablehnung von H 0, obwohl H 0 falsch ist: Fehler. Art H 0 beibehalten H 0 richtig H 0 ablehnen H 0 beibehalten H 0 falsch H 0 ablehnen Signifikanzniveau α: Maximal erlaubte Wahrscheinlichkeit für einen Fehler. Art. Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Einstichproben-Gaußtest 4. Induktive Statistik Signifikanztests Mithilfe von α und V kann geklärt werden, was sehr groß usw. heißt: Wahrscheinlichkeit für Fehler. Art im Fall a): v > x, obwohl H 0 richtig: P( V > x) = P(V > x) + P(V < x) = P(V > x) (Symmetrie der Normalverteilung) = [ P(V x)] = [ Φ(x)]! = α Φ(x) = α x = x α H 0 wird demnach verworfen, wenn v > x α bzw. v B ist. B = ( ; x α ) (x α ; ) heißt Verwerfungsbereich. Analoge Vorgehensweise für die Fälle b) und c) Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester

62 Einstichproben-Gaußtest 4. Induktive Statistik Signifikanztests Insgesamt: Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Einstichproben-Gaußtest 4. Induktive Statistik Signifikanztests Beispiel: X,...,X 5 mit X i N(µ;,5) und x = 499,8 Prüfe H 0 : µ = 500, H : µ 500 zum Signifikanzniveau α = 0,0 Lösung: Einstichproben-Gaußtest, Fall a). α = 0,0. v = 499,8 500,5 5 =,4 3. N(0;) : x α = x 0,005 = x 0,995 =,576 B = ( ;,576) (,576; ) 4. v / B H 0 nicht verwerfen Interpretation: Zum Signifikanzniveau % kann der Brauerei keine Abweichung vom Sollwert µ 0 = 500 nachgewiesen werden. Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester

63 4. Induktive Statistik Signifikanztests Aufbau und Klassifikation von Signifikanztests Der jeweils geeignete Test hängt ab von... dem zu testenden Hypothesenpaar H 0, H ; unterscheide: - Parametrische Hypothesen: Beziehen sich auf unbekannte(n) Verteilungsparameter (µ, σ,...) - Nichtparametrische Hypothesen: Beinhalten sonstige Aussagen, z.b. Alter und Einkommen sind unabh. den Voraussetzungen an die Verteilung/parameter (z.b. G N(µ; σ)) den Voraussetzungen an den Stichprobenumfang (z.b. n > 30) Art und Anzahl der Stichproben; unterscheide: - Signifikanztests bei einer einfachen Stichprobe - Signifikanztests bei mehreren unabhängigen Stichproben - Signifikanztests bei zwei verbundenen Stichproben Hier nur einfache Stichproben Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Induktive Statistik Signifikanztests Signifikanztests bei einer einfachen Stichprobe (BB S. 84) Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester 008 4

64 4. Induktive Statistik Signifikanztests Einstichproben-t-Test und approximativer Gaußtest Gegeben: Einfache Stichprobe X,...,X n mit E(X i ) = µ, Var(X i ) = σ Hypothesenpaare: Voraussetzungen: a) H 0 : µ = µ 0 H : µ µ 0 b) H 0 : µ = µ 0 (oder µ µ 0 ), H : µ < µ 0 c) H 0 : µ = µ 0 (oder µ µ 0 ), H : µ > µ 0. Normalverteilung mit σ unbekannt (Einstichproben-t-Test) oder. Beliebige Verteilung mit n > 30 bzw. 5 x i n 5 (bei B(; p)) (approximativer Gaußtest) Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Induktive Statistik Signifikanztests Einstichproben-t-Test, approx. Gaußtest; Vorgehensweise Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester

65 4. Induktive Statistik Signifikanztests Einstichproben-t-Test, approx. Gaußtest Beispiel: {, falls i-te Person Wähler der Partei X,..., X 000 B(; p) mit X i = 0, sonst 000 x i = 08 Prüfe H 0 : p 0,05 gegen H : p > 0,05 zum Signifikanzniveau % Lösung: approx. Gaußtest, Fall c); Voraussetzung erfüllt: α = 0,0. v = ,05 0,05 ( 0,05) 000 = 0,8 3. N(0; ) : x α = x 0,98 =,05 (Tab. 3) B = (,05; ) 4. v / B H 0 nicht verwerfen Zusatzfrage: Entscheidung, falls α = 0,0? Keine Änderung! Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Induktive Statistik Signifikanztests Chi-Quadrat-Test für die Varianz Gegeben: Einfache Stichprobe X,..., X n N(µ; σ) Hypothesenpaare: Vorgehensweise: a) H 0 : σ = σ 0 H : σ σ 0 b) c) H 0 : σ = σ 0 H 0 : σ = σ 0 (oder σ σ 0 ), (oder σ σ 0 ), H : σ < σ 0 : σ > σ 0 Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester

66 4. Induktive Statistik Signifikanztests Chi-Quadrat-Test für die Varianz Beispiel: G N(µ; σ) (x,...,x 0 ) = (00; 30; 50; 70; 0; 070; 30; 50; 30; 00) Prüfe H 0 : σ = 40, H : σ 40 zum Signifikanzniveau α = 0, Lösung: χ -Test für die Varianz, Fall a); Voraussetzungen erfüllt. α = 0,. x = 0 ( ) = 64 v = 40 [(00 64) + (30 64) + + (00 64) ] = 6,65 3. χ (9) : x α = x 0,05 = 3,33; x α B = [0; 3,33) (6,9; ) 4. v / B H 0 nicht verwerfen = x 0,95 = 6,9 (Tab. 5) Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester Übersicht 5. Finanzmathematik Einführung Deskriptive Statistik 3 Wahrscheinlichkeitstheoretische Grundlagen 4 Induktive Statistik 5 Finanzmathematik Lernziele Zins- und Zinseszinsrechnung Äquivalenzprinzip und Kapitalwert Rentenrechnung Tilgungsrechnung Etschberger (HS Weingarten) Mathematik Sommersemester