Informationsverarbeitung in IT-Systemen

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1 Informationsverarbeitung in IT-Systemen Informationsverarbeitung in IT-Systemen Signalarten Präfixe Zahlensysteme Rechnen mit Dualzahlen Darstellung negativer Dualzahlen Codes Paritätsprüfung Digitaltechnik Jörg Harms

2 Metrische Präfixe Binärpräfixe Präfixe Jörg Harms 3 Metrische Präfixe Exp. Präfix Kürzel -3 Milli m -6 Mikro µ -9 Nano n - Pico p - Femto f -8 Atto a - Zepto z -4 Yocto y Exp Präfix Kilo Mega Giga Terra Peta Exa Zetta Yotta Kürzel k M G T P E Z Y Jörg Harms 4

3 Binärpräfixe () Präfix Kürzel Exp. Unterschied dezimal Präfix Kibibyte KiB Mebibyte MiB Gibibyte GiB 3 Tebibyte TiB 4 Pebibyte PiB Exbibyte EiB 6 Zebibyte ZiB 7 Yobibyte YiB 8 Lösung Jörg Harms Binärpräfix () Um Verwechslungen zu vermeiden, sollte man bei Angaben von Speichergrößen Binärpräfixe verwenden Für höherwertige Präfixe wird die eindeutige Unterscheidung von Dezimalund Binärpräfixen zunehmend wichtiger, Unterschied zwischen kb und KiB,4 %, der von TB und TiB % Jörg Harms 6 3

4 Bit, Byte und Wort Ein Bit ist die kleinste Informationseinheit Eine Bitfolge, die eine Einheit bildet, bezeichnet man als Wort Bitnummer Bitfolge Bit MSB (Most Significant Bit) 8 bit = Byte LSB (Least Significant Bit) Jörg Harms 7 Metrische- vs. Binärpräfixe () Unterschiedliche Bedeutung der Präfixe Speicher-, Datei- und Datenbankgrößen kleinste adressierbare Einheit ist das Byte Kilo bedeutet hier (4) anstatt 3 () Speichergrößen sind immer eine Potenz von kbyte Speicher sind 4 Byte MByte sind (.48.76) Byte GByte sind 3 ( ) Byte Achtung Jörg Harms 8 4

5 Metrische- vs. Binärpräfixe () Unterschiedliche Bedeutung der Präfixe Übertragungsgeschwindigkeiten Angabe in Bit pro Sekunde Kilo bedeutet hier 3 () Datenrate von kbit/s sind Bit pro Sekunde Mbit/s sind.. Bit pro Sekunde Jörg Harms 9 Zahlensysteme

6 Jörg Harms Zahlensysteme in der Informatik 8 Oktal (8) Sedezimal (6) F E D C B A Dual () Dezimal () Jörg Harms Dezimalsystem, 8,, 7 6 Zahlenwert,,, Komma Zahl Stellenwertigkeit Stellenwertigkeit Stellen Nr. - -,, ,8 = = , +, = 67,8 Basis ; Ziffern,,, 3, 4,, 6, 7, 8, 9

7 Basis ; Ziffern, Dualsystem Stellen Nr. Stellenwertigkeit Stellenwertigkeit Komma - - -, - 4,,, Zahl, Zahlenwert 8 4,,,, dual = = , +, = 3, Jörg Harms 3 Hexadezimalsystem Basis 6; Ziffern,,, 3, 4,, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F Stellen Nr. Stellenwertigkeit Stellenwertigkeit Komma , 6-6 6,,6 Zahl B, Zahlenwert 6 6,,6 B, hex = B = ,6 = 63, Jörg Harms 4 7

8 Umwandlung Dual - Dezimal Beispiel: Z =, Methode: Potenzwertverfahren, = , = 9, Jörg Harms Umwandlung Dezimal Dual () Beispiel: Z =,3 Methode: Restwertverfahren Ganzzahliger Anteil : = Rest : = Rest : = Rest : = Rest Dualzahl: = Probe: = = Jörg Harms 6 8

9 Umwandlung Dezimal Dual () Nachkomma Anteil,3 * =,6 +,6 * =, +, * =,4 +,4 * =,8 +,8 * =,6 + = Dualzahl:,3 =, Probe:, = =, Jörg Harms 7 Arbeitshilfe Stellenwertigkeit im Hexadezimalsystem ,6, Jörg Harms 8 9

10 Umwandlung Hexadezimal - Dezimal Beispiel: Z = A78 6 Methode: Potenzwertverfahren A78 6 = = = Jörg Harms 9 Umwandlung Dezimal - Hexadezimal Beispiel: Z = 8,6 Methode: Restwertverfahren Vorkommateil Nachkommateil 8 : 6 = Rest,6 6 =, + : 6 = Rest, 6 =, + Z =, 6 Probe:, 6 = = 8, Jörg Harms

11 Umwandlung Hexadezimal - Dual Beispiel: Z = AB,EF 6 =, Jörg Harms Umwandlung Dual - Hexadezimal Beispiel: Z =, = 9 3, Jörg Harms

12 Fehlererkennung und -korrektur Problem: Wie kann man Fehler bei der Übertragung binärer Signale erkennen oder sogar korrigieren. Parität Siehe IT-Handbuch S. 397 CRC-Codes Jörg Harms 3 Addition von Dualzahlen + =, +, =, + = + = + = Übertrag (Carry) Zahl A 6 Zahl B Carry (Übertrag) Summe Jörg Harms 4

13 Übung Addition von Dualzahlen Gesucht: a) + b) + c) + d) Jörg Harms Lösung Addition von Dualzahlen () Gesucht: a) + b) Jörg Harms 6 3

14 Lösung Addition von Dualzahlen () Gesucht: c) + d) Jörg Harms 7 Subtraktion von Dualzahlen - = - = entleihen einer von der nächst höheren Stelle - = - = Zahl A 6 Zahl B Borrow (Übertrag) Summe Jörg Harms 8 4

15 Übung Subtraktion von Dualzahlen Gesucht: a) - b) - c) + d)! Jörg Harms 9 Lösung Subtraktion Dualzahlen () Gesucht: a) b) Jörg Harms 3

16 Jörg Harms 3 Lösung Subtraktion Dualzahlen () Gesucht: c) - d)! Jörg Harms 3 Lösung Addition von Dualzahlen () Gesucht: c) + d) +

17 Darstellung negativer Zahlen Möglichkeiten: Darstellung mit Betrag und Vorzeichen (Vorzeichendarstellung) Zweierkomplement-Darstellung Stellenkomplement-Darstellung oder Einerkomplement-Darstellung Jörg Harms 33 Darstellung mit Betrag und Vorzeichen () Voraussetzung ist eine feste Wortbreite das am weitesten links stehende Bit (MSB) wird als Vorzeichenbit genutzt. MSB = positive Zahl MSB = negative Zahl die restlichen Bits stellen den Betrag dar Beispiel: = +8 = -8 Vorzeichen-Bit Jörg Harms 34 7

18 Darstellung mit Betrag und Vorzeichen () Beispiel mit 4 Bit Wortbreite = + = +4 = - = -4 = + = + = - = - = + = +6 = - = -6 = +3 = +7 = -3 = -7 Nachteile: die Zahl gibt es zweimal (mit positivem und mit negativem Vorzeichen) positive und negative Zahlen können nicht einfach addiert werden. Ein Addierer muss beim Auftreten von Minuszeichen auf Subtraktion umgeschaltet werden Jörg Harms 3 Zweierkomplement-Darstellung () Voraussetzung ist eine feste Wortbreite man gibt dem MSB ein negatives Gewicht der Stellenwert des MSB einer Zweierkomplementzahl mit n + Bit ist dann die übrigen Bits haben ihre normale Bedeutung die Zahl im Zweierkomplement mit der Ziffernfolge b b... b b n n hat den Wert: n Z = b n n n + bn +... b + b Jörg Harms 36 8

19 Zweierkomplement-Darstellung () Bsp.: 4 Bit Wortbreite = + = -8 = + = -7 = + = -6 = +3 = - = +4 = -4 = + = -3 = +6 = - = +7 = - Nachteile: Unsymmetrischer Zahlenbereich. Der Betrag der kleinsten negativen Zahl ist um größer als die größte positive Zahl Jörg Harms 37 Zweierkomplement-Darstellung (3) Beispiel mit 8 bit Wortbreite: = = = = 3... = = 6 = 7 = -8 = -7 = -6 = -... = -3 = - = Jörg Harms 38 9

20 Zweierkomplement-Darstellung (4) Man erhält den Betrag einer Zweierkomplementzahl, indem man zu ihrem bitweisen Komplement eine addiert. Die Wortbreite einer Zahl im Zweierkomplement wird vergrößert, indem man mit dem Vorzeichenbit auffüllt. Addiert man die Ziffernfolge zu ihrem bitweisen Komplement, erhält man die Ziffernfolge. Das ist die Zahl Jörg Harms 39 Übung: Zweierkomplement Gesucht: Darstellung im Zweierkomplement bei 8 Bit Wortbreite a) -4 b) 6 c) -87 d) -7 e) Jörg Harms 4

21 Übung: Lösung Gesucht: Darstellung im Zweierkomplement bei 8 Bit Wortbreite a) -4 b) 6 c) -87 d) -7 e) Jörg Harms 4 Übung: Zweierkomplement Gesucht: Betrag und Vorzeichen der Zahlen a) b) c) d) Jörg Harms 4

22 Lösung: Zweierkomplement Gesucht: Betrag und Vorzeichen der Zahlen a) : Vorzeichen: neg. Betrag: 7 b) : Vorzeichen: neg. Betrag: 3 c) Vorzeichen: pos. Betrag: 8 d) Vorzeichen: neg. Betrag: Jörg Harms 43 Bildung des Zweierkomplementes () ) Zahl bitweise negieren, d.h. ersetze jede durch eine und jede durch eine. Ergebnis: Einerkomplement oder (B )-Komplement ) Addiere zum Ergebnis eine. Ein evtl. entstehender Übertrag kann entfernt werden. Ergebnis: Zweierkomplement oder B-Komplement Jörg Harms 44

23 Bildung des Zweierkomplementes () Beispiel: Man erhält die Zweierkomplementdarstellung von -7, indem man die Binärdarstellung von 7, also, bildet, davon das bitweise Komplement bildet ( bin ) und addiert. 7 dez bin + bin -7 dez Jörg Harms 4 Bildung des Zweierkomplementes (3) Beispiele für 8 bit Wortbreite: Gegeben negative Dezimalzahl Gesucht Darstellung im Zweierkomplement: = > + = = = > + = = - = > + = = Jörg Harms 46 3

24 Bildung des Zweierkomplementes (4) Beispiele für 8 bit Wortbreite: Zweierkomplement einer Zahl: = > + = = = > + = = - = > + = = - Betrag einer neg. Zahl im Zweierkomplement: - = > + = = -7 = > + = = Jörg Harms 47 Subtraktion als Addition des Zweierkomplements Man führt die Subtraktion einer Zahl auf eine Addition der negativen Zahl zurück. Zur Berechnung von (3 7), addiert man 3 + (-7), 7 dez bin + bin 3 dez + -7 dez bin -4 dez Das erste Bit zeigt an, dass das Ergebnis negativ ist. Den Betrag findet man, indem man das Zweierkomplement bildet ( bin ), also Jörg Harms 48 4

25 Subtraktion als Addition des Zweierkomplements -- Übung Jörg Harms 49 Subtraktion als Addition des Zweierkomplements -- Lösung a) 84 = + b) 97 9 c) 97 8 d) Jörg Harms

26 Fehlerquellen beim Rechnen im Zweierkomplement () Begrenzter darstellbarer Zahlenbereich Eine arithmetische Operation mit positiven Zahlen kann fehlerhafte Resultate liefern, weil der darstellbare Zahlenbereich begrenzt ist. Die größte negative Zahl und die größte positive Zahl sind benachbart Eine arithmetische Operation in Zweierkomplement-Darstellung kann fehlerhafte Resultate liefern, weil die größte negative Zahl und die größte positive Zahl benachbart sind. Ob beim Rechnen ein Übertrag aus dem MSB stattgefunden hat, zeigt das Rechenwerk durch ein Carry -Bit an. Ob beim Rechnen ein Übertrag in die höchste Stelle stattgefunden hat, zeigt das Rechenwerk durch ein Overflow -Bit an Jörg Harms Festkommadarstellung siehe IT-Handbuch Jörg Harms 6

27 Gleitkommadarstellung siehe IT-Handbuch Jörg Harms 3 Rechnen mit Dualzahlen Addition von Dualzahlen direkte Subtraktion von Dualzahlen Jörg Harms 4 7

28 Digitaltechnik () Logische Grundverknüpfungen Schaltzeichen, Symbol Wahrheitstabelle Schaltfunktion Umsetzung der logischen Zustände in physikalische Größen Pegel und Potenziale Arbeitstabelle pos. und neg. Logik Jörg Harms Digitaltechnik () Analyse von Schaltnetzen Wahrheitstabelle Funktionsgleichung in DNF und KNF Minimierung mit Hilfe der Schaltalgebra Minimierung mit Hilfe von KV-Tafeln für DNF und KNF Abhängigkeitsnotation Jörg Harms 6 8

29 Digitaltechnik (3) Synthese von Schaltnetzen Wahrheitstabelle Funktionsgleichung in DNF und KNF Minimierung mit Hilfe der Schaltalgebra Minimierung mit Hilfe von KV-Tafeln für DNF und KNF Umsetzung in Funktionsplan Jörg Harms 7 Digitaltechnik (4) Schaltnetze aus 3 Auswahl Halb- und Volladdierer Schaltwerke Vorwärts- und Rückwärtszähler Schiebregister Jörg Harms 8 9

30 XOR Anwendung Verschleierung (GA, ) RAID (ZP, ) Jörg Harms 9 Code-Umsetzer BIN/7SEG Schaltsymbol nach DIN 49 Wertetabelle Minimierte Gleichungen für die Segmente 7 Segment Anzeige a f g b e c d Jörg Harms 6 3

31 Jörg Harms 6 BIN/7SEG - Wertetabelle F E 4 d 3 C b A Anz g f e d c b a A B C D a b c d e f g Jörg Harms 6 Segment a a = (/C * /A ) + ( C * B ) + (/D * B ) + ( D * /A ) + (/D * C * A ) + ( D * /C * /B ) C A /A /C /C /D B 8 D /B /D a

32 Segment b b /A A /D D /D /B B b = (/C * /A ) + (/C * /B ) + (/D * /B * /A ) + ( D * /B * A ) + (/D * B * A ) /C C /C Jörg Harms 63 Segment c c /A A /D D /D /B B c = (/D * /B ) + (/B * A ) + (D * /C ) + (/C * A ) + (/D * C ) /C C /C Jörg Harms 64 3

33 Segment d d /A A /D D /D /B B d = ( D * /B ) + ( C * /B * A ) + (/D * /C * /A ) + (/C * B * A ) + ( C * B * /A ) /C C /C Jörg Harms 6 Segment e e /A A /D D /D /B B e = ( D * B ) + ( B * /A ) + ( D * C ) + ( /C * /A ) /C C /C Jörg Harms 66 33

34 Segment f f /A A /D D /D /B B f = ( D * B ) + ( D * /C ) + ( C * /A ) + (/D * C * /B ) + (/B * /A ) /C C /C Jörg Harms 67 Segment g g /A A /D D /D /B B g = ( D * B ) + ( B * /A ) + ( D * A ) + ( D * /C ) + (/D * C * /B ) + /C C /C (/C * B * A ) Jörg Harms 68 34

35 Schaltwerke Flipflops RS-Flipflop D-Flipflop JK-Flipflop Zähler Blockschaltbild (DIN 49) Asynchroner 3 Bit Zähler Asynchroner DIV 6 Zähler Jörg Harms 69 Schaltwerke () Schieberegister Blockschaltbild Aufbau aus D-Flipflops 4 Bit Schieberegister Anwendung Parallel- / Seriellwandlung Multiplikation mit (linksschieben) Division durch (rechtsschieben). Bei der Darstellung im Zweierkomplement muss das MSB (Vorzeichenbit nachgezogen werden Jörg Harms 7 3

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