Verknüpfungen von Mengen

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1 R. rinkmann Seite Verknüpfungen von Mengen urch Verknüpfungen von Mengen lassen sich andere Mengen bilden, die zu ihren usgangsmengen in bestimmten eziehungen stehen. ies ist in der Mathematik von edeutung, um Schreibweisen zu vereinfachen und das Erkennen von Strukturen zu erleichtern. ie wichtigsten Verknüpfungen sind Schnittmenge, Vereinigungsmenge, Restmenge und Produktmenge. ie Schnittmenge efinition ie Schnittmenge ist diejenige Menge, deren Elemente sowohl in der einen als auch in der anderen usgangsmenge enthalten sind. C = { x x x } Verknüpfungszeichen C = ie Menge C ist die Schnittmenge von und oder kurz ausgedrückt, C ist gleich geschnitten C ie Schnittmengenbildung ist nicht auf zwei Mengen beschränkt. S = { x x x x C...} S = C eispiel: a b c d C e f g h i j Gegeben sind die Mengen und mit = {a;b;c;d;e;f;g} und = {e;f;g;h;i;j} ie Schnittmenge soll ermittelt werden. C = = { e; f ; g} ie Elemente e, f und g sind sowohl in der Menge als auch in der Menge enthalten Erstellt von R. rinkmann p0_fos_01_4_bis_7.doc :44 Seite 1 von 9

2 R. rinkmann Seite eispiel: ie Schule bietet Kurse in otografie, nformatik und igitaltechnik an, die die Schüler auf freiwilliger asis besuchen können. Von der Klasse S1S mit 0 Schülern wählen Neun Schüler den otokurs () 9 1 Zwölf Schüler den nformatikkurs () 11 und Elf Schüler den igitalkurs () rei Schüler belegen und, sind also in beiden G s. ünf Schüler belegen und 6 Sechs Schüler belegen und Zwei Schüler belegen alle drei G s also, und Wie viele Schüler besuchen nur einen Kurs? Erstellt von R. rinkmann p0_fos_01_4_bis_7.doc :44 Seite von 9

3 R. rinkmann Seite Zur Lösung dieser ufgabe geht man von der Schnittmenge aus. 1 4 hat drei Elemente, zwei sind bereits in enthalten, also muss noch ein Element in dem übrigen ereich enthalten sein. : er übrige ereich von muss dann drei und der von noch vier Elemente enthalten. Über die gesamte nzahl der Elemente in der Menge, und lässt sich der verbleibende Rest in der Mengenschleife ermitteln. amit belegen 10 Schüler nur einen Kurs. Mit Hilfe der Schnittmenge können bestimmte Strukturen innerhalb der Mengenlehre erkannt werden. Wenn eine Teilmenge von ist, so ist die Schnittmenge von und gleich der Menge. = iese mplikation lässt sich mit Hilfe der Mengendiagramme nachweisen. ie Schnittmenge disjunkter (elementfremder) Mengen ist leer. ildet man die Schnittmenge zweier elementfremder (disjunkter) Mengen, so findet sich kein Element, dass sowohl in der einen als auch in der anderen Menge enthalten ist. iese Menge, die kein Element enthält, heißt leere Menge. Erstellt von R. rinkmann p0_fos_01_4_bis_7.doc :44 Seite von 9

4 R. rinkmann Seite = {} as Kurzzeichen für die leere Menge wird mit dem Symbol gekennzeichnet. {} = ür die Schnittmengenbildung gilt das Kommutativgesetz. = er anschauliche Nachweis ist auch hier wieder über die Mengendiagramme ersichtlich. = Erstellt von R. rinkmann p0_fos_01_4_bis_7.doc :44 Seite 4 von 9

5 R. rinkmann Seite ie Vereinigungsmenge efinition ie Vereinigungsmenge ist diejenige Menge, deren Elemente entweder in der einen Menge oder in der anderen Menge oder in beiden enthalten sind. C = { x x x } Verknüpfungszeichen: C = ie Menge C ist die Menge vereinigt mit der Menge. V = { x x x x C...} V = C... = eispiel: Gegeben sind die Mengen und in beschreibender orm. = { x 4 x } = { x x 1} * * ie Vereinigungsmenge soll ermittelt werden. ie Mengen und in aufzählender orm: { 4; ; ; 1} { 1; ; 1; 1} = = ie Vereinigungsmenge in aufzählender und beschreibender orm: { 4; ; ; 1;1 } { 4 1} * = = x x Erstellt von R. rinkmann p0_fos_01_4_bis_7.doc :44 Seite von 9

6 R. rinkmann Seite eispiel: 9 1 m vorangegangenem eispiel zur Schnittmenge sind die Mengen, und angegeben. Es handelt sich dabei um Schüler, die die Kurse otografie (), nformatik () und igitaltechnik () belegen. 11 Welche Elemente enthält dann die Vereinigungsmenge dieser drei Mengen, und wie ist diese Menge entsprechend der ufgabe zu beschreiben? ie Vereinigungsmenge enthält 0 Elemente (Schüler) und zwar sind es alle Schüler der Klasse SS, die Kurse wählen konnten. 1 = { Schüler der Klasse T11 } 4 Ebenso wie die Schnittmengenbildung ist die ildung der Vereinigungsmenge kommutativ. er Nachweis erfolgt über die Mengendiagramme. = Erstellt von R. rinkmann p0_fos_01_4_bis_7.doc :44 Seite 6 von 9

7 R. rinkmann Seite st Teilmenge von, so ist die Vereinigungsmenge von und gleich der Menge. = er eweis erfolgt wieder über die Mengenbilder. ie leere Menge zeigt sich bezüglich der Vereinigungsmengenbildung als neutrales Element, d.h. die Vereinigung mit der leeren Menge führt zu keiner Veränderung gegenüber der usgangsmenge. C {} = C Erstellt von R. rinkmann p0_fos_01_4_bis_7.doc :44 Seite 7 von 9

8 R. rinkmann Seite ie Restmenge efinition ie Restmenge ohne zweier Mengen und ist die Menge der Elemente, die in der Menge, aber nicht in der Menge enthalten sind. C ie Restmenge C ist die Menge ohne die Elemente der Menge. C = { x x x } C = \ ie Restmengenbildung ist nicht kommutativ. er direkte eweis erfolgt über die Mengenbilder. \ \ \ \ eispiel: { 4} * { 4} { } = x x = n n < = x x = n n < = {1; 4 ; 9} = {0 ; ; 4 ; 6} \ = 1; 9 \ = {0 ; ; 6} Erstellt von R. rinkmann p0_fos_01_4_bis_7.doc :44 Seite 8 von 9

9 R. rinkmann Seite ie Produktmengenverknüpfung efinition Eine Paarmenge ist eine Menge, deren Elemente aus Wertepaaren bestehen, deren Ordnung festgelegt ist. eispiel: Paarmenge: = { (1 ) ; ( ) ; ( 7) } (1 ) ; ( ) ; ( 7) aber 1 ; ( 1) er egriff Ordnung bedeutet, es ist festgelegt, welche Komponente des Wertepaares an erster Stelle geschrieben wird. (1 ) ( 1) efinition ie Paarmenge (kartesisches Produkt) der Mengen und ist die Menge aller möglichen geordneten Paare, mit der Ordnung x steht an erster Stelle und y steht an zweiter Stelle im Wertepaar. P = = {( x y) x y } ie Produktmenge zweier Mengen ist nicht kommutativ, da die Ordnung in den Elementen der beiden Mengen verschieden ist. eispiel: = {1; ; } = { a; b} = {(1 a);(1 b);( a);( b);( a);( b)} = {( a 1);( a );( a );( b 1);( b );( b )} us dem eispiel sehen wir: Erstellt von R. rinkmann p0_fos_01_4_bis_7.doc :44 Seite 9 von 9