Zahlensysteme und Kodes. Prof. Metzler

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1 Zahlensysteme und Kodes 1

2 Zahlensysteme und Kodes Alle üblichen Zahlensysteme sind sogenannte Stellenwert-Systeme, bei denen jede Stelle innerhalb einer Zahl ein besonderer Vervielfachungsfaktor in Form einer Potenz zugeordnet wird. Beispiel Dezimalsystem: 3458 = =

3 Duales Zahlensysteme In der digitalen Verarbeitungstechnik wird aus folgenden Gründen zumeist das duale Zahlensystem mit der Basis 2 sowie den Ziffern 0 und 1 benutzt: Eine Dualstelle kann technisch leicht durch ein binäres Element realisiert werden. Dadurch wird das System störunempfindlich. Der Ziffernaufwand (Summe aller erforderlichen Ziffern) zum Darstellen von Zahlen in einem vorgegebenen Bereich ist beim dualen Zahlensystem um 1/3 kleiner als beim dezimalen. Dadurch werden Speicher kleiner und billiger. Schaltungen zum Verarbeiten von Dualzahlen lassen sich mit Hilfe der Schaltalgebra leicht entwickeln. 3

4 Aufbau des dualen Zahlensysteme Stehen nur die Ziffern 0 und 1 zur Verfügung, so muss jeder Stelle innerhalb einer Zahl eine Zweierpotenz zugeordnet werden: = = = 22 Zur Unterscheidung der Zahlensysteme wird an die Dualzahl (auch Binärzahl, englisch: binary number) ihre Basis 2 tiefgestellt angehängt. Definition: Die einzelnen binären Ziffern werden Bits genannt. Das Bit ganz links heißt MSB (englisch: most significant bit = höchstwertiges Bit), das Bit ganz rechts LSB (least significant bit = niederwärtiges Bit). 4

5 Umwandlung binär dezimal Eine Binärzahl wird gemäß dem Aufbau des dualen Zahlensystems in eine Dezimalzahl umgewandelt. Zweckmäßigerweise kann dazu eine Tabelle eingesetzt werden, die nach links beliebig erweiterbar ist: Tabelle zur Umwandlung von Dualzahlen in Dezimalzahlen 5

6 Umwandlung binär dezimal Wie kann man die Zahl 900 in eine Dualzahl umrechnen? 6

7 Oder mit einer Tabelle. Umwandlung binär dezimal 7

8 Umwandlung binär dezimal Vom Dezimalsystem ins Dualsystem Es gibt mehrere Möglichkeiten der Umrechnung ins Dualsystem. Im Folgenden ist die Divisionsmethode (auch Modulo-Methode genannt) am Beispiel 41 (10) beschrieben. Die entsprechende Dualzahl ergibt sich durch Notation der errechneten Reste von unten nach oben: (2). 8

9 Addition: = = = = = 11 Addition von Dualzahlen Übertrag Zahl Zahl Ergebnis 9

10 Negative Dualzahlen: Vorzeichen-Betrags-Darstellung Vorzeichen Betrag Dezimalsystem Digitaltechnik = = 6

11 Dezimalzahl Vorzeichen- Betrags-Darstellung

12 Dezimalzahl Vorzeichen- Betrags-Darstellung

13 Darstellung negativer Dualzahlen Positive und negative Zahlen werden in der Mathematik normalerweise durch ihren Betrag und ihr Vorzeichen dargestellt (+ 4, - 3). Diese Vorzeichen-Betrags-Darstellung ist auch in der Digitaltechnik gebräuchlich, wobei das positive Vorzeichen + durch die binäre 0 und das negative Vorzeichen durch die binäre 1 gebildet wird. Vorzeichen und Betrag werden also gleichermaßen durch Binärstellen (Bits) dargestellt, so dass sie zunächst nicht voneinander zu unterscheiden sind. Das Vorzeichenbit steht in der Regel links von den Betragsbits. 13

14 Darstellung negativer Dualzahlen Die Vorzeichen-Betragsdarstellung ist in der Digitaltechnik nicht immer optimal. Bei arithmetischen Operationen bevorzugt man die Komplement-Darstellung für negative Zahlen. Definition: Das Einer-Komplement einer negativen Zahl erhält man durch einfache Inversion, d.h. durch Vertauschen von Nullen und Einsen der positiven Zahl in der Vorzeichen-Betrags-Darstellung. Definition: Das Zweier-Komplement erhält man aus dem Einer-Komplement, indem eine 1 in der niedrigsten Stelle hinzu addiert wird. 14

15 Dezimalzahl Vorzeichen- Betrags-Darstellung Einer-Komplement

16 Dezimalzahl Vorzeichen- Betrags-Darstellung Einer-Komplement

17 Dezimalzahl Vorzeichen- Betrags-Darstellung Einer-Komplement

18 Dezimalzahl Vorzeichen- Betrags-Darstellung Einer-Komplement

19 Dezimalzahl Vorzeichen- Betrags-Darstellung Einer-Komplement

20 Bildung des Komplements einer Zahl Beispiel: Man erhält zum Beispiel die Zweierkomplementdarstellung von -6, indem man zuerst die Binärdarstellung von +6, also (0110) 2 bildet. Davon bildet man das Einerkomplement - also (1001) 2 - und addiert 1. Man erhält also als Zweierkomplementdarstellung der Zahl (-6) 10 die Binärdarstellung (1010) 2. Im Dualsystem ergänzen sich Komplement und abziehende Zahl bei n-stelliger Darstellung zu 2 n. Bei vierstelliger Darstellung muss das Komplement und abzuziehende Zahl sich zu 2 4 = 16 ergänzen! 14-7 oder

21 Dezimalzahl Vorzeichen- Betrags-Darstellung Einer-Komplement Zweier-Komplement

22 Dezimalzahl Vorzeichen- Betrags-Darstellung Einer-Komplement Zweier-Komplement

23 Dezimalzahl Vorzeichen- Betrags-Darstellung Einer-Komplement Zweier-Komplement

24 Dezimalzahl Vorzeichen-Betrags- Darstellung Einer-Komplement Zweier-Komplement

25 Dezimalzahl Vorzeichen-Betrags- Darstellung Einer-Komplement Zweier-Komplement ????

26 Darstellung negativer Dualzahlen Dezimalzahl Vorzeichen-Betrags-Darstellung Einer-Komplement Zweier-Komplement

27 Subtraktion: 0-0 = = = = 1 Übertrag Subtraktion von Dualzahlen Übertrag Minuend Subtrahend Ergebnis 27

28 Subtraktion: 0-0 = = = = 1 Übertrag Subtraktion von Dualzahlen Übertrag Minuend Subtrahend Ergebnis 28

29 Subtraktion von Dualzahlen mit Komplement Im Dualsystem ergänzen sich Komplement und abziehende Zahl bei n-stelliger Darstellung zu 2 n. Bei vierstelliger Darstellung muss das Komplement und abzuziehende Zahl sich zu 2 5 = 32 ergänzen! -> siehe Beispiel nächste Folie 29

30 Subtraktion: 0-0 = = = 0 Subtraktion von Dualzahlen Normale Subtraktion: 0 1 = 1 Übertrag Subtraktion durch Addition mit zweier Komplement: Übertrag entfällt da 5 Stellen! 30

31 Fall: Subtrahend > Minuend kein Übertrag in der letzten Stelle d. h. Ergebnis negativ! Subtraktion von Dualzahlen Minuend Subtrahend Komplement vom Subtrahend Komplement zu 15 Übertrag Zahl von der abgezogen wird Komplement Ergebnis 31

32 Fall: Subtrahend > Minuend Subtraktion von Dualzahlen Wenn bei Addition des Komplements in n-stelliger Darstellung kein Übertrag in die Stelle n+1 auftritt, ist das Ergebnis eine negative Zahl. Um den Betrag der negativen Zahl festzustellen, ist vom Ergebnis das Zweierkomplement zu bilden Ergebnis Komplement Das Komplement einer Zahl kann als negativer Wert dieser Zahl angesehen werden. 32

33 Darstellung von 4-Bit-Wörtern im Zweierkomplement 33

34 Standardformate für Zweierkomplementzahlen Wertebereich Bytes Java C oder oder Bit byte char 16 Bit short int/short oder oder Bit int int/long 64 Bit long

35 Hexadezimales Zahlensystem Im Hexadezimalsystem werden Zahlen in einem Stellenwert-System zur Basis 16 dargestellt. In der Mikrocomputertechnik wird diese Darstellung sehr oft verwendet. Jeder Stelle innerhalb einer Hexadezimalzahl wird eine Sechzehner- Potenz zugeordnet. Man benötigt also 16 Symbole zur Notation der Ziffern. Genutzt werden die bekannten zehn Ziffern des Dezimalsystems und zur Darstellung der sechs zusätzlichen Ziffern die Buchstaben A bis F. 35

36 Darstellung der Hexadezimaleziffern Dezimal Dual Hex A B C D E F 36

37 Hexadezimales Zahlensystem Es existieren unterschiedliche Schreibweisen Hexadezimalzahlen werden mit einem Index oder Präfix versehen 72 16, 72hex, 72h, 72H, 0x72, "72, $72 und X'72'. Das Präfix 0x und das Suffix h werden in der Programmierung verwendet A 2 4 F 16 = A 16 * * * F 16 * 16 0 = A 16 * * * 16 + F 16 * 1 = 10 * * * * 1 = = Im Gegensatz zum Dezimalsystem eignet sich das Hexadezimalsystem mit seiner Basis als vierte Zweierpotenz (16 = 2 4 ) zur einfacheren Notation der Binärzahlen. 37

38 Hexadezimales Zahlensystem Vier Stellen einer Bitfolge auch eine Tetrade (griechisch: Vierergruppe) genannt werden dazu wie eine Dualzahl interpretiert und entsprechen so einer Ziffer des Hexadezimalsystems. Die Hexadezimaldarstellung der Bitfolgen ist leichter zu lesen und schneller zu schreiben. Binär Hexadezimal Dezimal 1111 F F C AFFE

39 Umwandlung hexal dezimal Gleiche Prinzip wie beim Dualsystem Die Ziffern A bis F werden in die entsprechenden Dezimalzahlen gewandelt Tabelle zur Umwandlung von Hexadezimal- in Dezimalzahlen 39

40 Durch Berechnung Umwandlung hexal dezimal : 16 = Rest : 16 = 4 10 Rest (=E 16 ) (=F 16 ) 4 10 : 16 = 0 10 Rest 4 16 Die Hexadezimalzahl wird von unten nach oben gelesen. Also 4FE 40

41 BCD-Code BCD-Code ist eng verwandt mit dem dualen Zahlensystem BCD = Binary Coded Decimals (binär kodierte Dezimalziffer) Zahlendarstellung in Tetraden Von 16 möglichen Tetraden werden nur 10 genutzt 6 dürfen nicht auftreten und heißen Pseudo-Tetraden 41

42 BCD-Code 42

43 BCD-Code Eine n-stellige Dezimalzahl wird im BCD-Code durch n-tetraden dargestellt. Zum Beispiel: 43

44 Addition im BCD-Code Addition wie beim dualen Zahlensystem Übertrag

45 Addition im BCD-Code Problem, wenn Ergebnis in die Pseudotetraden fällt Übertrag Ergibt sich bei der Addition von zwei BCD-Zahlen ein Ergebnis 10 10, so ist zu diesem Ergebnis die Zahl zur Korrektur zu addieren. 45

46 Addition im BCD-Code 2. Tetrade 1. Tetrade Übertrag Übertrag Ergebnis

47 Subtraktion im BCD-Code Die Subtraktion im BCD-Code wird auf eine Addition des Zehnerkomplements der abzuziehenden Zahl zurückgeführt. Das Zehnerkomplement K 10 einer BCD-Tetrade ist die Ergänzung des Tetraden-Wertes zu = Beispiel Zehnerkomplement:

48 Subtraktion im BCD-Code BCD-Tetrade A BCD-Tetrade B: 1. Zehnerkomplement BCD-Tetrade B 2. Addition BCD-Tetrade A und B A B ???? K 10 B A Korrektur

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