Einstiegsvoraussetzungen für das 3. Semester Angewandte Mathematik AM

Transkript

1 Einstiegsvoraussetzungen für das 3. Semester Angewandte Mathematik AM 1. Siehe: Einstiegsvoraussetzungen für das 1. Semester 2. Bereich: Zahlen und Maße 2.1. Fehlerrechnung (Begriffe absoluter und relativer Fehler) Wenn man eine Zahl x durch Messung ermitteln will oder gerundet angibt, dann kennt man nicht x selbst sondern nur einen Näherungswert x 0 von x. Die Zahl x = x 0 x heißt absoluter Fehler, x = x 0 x heißt dann Betrag des absoluter Fehlers und x x x x 0 heißt relativer Fehler. Bsp. Der Radius r eines Kreises liegt zwischen 3,35 cm und 3,45 cm also r = 3,4 ± 0,05cm. Wir runden π auf 3,1, also π = 3,1 ± 0,05 cm. Berechnen Sie den kleinst- und größtmöglichen Kreisumfang U sowie den absoluten und relativen Fehler. U = 21,1 ± 0,7 cm Der absolute Fehler beträgt also 0,7, der relative 0, Logarithmus Rechengesetze: a) log a (uv) = log a u + log a v Der Logarithmus eines Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen der Faktoren. u b) log a = loga u log a v v Der Logarithmus eines Bruches ist gleich der Differenz der Logarithmen von Zähler und Nenner. c) log a (u k ) = klog a u Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem Produkt aus dem Exponenten und dem Logarithmus der Basis. LITEC HTL Paul Hahn Str. Seite 1 von 9

2 1. Schreiben Sie die Gleichung in exponentieller Form an und ermitteln Sie x: a) x = log 2 16 b) x = log 3, c) 3 = log 5 x d) 1 = log x 0,1 Lösung: 3; 0; 125; Vereinfachen Sie und berechnen Sie soweit wie möglich: a) log 2 a log 2 b b) log a x log a c) 1 log4 + 3 log6 2 log(3 x ) a Lösung: log 2 ; 0; log3 b 3. Bestimmen Sie Definitions- und Lösungsmenge der folgenden Gleichungen durch Logarithmieren: a) 2 x+1 = 8 b) 10 x = 100 c) (2 x 3 ) x 4 = (2 x 2 ) x 7 d) 4 x+1 = ( 1 8 )2 Lösung: D = R, L = {2}; D = R, L = {}; D = R, L = {1}; D = R, L = { 4}; LITEC HTL Paul Hahn Str. Seite 2 von 9

3 3. Bereich: Algebra und Geometrie 3.1. Trigonometrie a) Sinus, Kosinus und Tangens eines Winkels im rechtwinkeligen Dreieck b) Berechnungen in allgemeinen Dreiecken und Vierecken c) geometrische Probleme des Fachgebietes behandeln. 1. Gleichschenkeliges Dreieck: a) geg.: a = 160 mm, = 50 ges.:, c, h c, r b) geg.: h a = 50mm, = 70 ges.:, a, c, r, Lösung: a) = 65, c = 135,24 mm, h c = 145,01 mm, = 43,08 mm, r = 88,27 mm b) = 55, a = 53,21 mm, c = 61,04 mm, r = 32,48 mm, = 15,89 mm 2. Trapez: geg.: a = 50cm, b = 35 cm, = 70, = 20 ges.: h, e, f, c, d,, Lösung: h = 11,97cm, e = 20,88 cm, d = 12,74 cm, c = 12,75 cm, f = 47,18 cm, δ = 110, γ = Von einer Anhöhe mit der Höhe h sieht man ein Flussufer unter dem Tiefenwinkel Von der anderen Uferseite aus wird der Höhenwinkel zur Anhöhe gemessen. Berechnen Sie die Flussbreite b für h = 635m, 19,7 und = 18,9. β Lösung: 81,19m α h b 4. Steigung einer Straße Eine Alpenstraße überwindet bei einer Horizontalentfernung von 2000m einen Höhenunterschied von 180m. Berechnen Sie die mittlere Steigung dieser Straße, sowie ihren mittleren Steigungswinkel. Lösung: k = 9%, α = 5,1 6. Zwei Kräfte F 1 = 1,18 kn und F 2 = 2,25 kn stehen normal aufeinander. Berechnen Sie ihre Resultierende R und den Winkel zwischen R und F 1. Lösung: R = 2,54 kn, Winkel = 62,3 LITEC HTL Paul Hahn Str. Seite 3 von 9

4 3.2. Terme Terme vereinfachen, binomische Formeln, faktorisieren durch Herausheben, Anwenden binomischer Formeln und Polynomdivision, Bruchterme vereinfachen, Grund- und Definitionsmenge bestimmen 1. Berechnen Sie unter Verwendung der binomischen Formeln: a) (a 1 2 )2 = d) (3 1 b )3 = g) (a b )2 = b) ( a )2 = e) ( a 3 2)3 = h) (a 1 2 )2 (a ) ² = c) ( 2a 1 2 )2 = f) (ab 1 2 )3 = i) (2a b 1 2 )2 = Lösung: a) a 2 a b) a 2 a c) 4a 2 + 2a d) b + 9 b 2 1 b 3 g) a2 + b ab + a b e) a3 2a2 4a 8 h) 2a 27 3 f) a 3 b 3 3a2 b ab i) 4a 2 + b ab 2a + b 4 2. Faktorisieren Sie mit Hilfe der binomischen Formeln: a) x 2 + 4xy + 4y 2 = d) 16a a + 81 = b) 4v 2 + 4v + 1 = e) a 2 0,25 = c) 25y 2 70y + 49 = f) x 2 64y 2 = Lösung: a)(x + 2y) 2 b) (2v + 1) 2 c) (5y 7) 2 d) (4a + 9) 2 e) (a + 0,5)(a 0,5) f) (x + 8y 2 )(x 8y 2 ) 3. Vereinfachen Sie folgende Bruchterme und bestimmen Sie die Definitionsmenge: a) 2 3x x x x x 2 = b) 7x 4 (x 2)(x+3) 3x 2 x 2 2x + 2x+3 = c) 3+ x 2 +3x 2 x x 9 3x 2x 1 3x+2 x 2 +x = Lösung: a) 6x+23 (x+2)(2x 3) b) 6 x+3 c) 3x 3 2x Gleichungen und Gleichungssysteme a) quadratischer Gleichungen (Lösungsformel), einfache Gleichungen mit trigonometrischen, Exponential- und Logarithmusfunktionen des Fachgebietes 1. Geben Sie die Bedingung für a an, damit die Gleichung 1 2 x2 + 4x + a = 0 a) genau eine Lösung b) zwei Lösungen c) keine reelle Lösung besitzt. d) Geben Sie für a) die Lösung an. Lösung: a) a = 8, b) a < 8, c) a > 8, d) x = -4 LITEC HTL Paul Hahn Str. Seite 4 von 9

5 2. Gegeben ist die Gleichung x 2 3ax = 11 5a 2. Geben sie a so an, dass die Gleichung nur eine Lösung besitzt. Berechnen Sie die Lösung. Lösung: a = 2, x = 3 oder a = -2, x = Berechnen sie die fehlenden Koeffizienten und die zweite Lösung der Gleichung x 2 + px + q = 0 a) p = 7, x 1 = 9; b) q = 30, x 1 = 5. Lösung: a) q = -18, x 2 = 2; b) p = 1, x 2 = Lösen Sie folgende Gleichungen und bestimmen Sie die Definitionsmenge: a) x 13 + x = 13 b) 2x + 3 x = 14 Lösungen: a) D = [13; [, x = 49 b) D = [0; [, x 1 = 49 und x 4 2 = 4, Probe: x 2 = 4: 6 =14 8 = 6 wahre Aussage, L = {4} 5. Formen Sie um auf r =...: l C r a ln R Lösung: r = R e εl Ca 6. Formen Sie um auf z =.: a e z x + b = 1 Lösung: z = x ln 1 b 7. Lösen Sie folgende Gleichungen in der Grundmenge G = [0; 2π[: a) sin2x = 0,8 b) cos x 2 = 0,7 a Lösungen: a) 0,464; 1,107; 3,605;4,249 b) 4,692 b) Gleichungssysteme mit drei und mehr Variablen lösen, Lösungsverhalten von Gleichungssystemen 1. Gegeben ist ein Gleichungssystem in zwei Variablen. Geben Sie die Variablen a und c so an, dass es keine, genau eine bzw. unendlich viele Lösungen gibt. I. 3x 4y = c II. ax + 4y = 15 keine Lösung: genau eine Lösung: unendlich viele Lösungen: Lösung: keine Lösung für a = -3, c -15, unendl. viele Lösungen für a = -3 und c = -15, genau eine Lösung für a -3, c -15 LITEC HTL Paul Hahn Str. Seite 5 von 9

6 2. Lösen Sie folgendes Gleichungssystem: x y + z = 0 4x + 8y = 12-8y 5z = 0 Lösung: x = 1,70, y = 0,65, z = -1, Vektoren im R 2 und R 3 a) Darstellung von Vektoren, Beträge, Orts- und Richtungsvektor b) Verknüpfungen von Vektoren (Multiplikation mit einem Skalar, Addition, Subtraktion, Skalarprodukt, vektorielles Produkt) 1. Gegeben sind Punkte P(3/6) und Q(-1/5). Berechnen Sie den Betrag des Vektor a PQ und seinen Einheitsvektor a 0 und stellen Sie den Vektor grafisch dar. Lösung: a = ( 4 1 ), a = 17, a 0 = ( 0,97 0,24 ) 3 2. Gegeben ist der Vektor a. Berechne seinen Betrag und den Winkel α, den er mit der x-achse einschließt. 2 Lösung: a = 3,61, α = 33,7 3. Vom Vektor b ist der Betrag 4 und der Winkel = 38 zur x-achse, von einem anderen Vektor c der Betrag 3 und der Winkel = 130 zur x-achse. Wie lauten die Koordinaten der beiden Vektoren? Lösung: b = ( 3,15 ), c = ( 1,93 2,46 2,30 ) 4. Resultierende eines ebenen Kräftesystems Ein ebenes Kräftesystem soll reduziert werden, d.h. die Resultierende der Kräfte nach Betrag und Richtung bestimmt werden. Folgende Angaben liegen vor: F 1 = 200 N, F 2 = 300 N, F 3 = 150 N sowie α = 30, β = 50, γ = 60. Lösung: F RX = -94,6 N, F RY = 199,9 N, F R = 221,2 N LITEC HTL Paul Hahn Str. Seite 6 von 9

7 4. Bereich: Funktionale Zusammenhänge Umkehrfunktion (grafisch als Spiegelung an der 1. Mediane) Eigenschaften von Funktionen, wie Nullstelle, Monotonie, Polstelle und Asymptoten Parameter und Eigenschaften wichtiger Funktionen (lineare Funktion, quadratische Funktion, Potenzfunktion, Exponentialfunktion, Logarithmusfunktion, trigonometrische Funktionen) Skizzieren im rechtwinkeligen Koordinatensystem und den Einfluss der Parameter erläutern (y = a f(x + b) +c ) Bei technische Fragestellungen anwenden. (Wachstums-, Sättigungs- und Abklingfunktion, Kosten- und Preistheorie, s-t, v-t, a-t-diagramm) Übungsaufgaben: 1. a) Stellen Sie die Gleichung der Geraden g auf, die durch die Punkte A(-4 5) und B(4 1)geht. b) Ermitteln Sie die Schnittpunkte dieser Geraden mit beiden Koordinatenachsen. c) Geben Sie die Gleichung jener Geraden an, die zu g parallel ist und durch P(-2-2) geht. d) Stellen Sie die Funktion graphisch dar. Lösung: a) y = -0,5 x + 3 b) S y = (0 3); S x = N = (6 0) c) y = -0,5 x 3 d) 2. Der Graph einer quadratischen Funktion geht durch drei Punkte. Ermitteln Sie die Funktionsgleichung. a) P(2 2), Q(-1-2,5), R(3-4,5) b) A(-2 6), B(-1 3), C(5 27) Lösung: a) y = -2x² +3,5x + 3 b) y = x² Ermitteln Sie die Gleichung der quadratischen Funktion. a) b) c) Lösung: a) y = (x - 2)² b) y = -(x + 3)² + 2 c) y = 0,5(x 3)² - 2 LITEC HTL Paul Hahn Str. Seite 7 von 9

8 4. Von einer Aussichtsterrasse H = 150 m wird ein Stein mit der Geschwindigkeit v 0 = 5 m/s emporgeschleudert. Die Höhe zum Zeitpunkt t lässt sich mit der folgenden Formel berechnen: h(t) = H + v 0 t 5t 2 a) Geben Sie die Funktion vollständig an. b) Berechnen Sie die Zeit bis zum Auftreffen des Steins auf dem Boden. c) Berechnen Sie die maximale Höhe des Steins. d) Zeichnen Sie einen Graphen der den Sachverhalt beschreibt. Lösung: a) h(t) = t 5t² b) t = 6 s c) h(0.5) = m d) 5. Die Halbwertszeit ist die Zeit, in der eine untersuchte Größe auf die Hälfte ihres ursprünglichen Wertes abnimmt. Das radioaktive Isotop Radon-222 hat eine Halbwertszeit von 3,824 Tagen. Stellen Sie das Zerfallsgesetz auf, wenn zu Beginn 10 9 Atome vorhanden sind. Lösung: N(t) = 10 9 e 0,1813 t 6. Das Zerfallsgesetz von Radon-220 lautet: N(t) = N 0 e 0,0125 t (t in Sekunden). Berechnen Sie die Halbwertszeit dieses Isotops. Lösung: 55,5 s 7. Ein Stromkreis mit der konstanten Spannung U = 21V enthält eine Spule der Induktivität L = 0,14H (Henry) und einen ohmschen Widerstand R = 7Ω. Er wird zum Zeitpunkt t = 0s geschlossen. Dann gilt für die Stromstärke: i(t) = U R (1 e t τ) mit τ = L R für t 0 s a) Stellen Sie den Einschaltstrom i als Funktion der Zeit grafisch dar. b) Berechnen Sie, wann der Strom 90 % seines Endwertes erreicht. Lösung: a) i(t) = 3A (1 e t 0,02s) b) t 46ms LITEC HTL Paul Hahn Str. Seite 8 von 9

9 8. Geben Sie für folgende vier Kurven richtige Funktionsgleichungen, Asymptoten und die Definitionsmengen an und berechnen Sie die Schnittpunkte mit den Achsen und geben Sie die Polstellen an. Lösungen: a) y = (x + 2) 3 2, Schnittpunkte mit den Achsen: N(-3,36/0), Sy(0/-10), D = R, keine Asymptoten; b) y = e x 4 2, Schnittpunkte mit den Achsen: N(4,69/0), Sy(0/-1,98), D = R, Asymptote y = -2 c) y = 1 + 5, Schnittpunkte mit den Achsen: N(-1,8/0), Sy(0/4,5), D = R \{-2}, Asymptoten x= -2, y = 5, Polstelle x+2 bei x = -2 d) y = ln(x + 1) 2, Schnittpunkte mit den Achsen: N(6,39/0), Sy(0/-2), D = ]-1; [, Asymptote x = Ermitteln Sie die Parameter der untenstehenden Schwingung f(x) = A sin (ωx + φ). Lösung: f(x) = 5,2 sin ( x 5 17π 15 ) 10. Beurteilen Sie, ob folgende Aussagen richtig oder falsch sind. Begründen Sie ihre Antwort und stellen Sie die falschen Aussagen richtig. a) Die Funktion y = 3 sin (x) hat die Periodendauer 3π. b) Die Funktion y = sin (3x 2) hat eine Nullstelle bei x 0 = 2. c) Die Funktionen y 1 = 4 sin (2x 1) und y 2 = 4 sin (2x) haben dieselbe Wertemenge. d) Die grafische Darstellung der Funktion y = sin (x π ) entsteht durch Verschiebung der Funktion y = sin (x) um 3 π 3 nach links. Lösung: a) nein, b) nein, c) ja, d) nein LITEC HTL Paul Hahn Str. Seite 9 von 9