Praxishandbuch für Mathematik 4. Schulstufe. Bildungsstandards für höchste Qualität an Österreichs Schulen. Information für Lehrer/innen

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1 Praxishandbuch für Mathematik 4. Schulstufe Bildungsstandards für höchste Qualität an Österreichs Schulen Information für Lehrer/innen

2 Praxishandbuch für Mathematik 4. Schulstufe

3 Impressum Herausgeber: Bundesinstitut für Bildungsforschung, Innovation & Entwicklung des österreichischen Schulwesens Alpenstraße 121 / 5020 Salzburg in Kooperation mit dem Bundesministerium für Unterricht, Kunst und Kultur Abteilung für Volksschulen und Minderheitenschulen (Abt. I/1) Minoritenplatz 5 / 1014 Wien Praxishandbuch für Mathematik. 4. Schulstufe BIFIE (Hrsg.), Graz: Leykam, 2009 ISBN Einbandgestaltung: Die Fliegenden Fische, Salzburg & Andreas Kamenik, BIFIE I Zentrales Management & Services Layout & Satz: Sandra Hechenberger, BIFIE I Zentrales Management & Services Druck: Druckerei Theiss GmbH, 9431 St. Stefan i. L. Vertrieb an den Buchhandel: Leykam Buchverlagsgesellschaft m.b.h. Nfg. & Co.KG Bundesministerium für Unterricht, Kunst und Kultur Abteilung für Volksschulen und Minderheitenschulen (Abt. I/1) Der Text zu den Bildungsstandards (Kompetenzbereiche usw.) sowie die Aufgabenbeispiele können für Zwecke des Unterrichts in österreichischen Schulen sowie von den Pädagogischen Hochschulen im Bereich der Lehrer/innenaus-, Lehrer/innenfort- und Lehrer/innenweiterbildung in dem für die jeweilige Lehrveranstaltung erforderlichen Umfang von der Homepage ( heruntergeladen, kopiert und verbreitet werden. Ebenso ist die Vervielfältigung der Texte und Aufgabenbeispiele auf einem anderen Träger als Papier (z. B. im Rahmen von Power-Point Präsentationen) für Zwecke des Unterrichts gestattet. Mitglieder der Arbeitsgruppe M 4 in der Pilotphase I und II VD Edith Brunner, Dipl. Päd. VD Ursula Cermak, Dipl. Päd. Mag. Maria Fast, Dipl. Päd. VD Gudrun Laimer, Bakk. phil., Dipl. Päd. VD OSR Rudolf Langer, Dipl. Päd. BSI RR Franz Nösterer Mag. Franz Platzgummer, Dipl. Päd. BSI Elisabeth Repolusk, Dipl. Päd. VD Mag. Andrea Riess, Dipl. Päd. Koordination Dr. Wilhelm Wolf Dr. Brigitta Scheiber Claudia Koch, Dipl. Päd.

4 Inhalt 3 Vorwort 4 Vorbemerkungen 5 Zur Implementierung der Bildungsstandards 6 Bildungsstandards Mathematik 6 Der Beitrag des Unterrichtsgegenstandes Mathematik zur Bildung 7 Kompetenzbereiche des Unterrichtsgegenstandes Mathematik 17 Bildungsstandards für Mathematik 4. Schulstufe 20 Vorbemerkungen zu den Aufgabenbeispielen 22 Aufgabenbeispiele 22 Aufgabenbeispiel 1 - Runden 26 Aufgabenbeispiel 2 - Flächeninhalt 33 Aufgabenbeispiel 3 - Überschlag 38 Aufgabenbeispiel 4 - Gewichte I 42 Aufgabenbeispiel 5 - Gewichte II 46 Aufgabenbeispiel 6 - Rätsel 52 Aufgabenbeispiel 7 - Zahlen darstellen 57 Aufgabenbeispiel 8 - Zahlbeziehungen 61 Aufgabenbeispiel 9 - Symmetrische Figuren 66 Aufgabenbeispiel 10 - Kopfrechnen 73 Aufgabenbeispiel 11 - Längenmaße 79 Aufgabenbeispiel 12 - Zeitmaße 83 Aufgabenbeispiel 13 - Bruchzahlen 90 Aufgabenbeispiel 14 - Würfel 98 Aufgabenbeispiel 15 - Umfang 108 Aufgabenbeispiel 16 - Schriftliches Rechnen 118 Aufgabenbeispiel 17 - Tabellen und Diagramme 126 Aufgabenbeispiel 18 - Relationen 132 Aufgabenbeispiel 19 - Vorteilhaftes Rechnen 140 Aufgabenbeispiel 20 - Sachaufgaben 150 Anhang 151 Glossar 160 Rechtliche Grundlagen 168 Literaturempfehlungen 168 Abkürzungen

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6 Vorwort Die Qualität an unseren Schulen zu sichern und kontinuierlich weiterzuentwickeln, ist ein wichtiges Anliegen. Die Bildungsstandards als Konkretisierungen des Lehrplans sollen dazu beitragen, dieses Ziel zu erreichen, indem Schülerinnen und Schüler jene Kompetenzen erwerben können, die sie als Grundlage für ihren weiteren Lernprozess benötigen. Die Schaffung und Sicherung der entsprechenden Rahmenbedingungen für den Unterricht sind dafür eine wesentliche Voraussetzung. Die Aufgabensammlungen zu den Bildungsstandards für Deutsch und Mathematik auf der vierten Schulstufe wurden von engagierten Lehrerinnen und Lehrern in der Pilotphase in ganz Österreich erprobt und auf deren Tauglichkeit für den Schulalltag überprüft. Die Rückmeldungen aus der Schulpraxis wurden von den Expertinnen und Experten, die die Bildungsstandards erstellt haben, in die nunmehr vorliegende Version eingearbeitet. Die Aufgabenbeispiele dienen zur Veranschaulichung und praktischen Umsetzung der Bildungsstandards für Deutsch und Mathematik. Sie bieten damit Lehrerinnen und Lehrern ein Werkzeug zur Sicherung der Unterrichtsqualität und eröffnen den Schülerinnen und Schülern erfolgreiche Lernwege. Dr. Claudia Schmied Bundesministerin für Unterricht, Kunst und Kultur

7 4 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Vorbemerkungen Die Entwicklung der Bildungsstandards erfolgte vor dem Hintergrund der besonderen pädagogischen Aufgaben der Grundschule mit dem Ziel, sowohl den individuellen Bildungsansprüchen der Kinder gerecht zu werden als auch tragfähige Grundlagen für das weitere Lernen zu schaffen. Diese doppelte Aufgabe wird durch Bandbreiten der Zielerreichung bewältigt. Gleichzeitig wird großer Wert darauf gelegt, dass auch die dafür nötigen Rahmenbedingungen des Unterrichts genau beschrieben werden, um den Schülerinnen und Schülern faire Chancen zu geben, diese Leistungen auch tatsächlich erbringen zu können. Es bedarf keiner besonderen Erwähnung, dass der Lehrplan die Grundlage für die Bildungsstandards darstellt und die Bedeutung der Lehrpläne für die Planung und Gestaltung des Unterrichts durch die Bildungsstandards nicht verringert wird. Die vorliegenden Bildungsstandards dienen der Orientierung und sollen darauf Antwort geben, in welchem Ausmaß Kompetenzen bereits vorliegen bzw. in welchen Bereichen noch Handlungsbedarf besteht. Unter Hinweis auf die derzeitige Rechtslage ist ausdrücklich zu betonen, dass Bildungsstandards nicht zur Leistungsbeurteilung herangezogen werden dürfen. Sie finden in diesem Praxishandbuch einleitende Hinweise, die Kompetenzbereiche und die Bildungsstandards zu Mathematik. Die jeweils angeführten Aufgabenbeispiele veranschaulichen exemplarisch einzelne Bildungsstandards, stellen jedoch keine Testitems dar. Die Aufgabenbeispiele zeigen, in welchem Zusammenhang bzw. in welchen unterrichtlichen Situationen die Kinder die entsprechenden Aufgaben erfüllen sollen. Sie erheben jedoch keineswegs den Anspruch, den gesamten Bereich des Unterrichtsgegenstandes Mathematik abzubilden. Dieses Praxishandbuch soll dazu beitragen, die Unterrichtsarbeit während der gesamten Grundschulzeit zu unterstützen, die Qualität des Unterrichts zu sichern und es soll dazu anleiten, die Kompetenzen der Kinder aufzubauen, zu erweitern und nachhaltig zu sichern. Willi Wolf Leiter der Abteilung für Volksschulen und Minderheitenschulen, BMUKK

8 Mathematik 5 Zur Implementierung der Bildungsstandards Die gesetzliche Verankerung der Bildungsstandards im 17 des Schulunterrichtsgesetzes und die Verordnung zu den Bildungsstandards legen Ergebnisorientierung, nachhaltigen Kompetenzaufbau und gezielte individuelle Förderung als verpflichtende Unterrichtsprinzipien fest. Das Wiener Zentrum des Bundesinstituts für Bildungsforschung, Innovation & Entwicklung des österreichischen Schulwesens (BIFIE) hat den gesetzlichen Auftrag, die Implementierung der Bildungsstandards zu unterstützen. Dies geschieht in vielfältiger Weise durch Entwickeln von Konzepten und Strategien zur Umsetzung, durch Publikationen von Materialien etc. Das vorliegende Praxishandbuch zu den Bildungsstandards auf der 4. Schulstufe stellt eine solche Unterstützungsmaßnahme für die Lehrer/innen dar und soll sie auf dem Weg zu einem kompetenzorientierten Unterricht hilfreich begleiten. LSI Mag. Gabriele Friedl-Lucyshyn Leiterin des BIFIE Wien I Zentrum für Innovation & Qualitätsentwicklung

9 6 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Der Beitrag des Unterrichtsgegenstandes Mathematik zur Bildung Die Grundschule ist der pädagogische Ort für die Grundlegung der Bildung, um wichtige Voraussetzungen für die Teilhabe am kulturellen und gesellschaftlichen Leben zu entwickeln. Mit Blick auf ihre Gegenwart sollen die Kinder in der Grundschule lernen, ihre Umwelt besser zu verstehen und in ihr handlungsfähig zu werden. Im Hinblick auf ihre Zukunft wiederum gilt es, jene Kompetenzen aufzubauen, die als Grundlage für anschließende bzw. spätere Lernprozesse dienen. Um diesen Ansprüchen gerecht zu werden, trägt der Unterrichtsgegenstand Mathematik Folgendes zur Bildung der Schüler/innen bei: Mathematik als Mittel zum Erfassen und Beschreiben der Umwelt Mit Hilfe der Mathematik erschließen Schüler/innen ihre wahrgenommene Welt unter der strukturierten Sichtweise von Zahl, Maß und geometrischer Form. Vergleichen, Zählen, Rechnen, Messen und Zeichnen sind einige der grundlegenden Tätigkeiten, die in allen Kulturen entwickelt werden. Sie sind das Rüstzeug für eine vertiefende Auseinandersetzung mit den Phänomenen unserer Umwelt. Für den Unterricht bedeutet das, Gelegenheiten zu schaffen, in unterschiedlichsten Situationen die Notwendigkeit dieser Tätigkeiten zu erleben, die Freude am Finden von geeigneten Ergebnissen zu ermöglichen und den Aspekt der Nützlichkeit erleben zu lassen. Sinnvolle Verknüpfungen zu anderen Gegenständen, wie z. B. zum Sachunterricht oder zum Technischen Werken, sind dabei naheliegend und werden für den Mathematikunterricht genützt. Mathematik als Mittel zum Aufbau regelhafter Strukturen Mathematisches Handeln basiert auf dem Erkunden von Zusammenhängen, auf dem Entwickeln und Untersuchen von Strukturen sowie auf dem Streben nach Abstraktion und Verallgemeinerung. Schüler/innen lernen die Zeichen der Mathematik als eigene Sprache und als ein Regelsystem kennen. Sie erfahren in der Auseinandersetzung mit Zahlen, Rechenoperationen und geometrischen Figuren die Notwendigkeit von tragfähigen Begriffen und Regeln. Neben dem Erwerb von Grundvorstellungen mathematischer Inhalte ist auch das Automatisieren von Grundaufgaben und Algorithmen ein notwendiger Aspekt des Mathematikunterrichts der Grundschule. Für den Unterricht bedeutet das, dass Schüler/innen durch vielfältige Tätigkeiten Zusammenhänge und Strukturen erkennen, Beziehungen zwischen Begriffen und Regeln aufdecken und dafür eigene Vorgehensweisen finden. Um über gesicherte Grundkenntnisse zu verfügen, bedarf es motivierender und vielfältiger Übungsformen. Mathematik als Schulung des Denkens Kritisches Denken und Analysieren von Problemen sind für die Lebensbewältigung unumgängliche Grundhaltungen. Schüler/innen entwickeln Problemlösekompetenz, indem sie mathematische Problemstellungen bearbeiten. Sie vergleichen und bewerten Aussagen, reflektieren Lösungswege, beurteilen Ergebnisse und lernen, die Folgewirkungen ihrer Entscheidungen abzuschätzen. Für den Unterricht bedeutet das, Mathematik als Tätigkeit zu betreiben, Schüler/innen als Forscher/innen in die Mathematik eindringen zu lassen sowie ihre Neugierde und Entdeckungsfreude zu erhalten und nicht fertige Mathematik zu vermitteln. Es hängt nicht nur davon ab, welche Inhalte unterrichtet werden, sondern mindestens ebenso davon, wie sie unterrichtet werden. Das heißt, in welchem Maße Kindern Gelegenheit gegeben wird, selbst Probleme zu lösen, über Mathematik zu kommunizieren, eigene Lösungswege zu suchen und aus Fehlern zu lernen. Fehler und Missverständnisse, die im Laufe des Lösungsprozesses auftreten, werden zum Ausgangspunkt für noch tieferes Verständnis. Mathematische Leistung umfasst daher nicht nur das niedergeschriebene Resultat oder die mündliche Bekanntgabe des Ergebnisses, sondern auch den Prozess des Lösens. Für die Umsetzung dieses Anspruchs sind allgemeine mathematische Kompetenzen erforderlich. Diese beziehen sich eher auf Mathematik als Tätigkeit und sind daher prozessorientiert. Inhaltliche Handlungskompetenzen orientieren sich eher an den spezifischen Gegenstandsbereichen und Sachverhalten der Mathematik.

10 Mathematik 7 Kompetenzbereiche des Unterrichtsgegenstandes Mathematik Unter mathematischen Kompetenzen werden in diesem Zusammenhang kognitive Fähigkeiten, kognitive Fertigkeiten und die Bereitschaft, sich mit mathematischen Inhalten auseinander zu setzen, verstanden. Mathematische Kompetenzen beinhalten zwei Komponenten: - Allgemeine mathematische Kompetenzen - Inhaltliche mathematische Kompetenzen Allgemeine mathematische Kompetenzen beziehen sich auf den Prozess, inhaltliche mathematische Kompetenzen auf Inhalte. Diese beiden Komponenten sind untrennbar miteinander verknüpft, weil für die Lösung einer mathematischen Aufgabenstellung beide Komponenten benötigt werden. Die folgende Grafik bietet einen Überblick über die Kompetenzbereiche, die auf den nächsten Seiten näher erläutert werden. Kompetenzbereiche Operieren Kommunizieren Modellieren Problemlˆ sen Allgemeine mathematische Kompetenzen Inhaltliche mathematische Kompetenzen Arbeiten mit Zahlen Arbeiten mit Ebene und Raum Arbeiten mit Operationen Arbeiten mit Grˆ flen

11 8 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Allgemeine mathematische Kompetenzen (AK) Allgemeine mathematische Kompetenzen zeigen sich in der lebendigen Auseinandersetzung mit der Mathematik. Es handelt sich um prozessbezogene Kompetenzen, die Schüler/innen in der Auseinandersetzung mit mathematischen Inhalten erwerben. Die angeführten Kompetenzen beschreiben Handlungen, die für die Bearbeitung und Nutzung der inhaltlichen Teilbereiche notwendig sind. AK 1 Modellieren Umfasst die Kompetenz, eine Sachsituation in ein mathematisches Modell zu übertragen. Dazu ist erforderlich, den mathematischen Stellenwert eines Problems zu erkennen, die benötigten Daten zu sichten und einen geeigneten Lösungsweg zu finden. Das Ergebnis ist im Hinblick auf die Sachsituation zu interpretieren und auf seine Gültigkeit zu überprüfen. AK 3 Kommunizieren Umfasst die Kompetenz, mathematische Sachverhalte zu verbalisieren, zu begründen und darzustellen. AK 4 Problemlösen Umfasst die Kompetenz, besonders im innermathematischen Bereich Probleme zu erkennen, anzunehmen, Strategien zu (er)finden und zu nutzen, um Aufgabenstellungen zu lösen. In den folgenden Ausführungen werden die allgemeinen mathematischen Kompetenzen näher beschrieben und die notwendigen Rahmen- und Lernbedingungen angeführt. AK 2 Operieren Umfasst die Kompetenz, Verfahren, die für die Lösung eines mathematischen Problems zielführend sind, anzuwenden, wie z. B. fachspezifische Zeichen zu verwenden und mit Gleichungen und Termen zu arbeiten.

12 Mathematik 9 ad AK 1: Modellieren Beim Modellieren stehen Schüler/innen vor der Situation, Mathematik auf eine konkrete Aufgabenstellung der Erfahrungsumwelt anzuwenden. mit Sachproblemen zu leisten ist. Die Grafik veranschaulicht den Ablauf des zyklischen Konstruktionsprozesses, der unter Umständen mehrmals durchlaufen werden muss. Die Fähigkeit des Modellierens ist ein individueller, zyklischer Konstruktionsprozess, der von den Schülerinnen und Schülern weitgehend autonom in der Auseinandersetzung Situationsmodell Mathematisieren, Abstrahieren, Idealisieren Mathematisches Modell Individuelles Konstruieren, Abstrahieren Verarbeiten, Rechnen, Konstruieren Sachproblem Interpretieren, Validieren Lösung Das Sachproblem bezieht sich auf die reale Welt. Es kann real sein oder durch ein Bild, einen Text, aus der Welt des Kindes repräsentiert werden. Individuelles Konstruieren, Abstrahieren Ausgehend von einem fiktiven oder realen Sachproblem wird mit Hilfe eigener Erfahrungen bzw. entsprechender Denkstrategien das Problem erfasst. Dieses konstruiert jede Schülerin bzw. jeder Schüler für sich selbst neu, es entsteht ein Situationsmodell (individuelles Konstruieren). Dabei kann auf unwichtige Details verzichtet werden (Abstrahieren). Das Situationsmodell ist die Sichtweise des Kindes, wie es das Sachproblem auffasst. Dabei kann es auf bekannte Strukturen, wie z. B. die Struktur Preis gegebenes Geld Rückgeld, zurückgreifen oder es müssen neue gebildet werden. Mathematisieren, Abstrahieren, Idealisieren Darunter versteht man eine mathematische Interpretation des konstruierten Situationsmodells. Das Situationsmodell wird durch Weglassen von nicht strukturbildenden Merkmalen (Abstrahieren) bzw. durch Hinzufügen oder Annehmen von Merkmalen (Idealisieren) in ein mathematisches Modell übergeführt. Dabei wird mathematisch Relevantes herausgelöst (Mathematisieren), z. B. durch Messen, Zählen, Schätzen, Finden der passenden Rechenoperation, Finden von möglichen Lösungswegen,

13 10 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Bei eingekleideten Aufgaben ist das Modell bereits in der Aufgabenstellung vorgegeben. Bei Textaufgaben gibt es die Möglichkeit, die Aufgabe entweder durch ein den Schülerinnen und Schülern bekanntes Modell zu lösen oder eine neue Lösungsstrategie zu finden. Im Mathematischen Modell wird das Sachproblem mit Hilfe mathematischer Zeichen festgehalten. Die Darstellung kann in Form einer Gleichung ( Rechensätzchen ), eines Rechenplans, einer Grafik oder durch individuelles Dokumentieren der Rechenschritte erfolgen. Die Lösung ist das Ergebnis dieser mathematischen Transformation. Interpretieren, Validieren Die aus dem Verarbeiten gewonnenen Ergebnisse werden mit der realen Situation in Zusammenhang gebracht (z. B. passende Antwort, genaue Zeichnung, ) und auf ihre Plausibilität überprüft. Weiters soll ein Rückblick auf den gewählten Lösungsweg erfolgen, ob dieser zielführend war (z. B. Verbalisieren, Argumentieren des Lösungsweges, ). Verarbeiten, Rechnen, Konstruieren Mittels mathematischer Verfahren (schriftliches Rechnen, Kopfrechnen, Konstruktion, ) wird eine Lösung des Mathematischen Modells erarbeitet. Rahmen- und Lernbedingungen Den Kindern altersadäquate Sachsituationen anbieten wenn möglich von echten statt von konstruierten Sachsituationen ausgehen, Zeit geben, sachbezogene Fragen zu stellen, die Möglichkeit geben, eigene Sichtweisen und Lösungswege zu entwickeln, in verschiedenen Darstellungsebenen Operationsstrukturen anbieten, um die Grundvorstellungen von Rechenoperationen zu sichern, den Vergleich der Ergebnisse mit den zuvor durchgeführten Überschlagsrechnungen als Vorteil aufzeigen, nachhaltig bewusst machen, dass sie die Ergebnisse in Bezug auf ihre Gültigkeit zur Sachsituation hin überprüfen sollen, Gelegenheiten eröffnen, ihren individuellen Lösungsweg schriftlich festzuhalten, bei Problemen passende Bearbeitungshilfen anbieten, die den Prozess des Sachrechnens unterstützen. Während des gesamten Prozessablaufes sollen die Kinder aufgefordert werden, ihre Lösungsstrategien zu verbalisieren. Diese sprachliche Auseinandersetzung schafft Klarheit. Divergente Denkweisen werden z. B. in Strategiekonferenzen bewusst gemacht.

14 Mathematik 11 ad AK 2: Operieren Um mathematische Sachverhalte zu bearbeiten, müssen die Kinder aus unterschiedlichen Verfahren das passende auswählen und korrekt durchführen können. Dies kann erfolgen durch: geometrisches Konstruieren, konkretes Tun, Anwenden algorithmischer Verfahren, Probieren, Kopfrechnen, grafisches Darstellen von Lösungen,... Rahmen- und Lernbedingungen Das Durchführen unterschiedlicher Verarbeitungsmöglichkeiten soll im Unterricht ermöglicht werden (z. B.: Probieren, systematisches Vorgehen, Gleichungen lösen, algorithmische Verfahren durchführen, ). Grundlegende Verfahren müssen gesichert werden. Es muss genügend Übungszeit für die Kinder eingeplant werden, damit sie die additiven und multiplikativen Grundaufgaben im mündlichen Bereich schnell und sicher beherrschen und die Durchführung der schriftlichen Rechenverfahren automatisieren. des Denkens, wie dies vielfach in Aufgabenblöcken provoziert wird, kann dazu führen, dass das mathematische Verständnis gänzlich verschüttet wird und nur noch das unverstandene Arbeiten von Routinen stattfindet. Der sachgerechte Umgang mit Zeichen- und Messgeräten muss gesichert sein. Mit Hilfe von Lineal und Geodreieck können die Kinder millimetergenau messen, parallele Geraden und rechte Winkel zeichnen. Die korrekte Handhabung von Messgeräten, wie z. B. Waagen oder Uhren, tragen zum vertiefenden Verständnis von Größen bei. Aufgaben sind so zu gruppieren, dass verschiedene Denkmuster und Lösungsstrukturen gefordert werden. Innerhalb eines Aufgabenblockes sollten mindestens zwei Denkmuster vorkommen. Das Üben unter Ausschaltung

15 12 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe ad AK 3: Kommunizieren Kommunikation und Interaktionen auch zwischen den Mitschülerinnen und Mitschülern helfen den Kindern, Wissen aufzubauen, andere Denkweisen kennen zu lernen und sich über das eigene Denken klar zu werden. Kommunizieren ist eine mathematische Grundtätigkeit, wenn Mathematik als ein System von Kommunikationssymbolen verstanden wird. Dazu gehört, eigene Gedanken und Lösungswege zu verbalisieren, zu protokollieren, Sachverhalte auf verschiedene Weise darzustellen und mit anderen zu erörtern. Argumentieren ist die Angabe von Aspekten, die für oder gegen eine bestimmte Sichtweise/Entscheidung sprechen. Durch Infragestellen und Überprüfen ihrer mathematischen Tätigkeiten und Aussagen werden Kinder angeregt, über ihr Vorgehen nachzudenken. Durch schlüssiges Argumentieren sollen sie ihre Aussagen und Handlungsweisen begründen. Darstellen ist das Übertragen mathematischer Inhalte in eine andere Form der Repräsentation. Für das Bearbeiten mathematischer Aufgabenstellungen sollen geeignete Repräsentationsformen erstellt, ausgewählt und genutzt werden. Darstellen bedeutet auch das verständige Umgehen mit bereits vorgegebenen Repräsentationen. Darstellen hat die Funktion, den Sachverhalt anderen mitzuteilen oder so festzuhalten, dass man sich später an ihn erinnert. Neben den grafischen Darstellungen (Diagramme, Abbildungen, Fotos, Skizzen, statistische Schaubilder, ) sind weitere Darstellungsmöglichkeiten, wie z. B. Tabellen, Listen, sprachliche Darstellungen bzw. Handlungen und Gesten, von Bedeutung.

16 Mathematik 13 Rahmen- und Lernbedingungen Den Kindern sind Unterrichtsformen anzubieten, die Fragen aufwerfen, Gespräche begünstigen und Erklärungen verlangen. Nur ein Mathematikunterricht, der Fragen aufkommen lässt und die Schüler/innen zum Fragen und Vermuten anregt, bevor Antworten gegeben werden, trägt zu echtem Verständnis von Mathematik bei. Es macht keinen Sinn, den Lernenden Antworten auf Fragen zu geben, die sie sich nie gestellt haben. Im Unterricht ist sowohl auf standardsprachliches Sprechen als auch auf die korrekte Verwendung der Fachbegriffe zu achten. Das Erlernen und Anwenden der Fachsprache der Mathematik erfordert entsprechende Unterrichtssituationen. In diesen wird Alltagssprache mit mathematischer Sprache und Symbolik in Verbindung gesetzt. Das sachgerechte Formulieren eines mathematischen Zusammenhanges mit eigenen Worten trägt zum vertiefenden Verständnis des Unterrichtsgegenstandes bei. Das Verwenden von geeigneten Veranschaulichungsmitteln, die ein Kommunizieren über mathematische Strukturen ermöglichen, ist notwendig. Da Kindern oft die passenden Worte fehlen, um ihre Denkweise auszudrücken, müssen geeignete Veranschaulichungsmittel zur Verfügung stehen. Für Kinder ist es erleichternd und hilfreich, anfangs für häufig verwendete Strategien und Lösungswege individuell vereinbarte Zeichen und Namen zu verwenden. Diese sollen im Laufe der Zeit in eine Fachsprache übergeführt werden. Legen, Beschreiben (verbal/schriftlich) und Zeichnen von Mustern und Beziehungen unterstützen das Analysieren von mathematischen Situationen. Sowohl in der Arithmetik als auch in der Geometrie können Kinder viele Aufgaben selbst erfinden oder durch Vorlegen, Beschreiben oder Aufzeichnen Aufgaben einander stellen. Auch Schreiben und Protokollieren sind Kommunikationsformen, die im Mathematikunterricht der Grundschule regelmäßig von den Kindern durchgeführt werden müssen. Eigene Lösungsversuche mündlich oder schriftlich festzuhalten heißt, sich reflektierend mit der gestellten Problematik auseinander zu setzen (Metaebene). Weiters ermöglichen schriftliche Dokumentationen einen zeitunabhängigen Einblick in die Denkwege und damit die Möglichkeit, sich mit Aspekten auseinanderzusetzen, die ohne schriftliche Fixierung vielleicht verloren gegangen wären. Die Kinder sollen erkennen, dass Präsentieren, Diskutieren, Lesen, Schreiben und Zuhören in der Mathematik ein notwendiger Teil des Lernens und Nutzens der Mathematik sind. Durch entsprechende Techniken wie etwa Strategieplakate (als Ergebnis von Strategiekonferenzen), Notationen der Lernwege oder Rechentagebücher können Denkweisen für Kinder und Lehrer/innen sichtbar gemacht werden. Fehler sind Bestandteile des Lernprozesses und bieten Anlässe zur Reflexion der eigenen Denkstrategien. Fehler sind unumgängliche Begleiterscheinungen des Lernens und können darüber hinaus vielfach positiv genutzt werden. Vorerst gilt es eine Atmosphäre zu schaffen, in der Schüler/innen offen, ehrlich und produktiv mit den eigenen Fehlern umgehen lernen. Sie brauchen einen Schonraum, in dem sie angstfrei Lösungsstrategien ausprobieren und auch Fehler machen dürfen. Dabei ist es wichtig, Situationen zu schaffen und zu nutzen, in denen der Verlauf des Lernens transparent wird. Nur so können die Kinder erkennen, dass Einsicht in Vorgänge zu haben wichtiger ist als das Streben, Fehler zu vermeiden. Das kann geschehen durch eine Diskussion im Klassenverband oder in Gruppen, in der die günstigen und weniger günstigen Lösungswege thematisiert werden. Aber auch ein klärendes Gespräch zwischen Lehrenden und Lernenden sollte im Sinne des Schonraumes stattfinden. Beim Vergleich von Lösungsstrategien entstehen Situationen, bei denen Kinder die eigenen und die Denkstrategien anderer durchschauen und auch neue zielführende Lösungswege finden. Außerdem unterstützt das Nachdenken, Reden und Reflektieren über den Lösungsweg und die eventuell entstandenen Fehler Schüler/innen beim tieferen Durchdringen des mathematischen Sachverhalts.

17 14 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe ad AK 4: Problemlösen Ein Problem ist keine objektive Gegebenheit, sondern entsteht, wenn jemand ein Ziel kennt und nicht weiß, wie er dieses Ziel erreichen soll. Konkret hängt es vom Wissensstand eines Kindes ab, ob es die Aufgabe nach einem bekannten Schema abarbeiten kann, oder ob es notwendig ist, einen für das Kind neuen Lösungsweg zu finden. Der Bereich AK 4, Problemlösen 1 deckt Probleme im innermathematischen Bereich ab. Darunter werden Inhalte aus der Arithmetik und Geometrie ohne direkten Realitätsbezug verstanden. Hingegen sind im Bereich AK 1, Modellieren 2, in dem ebenfalls problemhaltige Situationen auftreten, immer Realitätsbezüge gegeben. Problemlöseaktivitäten bestehen aus Tätigkeiten, wie Vermuten, Probieren, systematisches Durchforsten, Erkennen von Zusammenhängen oder Anlegen von Tabellen, um sich schrittweise einer Lösung zu nähern. Um Antworten auf die gestellten Fragen zu bekommen, ist es für das einzelne Kind notwendig, den Weg zu einer Lösung aktiv zu finden. Die Lösungswege und gefundenen Lösungen sind kritisch zu hinterfragen und gegebenenfalls zu ändern. Nicht immer muss die Problemstellung von der Lehrperson kommen. Kinder sind dazu auch selbst in der Lage. Dabei setzen sie sich mit der Problemsituation genauer auseinander und bewerten, ob eine Frage interessant und verfolgenswert erscheint. Es ist für die Kinder reizvoller, ein selbst gestelltes Problem als ein vorgegebenes zu lösen. selbstkritischen Umgang mit den eigenen Ergebnissen und Verarbeiten sachgerechter Kritik anderer. Ein problemorientiertes Herangehen erfordert von den Schülerinnen und Schülern einen kritischen Umgang mit den Lösungswegen und Ergebnissen. Fehler zu machen, sie zu finden und über sie zu reflektieren, sind als notwendige Teile des Problemlöseprozesses und als Chance für das Lernen zu sehen. Obwohl zeitintensiv, liegt der Vorzug problemorientierten Lernens darin, dass das neu Gelernte mit dem vorhandenen Wissen verknüpft wird, um nachhaltig Strukturen aufzubauen. Damit wird nicht nur dem Vergessen vorgebeugt, sondern es wird ermöglicht, dieses Wissen zukünftig abrufen und anwenden zu können. Setzen sich die Schüler/innen ohne anfängliche Hilfe von außen mit dem Problem auseinander, erzieht diese Vorgehensweise zur Selbstständigkeit und bedingt nahezu automatisch unterschiedliche Lösungswege in Bezug auf Qualität und Quantität. Wichtig: Der Wert des Prozesses des Problemlösens soll genauso geschätzt werden wie die Lösung selbst. Eine wesentliche Bedingung für das Lösen von mathematischen Problemen ist das Vertrauen in die eigene Leistungsfähigkeit. Dies wird benötigt beim Durchhalten und Bewältigen von schwierigen Aufgabensituationen, Suchen alternativer Lösungswege, 1 Problemlösen (AK 4): Arbeit in innermathematischen Situationen (keine Realitätsbezüge) 2 Modellieren (AK 1): Arbeit in außermathematischen Kontexten (Realitätsbezüge)

18 Mathematik 15 Rahmen- und Lernbedingungen Den Kindern wird eine problemhaltige Situation angeboten. Der Sachverhalt wird begleitet durch die Lehrerin bzw. den Lehrer ausreichend geklärt. Schriftlich fixierte Informationen und unterschiedliche Materialien können die Klärung des Sachverhalts unterstützen. Diese Klärung kann im Plenum, in der Kleingruppe oder in Einzelarbeit erfolgen. Die Kinder erkennen ein Problem. Das Problem kann genau definiert oder offen sein. Ist das Problem offen, sollen Kinder selbst zu eigenen Fragestellungen kommen. Die Kinder lassen sich auf einen Lösungsprozess ein. Nach der prinzipiellen Klärung der geforderten Problemstellung bzw. des Themenbereichs muss viel Zeit zum Explorieren und zum kreativen Bearbeiten gegeben werden, auch wenn sich vielleicht aus Sicht der Lehrerin bzw. des Lehrers Irr- oder Umwege ergeben. Bei der Beschäftigung mit solchen Fragen entwickeln Kinder individuelle Lösungsansätze, die (innerhalb der Gruppe) diskutiert werden können. Jedes Kind notiert seinen bevorzugten Lösungsweg. Die Lehrerin bzw. der Lehrer bietet von sich aus keine Lösungsstrategien an. Sie bzw. er lässt alle Problemlöseansätze zu. Die Kinder stellen ihre Arbeitsergebnisse vor. Ein Unterrichtsgespräch im Klassenverband ergibt sich erst nach der eigenständigen Arbeit. Dieses Gespräch lenkt zwar meist die Lehrperson, die Schüler/innen sind aber inzwischen kompetente Partner/innen bezüglich des gestellten Problems geworden und können den Erklärungen und Diskussionsbeiträgen mit größerem Verständnis folgen. Die Lösungswege und Ergebnisse werden in der Gruppe reflektiert und vervollständigt, wobei besonders die Problemlösekompetenzen und die unterschiedlichen Wege des Denkens der einzelnen Kinder deutlich gemacht werden sollten (Strategiekonferenz/Strategieplakat).

19 16 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Inhaltliche mathematische Kompetenzen (IK) Inhaltliche mathematische Kompetenzen beschreiben die Gegenstandsbereiche der Mathematik, wie sie im Lehrplan verankert sind. IK 1 Arbeiten mit Zahlen Umfasst die Kompetenz, Darstellungen von Zahlen und Beziehungen zwischen den Zahlen zu erkennen, anzuwenden und zu verbalisieren. IK 2 Arbeiten mit Operationen Umfasst die Kompetenz, Operationen und ihre Zusammenhänge zu verstehen und mündliches und schriftliches Rechnen sicher zu beherrschen. IK 3 Arbeiten mit Größen Umfasst die Kompetenz, brauchbare Vorstellungen von Größen zu besitzen, geeignete Maßeinheiten zum Messen zu verwenden und mit Größen zu rechnen. IK 4 Arbeiten mit Ebene und Raum Umfasst die Kompetenz, räumliches Vorstellungsvermögen zu nutzen, geometrische Figuren zu erkennen, mit den geometrischen Figuren zu operieren, Beziehungen zwischen den Figuren herzustellen und diese zu vermessen. Verknüpfung der allgemeinen und inhaltlichen mathematischen Kompetenzen Alle vier allgemeinen mathematischen Kompetenzen können mit allen vier inhaltlichen mathematischen Kompetenzen verknüpft werden, so dass insgesamt sechzehn Knoten entstehen. IK 4 IK 3 IK 2 IK 1 AK 1 In jeder Aufgabe ist ein Potenzial mit allgemeinen und inhaltlichen Kompetenzen enthalten. Die folgende Grafik zeigt den Knoten AK 3 / IK 2, der die Bereiche AK 3 Kommunizieren mit IK 2 Arbeiten mit Operationen verknüpft. AK 2 AK 3 AK 4 Allgemeine Kompetenzen Inhaltliche Kompetenzen IK 1: Arbeiten mit Zahlen IK 2: Arbeiten mit Operationen IK 3: Arbeiten mit Größen IK 4: Arbeiten mit Ebene und Raum AK 1: Modellieren AK 2: Operieren AK 3: Kommunizieren AK 4: Problemlösen

20 Mathematik 17 Bildungsstandards für Mathematik 4. Schulstufe Allgemeine mathematische Kompetenzen (AK) Kompetenzbereich: Modellieren (AK 1) 1.1 Eine Sachsituation in ein mathematisches Modell (Terme und Gleichungen) übertragen, dieses lösen und auf die Ausgangssituation beziehen Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können aus Sachsituationen relevante Informationen entnehmen, passende Lösungswege finden, die Ergebnisse interpretieren und sie überprüfen. 1.2 Ein mathematisches Modell in eine Sachsituation übertragen Kompetenz: Die Schülerinnen und Schüler können zu Termen und Gleichungen Sachaufgaben erstellen. Kompetenzbereich: Operieren (AK 2) 2.1 Mathematische Abläufe durchführen Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können Zahlen, Größen und geometrische Figuren strukturieren, arithmetische Operationen und Verfahren durchführen, geometrische Konstruktionen durchführen. 2.2 Mit Tabellen und Grafiken arbeiten Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können Tabellen und Grafiken erstellen, Informationen aus Tabellen und Grafiken entnehmen. Kompetenzbereich: Kommunizieren (AK 3) 3.1 Mathematische Sachverhalte verbalisieren und begründen Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können mathematische Begriffe und Zeichen sachgerecht in Wort und Schrift benützen, ihre Vorgangsweisen beschreiben und protokollieren, Lösungswege vergleichen und ihre Aussagen und Handlungsweisen begründen. 3.2 Mathematische Sachverhalte in unterschiedlichen Repräsentationsformen darstellen Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können ihre Vorgangsweisen in geeigneten Repräsentationsformen festhalten, Zeichnungen und Diagramme erstellen. Kompetenzbereich: Problemlösen (AK 4) 4.1 Mathematisch relevante Fragen stellen Kompetenz: Die Schülerinnen und Schüler können ein innermathematisches Problem erkennen und dazu relevante Fragen stellen. 4.2 Lösungsstrategien (er)finden und nutzen Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können geeignete Lösungsaktivitäten wie Vermuten, Probieren, Anlegen von Tabellen oder Erstellen von Skizzen anwenden, zielführende Denkstrategien wie systematisches Probieren oder Nutzen von Analogien einsetzen. Inhaltliche mathematische Kompetenzen (IK) Kompetenzbereich: Arbeiten mit Zahlen (IK 1) 1.1 Zahldarstellungen und -beziehungen verstehen Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können Zahlen im Zahlenraum lesen und darstellen, sich im Zahlenraum orientieren, Zahlen vergleichen und diese in Relation setzen, arithmetische Muster erkennen, beschreiben und fortsetzen. 1.2 Zahlen runden und Anzahlen schätzen Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können Zahlen auf volle Zehner, Hunderter, Zehntausender runden, Anzahlen schätzen.

21 18 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe 1.3 Das Wesen der Bruchzahl verstehen Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können Bruchzahlen darstellen, Bruchzahlen vergleichen, ordnen und zerlegen, Bruchzahlen im Zusammenhang mit Größen benützen. Kompetenzbereich: Arbeiten mit Operationen (IK 2) 2.1 Die vier Grundrechnungsarten und ihre Zusamenhänge verstehen Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler verfügen über Einsicht in das Wesen von Rechenoperationen, können die Zusammenhänge zwischen den Grundrechnungsarten erklären, können Umkehroperationen verwenden, auch zur sinnvollen Überprüfung des Ergebnisses, können Tausch-, Nachbar- und Analogieaufgaben verwenden. 2.2 Mündliches Rechnen sicher beherrschen Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler beherrschen sicher und schnell additive Grundaufgaben im Zahlenraum 20, beherrschen sicher und schnell multiplikative Grundaufgaben im Zahlenraum 100, können nicht automatisierte Rechenoperationen in Teilschritten durchführen, können einfache Gleichungen mit Platzhaltern lösen, können Ergebnisschätzungen mit Hilfe von Überschlagsrechnungen durchführen. 2.3 Schriftliche Rechenverfahren beherrschen Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler verstehen die Algorithmen der schriftlichen Rechenverfahren, können die Algorithmen der schriftlichen Verfahren für Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durchführen, können die Lösung mit Hilfe einer Probe überprüfen. Kompetenzbereich: Arbeiten mit Größen (IK 3) 3.1 Größenvorstellungen besitzen und Einheiten kennen Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler kennen genormte Maßeinheiten und können diese den Größenbereichen zuordnen, können geeignete Repräsentanten zu Maßeinheiten angeben, können Größen in unterschiedlichen Schreibweisen darstellen. 3.2 Größen messen und schätzen Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler beherrschen den Grundvorgang des Messens, können mit geeigneten Maßeinheiten messen, können Größen schätzen und ihre Vorgangsweise begründen. 3.3 Mit Größen operieren Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können Größen miteinander vergleichen, mit Größen rechnen. Kompetenzbereich: Arbeiten mit Ebene und Raum (IK 4) 4.1 Geometrische Figuren erkennen, benennen und darstellen Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können geometrische Körper und Flächen benennen, die Eigenschaften geometrischer Figuren beschreiben, Modelle von geometrischen Körpern herstellen, geometrische Figuren zeichnen oder konstruieren. 4.2 Beziehungen bei geometrischen Figuren erkennen Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können Lagebeziehungen zwischen Objekten im Raum und in der Ebene beschreiben und nutzen, vorgegebene geometrische Muster erkennen, selbst entwickeln oder fortsetzen, den Zusammenhang zwischen Plan und Wirklichkeit herstellen.

22 Mathematik Mit geometrischen Figuren operieren Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können geometrische Figuren zerlegen und sie wieder zusammensetzen, Netze den entsprechenden Körpern zuordnen und umgekehrt. 4.4 Umfang und Flächeninhalt ermitteln Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können den Umfang einer geometrischen Figur mittels Einheitslängen messen, den Umfang von Rechteck und Quadrat berechnen, den Flächeninhalt einer geometrischen Figur mittels Einheitsflächen messen, den Flächeninhalt von Rechteck und Quadrat berechnen. 4.4 Umfang und Flächeninhalt ermitteln Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können den Umfang einer geometrischen Figur mittels Einheitslängen messen, den Umfang von Rechteck und Quadrat berechnen, den Flächeninhalt einer geometrischen Figur mittels Einheitsflächen messen, den Flächeninhalt von Rechteck und Quadrat berechnen.

23 20 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiele Vorbemerkungen Die nachfolgenden Aufgabenbeispiele konkretisieren die Bildungsstandards und machen deutlich, welche Kompetenzen erforderlich sind, um sie zu erfüllen. Die Beispiele wurden von vielen Pilotschullehrerinnen und -lehrern in der Entwicklungsphase erprobt. Die Praktiker/innen brachten auch für die vorliegende Fassung wertvolle Anregungen und Verbesserungsvorschläge ein. Die Aufgabenbeispiele decken exemplarisch einzelne Bildungsstandards ab. Sie verdeutlichen sie in Hinblick auf ihre Inhalte und stellen einen Orientierungsrahmen bezüglich Angemessenheit und Komplexität dar. Sie erheben nicht den Anspruch, den gesamten Lehrstoff der Mathematik der Grundschule zu erfassen. Sie sind als Denkanstöße für die Planung und Gestaltung des Unterrichts zu verstehen. Je nach Fähigkeiten, Fertigkeiten und Wissensstand des Kindes ist es erforderlich, individuelle Unterstützung anzubieten. Es gibt Aufgaben bzw. Teilaufgaben, die sich durch Reproduzieren im Rahmen gelernter und geübter Verfahren lösen lassen. Das Lösen dieser Aufgaben erfordert Grundwissen und das Ausführen von Routinetätigkeiten. Der Lösungsweg besteht in der Regel aus einem Schritt. Manche Aufgaben verlangen das Erkennen und Herstellen von Zusammenhängen, den selbstständigen kreativen Umgang mit erworbenen mathematischen Kompetenzen, bzw. oft auch komplexe Tätigkeiten, wie Strukturieren oder Entwickeln von Strategien. Der Lösungsweg umfasst in der Regel mehrere Schritte. Darüber hinaus kann es bei einzelnen Beispielen mehrere Lösungen bzw. Lösungsmöglichkeiten geben. Alle Lösungswege, die zu einem richtigen Ergebnis führen und mathematisch begründbar sind, sind zu akzeptieren (außer es ist explizit die Anwendung einer bestimmten Methode für den Lösungsweg gefordert). Die vorliegenden Aufgaben sind keine Testitems, wie sie in den regelmäßig stattfindenden Überprüfungen der Bildungsstandards eingesetzt werden. Bei jedem Aufgabenbeispiel zeigt im Vorspann ein Raster, auf welche Bildungsstandards sich die jeweilige Aufgabe bezieht.

24 Mathematik 21 Erläuterungen zur Struktur der Aufgabenbeispiele Im ersten Block werden der Titel bzw. Themenbereich, die Kompetenzbereiche, die Anzahl der Aufgaben und in den folgenden Blöcken die einzelnen Aufgaben mit den Kompetenzen beschrieben. Erklärung Titel/Thema Kompetenzbereiche Anzahl der Aufgaben 6 Runden Aufgaben 1, 2, 3, 5, 6 AK 2 Operieren IK 1 Arbeiten mit Zahlen IK 3 Arbeiten mit Größen AK 2 Operieren AK 2.1 Mathematische Abläufe durchführen - arithmetische Operationen und Verfahren durchführen. IK 1 Arbeiten mit Zahlen IK 1.2 Zahlen runden und Anzahlen schätzen - Zahlen auf volle Zehner, Hunderter,..., Zehntausender runden. Der Titel bzw. das Thema charakterisiert einen Bereich der Grundschulmathematik. Zu diesem Themenbereich werden mögliche Beispiele angeboten. Hier werden die allgemeinen mathematischen Kompetenzbereiche (AK) und inhaltlichen mathematischen Kompetenzbereiche (IK) dem Themenbereich zugeordnet. Hier wird angegeben, wie viele Aufgaben zu diesem Themenbereich angeführt sind. Hier werden die jeweiligen Nummern der einzelnen Aufgaben angeführt. Den hier angeführten Aufgaben werden die zutreffenden allgemeinen und inhaltlichen mathematischen Kompetenzen zugeordnet. Aufgabe siehe oben Hilfsmittel Anmerkungen keine Komplexitätsstufen - niedriger: Aufgaben 1, 2, 3 - höher: Aufgaben 4, 5, 6 Hier werden Hinweise auf Hilfsmittel, die zur Bearbeitung der Aufgabe erforderlich sind (Zeichengeräte, Materialien zur Veranschaulichung,...), gegeben. Hier werden Hinweise zum Schwierigkeitsgrad der Aufgaben bzw. zu den Komplexitätsstufen (niedriger, höher) gegeben.

25 22 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 1 Runden Aufgabenbeispiel 1 Titel/Thema Runden AK 2 Operieren Kompetenzbereiche IK 1 Arbeiten mit Zahlen IK 3 Arbeiten mit Größen Anzahl der Aufgaben 6 Aufgaben 1, 2, 3, 5, 6 AK 2 Operieren AK 2.1 Mathematische Abläufe durchführen - arithmetische Operationen und Verfahren durchführen. IK 1 Arbeiten mit Zahlen IK 1.2 Zahlen runden und Anzahlen schätzen - Zahlen auf volle Zehner, Hunderter, Zehntausender runden. Aufgabe 4 AK 2 Operieren AK 2.1 Mathematische Abläufe durchführen - arithmetische Operationen und Verfahren durchführen. IK 1 Arbeiten mit Zahlen IK 1.2 Zahlen runden und Anzahlen schätzen - Zahlen auf volle Zehner, Hunderter, Zehntausender runden. IK 3 Arbeiten mit Größen IK 3.1 Größenvorstellungen besitzen und Einheiten kennen Die Schüler/innen - kennen genormte Maßeinheiten und können diese den Größenbereichen zuordnen. Hilfsmittel Anmerkungen keine Komplexitätsstufen - niedriger: Aufgaben 1, 2, 3 - höher: Aufgaben 4, 5, 6

26 Aufgabenbeispiel 1 Runden Mathematik Aufgabe: Runde die Zahl 344 auf Zehner. Kreuze das richtige Ergebnis an Aufgabe: Runde auf Hunderter Aufgabe: Helmut hat eine Zahl auf Hunderter gerundet. Seine gerundete Zahl heißt nun: Welche der folgenden Zahlen könnte er gerundet haben? Kreise die möglichen Zahlen ein

27 24 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 1 Runden 4. Aufgabe Berti hat hier seine Geldtasche ausgeleert. a) Wie viel Geld hatte Berti in der Geldtasche? b) Runde den Betrag auf ganze Euro. 5. Aufgabe: Jutta rundet auf Tausender: a) Schreib 5 Zahlen auf, die Jutta auf runden kann. b) Schreib die größte Zahl, die Jutta auf runden kann, auf. c) Schreib die kleinste Zahl, die Jutta auf runden kann, auf. 6. Aufgabe: Erfinde eine Zahl, in der sechzigtausend vorkommt und runde sie. Schreib beide Zahlen auf. erfundene Zahl gerundete Zahl

28 Lösungen Aufgabenbeispiel 1 Runden Mathematik 25 Lösungen: 1. Aufgabe: Aufgabe: Aufgabe: 7 469, Aufgabe: a) genauer Betrag: 3 98 c b) gerundeter Betrag: 4 5. Aufgabe: a) viele Möglichkeiten von b) c) Aufgabe: viele Möglichkeiten z. B.: erfundene Zahl gerundete Zahl erfundene Zahl gerundete Zahl erfundene Zahl gerundete Zahl erfundene Zahl gerundete Zahl erfundene Zahl gerundete Zahl erfundene Zahl gerundete Zahl erfundene Zahl gerundete Zahl Die Zahl kann sowohl in der erfundenen Zahl als auch in der gerundeten Zahl aufscheinen.

29 26 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 2 Flächeninhalt Aufgabenbeispiel 2 Titel/Thema Flächeninhalt AK 1 Modellieren AK 2 Operieren AK 3 Kommunizieren Kompetenzbereiche AK 4 Problemlösen IK 2 Arbeiten mit Operationen IK 3 Arbeiten mit Größen IK 4 Arbeiten mit Ebene und Raum Anzahl der Aufgaben 5 Aufgabe 1 AK 3 Kommunizieren AK 3.1 Mathematische Sachverhalte verbalisieren und begründen - ihre Vorgangsweisen beschreiben und protokollieren. IK 4 Arbeiten mit Ebene und Raum IK 4.4 Umfang und Flächeninhalt ermitteln - den Flächeninhalt einer geometrischen Figur mittels Einheitsflächen messen. Aufgabe 2 AK 1 Modellieren AK 1.1 Sachsituationen in ein mathematisches Modell (Terme und Gleichungen) übertragen, dieses lösen und auf die Ausgangssituation beziehen - aus Sachsituationen relevante Informationen entnehmen. AK 2 Operieren AK 2.1 Mathematische Abläufe durchführen - arithmetische Operationen und Verfahren durchführen. IK 4 Arbeiten mit Ebene und Raum IK 4.4 Umfang und Flächeninhalt ermitteln - den Flächeninhalt von Rechteck und Quadrat berechnen. Aufgabe 3 AK 2 Operieren AK 2.2 Mit Tabellen und Grafiken arbeiten - Informationen aus Tabellen und Grafiken entnehmen. AK 4 Problemlösen AK 4.1 Mathematisch relevante Fragen stellen - ein innermathematisches Problem erkennen und dazu relevante Fragen stellen. IK 3 Arbeiten mit Größen IK 3.2 Größen messen und schätzen Die Schüler/innen - können mit geeigneten Maßeinheiten messen. IK 4 Arbeiten mit Ebene und Raum IK 4.4 Umfang und Flächeninhalt ermitteln - den Flächeninhalt von Rechteck und Quadrat berechnen.

30 Aufgabenbeispiel 2 Flächeninhalt Mathematik 27 Aufgabe 4 AK 2 Operieren AK 2.2 Mathematische Abläufe durchführen - Zahlen, Größen und geometrische Figuren strukturieren. IK 3 Arbeiten mit Größen IK 3.2 Größen messen und schätzen Die Schüler/innen - können Größen schätzen und ihre Vorgangsweise begründen. IK 4 Arbeiten mit Ebene und Raum IK 4.4 Umfang und Flächeninhalt ermitteln - den Flächeninhalt einer geometrischen Figur mittels Einheitsflächen messen. Aufgabe 5 AK 2 Operieren AK 2.2 Mathematische Abläufe durchführen - arithmetische Operationen und Verfahren durchführen, - geometrische Konstruktionen durchführen. AK 4 Problemlösen AK 4.2 Lösungsstrategien (er)finden und nutzen - geeignete Lösungsaktivitäten wie Vermuten, Probieren, Anlegen von Tabellen oder Erstellen von Skizzen anwenden. IK 2 Arbeiten mit Operationen IK 2.1 Die vier Grundrechnungsarten und ihre Zusammenhänge verstehen. - Umkehroperationen verwenden, auch zur sinnvollen Überprüfung des Ergebnisses. IK 4 Arbeiten mit Ebene und Raum IK 4.4 Umfang und Flächeninhalt ermitteln - den Flächeninhalt von Rechteck und Quadrat berechnen. Hilfsmittel Anmerkungen Geodreieck Komplexitätsstufen - niedriger: Aufgaben 1, 2, 3 - höher: Aufgaben 4, 5

31 28 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 2 Flächeninhalt 1. Aufgabe: Welches Klassenzimmer hat den größeren Flächeninhalt? 2a - Klasse 3a - Klasse Ergebnis: Schreib auf, wie du zu deinem Ergebnis gekommen bist.

32 Aufgabenbeispiel 2 Flächeninhalt Mathematik Aufgabe: Hier ist die Skizze des Wohnzimmers von Familie Huber abgebildet. Wie groß ist der Flächeninhalt dieses Wohnzimmers? 4 m 6 m 3. Aufgabe: Berechne den Flächeninhalt dieses Quadrats. Miss ganz genau. Der Flächeninhalt dieses Quadrats beträgt.

33 30 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 2 Flächeninhalt 4. Aufgabe: Welche dieser Figuren haben einen Flächeninhalt von ungefähr 10 cm²? A B C D E F G H Kreuze richtig an. Figur A B C D E F G H ungefähr 10 cm²

34 Aufgabenbeispiel 2 Flächeninhalt Mathematik Aufgabe: Annas Rechteck hat einen Flächeninhalt von 96 cm². Eine Seite hat sie schon gezeichnet. Zeichne das Rechteck fertig.

35 32 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Lösungen Aufgabenbeispiel 2 Flächeninhalt Lösungen: 1. Aufgabe: Die 3a-Klasse hat den größeren Flächeninhalt. Da nur eine ungefähre Zahl für den Größenvergleich notwendig ist, sind die folgenden Zahlen nur Richtwerte. 2a-Klasse: 76 FE 3a-Klasse: 83 FE FE Flächeneinheiten 2. Aufgabe: 6 m² 4 = 24 m² Das Zimmer hat einen Flächeninhalt von 24 m². 3. Aufgabe: Das Quadrat hat einen Flächeninhalt von mm² = 12 cm² 25 mm². (±1 mm Seitenlänge Toleranz mm² bzw mm²) 4. Aufgabe: Figur A B C D E F G H ungefähr 10 cm² X X X 5. Aufgabe: Die Länge des Rechtecks beträgt 12 cm. Flächeninhalt gleich 1. Streifen mal Anzahl der Streifen 96 cm² : 12 cm² = 8 Es gibt insgesamt 8 Streifen. Die Breite beträgt daher 8 cm. Beim Zeichnen der zweiten Seite ±1 mm Toleranz, beim rechten Winkel ± 1 Toleranz. Empfehlenswert ist es, zur Kontrolle eine Schablone (Folie) zu verwenden.

36 Aufgabenbeispiel 3 Überschlag Mathematik 33 Aufgabenbeispiel 3 Titel/Thema Überschlag AK 2 Operieren AK 4 Problemlösen Kompetenzbereiche IK 1 Arbeiten mit Zahlen IK 2 Arbeiten mit Operationen IK 3 Arbeiten mit Größen Anzahl der Aufgaben 5 Aufgaben 1, 2 AK 2 Operieren AK 2.1 Mathematische Abläufe durchführen - arithmetische Operationen und Verfahren durchführen. IK 1 Arbeiten mit Zahlen IK 1.2 Zahlen runden und Anzahlen schätzen - Zahlen auf volle Zehner, Hunderter, Zehntausender runden. IK 3 Arbeiten mit Größen IK 3.3 Mit Größen operieren - mit Größen rechnen. Aufgaben 3, 4 AK 2 Operieren AK 2.1 Mathematische Abläufe durchführen - arithmetische Operationen und Verfahren durchführen. IK 2 Arbeiten mit Operationen IK 2.2 Mündliches Rechnen sicher beherrschen Die Schüler/innen - können Ergebnisschätzungen mit Hilfe von Überschlagsrechnungen durchführen. Aufgabe 5 AK 2 Operieren AK 2.1 Mathematische Abläufe durchführen - arithmetische Operationen und Verfahren durchführen. AK 4 Problemlösen AK 4.2 Lösungsstrategien (er)finden und nutzen - geeignete Lösungsaktivitäten wie Vermuten, Probieren, Anlegen von Tabellen oder Erstellen von Skizzen anwenden. IK 2 Arbeiten mit Operationen IK 2.2 Mündliches Rechnen sicher beherrschen Die Schüler/innen - beherrschen sicher und schnell multiplikative Grundaufgaben im Zahlenraum 100, - können Ergebnisschätzungen mit Hilfe von Überschlagsrechnungen durchführen. Hilfsmittel Anmerkungen keine Komplexitätsstufen - niedriger: Aufgaben 1, 2, 3, 4 - höher: Aufgabe 5

37 34 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 3 Überschlag 1. Aufgabe: Ein Buntstift kostet 49 c. Wie viel kosten 6 Stück ungefähr? Mach eine Überschlagsrechnung. 2. Aufgabe: Familie Maurer erhält im Gasthof folgende Rechnung: Mach einen Überschlag und gib an, wie viel Familie Maurer ungefähr bezahlen muss.

38 Aufgabenbeispiel 3 Überschlag Mathematik Aufgabe: Bestimme durch Überschlagen, welche Zahl dem Ergebnis am nächsten kommt. Kreuze diese Zahl an. a) b) c) d) : Aufgabe: Mach einen Überschlag und schreib deine Überschlagsrechnung und das Ergebnis auf. a) = Ü: b) = Ü: c) = Ü: d) : 69 = Ü:

39 36 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 3 Überschlag 5. Aufgabe: Lisa zieht folgende fünf Ziffernkarten: Sie legt mit vier dieser Ziffernkarten zwei zweistellige Zahlen. Dann multipliziert sie diese Zahlen miteinander. Das Ergebnis ist ungefähr Welche Zahlen könnte sie gelegt haben? Schreib deine Rechnung auf.

40 Lösungen Aufgabenbeispiel 3 Überschlag Mathematik 37 Lösungen: 1. Aufgabe: 49 c c 3 2. Aufgabe: Das Ergebnis sollte zwischen 48 und 54 liegen. 3. Aufgabe: a) 550 b) c) d) 900 ev Aufgabe: a) = Ü: = = b) = Ü: = c) = Ü: = d) : 69 = Ü: : 70 = : 70 = Aufgabe: 78 20; und ungünstiger bzw ;

41 38 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 4 Gewichte I Aufgabenbeispiel 4 Titel/Thema Gewichte I AK 1 Modellieren Kompetenzbereiche AK 2 Operieren IK 3 Arbeiten mit Größen Anzahl der Aufgaben 5 Aufgaben 1, 3 AK 2 Operieren AK 2.1 Mathematische Abläufe durchführen - Zahlen, Größen und geometrische Figuren strukturieren. IK 3 Arbeiten mit Größen IK 3.1 Größenvorstellungen besitzen und Einheiten kennen Die Schüler/innen - kennen genormte Maßeinheiten und können diese den Größenbereichen zuordnen, - können Größen in unterschiedlichen Schreibweisen darstellen. Aufgabe 2 AK 2 Operieren AK 2.1 Mathematische Abläufe durchführen - Zahlen, Größen und geometrische Figuren strukturieren. IK 3 Arbeiten mit Größen IK 3.1 Größenvorstellungen besitzen und Einheiten kennen Die Schüler/innen - kennen genormte Maßeinheiten und können diese den Größenbereichen zuordnen, - können geeignete Repräsentanten zu Maßeinheiten angeben. Aufgaben 4, 5 AK 1 Modellieren AK 1.1 Eine Sachsituation in ein mathematisches Modell (Terme und Gleichungen) übertragen, dieses lösen und auf die Ausgangssituation beziehen - aus Sachsituationen relevante Informationen entnehmen, - passende Lösungswege finden, - die Ergebnisse interpretieren und sie überprüfen. IK 3 Arbeiten mit Größen IK 3.1 Größenvorstellungen besitzen und Einheiten kennen Die Schüler/innen - können geeignete Repräsentanten zu Maßeinheiten angeben, - können Größen in unterschiedlichen Schreibweisen darstellen. IK 3.3 Mit Größen operieren - mit Größen rechnen. Hilfsmittel Anmerkungen keine Komplexitätsstufen - niedriger: Aufgaben 1, 2, 3 - höher: Aufgaben 4, 5

42 Aufgabenbeispiel 4 Gewichte I Mathematik Aufgabe: Ordne die folgenden Gewichtsmaße nach der Größe. Beginn mit dem kleinsten. 1 kg 1 g 1 t 1 dag < < < 2. Aufgabe: Wie schwer sind folgende Dinge? Verbinde mit dem richtigen Gewicht. 1 kg 5 kg 4 1 kg 15 dag 3. Aufgabe: Ordne diese Maßangaben nach der Größe. Beginn mit der größten. 15 dag 1 kg 1 2 kg 250 g 2 t > > > >

43 40 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 4 Gewichte I 4. Aufgabe: Du möchtest eine Obsttorte zubereiten. Dafür musst du noch folgende Zutaten besorgen. 250 g Schlagobers 250 g Erdbeeren 100 g Himbeeren 1 kg Mehl 1 kg Zucker 1 Butter (250 g) Nach dem Bezahlen gibst du alles in deinen Rucksack. 1 Der leere Rucksack wiegt kg. 2 Wie schwer ist der Rucksack, wenn du ihn nach Hause trägst? Antwort: 5. Aufgabe: Denk dir eine Rechengeschichte aus, in der diese Maßangaben vorkommen: 1 1 kg, 400 g, kg 4 Schreib die Rechengeschichte auf und rechne.

44 Lösungen Aufgabenbeispiel 4 Gewichte I Mathematik 41 Lösungen: 1. Aufgabe: 1 g < 1 dag < 1 kg < 1 t 2. Aufgabe: 1 kg 5 kg 4 1 kg 15 dag 3. Aufgabe: 2 t > 1 kg > 1 kg > 250 g > 15 dag 2 4. Aufgabe: 250 g g g g g g = g g g = g = 3 kg 35 dag 5. Aufgabe: Unzählige Möglichkeiten

45 42 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 5 Gewichte II Aufgabenbeispiel 5 Titel/Thema Gewichte II AK 2 Operieren Kompetenzbereiche AK 3 Kommunizieren IK 3 Arbeiten mit Größen Anzahl der Aufgaben 4 Aufgaben 1, 3 AK 2 Operieren AK 2.1 Mathematische Abläufe durchführen - Zahlen, Größen und geometrische Figuren strukturieren. IK 3 Arbeiten mit Größen IK 3.1 Größenvorstellungen besitzen und Einheiten kennen Die Schüler/innen - kennen genormte Maßeinheiten und können diese den Größenbereichen zuordnen, - können Größen in unterschiedlichen Schreibweisen darstellen. Aufgabe 2 AK 2 Operieren AK 2.1 Mathematische Abläufe durchführen - Zahlen, Größen und geometrische Figuren strukturieren. AK 3 Kommunizieren AK 3.1 Mathematische Sachverhalte verbalisieren und begründen - ihre Vorgangsweisen beschreiben und protokollieren. IK 3 Arbeiten mit Größen IK 3.2 Größen messen und schätzen Die Schüler/innen - können Größen schätzen und ihre Vorgangsweise begründen. Aufgabe 4 AK 1 Modellieren AK 1.1 Eine Sachsituation in ein mathematisches Modell (Terme und Gleichungen) übertragen, dieses lösen und auf die Ausgangssituation beziehen - aus Sachsituationen relevante Informationen entnehmen, - passende Lösungswege finden, - die Ergebnisse interpretieren und sie überprüfen. AK 2 Operieren AK 2.1 Mathematische Abläufe durchführen - arithmetische Operationen und Verfahren durchführen. IK 3 Arbeiten mit Größen IK 3.3 Mit Größen operieren - mit Größen rechnen. Hilfsmittel Anmerkungen keine Komplexitätsstufen - niedriger: Aufgaben 1, 2, 3 - höher: Aufgabe 4

46 Aufgabenbeispiel 5 Gewichte II Mathematik Aufgabe: In welcher Zeile sind die Maßeinheiten von der kleinsten zur größten Maßeinheit geordnet? Kreuze die Zeile an. 1 kg dag t g 2 t dag kg g 3 g t kg dag 4 g dag kg t 2. Aufgabe: Wie schwer sind diese Tiere ungefähr in Wirklichkeit? Setze die passenden Maßeinheiten ein Schreib auf, wie du zu deinem Ergebnis gekommen bist.

47 44 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 5 Gewichte II 3. Aufgabe: Setze ein dag 1 kg 1 t 1 kg 1 g 1 dag 1 kg 1 dag 1 kg 1 t 1 dag 1 g 4. Aufgabe: Oje, die Waage ist kaputt! Zum Abmessen der Zutaten für den Kuchen verwendest du daher einen Becher. In den Becher kannst du 60 g Zucker oder 45 g Mehl füllen. Du benötigst für den Kuchen 180 g Zucker und 360 g Mehl. Wie kannst du ohne Waage dieses Problem lösen? Schreib deinen Lösungsweg auf.

48 Lösungen Aufgabenbeispiel 5 Gewichte II Mathematik 45 Lösungen: 1. Aufgabe: 4 g dag kg t 2. Aufgabe: 4 kg 6 t 3 dag 1 g 3. Aufgabe: 100 : dag 1 kg 1 t 1 kg 10 : g 1 dag 1 kg 1 dag kg 1 t 1 dag 1 g 4. Aufgabe: Verschiedene Lösungswege sind möglich. 3 Becher Zucker, 8 Becher Mehl

49 46 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 6 Rätsel Aufgabenbeispiel 6 Titel/Thema Rätsel AK 1 Modellieren AK 2 Operieren Kompetenzbereiche AK 4 Problemlösen IK 1 Arbeiten mit Zahlen IK 2 Arbeiten mit Operationen Anzahl der Aufgaben 4 Aufgabe 1 AK 4 Problemlösen AK 4.2 Lösungsstrategien (er)finden und nutzen - geeignete Lösungsaktivitäten wie Vermuten, Probieren, Anlegen von Tabellen oder Erstellen von Skizzen anwenden, - zielführende Denkstrategien wie systematisches Probieren oder Nutzen von Analogien einsetzen. IK 2 Arbeiten mit Operationen IK 2.1 Die vier Grundrechnungsarten und ihre Zusammenhänge verstehen Die Schüler/innen - verfügen über Einsicht in das Wesen von Rechenoperationen. Aufgabe 2 AK 1 Modellieren AK 1.1 Eine Sachsituation in ein mathematisches Modell (Terme und Gleichungen) übertragen, dieses lösen und auf die Ausgangssituation beziehen - aus Sachsituationen relevante Informationen entnehmen, - passende Lösungswege finden, - die Ergebnisse interpretieren und sie überprüfen. AK 2 Operieren AK 2.1 Mathematische Abläufe durchführen - arithmetische Operationen und Verfahren durchführen. IK 2 Arbeiten mit Operationen IK 2.2 Mündliches Rechnen sicher beherrschen Die Schüler/innen - können einfache Gleichungen mit Platzhaltern lösen. Aufgabe 3 AK 4 Problemlösen AK 4.2 Lösungsstrategien (er)finden und nutzen - geeignete Lösungsaktivitäten wie Vermuten, Probieren, Anlegen von Tabellen oder Erstellen von Skizzen anwenden, - zielführende Denkstrategien wie systematisches Probieren oder Nutzen von Analogien einsetzen. IK 2 Arbeiten mit Operationen IK 2.2 Mündliches Rechnen sicher beherrschen Die Schüler/innen - können einfache Gleichungen mit Platzhaltern lösen.

50 Aufgabenbeispiel 6 Rätsel Mathematik 47 Aufgabe 4 AK 4 Problemlösen AK 4.2 Lösungsstrategien (er)finden und nutzen - geeignete Lösungsaktivitäten wie Vermuten, Probieren, Anlegen von Tabellen oder Erstellen von Skizzen anwenden, - zielführende Denkstrategien wie systematisches Probieren oder Nutzen von Analogien einsetzen. IK 1 Arbeiten mit Zahlen IK 1.1 Zahldarstellungen und -beziehungen verstehen - arithmetische Muster erkennen, beschreiben und fortsetzen. Hilfsmittel Anmerkungen keine Komplexitätsstufen - niedriger: Aufgabe 1 - höher: Aufgaben 2, 3, 4

51 48 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 6 Rätsel 1. Aufgabe: Setze diese Zeichen ein: + : = Aufgabe: Judith, Lukas und Mark ziehen Zahlenkarten aus einer Schachtel und erfinden Rätsel. Schreib die Zahlen rechts in die Kästchen. Judith: Meine Zahl ist um 3 kleiner als die Hälfte von 90. Wie heißt meine Zahl? Lukas: Wenn du 45 zu einem Viertel von 100 addierst, weißt du meine Zahl. Mark: Um meine Zahl zu finden, musst du von 100 das Doppelte von 26 abziehen.

52 Aufgabenbeispiel 6 Rätsel Mathematik Aufgabe: Gleiches Symbol bedeutet gleiche Zahl. Setze die passenden Zahlen ein. + = 13 + = 6 + = 13 + = 6 = 64 : = 3 = 64 : = 3 + = 20 = 4 + = 20 = 4

53 50 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 6 Rätsel 4. Aufgabe: Setze fort: 3, 6, 12, 24,,, 104, 96, 88, 80,,, 7, 17, 15, 25, 23,,, 2, 3, 6, 7, 14,,,,

54 Lösungen Aufgabenbeispiel 6 Rätsel Mathematik 51 Lösungen: 1. Aufgabe: 3 4 = : 3 = 5 45 = = = = 15 Weitere Lösungen möglich. 2. Aufgabe: Judith 42, Lukas 70, Mark Aufgabe: entspricht 8; entspricht 5; entspricht 15; entspricht 6; entspricht 0; entspricht 2; 4. Aufgabe: 3, 6, 12, 24, 48, 96, , 96, 88, 80, 72, 64, , 17, 15, 25, 23, 33, 31, , 3, 6, 7, 14, 15, 30, 31,

55 52 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 7 Zahlen darstellen Aufgabenbeispiel 7 Titel/Thema Zahlen darstellen AK 2 Operieren Kompetenzbereiche AK 3 Kommunizieren IK 1 Arbeiten mit Zahlen Anzahl der Aufgaben 5 Aufgaben 1, 2, 3 AK 2 Operieren AK 2.1 Mathematische Abläufe durchführen - Zahlen, Größen und geometrische Figuren strukturieren, - arithmetische Operationen und Verfahren durchführen. IK 1 Arbeiten mit Zahlen IK 1.1 Zahldarstellungen und beziehungen verstehen - Zahlen im Zahlenraum lesen und darstellen. Aufgabe 4 AK 2 Operieren AK 2.2 Mit Tabellen und Grafiken arbeiten - Informationen aus Tabellen und Grafiken entnehmen. AK 3 Kommunizieren AK 3.1 Mathematische Sachverhalte verbalisieren und begründen - ihre Vorgangsweisen beschreiben und protokollieren. IK 1 Arbeiten mit Zahlen IK 1.1 Zahldarstellungen und beziehungen verstehen - Zahlen im Zahlenraum lesen und darstellen. Aufgabe 5 AK 3 Kommunizieren AK 3.2 Mathematische Sachverhalte in unterschiedlichen Repräsentationsformen darstellen - Zeichnungen und Diagramme erstellen. IK 1 Arbeiten mit Zahlen IK 1.1 Zahldarstellungen und beziehungen verstehen - Zahlen im Zahlenraum lesen und darstellen. Hilfsmittel Anmerkungen Geodreieck Komplexitätsstufen - niedriger: Aufgaben 1, 2, 3 - höher: Aufgaben 4, 5

56 Aufgabenbeispiel 7 Zahlen darstellen Mathematik Aufgabe: M HT ZT T H Z E a) Wie heißt die Zahl? b) Wie heißt die Zahl, wenn du die Zehnerstelle mit der Zehntausenderstelle vertauschst? 2. Aufgabe: Kreuze die richtigen Zahlen an. 6 H 4 Z 3 E 9 H 1 E 5 Z 8 H 9 H 5 Z Aufgabe: Schreib jeweils die Zahlen unter die Angaben. 3 T 4 H 4 Z 3 E 6 ZT 8 H 3 Z 4 E 4 E 5 Z 7 ZT

57 54 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 7 Zahlen darstellen 4. Aufgabe: a) Trage die fehlenden Zahlen ein. Schreib auf, wie du zu den fehlenden Zahlen gekommen bist b) Trage die fehlenden Zahlen ein. Begründe deine Lösungen und schreib diese auf

58 Aufgabenbeispiel 7 Zahlen darstellen Mathematik Aufgabe: In zwei Fußballstadien wurden folgende Besucherzahlen gezählt: a) b) In Salzburg In Wien beim 1. Spiel: beim 1. Spiel: beim 2. Spiel: beim 2. Spiel: beim 3. Spiel: beim 3. Spiel: Stelle die Anzahl der Besucher auf den Balken dar. Verwende zum Messen ein Geodreieck Spiel 2. Spiel 3. Spiel 0 1. Spiel 2. Spiel 3. Spiel

59 56 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Lösungen Aufgabenbeispiel 7 Zahlen darstellen Lösungen: 1. Aufgabe: a) b) Aufgabe: 643, 901, 850, Aufgabe: 3 443, , Aufgabe: a) , z. B.: Man muss in Tausenderschritten zählen dann stimmen die eingetragenen Zahlen. b) , z. B.: Man muss in Zweihunderterschritten zählen dann stimmen die eingetragenen Zahlen. 5. Aufgabe: a) Ein Tausender entspricht 1 cm. b) Ein Zehntausender entspricht 1 cm 6 mm Spiel 2. Spiel 3. Spiel 0 1. Spiel 2. Spiel 3. Spiel

60 Aufgabenbeispiel 8 Zahlbezeichnungen Mathematik 57 Aufgabenbeispiel 8 Titel/Thema Zahlbeziehungen AK 2 Operieren Kompetenzbereiche AK 4 Problemlösen IK 1 Arbeiten mit Zahlen Anzahl der Aufgaben 5 Aufgaben 1, 2, 3 AK 2 Operieren AK 2.1 Mathematische Abläufe durchführen - Zahlen, Größen und geometrische Figuren strukturieren. IK 1 Arbeiten mit Zahlen IK 1.1 Zahldarstellungen und -beziehungen verstehen - Zahlen im Zahlenraum lesen und darstellen, - sich im Zahlenraum orientieren, Zahlen vergleichen und diese in Relation setzen. Aufgabe 4 AK 2 Operieren AK 2.1 Mathematische Abläufe durchführen - arithmetische Operationen und Verfahren durchführen. IK 1 Arbeiten mit Zahlen IK 1.1 Zahldarstellungen und -beziehungen verstehen - arithmetische Muster erkennen, beschreiben und fortsetzen. Aufgabe 5 AK 2 Operieren AK 2.1 Mathematische Abläufe durchführen - Zahlen, Größen und geometrische Figuren strukturieren, - arithmetische Operationen und Verfahren durchführen. AK 4 Problemlösen AK 4.2 Lösungsstrategien (er)finden und nutzen - zielführende Denkstrategien wie systematisches Probieren oder Nutzen von Analogien einsetzen. IK 1 Arbeiten mit Zahlen IK 1.1 Zahldarstellungen und -beziehungen verstehen - Zahlen im Zahlenraum lesen und darstellen. Hilfsmittel Anmerkungen keine Komplexitätsstufen - niedriger: Aufgaben 1, 2, 3 - höher: Aufgaben 4, 5

61 58 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 8 Zahlbezeichnungen 1. Aufgabe: Wie heißen die Einernachbarn? Aufgabe: Bilde aus den Ziffern 2, 7, 9, 1, 4 die größte fünfstellige Zahl: Bilde aus den Ziffern 2, 7, 9, 1, 4 die kleinste vierstellige Zahl: 3. Aufgabe: Welche Zahl bin ich? Ich bin eine Zahl und bin größer als 20, jedoch kleiner als 30. Wenn du meine Ziffern zusammenzählst, ist das Ergebnis Aufgabe: Setze die Zahlenfolgen fort. a) , , , b),, 31770, ,

62 Aufgabenbeispiel 8 Zahlbezeichnungen Mathematik Aufgabe: a) Die Zahl heißt Welche Zahlen kannst du finden, wenn du jeweils an einer anderen Stelle den Wert 1 dazugibst? Nenne 4 Möglichkeiten. Schreib darunter, welche Stelle du verändert hast. b) Die Zahl heißt Wähle eine Stelle (ZT, T, H, Z, E) aus. Nimm 1 von deiner ausgewählten Stelle weg. Schreib mindestens vier neue Zahlen auf. Schreib darunter, welche Stelle du verändert hast.

63 60 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Lösungen Aufgabenbeispiel 8 Zahlbezeichnungen Lösungen: 1. Aufgabe: , , , 6 666, , , , , Aufgabe: , Aufgabe: Aufgabe: a) , , , , b) , , , , Aufgabe: a) 5 mögliche Lösungen: ZT Stelle T Stelle H Stelle Z Stelle E Stelle b) 5 mögliche Lösungen: ZT Stelle T Stelle H Stelle Z Stelle E Stelle

64 Aufgabenbeispiel 9 Symmetrische Figuren Mathematik 61 Aufgabenbeispiel 9 Titel/Thema Symmetrische Figuren AK 2 Operieren Kompetenzbereiche AK 4 Problemlösen IK 4 Arbeiten mit Ebene und Raum Anzahl der Aufgaben 7 Aufgaben 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 AK 2 Operieren AK 2.1 Mathematische Abläufe durchführen - geometrische Konstruktionen durchführen. AK 4 Problemlösen AK 4.2 Lösungsstrategien (er)finden und nutzen - zielführende Denkstrategien wie systematisches Probieren oder Nutzen von Analogien einsetzen. IK 4 Arbeiten mit Ebene und Raum IK 4.2 Beziehungen bei geometrischen Figuren erkennen - vorgegebene geometrische Muster erkennen, selbst entwickeln oder fortsetzen. Hilfsmittel Anmerkungen Geodreieck, Farbstifte Komplexitätsstufen - niedriger: Aufgaben 1, 2, 3, 4 - höher: Aufgaben 5, 6, 7

65 62 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 9 Symmetrische Figuren 1. Aufgabe: Zeichne das Bandornament weiter. Die leeren Felder kannst du mit selbst gewählten Farben anmalen. 2. Aufgabe: Erfinde dein eigenes Bandornament. 3. Aufgabe: Lisa hat ein symmetrisches Muster entworfen. Erfinde zwei neue symmetrische Muster.

66 Aufgabenbeispiel 9 Symmetrische Figuren Mathematik Aufgabe: Hier ist ein Zeichen abgebildet. a) Zeichne mit Geodreieck die Symmetrieachse ein. b) Schneide aus Zeitschriften andere Zeichen aus, klebe sie auf und schau, ob sie symmetrisch sind. 5. Aufgabe: Berti hat Spiegelachsen eingezeichnet. Kreuze an, welche Achsen er richtig bzw. falsch eingezeichnet hat. a b Spiegelachse richtig falsch c a b c d d e e

67 64 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 9 Symmetrische Figuren 6. Aufgabe: Hier siehst du zwei Figuren, die nicht symmetrisch sind. Mach aus jeder Figur eine symmetrische Figur. 7. Aufgabe: Laura hat begonnen, die Zeichnung zu einem symmetrischen Bild zu ergänzen. Zeichne die Figur richtig fertig.

68 Lösungen Aufgabenbeispiel 9 Symmetrische Figuren Mathematik 65 Lösungen: 1. Aufgabe: Muster richtig fortsetzen. 2. Aufgabe: Das Muster sollte symmetrisch sein (Schiebung, Drehung). 3. Aufgabe: Das Muster sollte symmetrisch sein. 4. Aufgabe: 5. Aufgabe: Spiegelachse richtig falsch a X b X c X d X e X 6. Aufgabe: Viele Lösungen möglich. 7. Aufgabe:

69 66 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 10 Kopfrechnen Aufgabenbeispiel 10 Titel/Thema Kopfrechnen AK 2 Operieren AK 4 Problemlösen Kompetenzbereiche IK 1 Arbeiten mit Zahlen IK 2 Arbeiten mit Operationen IK 3 Arbeiten mit Größen Anzahl der Aufgaben 6 Aufgaben 1, 2, 3 AK 2 Operieren AK 2.1 Mathematische Abläufe durchführen - arithmetische Operationen und Verfahren durchführen. AK 4 Problemlösen AK 4.2 Lösungsstrategien (er)finden und nutzen - zielführende Denkstrategien wie systematisches Probieren oder Nutzen von Analogien einsetzen. IK 2 Arbeiten mit Operationen IK 2.2 Mündliches Rechnen sicher beherrschen Die Schüler/innen - beherrschen sicher und schnell additive Grundaufgaben im Zahlenraum 20, - beherrschen sicher und schnell multiplikative Grundaufgaben im Zahlenraum 100, - können nicht automatisierte Rechenoperationen in Teilschritten durchführen.. Aufgabe 4 AK 2 Operieren AK 2.1 Mathematische Abläufe durchführen - arithmetische Operationen und Verfahren durchführen. AK 4 Problemlösen AK 4.2 Lösungsstrategien (er)finden und nutzen - zielführende Denkstrategien wie systematisches Probieren oder Nutzen von Analogien einsetzen. IK 2 Arbeiten mit Operationen IK 2.2 Mündliches Rechnen sicher beherrschen Die Schüler/innen - beherrschen sicher und schnell multiplikative Grundaufgaben im Zahlenraum 100. Aufgabe 5 AK 2 Operieren AK 2.1 Mathematische Abläufe durchführen - arithmetische Operationen und Verfahren durchführen. IK 3 Arbeiten mit Größen IK 3.1 Größenvorstellungen besitzen und Einheiten kennen Die Schüler/innen - kennen genormte Maßeinheiten und können diese den Größenbereichen zuordnen. IK 3.3 Mit Größen operieren - mit Größen rechnen.

70 Aufgabenbeispiel 10 Kopfrechnen Mathematik 67 Aufgabe 6 AK 2 Operieren AK 2.1 Mathematische Abläufe durchführen - arithmetische Operationen und Verfahren durchführen. IK 1 Arbeiten mit Zahlen IK 1.3 Das Wesen der Bruchzahl verstehen - Bruchzahlen im Zusammenhang mit Größen benützen. IK 3 Arbeiten mit Größen IK 3.1 Größenvorstellungen besitzen und Einheiten kennen Die Schüler/innen - kennen genormte Maßeinheiten und können diese den Größenbereichen zuordnen. IK 3.3 Mit Größen operieren - mit Größen rechnen. Hilfsmittel Anmerkungen keine Komplexitätsstufen - niedriger: Aufgaben 1, 2, 3, 4, 5 - höher: Aufgabe 6

71 68 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 10 Kopfrechnen 1. Aufgabe: Plus- und Minusaufgaben Start Ziel Aufgabe: Ergänzen auf Aufgabe: Verdoppeln und Halbieren Zahl Das Doppelte Zahl Die Hälfte

72 Aufgabenbeispiel 10 Kopfrechnen Mathematik Aufgabe: Multiplizieren/Dividieren Aufgabe: Rechnen mit Größen Schreib auf, wie lange Laura ferngesehen hat. Wochentag von bis (Uhr) Zeitdauer Montag 17:15 17:50 Dienstag 14:05 15:10 Donnerstag 18:50 19:35 Samstag 20:15 21:55

73 70 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 10 Kopfrechnen 6. Aufgabe: Rechnen mit Größen 1 kg 1 dm² 30 dag 70 dag 50 cm² + 53 dag + 39 cm² 1 kg 2 6 dm² 3 kg g 1 m² 465 g

74 Lösungen Aufgabenbeispiel 10 Kopfrechnen Mathematik 71 Lösungen: 1. Aufgabe: Start Ziel 2. Aufgabe: Aufgabe: Zahl Das Doppelte Zahl Die Hälfte

75 72 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Lösungen Aufgabenbeispiel 10 Kopfrechnen 4. Aufgabe: Aufgabe: Wochentag von bis (Uhr) Zeitdauer Montag 17:15 17:50 35 min Dienstag 14:05 15:10 1 h 5 min Donnerstag 18:50 19:35 45 min Samstag 20:15 21:55 1 h 40 min 6. Aufgabe: 1 kg 1 dm² 30 dag 70 dag 50 cm² + 50 cm² 47 dag 53 dag 61 cm² + 39 cm² 1 kg 2 1 kg 2 6 dm² 5 dm² 3 kg 4 1 kg 4 1 m² 99 dm² 810 g 190 g 535 g 465 g Es gelten natürlich alle korrekten Antworten, wie z. B. 2 1 kg oder 50 dag.

76 Aufgabenbeispiel 11 Längenmaße Mathematik 73 Aufgabenbeispiel 11 Titel/Thema Längenmaße AK 2 Operieren Kompetenzbereiche AK 3 Kommunizieren IK 3 Arbeiten mit Größen Anzahl der Aufgaben 5 Aufgabe 1 AK 2 Operieren AK 2.1 Mathematische Abläufe durchführen - Zahlen, Größen und geometrische Figuren strukturieren. IK 3 Arbeiten mit Größen IK 3.1 Größenvorstellungen besitzen und Einheiten kennen Die Schüler/innen - kennen genormte Maßeinheiten und können diese den Größenbereichen zuordnen. Aufgaben 2, 3 AK 2 Operieren AK 2.1 Mathematische Abläufe durchführen - Zahlen, Größen und geometrische Figuren strukturieren. IK 3 Arbeiten mit Größen IK 3.1 Größenvorstellungen besitzen und Einheiten kennen Die Schüler/innen - kennen genormte Maßeinheiten und können diese den Größenbereichen zuordnen, - können geeignete Repräsentanten zu Maßeinheiten angeben, - können Größen in unterschiedlichen Schreibweisen darstellen. Aufgabe 4 AK 3 Kommunizieren AK 3.1 Mathematische Sachverhalte verbalisieren und begründen - mathematische Begriffe und Zeichen sachgerecht in Wort und Schrift benützen, - Lösungswege vergleichen und ihre Aussagen und Handlungsweisen begründen. IK 3 Arbeiten mit Größen IK 3.1 Größenvorstellungen besitzen und Einheiten kennen Die Schüler/innen - können Größen in unterschiedlichen Schreibweisen darstellen. Aufgabe 5 AK 2 Operieren AK 2.1 Mathematische Abläufe durchführen - geometrische Konstruktionen durchführen. IK 3 Arbeiten mit Größen IK 3.2 Größen messen und schätzen Die Schüler/innen - beherrschen den Grundvorgang des Messens, - können mit geeigneten Maßeinheiten messen. Hilfsmittel Anmerkungen Geodreieck Komplexitätsstufen - niedriger: Aufgaben 1, 2, 3, 5 - höher: Aufgabe 4

77 74 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 11 Längenmaße 1. Aufgabe: Schreib alle Längenmaße, die du kennst, in der richtigen Reihenfolge auf. Beginne mit dem größten Längenmaß. 2. Aufgabe: a) Wer ist größer als 1 m? Kreuze an. der Vater ein Baby die Mutter Ist ein Einfamilienhaus höher als 1 m? Kreuze an. ja nein Was ist länger als ein Meter? Kreuze an. ein Auto ein Zug dein Lineal

78 Aufgabenbeispiel 11 Längenmaße Mathematik 75 b) Bist du kleiner als 1 m? Kreuze an. ja nein Was ist kürzer als 1 m? Kreuze an. ein Bleistift ein Radiergummi Ist ein Kirchturm niedriger als ein Meter? Kreuze an. ja nein 3. Aufgabe: a) Mia denkt an ein Längenmaß. Es ist in einem Kilometer 1000-mal enthalten. Es heißt: b) Wie heißt das Längenmaß, das in einem Meter 10-mal enthalten ist? Es heißt: c) In einem Zentimeter sind 10 enthalten.

79 76 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 11 Längenmaße 4. Aufgabe: Der Tischler misst zwei Küchen aus. 1. Küche: Die Länge ist 3 m 2 cm und die Breite ist 2 m 4 dm. 2. Küche: Die Länge ist 4 m 23 cm und die Breite ist 3 m 80 cm. Der Lehrling schreibt die Maße in eine Skizze. Kontrolliere die Maßangaben. 1. Küche: Maße in cm 2. Küche: Maße in cm Stelle falsche Maßangaben richtig. Schreib auf, welche Fehler dem Lehrling passiert sind.

80 Aufgabenbeispiel 11 Längenmaße Mathematik Aufgabe: a) Welche 2 Strecken sind genau 6 cm lang? Kreuze an. a c b e d a b c d e b) Zeichne eine Strecke mit 14 cm Länge.

81 78 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Lösungen Aufgabenbeispiel 11 Längenmaße Lösungen: 1. Aufgabe: km, m, dm, cm, mm 2. Aufgabe: a) der Vater die Mutter ja ein Auto ein Zug b) nein ein Bleistift ein Radiergummi nein 3. Aufgabe: a) Es heißt: 1 m b) Es heißt: 1 dm c) In einem Zentimeter sind 10 mm enthalten. 4. Aufgabe: 1. Küche: Maße in cm 2. Küche: Maße in cm Mögliche Begründungen: Bei 302 cm fehlt die Null für die 10-cm-Stelle. Die 4 dm wurden nicht in 40 cm verwandelt. Statt 204 cm 240 cm Statt 423 wurde 432 geschrieben. Ziffern vertauscht! 5. Aufgabe a) a b c d e

82 Aufgabenbeispiel 12 Zeitmaße Mathematik 79 Aufgabenbeispiel 12 Titel/Thema Zeitmaße AK 1 Modellieren AK 2 Operieren Kompetenzbereiche AK 3 Kommunizieren AK 4 Problemlösen IK 3 Arbeiten mit Größen Anzahl der Aufgaben 5 Aufgaben 1, 2 AK 2 Operieren AK 2.1 Mathematische Abläufe durchführen - Zahlen, Größen und geometrische Figuren strukturieren. IK 3 Arbeiten mit Größen IK 3.1 Größenvorstellungen besitzen und Einheiten erkennen Die Schüler/innen - kennen genormte Maßeinheiten und können diese den Größenbereichen zuordnen. Aufgaben 3, 4 AK 4 Problemlösen AK 4.2 Lösungsstrategien (er)finden und nutzen - zielführende Denkstrategien wie systematisches Probieren oder Nutzen von Analogien einsetzen. IK 3 Arbeiten mit Größen IK 3.2 Größen messen und schätzen Die Schüler/innen - können mit geeigneten Maßeinheiten messen. Aufgabe 5 AK 1 Modellieren AK 1.1 Eine Sachsituation in ein mathematisches Modell (Terme und Gleichungen) übertragen, dieses lösen und auf die Ausgangssituation beziehen - aus Sachsituationen relevante Informationen entnehmen, - passende Lösungswege finden, - die Ergebnisse interpretieren und sie überprüfen. AK 3 Kommunizieren AK 3.1 Mathematische Sachverhalte verbalisieren und begründen - ihre Vorgangsweisen beschreiben und protokollieren, - Lösungswege vergleichen und ihre Aussagen und Handlungsweisen begründen. IK 3 Arbeiten mit Größen IK 3.3 Mit Größen operieren - mit Größen rechnen. Hilfsmittel Anmerkungen keine Komplexitätsstufen - niedriger: Aufgaben 1, 2, 3 - höher: Aufgaben 4, 5

83 80 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 12 Zeitmaße 1. Aufgabe: Kreuze die passende Zeitdauer an. Stunden Sekunden Minuten die große Pause in der Schule ein Wort sprechen dein Schulweg der Schlaf während der Nacht ein Tag ein Blitz beim Gewitter das Schreiben der Hausübung das Läuten an der Türe das Lösen einer Einmaleinsrechnung 2. Aufgabe: Ein Tag hat. Ein Monat hat ungefähr. Wie viele Monate hat ein Jahr? 3. Aufgabe: Moni denkt: a) Wie viel Zeit vergeht, wenn der Minutenzeiger auf der Uhr eine Runde dreht? b) Wie viel Zeit vergeht, wenn der Stundenzeiger auf der Uhr eine Runde dreht?

84 Aufgabenbeispiel 12 Zeitmaße Mathematik Aufgabe: Mama sieht im Badezimmer die Uhrzeit im Spiegel. a) Wie spät ist es? Zeichne die Zeit ein. b) Schreib die beiden möglichen Zeitpunkte auf. 5. Aufgabe: Frau Hilde gibt ihrer Freundin das Rezept ihrer Lieblingstorte. Sie sagt ihr auch, dass die Torte dann 1 h 05 min im Backrohr sein muss. Die Freundin stellt die Uhr des Backofens auf 105 min. Nach dieser Zeit nimmt sie die Torte aus dem Backrohr. Warum ist diese schwarz und raucht? Schreib es auf.

85 82 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Lösungen Aufgabenbeispiel 12 Zeitmaße Lösungen: 1. Aufgabe: Stunden: der Schlaf während der Nacht, ein Tag Sekunden: ein Wort sprechen, ein Blitz beim Gewitter Minuten: dein Schulweg 2. Aufgabe: 24 Stunden 30 Tage 12 Monate 3. Aufgabe: a) 60 Minuten b) 12 Stunden 4. Aufgabe: a) b) 04:50 Uhr 16:50 Uhr 5. Aufgabe: 1 h 05 min sind 65 Minuten. 1 Stunde hat nur 60 Minuten.

86 Aufgabenbeispiel 13 Bruchzahlen Mathematik 83 Aufgabenbeispiel 13 Titel/Thema Bruchzahlen AK 1 Modellieren AK 2 Operieren Kompetenzbereiche AK 3 Kommunizieren IK 1 Arbeiten mit Zahlen IK 2 Arbeiten mit Operationen Anzahl der Aufgaben 7 Aufgabe 1 AK 3 Kommunizieren AK 3.2 Mathematische Sachverhalte in unterschiedlichen Repräsentationsformen darstellen - Zeichnungen und Diagramme erstellen. IK 1 Arbeiten mit Zahlen IK 1.2 Das Wesen der Bruchzahl verstehen - Bruchzahlen darstellen. Aufgabe 2 AK 3 Kommunizieren AK 3.2 Mathematische Sachverhalte in unterschiedlichen Repräsentationsformen darstellen - Zeichnungen und Diagramme erstellen. IK 1 Arbeiten mit Zahlen IK 1.3 Das Wesen der Bruchzahl verstehen - Bruchzahlen darstellen, - Bruchzahlen im Zusammenhang mit Größen benützen. Aufgabe 3 AK 2 Operieren AK 2.1 Mathematische Abläufe durchführen - arithmetische Operationen und Verfahren durchführen. AK 2.2 Mit Tabellen und Grafiken arbeiten - Informationen aus Tabellen und Grafiken entnehmen. AK 3 Kommunizieren AK 3.2 Mathematische Sachverhalte in unterschiedlichen Repräsentationsformen darstellen - ihre Vorgangsweisen in geeigneten Repräsentationsformen festhalten. IK 1 Arbeiten mit Zahlen IK 1.3 Das Wesen der Bruchzahl verstehen - Bruchzahlen darstellen, - Bruchzahlen vergleichen, ordnen und zerlegen. IK 2 Arbeiten mit Operationen IK 2.2 Mündliches Rechnen sicher beherrschen Die Schüler/innen - können einfache Gleichungen mit Platzhaltern lösen.

87 84 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 13 Bruchzahlen Aufgabe 4 AK 2 Operieren AK 2.1 Mathematische Abläufe durchführen - arithmetische Operationen und Verfahren durchführen. AK 2.2 Mit Tabellen und Grafiken arbeiten - Informationen aus Tabellen und Grafiken entnehmen. IK 1 Arbeiten mit Zahlen IK 1.3 Das Wesen der Bruchzahl verstehen - Bruchzahlen darstellen, - Bruchzahlen vergleichen, ordnen und zerlegen. Aufgaben 5, 6 AK 2 Operieren AK 2.1 Mathematische Abläufe durchführen - arithmetische Operationen und Verfahren durchführen. IK 1 Arbeiten mit Zahlen IK 1.3. Das Wesen der Bruchzahl verstehen - Bruchzahlen im Zusammenhang mit Größen benützen. Aufgabe 7 AK 1 Modellieren AK 1.1 Eine Sachsituation in ein mathematisches Modell (Terme und Gleichungen) übertragen, dieses lösen und auf die Ausgangssituation beziehen - aus Sachsituationen relevante Informationen entnehmen, - passende Lösungswege finden, - die Ergebnisse interpretieren und sie überprüfen. AK 2 Operieren AK 2.1 Mathematische Abläufe durchführen - arithmetische Operationen und Verfahren durchführen. IK 1 Arbeiten mit Zahlen IK 1.3. Das Wesen der Bruchzahl verstehen - Bruchzahlen im Zusammenhang mit Größen benützen. Hilfsmittel Anmerkungen Geodreieck Komplexitätsstufen - niedriger: Aufgaben 1, 3 - höher: Aufgaben 2, 4, 5, 6, 7

88 Aufgabenbeispiel 13 Bruchzahlen Mathematik Aufgabe: Bemale die angegebenen Flächenteile Aufgabe: Zeichne den angegebenen Bruchteil auf den Strecken ein

89 86 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 13 Bruchzahlen 3. Aufgabe: Berechne mit Hilfe der Messbecher. Zeichne ein = 1 + = = Aufgabe: Lukas hat Zahlen in Figuren geschrieben und die Figuren zerlegt. Schreib die Zahl auf, die dem bemalten Teil der Figur entspricht

90 Aufgabenbeispiel 13 Bruchzahlen Mathematik Aufgabe: Brüche und Größen 1 1 m = cm h = min 1 kg = dag m = mm 3 h = min 1 kg = g m = cm 1 m² = dm² 1 km = m t = kg kg = g h = min Aufgabe: Brüche und Größen von 64 = von 4 cm = mm von 1 min = s von 50 kg = von 80 = von 1 min = von 100 m = von 100 m = von 4 l = Aufgabe: Moritz erhält 100 vom Opa. Er plant: Die Hälfte lege ich auf das Sparbuch. Um ein Viertel des Gesamtbetrages kaufe ich ein Geschenk für Mutti und Vati. Den Rest brauche ich für die Projektwoche. Wie viel Euro hat Moritz für die Projektwoche noch zur Verfügung?

91 88 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Lösungen Aufgabenbeispiel 13 Bruchzahlen Lösungen: 1. Aufgabe: Bei diesen Aufgaben sind mehrere grafische Lösungen möglich Aufgabe: Aufgabe: 1 ; 2 1 ; 5 ; Aufgabe: 1 600; 800; 400; 200; 600; ; 1 200; 600; 300; 1 500; 2 100

92 Lösungen Aufgabenbeispiel 13 Bruchzahlen Mathematik Aufgabe: 1 1 m = 50 cm h = 30 min 1 kg = 25 dag m = 500 mm h = 45 min kg = 500 g m = 75 cm m² = 50 dm² km = 500 m t = 500 kg kg = 250 g h = 15 min Aufgabe: von 64 = 32 von 4 cm = 15 mm von 1 min = 30 s von 50 kg = 25 kg von 80 = 50 von 1 min = 15 s von 100 m = 25 m von 100 m = 75 m von 4 l = 3 l Aufgabe: Sparbuch: 50 ; Geschenk: 25 Moritz hat noch 25 zur Verfügung.

93 90 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 14 Würfel Aufgabenbeispiel 14 Titel/Thema Würfel AK 2 Operieren AK 3 Kommunizieren Kompetenzbereiche AK 4 Problemlösen IK 4 Arbeiten mit Ebene und Raum Anzahl der Aufgaben 6 Aufgaben 1, 2 AK 2 Operieren AK 2.1 Mathematische Abläufe durchführen - Zahlen, Größen und geometrische Figuren strukturieren. IK 4 Arbeiten mit Ebene und Raum IK 4.1 Geometrische Figuren erkennen, benennen und darstellen - die Eigenschaften geometrischer Figuren beschreiben. Aufgabe 3 AK 2 Operieren AK 2.1 Mathematische Abläufe durchführen - Zahlen, Größen und geometrische Figuren strukturieren. AK 4 Problemlösen AK 4.2 Lösungsstrategien (er)finden und nutzen - geeignete Lösungsaktivitäten wie Vermuten, Probieren, Anlegen von Tabellen oder Erstellen von Skizzen anwenden. IK 4 Arbeiten mit Ebene und Raum IK 4.3 Mit geometrischen Figuren operieren - geometrische Figuren zerlegen und sie wieder zusammensetzen. Aufgabe 4 AK 2 Operieren AK 2.1 Mathematische Abläufe durchführen - Zahlen, Größen und geometrische Figuren strukturieren. AK 4 Problemlösen AK 4.2 Lösungsstrategien (er)finden und nutzen - geeignete Lösungsaktivitäten wie Vermuten, Probieren, Anlegen von Tabellen oder Erstellen von Skizzen anwenden. IK 4 Arbeiten mit Ebene und Raum IK 4.3 Mit geometrischen Figuren operieren - Netze den entsprechenden Körpern zuordnen und umgekehrt.

94 Aufgabenbeispiel 14 Würfel Mathematik 91 Aufgabe 5 AK 2 Operieren - Zahlen, Größen und geometrische Figuren strukturieren. AK 3 Kommunizieren - ihre Vorgangsweisen in geeigneten Repräsentationsformen festhalten. AK 4 Problemlösen - zielführende Denkstrategien wie systematisches Probieren oder Nutzen von Analogien einsetzen. IK 4 Arbeiten mit Ebene und Raum - den Zusammenhang zwischen Plan und Wirklichkeit herstellen. - geometrische Figuren zerlegen und sie wieder zusammensetzen. Aufgabe 6 AK 2 Operieren - Zahlen, Größen und geometrische Figuren strukturieren. AK 4 Problemlösen - zielführende Denkstrategien wie systematisches Probieren oder Nutzen von Analogien einsetzen. IK 4 Arbeiten mit Ebene und Raum - Lagebeziehungen zwischen Objekten im Raum und in der Ebene beschreiben und nutzen. - geometrische Figuren zerlegen und sie wieder zusammensetzen. Hilfsmittel Anmerkungen Farbstifte Komplexitätsstufen - niedriger: Aufgaben 1, 2, 3 - höher: Aufgaben 4, 5, 6

95 92 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 14 Würfel 1. Aufgabe: Schreib auf, wie viele Ecken, Kanten und Begrenzungsflächen ein Würfel hat. Ecken Kanten Begrenzungsflächen 2. Aufgabe: Wie viele Strohhalme und wie viele Kügelchen brauchst du noch, um die Würfel fertig zu bauen? Schreib die entsprechenden Anzahlen in die Kästchen darunter. A B Würfel A Würfel B

96 Aufgabenbeispiel 14 Würfel Mathematik Aufgabe: Wie viele solcher Würfel ( ) passen in die Verpackungen? Schreib die Anzahlen der Würfel auf die Linien darunter. 4. Aufgabe: Aus welchen Abbildungen kannst du einen Würfel falten? A B C D Kreuze an. A B C D

97 94 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 14 Würfel 5. Aufgabe: Aus wie vielen Würfeln sind diese Bauwerke gebaut? a) Schreib die Anzahl der Würfel unten auf den Strich. A B C D E b) Erstelle die Baupläne dieser Bauwerke. A B C D E

98 Aufgabenbeispiel 14 Würfel Mathematik Aufgabe: Falte in Gedanken das Netz zu einem Würfel. Bemale die gegenüberliegenden Flächen mit gleicher Farbe. Nimm für jedes Flächenpaar eine andere Farbe.

99 96 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Lösungen Aufgabenbeispiel 14 Würfel Lösungen: 1. Aufgabe: Ecken Kanten Begrenzungsflächen Aufgabe: Würfel A Würfel B Aufgabe: Aufgabe: Kreuze an. A B C D

100 Lösungen Aufgabenbeispiel 14 Würfel Mathematik Aufgabe: a) Schreib die Anzahl der Würfel unten auf den Strich b) Erstelle die Baupläne dieser Bauwerke. A B C D E 6. Aufgabe:

101 98 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 15 Umfang Aufgabenbeispiel 15 Titel/Thema Umfang AK 2 Operieren AK 3 Kommunizieren Kompetenzbereiche AK 4 Problemlösen IK 3 Arbeiten mit Größen IK 4 Arbeiten mit Ebene und Raum Anzahl der Aufgaben 8 Aufgaben 1, 2 AK 2 Operieren AK 2.1 Mathematische Abläufe durchführen - arithmetische Operationen und Verfahren durchführen. AK 4 Problemlösen AK 4.2 Lösungsstrategien (er)finden und nutzen - geeignete Lösungsaktivitäten wie Vermuten, Probieren, Anlegen von Tabellen oder Erstellen von Skizzen anwenden, - zielführende Denkstrategien wie systematisches Probieren oder Nutzen von Analogien einsetzen. IK 3 Arbeiten mit Größen IK 3.2 Größen messen und schätzen Die Schüler/innen - beherrschen den Grundvorgang des Messens, - können mit geeigneten Maßeinheiten messen, - können Größen schätzen und ihre Vorgangsweise begründen. IK 4 Arbeiten mit Ebene und Raum IK 4.4 Umfang und Flächeninhalt ermitteln - den Umfang einer geometrischen Figur mittels Einheitslängen messen. Aufgaben 3, 4, 6 AK 2 Operieren AK 2.1 Mathematische Abläufe durchführen - arithmetische Operationen und Verfahren durchführen. AK 3 Kommunizieren AK 3.1 Mathematische Sachverhalte verbalisieren und begründen - mathematische Begriffe und Zeichen sachgerecht in Wort und Schrift benützen, - ihre Vorgangsweisen beschreiben und protokollieren. AK 3.2 Mathematische Sachverhalte in unterschiedlichen Repräsentationsformen darstellen - ihre Vorgangsweisen in geeigneten Repräsentationsformen festhalten. IK 4 Arbeiten mit Ebene und Raum IK 4.4 Umfang und Flächeninhalt ermitteln - den Umfang von Rechteck und Quadrat berechnen, - den Flächeninhalt einer geometrischen Figur mittels Einheitsflächen messen.

102 Aufgabenbeispiel 15 Umfang Mathematik 99 Aufgabe 5 AK 2 Operieren AK 2.1 Mathematische Abläufe durchführen - arithmetische Operationen und Verfahren durchführen, - geometrische Konstruktionen durchführen. AK 4 Problemlösen AK 4.2 Lösungsstrategien (er)finden und nutzen - zielführende Denkstrategien wie systematisches Probieren oder Nutzen von Analogien einsetzen. IK 4 Arbeiten mit Ebene und Raum IK 4.4 Umfang und Flächeninhalt ermitteln - den Umfang von Rechteck und Quadrat berechnen. Aufgabe 7 AK 2 Operieren AK 2.1 Mathematische Abläufe durchführen - geometrische Konstruktionen durchführen. AK 3 Kommunizieren AK 3.1 Mathematische Sachverhalte verbalisieren und begründen - Lösungswege vergleichen und ihre Aussagen und Handlungsweisen begründen. AK 4 Problemlösen AK 4.2 Lösungsstrategien (er)finden und nutzen - zielführende Denkstrategien wie systematisches Probieren oder Nutzen von Analogien einsetzen. IK 4 Arbeiten mit Ebene und Raum IK 4.4 Umfang und Flächeninhalt ermitteln - den Umfang von Rechteck und Quadrat berechnen. Aufgabe 8 AK 2 Operieren AK 2.1 Mathematische Abläufe durchführen - arithmetische Operationen und Verfahren durchführen. AK 4 Problemlösen AK 4.1 Mathematisch relevante Fragen stellen - ein innermathematisches Problem erkennen und dazu relevante Fragen stellen. AK 4.2 Lösungsstrategien (er)finden und nutzen - zielführende Denkstrategien wie systematisches Probieren oder Nutzen von Analogien einsetzen. IK 4 Arbeiten mit Ebene und Raum IK 4.4 Umfang und Flächeninhalt ermitteln - den Umfang von Rechteck und Quadrat berechnen. Hilfsmittel Anmerkungen Papierstreifen/Faden oder Maßband für Aufgabe 1, Geodreieck Komplexitätsstufen - niedriger: Aufgaben 1, 2, 3, 4 - höher: Aufgaben 5, 6, 7, 8

103 100 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 15 Umfang 1. Aufgabe: Bestimme die ungefähre Länge des Randes dieser Figuren. A B C D A) u B) u C) u D) u

104 Aufgabenbeispiel 15 Umfang Mathematik Aufgabe: Bestimme den Umfang dieser Figuren. A B Der Umfang der Figur A beträgt. Der Umfang der Figur B beträgt.

105 102 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 15 Umfang 3. Aufgabe: Albin und Laura berechnen den Umfang dieses Rechtecks. Länge: 7 cm Breite: 4 cm Albin hat so gerechnet: So hat Laura gerechnet: a) Erkläre, wie beide überlegt haben und warum sie zum selben Ergebnis gekommen sind. b) Berechne den Umfang eines 12 cm langen und 8 cm breiten Rechtecks auf verschiedene Arten.

106 Aufgabenbeispiel 15 Umfang Mathematik Aufgabe: Berechne den Umfang eines Quadrats mit 6 m 25 cm Seitenlänge. 5. Aufgabe: Zeichne ein Rechteck mit 26 cm Umfang. Schreib deine Länge und deine Breite auf. l = ; b =

107 104 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 15 Umfang 6. Aufgabe: Stelle Umfang und Flächeninhalt dieser Figuren fest. A B Umfang: 18 LE (Längeneinheiten) Umfang: Flächeninhalt: 14 FE (Flächeneinheiten) Flächeninhalt: C D u: u: A: A: 7. Aufgabe: Zeichne Figuren mit angegebenem Umfang und vergleicht eure Ergebnisse. Umfang: 12 cm Umfang: 14 cm Umfang: 20 cm

108 Aufgabenbeispiel 15 Umfang Mathematik Aufgabe: Wie lang ist der Umfang dieser Figur? 84 m 108 m 55 m 40 m

109 106 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Lösungen Aufgabenbeispiel 15 Umfang Lösungen: 1. Aufgabe: A) u 22 cm (± 1 cm) B) u 13 cm (± 1 cm) C) u 18 cm (± 1 cm) D) u 30 cm (± 1,5 cm) 2. Aufgabe: Beide Figuren haben denselben Umfang. A) a = 6 cm; b = 4,5 cm; u = 21 cm B) a = 6 cm; b = 4,5 cm; u = 21 cm 3. Aufgabe: a) Albin rechnet zuerst eine Länge und eine Breite zusammen und verdoppelt sie anschließend. Laura verdoppelt die Länge und danach die Breite. Anschließend zählt sie beide Werte zusammen. b) Mehrere Lösungsmöglichkeiten, wie zb: 4. Aufgabe: u = 625 cm 4 = cm = 25 m u = 6 m 4 = 24 m u = 25 cm 4 = 100 cm = 1 m u = 24 m + 1 m = 25 m 5. Aufgabe: Viele Lösungen möglich: Länge plus Breite müssen 13 cm ergeben zb: l = 6 cm; b = 7 cm

110 Lösungen Aufgabenbeispiel 15 Umfang Mathematik Aufgabe: A B C D Umfang 18 LE 10 LE 10 LE 16 LE Flächeninhalt 14 FE 5 FE 4 FE 9 FE LE Längeneinheiten FE Flächeneinheiten 7. Aufgabe: Jeweils mehrere Lösungen möglich. Umfang: 12 cm Umfang: 14 cm Umfang: 20 cm 8. Aufgabe: 108 m 55 m = 53 m 84 m 40 m = 44 m Fehlende Seiten: 53 m und 44 m 40 m + 53 m + 44 m + 55 m + 84m m = 384 m Umfang: 384 m

111 108 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 16 Schriftliches Rechnen Aufgabenbeispiel 16 Titel/Thema Schriftliches Rechnen AK 1 Modellieren AK 2 Operieren AK 3 - Kommunizieren Kompetenzbereiche AK 4 Problemlösen IK 2 Arbeiten mit Operationen IK 3 Arbeiten mit Größen Anzahl der Aufgaben 7 Aufgaben 1, 6 AK 1 Modellieren AK 1.1 Eine Sachsituation in ein mathematisches Modell (Terme und Gleichungen) übertragen, dieses lösen und auf die Ausgangssituation beziehen. - aus Sachsituationen relevante Informationen entnehmen, - die Ergebnisse interpretieren und sie überprüfen. AK 2 Operieren AK 2.1 Mathematische Abläufe durchführen - arithmetische Operationen und Verfahren durchführen. IK 2 Arbeiten mit Operationen IK 2.3 Schriftliche Rechenverfahren beherrschen Die Schüler/innen - können die Algorithmen der schriftlichen Verfahren für Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durchführen. IK 3 Arbeiten mit Größen IK 3.3 Mit Größen operieren - mit Größen rechnen. Aufgabe 3 AK 2 Operieren AK 2.1 Mathematische Abläufe durchführen - arithmetische Operationen und Verfahren durchführen. IK 2 Arbeiten mit Operationen IK 2.2 Mündliches Rechnen sicher beherrschen - Ergebnisschätzungen mit Hilfe von Überschlagsrechnungen durchführen. IK 2.3 Schriftliche Rechenverfahren beherrschen Die Schüler/innen - können die Algorithmen der schriftlichen Verfahren für Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durchführen.

112 Aufgabenbeispiel 16 Schriftliches Rechnen Mathematik 109 Aufgaben 2, 4, 5 AK 2 Operieren AK 2.1 Mathematische Abläufe durchführen - arithmetische Operationen und Verfahren durchführen. AK 4 Problemlösen AK 4.2 Lösungsstrategien (er)finden und nutzen - zielführende Denkstrategien wie systematisches Probieren oder Nutzen von Analogien einsetzen. IK 2 Arbeiten mit Operationen IK 2.1 Die vier Grundrechnungsarten und ihre Zusammenhänge verstehen Die Schüler/innen - verfügen über Einsicht in das Wesen von Rechenoperationen, - können die Zusammenhänge zwischen den Grundrechnungsarten erklären. IK 2.3 Schriftliche Rechenverfahren beherrschen Die Schüler/innen - verstehen die Algorithmen der schriftlichen Rechenverfahren. Aufgabe 7 AK 2 Operieren AK 2.1 Mathematische Abläufe durchführen - arithmetische Operationen und Verfahren durchführen. AK 3 Kommunizieren AK 3.1 Mathematische Sachverhalte verbalisieren und begründen. - mathematische Begriffe und Zeichen sachgerecht in Wort und Schrift benützen. IK 2 Arbeiten mit Operationen IK 2.1 Die vier Grundrechnungsarten und ihre Zusammenhänge verstehen Die Schüler/innen - verfügen über Einsicht in das Wesen von Rechenoperationen, - können die Zusammenhänge zwischen den Grundrechnungsarten erklären, - können Umkehroperationen verwenden, auch zur sinnvollen Überprüfung des Ergebnisses. IK 2.3 Schriftliche Rechenverfahren beherrschen Die Schüler/innen - verstehen die Algorithmen der schriftlichen Rechenverfahren, - können die Lösung mit Hilfe einer Probe überprüfen. Hilfsmittel Anmerkungen keine Komplexitätsstufen - niedriger: Aufgaben 1, 3, 6 - höher: Aufgaben 2, 4, 5, 7

113 110 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 16 Schriftliches Rechnen 1. Aufgabe: Rechne aus, wie viel Geld Herr Valentin in zwei Tagen insgesamt ausgegeben hat. Mittwoch: c; 73 ; c; Donnerstag: c; 2 99 c; Antwort: 2. Aufgabe: Bettina hat folgende Rechnungen gemacht. Findest du die Fehler? Schreib auf, welche Fehler Bettina gemacht hat Rechne die beiden Aufgaben unten richtig.

114 Aufgabenbeispiel 16 Schriftliches Rechnen Mathematik Aufgabe: Mache zuerst einen Überschlag und rechne dann diese Rechnungen aus. Ü: Ü: a) b) : 9 8 = 4. Aufgabe: Hier sind Herrn Klecks ein paar Tintentropfen auf die Rechnungen gefallen. Finde die fehlenden Ziffern und schreib die vollständige Rechnung auf. a) b)

115 112 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 16 Schriftliches Rechnen 5. Aufgabe: Finde die richtigen Ziffern und schreib sie in die grauen Kästchen. a) b) : 7 = R 6. Aufgabe: Wie viel muss Andrea für ihren Einkauf bezahlen? KLASSEMARKT Saalbergen Müllergasse 8 BACKWARE 1.28 BACKWARE 1.80 MILCH 0,5 l 0.59 FRUCHTJOG OBST,GEMÜSE 0.69 SUMME : Antwort:

116 Aufgabenbeispiel 16 Schriftliches Rechnen Mathematik Aufgabe: a) Subtrahiere von eine dreistellige Zahl. Überprüfe das Ergebnis mit Hilfe einer Probe. b) Multipliziere eine dreistellige Zahl mit einer zweistelligen Zahl. Überprüfe das Ergebnis mit Hilfe einer Probe. c) Finde verschiedene Möglichkeiten, die Ergebnisse der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division zu überprüfen. Besprich das mit anderen Kindern.

117 114 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Lösungen Aufgabenbeispiel 16 Schriftliches Rechnen Lösungen: 1. Aufgabe: Mittwoch: c ; 73 ; c; Donnerstag: c; 2 99 c; Sowohl mit einnamigen als auch mit mehrnamigen Größenangaben lösbar c c c c c c Herr Valentin hat insgesamt c ausgegeben. 2. Aufgabe: Findest du die Fehler? Bettina ergänzt zwar auf 16, jedoch vergisst sie den Übertrag mitzunehmen. Danach berechnet sie nur die Differenz zwischen den Ziffern. Bei der zweiten Rechnung vergisst sie gleich zweimal den Übertrag E 10 Z 10 E Z 1 H 1 Z

118 Lösungen Aufgabenbeispiel 16 Schriftliches Rechnen Mathematik Aufgabe: Ü: = Ü: : = = a) b) : 9 8 = R Beim Beispiel 3 b) wird bewusst diese Schreibweise gewählt, in der die Multiplikation und die Subtraktion als voneinander getrennte Operationen dargestellt werden. Schwache Kinder dürfen auch weiterhin bei dieser Langform bleiben! Kinder, die schon in der Lage sind beide Schritte im Kopf hintereinander auszuführen, können natürlich die verkürzte Form wählen : 98 = R 4. Aufgabe: a) b)

119 116 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Lösungen Aufgabenbeispiel 16 Schriftliches Rechnen 5. Aufgabe: a) b) : 7 = R Auch beim Beispiel 5 b) wird bewusst diese Schreibweise gewählt, in der die Multiplikation und die Subtraktion als voneinander getrennte Operationen dargestellt werden. 6. Aufgabe: 1, 2 8 1, 8 0 0, 5 9 0, 4 9 0, , 8 5 Antwort: Andrea muss für ihren Einkauf 4,85 bezahlen.

120 Lösungen Aufgabenbeispiel 16 Schriftliches Rechnen Mathematik Aufgabe: a) und b) Viele Varianten und damit auch Lösungsmöglichkeiten. c) Kindgemäße Formulierungen zu den Überprüfungsmöglichkeiten, zb: Ich kann auch von oben nach unten zusammenrechnen. Hinweise zur Orientierung (Auswahl) nur für Lehrerinnen und Lehrer: Addition: Addition der Summanden von oben nach unten. Subtraktion (2 verschiedene Möglichkeiten); ungerade Zahl plus ungerade Zahl gerade Zahl Bei mehreren Summanden: Geschicktes Zusammenfassen (Summanden, die 10 ergeben) usw. Subtraktion: Differenz plus Subtrahend Subtrahend plus Differenz Minuend minus Differenz Minuend Minuend Subtrahend Multiplikation: Vertauschen der Faktoren Division: Produkt dividiert durch Multiplikand/Multiplikator Fortgesetzte Addition Division: Quotient mal Divisor Dividend dividiert durch Quotient Fortgesetzte Subtraktion Dividend Divisor

121 Aufgabenbeispiel 17 Tabellen und Diagramme Aufgabenbeispiel 17 Titel/Thema Tabellen und Diagramme AK 1 Modellieren AK 2 Operieren AK 3 Kommunizieren Kompetenzbereiche AK 4 Problemlösen IK 1 Arbeiten mit Zahlen IK 2 Arbeiten mit Operationen Anzahl der Aufgaben 5 Aufgabe 1 AK 2 Operieren AK 2.2 Mit Tabellen und Grafiken arbeiten - Informationen aus Tabellen und Grafiken entnehmen. AK 3 Kommunizieren AK 3.1 Mathematische Sachverhalte verbalisieren und begründen - ihre Vorgangsweisen beschreiben und protokollieren. IK 1 Arbeiten mit Zahlen IK 1.1 Zahldarstellungen und -beziehungen verstehen - Zahlen im Zahlenraum lesen und darstellen. Aufgabe 2 AK 3 Kommunizieren AK 3.1 Mathematische Sachverhalte verbalisieren und begründen. - mathematische Begriffe und Zeichen sachgerecht in Wort und Schrift benützen. AK 3.2 Mathematische Sachverhalte in unterschiedlichen Repräsentationsformen darstellen. - Zeichnungen und Diagramme erstellen. IK 1 Arbeiten mit Zahlen IK 1.1 Zahldarstellungen und -beziehungen verstehen - Zahlen im Zahlenraum lesen und darstellen. IK 2 Arbeiten mit Operationen IK 2.2 Mündliches Rechnen sicher beherrschen Die Schüler/innen - können Ergebnisschätzungen mit Hilfe von Überschlagsrechnungen durchführen. Aufgabe 3 AK 2 Operieren AK 2.2 Mit Tabellen und Grafiken arbeiten - Informationen aus Tabellen und Grafiken entnehmen. IK 1 Arbeiten mit Zahlen IK 1.1 Zahldarstellungen und -beziehungen verstehen - Zahlen im Zahlenraum lesen und darstellen.

122 Aufgabenbeispiel 17 Tabellen und Diagramme Mathematik 119 Aufgaben 4, 5 AK 1 Modellieren AK 1.1 Sachsituationen in ein mathematisches Modell (Terme und Gleichungen) übertragen, dieses lösen und auf die Ausgangssituation beziehen. - passende Lösungswege finden. AK 4 Problemlösen AK 4.2 Lösungsstrategien (er) finden und nutzen - zielführende Denkstrategien wie systematisches Probieren oder Nutzen von Analogien einsetzen. IK 2 Arbeiten mit Operationen IK 2.2 Mündliches Rechnen sicher beherrschen Die Schüler/innen - können nicht automatisierte Rechenoperationen in Teilschritten durchführen, - können Ergebnisschätzungen mit Hilfe von Überschlagsrechnungen durchführen. IK 2.3 Schriftliche Rechenverfahren beherrschen Die Schüler/innen - können die Algorithmen der schriftlichen Verfahren für Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durchführen. Hilfsmittel Anmerkungen Geodreieck, Farbstifte Komplexitätsstufen - niedriger: Aufgaben 1, 3, 4 - höher: Aufgaben 2, 5

123 120 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 17 Tabellen und Diagramme 1. Aufgabe: Die Tabelle 1 zeigt, wie viele Storchennester und wie viele Jungstörche es in Österreich gibt. Brutplätze in Österreich Storchennester Jungstörche Niederösterreich Burgenland Steiermark Oberösterreich 6 11 Kärnten 4 3 Vorarlberg 2 3 a) Wie viele Storchennester gibt es in Niederösterreich? b) Wie viele Jungstörche gibt es im Burgenland? c) Wie viele Storchennester gibt es in Österreich? d) Wie viele Jungstörche gibt es in Österreich? e) Kannst du dir den Unterschied zwischen der Anzahl der Storchennester und der Anzahl der Jungstörche erklären? Sprich mit deiner Nachbarin / deinem Nachbarn darüber. Schreibt eure Überlegungen auf. 1 Quelle: Birdlife Österreich, 2004

124 Aufgabenbeispiel 17 Tabellen und Diagramme Mathematik Aufgabe: Die Tabelle 1 zeigt, wie viele Jungstörche es in Österreich gibt Burgenland Niederösterreich Steiermark Oberösterreich Kärnten Vorarlberg Julia wählt das Burgenland und stellt die Anzahl der Jungstörche in der Tabelle dar. 1 cm entspricht 50 Jungstörchen. Male an. Anzahl der Jungstörche Jahr Schreib auf, was dir auffällt. 1 Quelle: Birdlife Österreich, 2004

125 122 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 17 Tabellen und Diagramme 3. Aufgabe: Ein Streifendiagramm stellt die Anzahl der Jungstörche in Österreich dar. Anzahl der Jungstörche Jahr Fülle zu diesem Streifendiagramm die Tabelle aus. Jungstörche

126 Aufgabenbeispiel 17 Tabellen und Diagramme Mathematik Aufgabe: Ein ausgewachsener Storch kann an einem Tag 10 bis 15 Mäuse fressen. a) Trag in die Tabelle ein, wie viele Mäuse die Störche ungefähr fressen könnten. Störche Anzahl der Mäuse pro Tag b) Wie viele Mäuse könnten die 200 Störche in der Steiermark pro Woche ungefähr fressen? 5. Aufgabe: Tierbabys werden schwerer und wiegen erwachsen ein Vielfaches. Fülle die leeren Felder in der Tabelle aus. Tiere neugeboren erwachsen Meerschweinchen 100 g 850 g Schätze, wie viel mal so schwer? Gewichtszunahme Blauwal 130 t 128 t Kuckuck 3 g 87 g Katze 10 dag 40-mal Kaninchen 50 g 1 kg 50 dag (Indischer) Elefant 90 kg 3 t 200 kg

127 124 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Lösungen Aufgabenbeispiel 17 Tabellen und Diagramme Lösungen: 1. Aufgabe: a) 116; b) 261; c) 392; d) 690 e) Ein Storchenpaar zieht in einem Jahr ungefähr zwei Jungstörche auf. 2. Aufgabe: Anzahl der Jungstörche Jahr Mögliche Überlegungen: Es gab im Jahr 2000 die meisten Jungstörche. Der Unterschied zwischen den einzelnen Jahren ist höchstens ungefähr Aufgabe: Jungstörche Österreich gesamt

128 Lösungen Aufgabenbeispiel 17 Tabellen und Diagramme Mathematik Aufgabe: a) Störche Anzahl der Mäuse pro Tag ?100?? ? b) bis Aufgabe: Tiere neugeboren erwachsen Schätze, wie viel mal so schwer? Gewichtszunahme Meerschweinchen 100 g 850 g 8-mal 750 g Blauwal 2 t 130 t 65-mal 128 t Kuckuck 3 g 90 g 30-mal 87 g Katze 10 dag 4 kg 40-mal 3 kg 90 dag Kaninchen 50 g 1 kg 50 dag 30-mal 1 kg 45 dag (Indischer) Elefant 90 kg 3 t 200 kg 35-mal 3 t 110 kg

129 126 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 18 Relationen Aufgabenbeispiel 18 Titel/Thema Relationen AK 1 Modellieren AK 2 Operieren Kompetenzbereiche AK 4 Problemlösen IK 1 Arbeiten mit Zahlen IK 2 Arbeiten mit Operationen Anzahl der Aufgaben 7 Aufgaben 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 AK 2 Operieren AK 2.1 Mathematische Abläufe durchführen - Zahlen, Größen und geometrische Figuren strukturieren, - arithmetische Operationen und Verfahren durchführen. AK 4 Problemlösen AK 4.2 Lösungsstrategien (er)finden und nutzen - zielführende Denkstrategien wie systematisches Probieren oder Nutzen von Analogien einsetzen. IK 1 Arbeiten mit Zahlen IK 1.1 Zahldarstellungen und -beziehungen verstehen - sich im Zahlenraum orientieren, Zahlen vergleichen und diese in Relation setzen. IK 2 Arbeiten mit Operationen IK 2.2: Mündliches Rechnen sicher beherrschen Die Schüler/innen - beherrschen sicher und schnell additive Grundaufgaben im Zahlraum 20, - beherrschen sicher und schnell multiplikative Grundaufgaben im Zahlenraum 100, - können nicht automatisierte Rechenoperationen in Teilschritten durchführen, - können einfache Gleichungen mit Platzhaltern lösen. Hilfsmittel Anmerkungen keine Komplexitätsstufen - niedriger: Aufgaben 1, 2, 3, 4 - höher: Aufgaben 5, 6, 7

130 Aufgabenbeispiel 18 Relationen Mathematik Aufgabe: Kreuze an, was richtig ist. 45 ist eine gerade Zahl. Das Dreifache von 8 ist ist der Nachfolger von ist kleiner als 46. Eine Stunde hat 60 Minuten. Ein Meter ist länger als ein Dezimeter. 28 ist größer als 20, aber kleiner als Aufgabe: Gleich oder nicht gleich? Setze die Zeichen = oder ein

131 128 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 18 Relationen 3. Aufgabe: Größer oder kleiner? Setze die Zeichen > oder < ein : 6 36 : 9 4. Aufgabe: Schreib jeweils drei Zahlen, die in das Kästchen passen würden, auf die Zeilen. < > 5. Aufgabe: Welche dieser Kärtchen kannst du nehmen, damit die Rechnungen richtig sind? Schreib die Zahlen auf die Zeile. 4 < > > 20

132 Aufgabenbeispiel 18 Relationen Mathematik Aufgabe: Kreise alle Zahlen ein, die in das Kästchen passen. 350 < < < < Aufgabe: Setze jeweils ein Zeichen so ein, damit die Rechnung stimmt. + - : = < > 3 6 < > > :

133 130 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Lösungen Aufgabenbeispiel 18 Relationen Lösungen: 1. Aufgabe: 45 ist eine gerade Zahl. Das Dreifache von 8 ist 24. X 7 ist der Nachfolger von ist kleiner als 46. X Eine Stunde hat 60 Minuten. X Ein Meter ist länger als ein Dezimeter. X 28 ist größer als 20, aber kleiner als 30. X 2. Aufgabe: 84 = = = = = Aufgabe: 36 < > < > < < > < < : 6 > 36 : 9 4. Aufgabe: Alle Zahlen, die kleiner als sind. Alle Zahlen, die kleiner als sind.

134 Lösungen Aufgabenbeispiel 18 Relationen Mathematik Aufgabe: 0, 1, 3, 6 6, 8 0, 1, 3, 6, 8 6. Aufgabe: 358, 394, , 630, 572, , Aufgabe: 3 6 / (3-6 / 3 : 6) < / 8 2 / 8-2 > > / 60 : > 110 : = <

135 132 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 19 Vorteilhaftes Rechnen Aufgabenbeispiel 19 Titel/Thema Vorteilhaftes Rechnen AK 2 Operieren Kompetenzbereiche AK 3 Kommunizieren IK 2 Arbeiten mit Operationen Anzahl der Aufgaben 6 Aufgaben 1, 2, 3, 4, 5, 6 AK 2 Operieren AK 2.1 Mathematische Abläufe durchführen - arithmetische Operationen und Verfahren durchführen. AK 3 Kommunizieren AK 3.1 Mathematische Sachverhalte verbalisieren und begründen - mathematische Begriffe und Zeichen sachgerecht in Wort und Schrift benützen, - ihre Vorgangsweisen beschreiben und protokollieren, - Lösungswege vergleichen und ihre Aussagen und Handlungsweisen begründen. IK 2 Arbeiten mit Operationen IK 2.1 Die vier Grundrechnungsarten und ihre Zusammenhänge verstehen Die Schüler/innen - können die Zusammenhänge zwischen den Grundrechnungsarten erklären, - können Tausch-, Nachbar- und Analogieaufgaben verwenden. IK 2.2 Mündliches Rechnen sicher beherrschen Die Schüler/innen - beherrschen sicher und schnell additive Grundaufgaben im Zahlenraum 20, - können nicht automatisierte Rechenoperationen in Teilschritten durchführen, - können einfache Gleichungen mit Platzhaltern lösen. Hilfsmittel Anmerkungen keine Komplexitätsstufen - niedriger: Aufgaben 1, 2, 3 - höher: Aufgaben 4, 5, 6

136 Aufgabenbeispiel 19 Vorteilhaftes Rechnen Mathematik Aufgabe: Was fällt dir bei den Aufgaben auf? Schau genau und rechne schlau = = = = = = Schreib auf, wie du gerechnet hast = = = = = = Wie bist du zum Ergebnis gekommen? Erfinde ähnliche Aufgaben und schreib sie in dein Heft.

137 Aufgabenbeispiel 19 Vorteilhaftes Rechnen 2. Aufgabe: Was fällt dir bei den Aufgaben auf? Schau genau und rechne schlau = = = = = = Schreib auf, wie du gerechnet hast. Erfinde ähnliche Aufgaben und schreib sie in dein Heft. 3. Aufgabe: Was fällt dir bei den Aufgaben auf? Schau genau und rechne schlau = = = Schreib auf, wie du gerechnet hast. Erfinde ähnliche Aufgaben und schreib sie in dein Heft.

138 Aufgabenbeispiel 19 Vorteilhaftes Rechnen Mathematik Aufgabe: Was fällt dir bei den Aufgaben auf? Schau genau und rechne schlau. a) = = 701 b) = = 502 c) = = Unterstreiche bei jedem Beispiel, welche Rechnung dir leichter gefallen ist. Begründe es. Erfinde ähnliche Aufgaben und schreib sie in dein Heft.

139 Aufgabenbeispiel 19 Vorteilhaftes Rechnen 5. Aufgabe: Rechne schlau. Schreib auf, wie du die Aufgabe rechnest = Zuerst rechne ich, dann = Zuerst rechne ich, dann = Zuerst rechne ich, dann = Zuerst rechne ich, dann. Erfinde Aufgaben, bei denen du auch schlau rechnen kannst. Erfinde Aufgaben, die sich nicht eignen. Rechne alle diese Aufgaben selbst aus und stelle sie dann einem anderen Kind vor.

140 Aufgabenbeispiel 19 Vorteilhaftes Rechnen Mathematik Aufgabe: Überlege, ob du diese Aufgabe gleich im Kopf löst oder schriftlich rechnest. schlau im Kopf schriftlich = = = = =

141 138 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Lösungen Aufgabenbeispiel 19 Vorteilhaftes Rechnen Lösungen: 1. Aufgabe: = = = = = = = = = = = = 940 Schreib auf, wie du gerechnet hast: Mögliche Antworten: Ich habe schriftlich addiert. bis (Idealfall) Ich habe mit den vollen Hundertern gerechnet.. Diese Rechnungen sollen ein Impuls sein, um über geschickte Rechenstrategien zu diskutieren = = = = = = = = = = = = 859 Wie bist du zum Ergebnis gekommen? Mögliche Antworten: Ich habe zuerst mit 400 gerechnet und dann wieder 1 weggenommen ; Ich habe von subtrahiert und bei addiert (Ausgleichsgesetz der Addition) oder Ich rechne zuerst mit den reinen Hundertern und addiere oder subtrahiere erst dann die Differenz. Kinder sollen geschickte Rechenstrategien anwenden und verbalisieren. 2. Aufgabe: = = = = = = = = = = = = 729 Schreib auf, wie du gerechnet hast: Kinder schreiben die Rechnung auf oder verbalisieren, wie z. B. Ich habe zuerst 200 subtrahiert und dann wieder 1 addiert. 3. Aufgabe: 84; ; 9 169; 270; Schreib auf, wie du gerechnet hast: Zuerst habe ich die Zahlen, die 10 ergeben, addiert. 4. Aufgabe: a) 3; b) 3; c) Begründung: Wenn nur ein kleiner Unterschied zwischen den Zahlen ist, ist das Ergänzen einfacher. Ich subtrahiere den vollen Hunderter/Tausender und subtrahiere um 1 oder 2 mehr/weniger. 5. Aufgabe: = 5855, dann = = 4900, dann = oder = 470, dann Ich denke an Ich denke an = 801

142 Lösungen Aufgabenbeispiel 19 Vorteilhaftes Rechnen Mathematik Aufgabe:

143 140 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 20 Sachaufgaben Aufgabenbeispiel 20 Titel/Thema Sachaufgaben AK 1 Modellieren AK 2 - Operieren AK 3 Kommunizieren Kompetenzbereiche IK 1 Arbeiten mit Zahlen IK 2 Arbeiten mit Operationen IK 3 Arbeiten mit Größen IK 4 Arbeiten mit Ebene und Raum Anzahl der Aufgaben 8 Aufgaben 1, 6 AK 1 Modellieren AK 1.1 Eine Sachsituation in ein mathematisches Modell (Terme und Gleichungen) übertragen, dieses lösen und auf die Ausgangssituation beziehen - aus Sachsituationen relevante Informationen entnehmen, - passende Lösungswege finden, - die Ergebnisse interpretieren und sie überprüfen. IK 2 Arbeiten mit Operationen IK 2.2 Mündliches Rechnen sicher beherrschen Die Schüler/innen - können nicht automatisierte Rechenoperationen in Teilschritten durchführen. IK 3 Arbeiten mit Größen IK 3.3 Mit Größen operieren - mit Größen rechnen. IK 4 Arbeiten mit Ebene und Raum IK 4.2 Beziehungen bei geometrischen Figuren erkennen - Lagebeziehungen zwischen Objekten im Raum und in der Ebene beschreiben und nutzen. Aufgabe 2 AK 1 Modellieren AK 1.1 Eine Sachsituation in ein mathematisches Modell (Terme und Gleichungen) übertragen, dieses lösen und auf die Ausgangssituation beziehen - aus Sachsituationen relevante Informationen entnehmen, - passende Lösungswege finden, - die Ergebnisse interpretieren und sie überprüfen. IK 1 Arbeiten mit Zahlen IK 1.2 Zahlen runden und Anzahlen schätzen - Anzahlen schätzen. IK 2 Arbeiten mit Operationen IK 2.2 Mündliches Rechnen sicher beherrschen Die Schüler/innen - können nicht automatisierte Rechenoperationen in Teilschritten durchführen, - können Ergebnisschätzungen mit Hilfe von Überschlagsrechnungen durchführen.

144 Aufgabenbeispiel 20 Sachaufgaben Mathematik 141 Aufgabe 3 AK 1 Modellieren AK 1.1 Eine Sachsituation in ein mathematisches Modell (Terme und Gleichungen) übertragen, dieses lösen und auf die Ausgangssituation beziehen - aus Sachsituationen relevante Informationen entnehmen, - die Ergebnisse interpretieren und sie überprüfen. IK 2 Arbeiten mit Operationen IK 2.1 Die vier Grundrechnungsarten und ihre Zusammenhänge verstehen Die Schüler/innen - verfügen über Einsicht in das Wesen von Rechenoperationen. Aufgabe 4 AK 1 Modellieren AK 1.1 Eine Sachsituation in ein mathematisches Modell (Terme und Gleichungen) übertragen, dieses lösen und auf die Ausgangssituation beziehen - aus Sachsituationen relevante Informationen entnehmen, - passende Lösungswege finden, - die Ergebnisse interpretieren und sie überprüfen. AK 3 Kommunizieren AK 3.1 Mathematische Sachverhalte verbalisieren und begründen - Lösungswege vergleichen und ihre Aussagen und Handlungsweisen begründen. IK 2 Arbeiten mit Operationen IK 2.2 Mündliches Rechnen sicher beherrschen Die Schüler/innen - können Ergebnisschätzungen mit Hilfe von Überschlagrechnungen durchführen. Aufgabe 5 AK 1 Modellieren AK 1.1 Eine Sachsituation in ein mathematisches Modell (Terme und Gleichungen) übertragen, dieses lösen und auf die Ausgangssituation beziehen - aus Sachsituationen relevante Informationen entnehmen, - passende Lösungswege finden, - die Ergebnisse interpretieren und sie überprüfen. IK 2 Arbeiten mit Operationen IK 2.2 Mündliches Rechnen sicher beherrschen Die Schüler/innen - können Ergebnisschätzungen mit Hilfe von Überschlagsrechnungen durchführen. IK 3 Arbeiten mit Größen IK 3.1 Größenvorstellungen besitzen und Einheiten kennen Die Schüler/innen - können Größen in unterschiedlichen Schreibweisen darstellen. Aufgabe 7 AK 3 Kommunizieren AK 3.2 Mathematische Sachverhalte in unterschiedlichen Repräsentationsformen darstellen - Zeichnungen und Diagramme erstellen. IK 1 Arbeiten mit Zahlen IK 1.1 Zahldarstellungen und -beziehungen verstehen - Zahlen im Zahlenraum lesen und darstellen.

145 142 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 20 Sachaufgaben Aufgabe 8 AK 1 Modellieren AK 1.1 Eine Sachsituation in ein mathematisches Modell (Terme und Gleichungen) übertragen, dieses lösen und auf die Ausgangssituation beziehen - aus Sachsituationen relevante Informationen entnehmen, - passende Lösungswege finden, - die Ergebnisse interpretieren und sie überprüfen. AK 1.2 Ein mathematisches Modell in eine Sachsituation übertragen - zu Termen und Gleichungen Sachaufgaben erstellen. AK 2 Operieren AK 2.2 Mit Tabellen und Grafiken arbeiten - Informationen aus Tabellen und Grafiken entnehmen. AK 3 Kommunizieren AK 3.2 Mathematische Sachverhalte in unterschiedlichen Repräsentationsformen darstellen - ihre Vorgangsweisen in geeigneten Repräsentationsformen festhalten. IK 2 Arbeiten mit Operationen IK 2.2 Mündliches Rechnen sicher beherrschen Die Schüler/innen - können nicht automatisierte Rechenoperationen in Teilschritten durchführen, - können Ergebnisschätzungen mit Hilfe von Überschlagsrechnungen durchführen. IK 2.3 Schriftliche Rechenverfahren beherrschen Die Schüler/innen - können die Algorithmen der schriftlichen Verfahren für Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durchführen. Hilfsmittel Anmerkungen Geodreieck, Internet Komplexitätsstufen - niedriger: Aufgaben 1, 3, 6, 7 - höher: Aufgaben 2, 4, 5, 8

146 Aufgabenbeispiel 20 Sachaufgaben Mathematik Aufgabe: Tischdecke Der Esszimmertisch von Familie Mang ist 1 m 60 cm lang und 90 cm breit. Frau Mang möchte für diesen Tisch eine Tischdecke kaufen, die auf allen Seiten 20 cm hinunterhängt. Wie lang und breit ist die Tischdecke? 2. Aufgabe: Bei diesen Aufgaben gibt es kein genaues Ergebnis. Damit du sie lösen kannst, musst du dir auch Zahlen selbst überlegen. Du kannst schreiben, rechnen und zeichnen. a) Eiskugeln Überlege, wie viele Eiskugeln ungefähr von den Kindern deiner Klasse in diesem Jahr geschleckt werden? b) Stau auf der Straße Wie viele Autos stehen ungefähr in einem Stau von 1 km Länge? 3. Aufgabe: Alter Poldi sagt: In unserer Schule gibt es 8 Klassen, 7 Lehrerinnen und einen Lehrer. Wie alt ist unsere Frau Direktorin?

147 144 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 20 Sachaufgaben 4. Aufgabe: Was sagst du dazu? 5. Aufgabe: Rekorde im Tierreich a) Gewichtheber Die Blattschneiderameise kann ungefähr das 300fache ihres Körpergewichts tragen. Welches Gewicht müsstest du tragen können, wenn du dieselbe Fähigkeit hättest? b) Weitspringer Bei einer Körperlänge von 3 mm hüpft der Floh bis zu 60 cm weit. Übertrage auf dich: Mit meiner Körpergröße von wären das m. 6. Aufgabe: Froschzäune Auf ihrer Wanderung zum Laichplatz müssen die Frösche und Kröten eine Straße überqueren. Damit sie nicht überfahren werden, wird entlang der Straße ein 20 m langer "Froschzaun" errichtet. Dazu werden im Abstand von 4 m Pflöcke eingeschlagen. Wie viele Pflöcke werden gebraucht? Eine Zeichnung hilft dir bei der Lösung.

148 Aufgabenbeispiel 20 Sachaufgaben Mathematik Aufgabe: Haustiere Die Kinder der 1. Klasse zählen ihre Haustiere. Es sind insgesamt 11 Katzen und 5 Hunde. In der 2. Klasse ergibt die Zählung 14 Katzen und 9 Hunde. Zeichne in das Diagramm richtig ein. Anzahl der Tiere Katzen Hunde Katzen Hunde 1. Klasse 2. Klasse Klassen

149 146 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 20 Sachaufgaben 8. Aufgabe: Schifahren Folgende Schipässe gelten im Schigebiet Alle Preisangaben in Euro Tages-Schipass Person NS Nebensaison HS Hauptsaison Ganztageskarte ab 11:30 Uhr ab 12:00 Uhr ab 13:00 Uhr ab 14:00 Uhr Erwachsene Kinder Jugendliche Gruppe/Erwachsene Erwachsene Kinder Jugendliche Gruppe/Erwachsene Erwachsene Kinder Jugendliche Gruppe/Erwachsene Erwachsene Kinder Jugendliche Gruppe/Erwachsene Erwachsene Kinder Jugendliche Gruppe/Erwachsene 33,00 19,00 26,50 31,00 29,50 17,00 24,00 28,50 28,00 16,00 23,00 26,50 24,50 14,00 20,00 23,50 21,00 12,00 17,00 20,00 37,50 19,00 30,00 36,00 34,00 17,00 27,50 32,50 32,00 16,00 26,00 30,50 28,00 14,00 22,50 27,00 24,00 12,00 19,50 23,00 a) Um 9:00 Uhr steht eine Gruppe von 10 Erwachsenen des Schiklubs Snowfans vor der Liftkassa. Die Gruppe kauft Schipässe für den ganzen Tag. Es ist Nebensaison. Wie viel bezahlt die Gruppe zusammen?

150 Aufgabenbeispiel 20 Sachaufgaben Mathematik 147 b) Familie Knapp geht Schi fahren. 4 Erwachsene und 3 Kinder stehen um 12:15 Uhr vor der Liftkassa. Es ist Hauptsaison. Wie viel bezahlen sie zusammen für die Schipässe? c) Die Kassierin an der Liftkasse rechnet: 37, , ,00 = 86,50. Erkläre, was die Kassierin berechnet hat. d) An der Liftkasse stehen 27 Erwachsene und 14 Jugendliche. Wie alt ist der Kassier?

151 148 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 20 Sachaufgaben e) Suche die Liftpreise für dein nächst gelegenes Schigebiet im Internet. Berechne, wie teuer ein ganzer Schitag für deine Familie in der Hauptsaison kommt. Berechne, wie teuer ein Halbtag für deine Familie in der Nebensaison kommt.

152 Lösungen Aufgabenbeispiel 20 Sachaufgaben Mathematik 149 Lösungen: 1. Aufgabe: Die Tischdecke ist 2 m lang und 130 cm breit. 2. Aufgabe: a) z. B.: 25 Kinder 2mal/Woche je 2 Kugeln von April bis Sept. (6 Monate) würden ca Eiskugeln ergeben. b) z. B.: In einem Stau von 1 km Länge stehen ungefähr 200 Autos (nur PKWs Autolänge inkl. Abstand ca. 5 m einspurig). Varianten: mit LKWs, mehrere Spuren 3. Aufgabe: Es gibt in dieser Aufgabe zwar Zahlen, aber keine Angaben zum Alter der Frau Direktorin. 4. Aufgabe: : (nicht ) 5. Aufgabe: a)z. B.: Bei einem Körpergewicht von 40 kg wären das 12 t. b)der Floh springt etwa das 200fache seiner Körperlänge. Bei einer Körpergröße von 1 m 30 cm wären das 260 m. 6. Aufgabe: 6 Pflöcke

153 150 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Lösungen Aufgabenbeispiel 20 Sachaufgaben 7. Aufgabe Anzahl der Tiere Klassen Katzen 1. Klasse Hunde Katzen Hunde 2. Klasse 8. Aufgabe: a) Die Gruppe bezahlt zusammen 310. b) 32 4 = = = 176 Sie bezahlen zusammen 176 für die Schipässe. c) Jeweils 1 Erwachsener, 1 Jugendlicher und 1 Kind kaufen sich in der Hauptsaison eine Ganztageskarte. d) Es gibt keine Lösung aus den Angaben. e) Je nach Familie verschieden. Es eignen sich auch Beispiele mit Seilbahnausflügen im Sommer zum Wandern, wenn Schifahren gerade nicht aktuell ist. Preistabellen dazu gibt es im Internet.

154 Mathematik 151 Glossar Abstrahieren Abstrahieren meint einen Vorgang des Weglassens von nicht bedeutsamen Einzelheiten, um etwas Allgemeineres zu fokussieren. - Weglassen von mathematisch Unbedeutsamem Wenn ich zähle, wie viele Kinder vor der Tafel stehen, ist der rote Pullover von Monika und die Tatsache, dass Bernd gerade jemanden beleidigt hat, für die Anzahlbestimmung nicht bedeutsam. - Von Beispielen zum Begriff viereckig - Von der Handlung zur Rechnung = 6 handelnd symbolisch Algorithmus Algorithmische Verfahren Analogieaufgabe Argumentieren Arithmetische Muster Ein Algorithmus ist eine exakt beschriebene Vorgehensweise zum Lösen eines (mathematischen) Problems in endlich vielen und eindeutig beschriebenen Schritten. Sie führen, wenn sie wie vorgegeben durchgeführt werden, garantiert zur richtigen Lösung. Jedes mit einem Algorithmus lösbare mathematische Problem kann auch von einer Rechenmaschine/einem Computer gelöst werden. Bei algorithmischen Verfahren werden mit Hilfe von festgelegten Regeln, nämlich dem Algorithmus, Probleme, wie z. B. in der Volksschulmathematik die schriftlichen Rechenverfahren, gelöst. Bei Analogieaufgaben wird eine bekannte Struktur auf etwas Neues angewandt. z. B.: Beim mündlichen Rechnen wird von einer verwandten Aufgabe im kleinen Zahlenraum auf eine Aufgabe im größeren Zahlenraum geschlossen, wie z. B.: = 7 daraus folgt in einem Analogieschluss: = = = = 700 Argumentieren ist die Angabe von Aspekten, die für oder gegen eine bestimmte Sichtweise/Entscheidung sprechen. Durch Infragestellen und Überprüfen ihrer mathematischen Tätigkeiten und Aussagen werden Kinder angeregt, über ihr Vorgehen nachzudenken. Durch schlüssiges Argumentieren sollen sie ihre Aussagen und Handlungsweisen begründen. Arithmetische Muster sind Gesetzmäßigkeiten und Strukturen, die im Zusammenhang mit Zahlen und deren Verknüpfungen auftreten. 1, 3, 5, 7, 9, 11, 8 : 2, 14 : 2, 42 : 2, 56 : 2, siehe Muster

155 152 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Bandornament Ein Bandornament ist ein beliebig langer Streifen mit linear angeordneten Mustern, die sich durch Schiebung wiederholen. Bauplan eines Bauwerks Als Bauplan wird ein Grundriss bezeichnet, in dem die Anzahl der im jeweiligen Feld übereinander gestapelten Würfel angegeben ist Begründen In der Grundschulmathematik geht es beim Begründen darum, mathematische Sachverhalte anhand repräsentativer Beispiele oder allgemeiner Überlegungen zu bestätigen bzw. zu widerlegen. Eine wichtige Begründungsstrategie ist hier die sogenannte beispielgebundene Beweisstrategie. z. B.: Kommutativgesetz der Multiplikation anhand des Beispiels 3 5 = Je nach Blickrichtung erkennt man 5 3 bzw erkennt man 5 3 bzw Darstellen Denkstrategien (heuristische Strategien) Darstellen meint die Übertragung gegebener mathematischer Sachverhalte in eine andere Form der Repräsentation. Es sollen geeignete Repräsentationsformen erstellt, ausgewählt und genutzt werden. Darstellen bedeutet auch das verständige Umgehen mit bereits vorgegebenen Repräsentationen. Darstellen hat auch die Funktion, den Sachverhalt anderen mitzuteilen oder so festzuhalten, dass man sich später an ihn erinnert. Neben den grafischen Darstellungen (Diagramme, Abbildungen, Fotos, Skizzen, statistische Schaubilder, ) sind weitere Darstellungsmöglichkeiten, wie z. B. Tabellen, Listen, sprachliche Darstellungen bzw. Handlungen und Gesten, von Bedeutung. - Systematisches Probieren Eine Form des Probierens, die nicht vom Zufall gesteuert ist. z. B.: Zerlegen der Zahl Vorwärtsarbeiten Aus dem Gegebenen erste Folgerungen ziehen, Beziehungen herstellen. Was ist gegeben? Was weiß ich darüber? Was kann ich daraus ermitteln? z. B.: Ein Rechteck ist 8 m lang und 4 m breit. Berechne den Flächeninhalt. - Rückwärtsarbeiten Von einem vorgegebenen Ziel ausgehend werden die einzelnen Lösungsschritte gefunden. Was ist gesucht? Was weiß ich darüber? Was brauche ich, um es zu berechnen/konstruieren? z. B.: Umkehraufgabe: Wie lang und breit kann ein Rechteck mit 32 m² Flächeninhalt sein? Rechenrätsel: Wie heißt diese Zahl? Sie ist um 35 kleiner als 50.

156 Mathematik Aufgaben in überschaubare Teile zerlegen Wie kann ich geschickt zerlegen? Welche Teilfragen ergeben sich? Welche Reihenfolge soll ich beachten? z. B.: 235 : 9 = 180 : 9 = : 9 = 6 1(R) Diagramm Drehung Ecke - Analogiebildung Was kommt mir an dieser Aufgabe bekannt vor? Kenne ich Aufgaben mit ähnlicher Struktur? Finde ich Gemeinsamkeiten zwischen dieser und anderen mir bekannten Aufgaben? Ein Diagramm ist eine grafische Darstellung von Daten und Sachverhalten. Eine Drehung ist eine Kongruenzabbildung. Dies bedeutet, dass Figuren, die durch eine Drehung aufeinander abgebildet werden können, kongruent/deckungsgleich sind. Im zweidimensionalen Bereich bedeutet Ecke, dass zwei Strecken mit einem gemeinsamen Endpunkt einen Winkel (ungleich 0 bzw. 180 ) bilden. Im dreidimensionalen Bereich versteht man unter einer Ecke den gemeinsamen Endpunkt mindestens dreier Kanten. Explorieren Fläche Flächeninhalt Geometrische Muster Beim Explorieren im Zusammenhang mit Problemlösen geht es darum, völlig uneingeschränkt Überlegungen und Vermutungen anzustellen, um geeignete Vorgehensweisen zu finden. - Zweidimensional: Eine Fläche entsteht, wenn ein Teil einer Ebene durch eine geschlossene Linie bzw. durch einen geschlossenen Streckenzug abgegrenzt wird. - Dreidimensional: Eine Fläche ist eine flache Figur (Objekt ohne Rauminhalt), die eben oder gekrümmt sein kann. Sie kann einen dreidimensionalen Körper begrenzen, aber nicht füllen. Der Flächeninhalt ist ein Maß für die Größe einer Fläche. Um den Flächeninhalt anzugeben, werden Flächenmaße (z. B. m², cm²) verwendet. Der Flächeninhalt wird oft fälschlicherweise kurz Fläche genannt. Geometrische Muster sind Gesetzmäßigkeiten und Strukturen, die im Zusammenhang mit geometrischen Inhalten und deren Darstellungen auftreten. Gleichung siehe Muster Eine Gleichung ist ein mathematischer Ausdruck, in dem zwei Terme durch das Gleichheitszeichen verbunden sind. Gleichung: = 8 Kommt in keinem der Terme eine Variable vor, handelt es sich um eine Aussage, die entweder wahr oder falsch ist. Wahre Aussage: = 8 Falsche Aussage: = 7 Ist eine Variable (ein Platzhalter) vorhanden, dann ist es eine Aussageform (eine Platzhalteraufgabe): + 5 = 8

157 154 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Größe Größenbereich Größen sind objektiv messbare Eigenschaften von Gegenständen oder Vorgängen. Es sind Eigenschaften, die sich quantifizieren lassen und daher in Zahlen ausgedrückt werden können. Man unterscheidet zwischen (1) dimensionslosen Größen und (2) Größen, die einer bestimmten Dimension (einem Größenbereich) zugeordnet sind. (1) Im Mathematikunterricht der Volksschule tritt die dimensionslose Größe Anzahl auf, der keine Maßeinheit zugeordnet ist. Eine Bezeichnung der Einheit, wie etwa Stück (St.), ist möglich, aber nicht notwendig. (2) Jede Maßeinheit wird einem Größenbereich zugeordnet, wie z. B. dem Größenbereich Länge: Meter (m), Kilometer (km)... bzw. Zoll, Seemeile Jede Größe ist festgelegt durch eine Maßzahl und eine Maßeinheit. Sie wird als Produkt aus beiden beschrieben: Größe = Maßzahl Maßeinheit z. B.: 5 m Maßzahl Maßeinheit Ein und dieselbe Größe kann auf verschiedene Weise dargestellt werden, wie z. B.: 5 m = 50 dm = 500 cm = mm Die Größe bleibt immer die gleiche, nur die Maßzahl und die Maßeinheit ändern sich. Daher können Größenangaben umgewandelt werden. Grundaufgaben Halbschriftliches Rechnen Additive Grundaufgaben: Einspluseins, Einsminuseins Additive Rechenoperationen im ZR 20, deren Summanden einstellig sind (inkl. Umkehraufgaben) Multiplikative Grundaufgaben: Einmaleins, Einsineins Multiplikative Rechenoperationen im ZR 100, deren Faktoren einstellig sind (inkl. Umkehraufgaben) Halbschriftliches Rechnen ist mündliches Rechnen, bei dem die individuellen Zwischenschritte/-ergebnisse aufgeschrieben werden = = = = = Innermathematischer Bereich Interpretieren Kante Kommunizieren Konstruieren Kopfrechnen Aufgaben im innermathematischen Bereich entstammen direkt aus der Mathematik und weisen keine Realitätsbezüge auf. Unter Interpretieren versteht man, aus mathematischen Darstellungen Zusammenhänge und Sachverhalte zu erkennen und zu deuten. Dies tritt in der Grundschulmathematik besonders beim Lösen von Sachproblemen auf. Das Ergebnis, welches das Kind errechnet oder geometrisch dargestellt hat, wird mit der ausgehenden Fragestellung in Zusammenhang gebracht und gedeutet. Eine Kante entsteht durch das Aneinanderstoßen zweier Begrenzungsflächen eines Körpers. Kommunizieren in der Mathematik ist eine Grundtätigkeit, wenn Mathematik als ein System von Kommunikationssymbolen verstanden wird. Dazu gehört, eigene Gedanken und Lösungswege zu verbalisieren, zu protokollieren, Sachverhalte auf verschiedene Weise darzustellen und mit anderen zu erörtern. Unter Konstruieren versteht man das Erstellen geometrischer Figuren mit Zeichengeräten. Beim Kopfrechnen werden die Aufgaben, ohne die Zwischenschritte zu notieren, nur im Kopf gerechnet. Es wird lediglich das Ergebnis notiert oder gesagt. Statt Kopfrechnen wird auch gelegentlich der Terminus mündliches Rechnen ohne Notation der Zwischenschritte verwendet.

158 Mathematik 155 Maßeinheit Mathematisches Modell Mathematisieren Messen Modellieren Mündliches Rechnen Muster Nachbaraufgabe Netz Operieren Probe Probeaufgabe Problemlösen Rechengeschichte siehe Größe Modelle bilden einen bestimmten Teil der Realität abstrakt ab. Sie reduzieren die Komplexität und abstrahieren vom Konkreten. Das Mathematische Modell ist ein Bestandteil der allgemein mathematischen Kompetenz Modellieren. Es kann unterschiedliche Formen annehmen: Zahlen, Rechenausdrücke, Zahlenfolgen, Grafen, geometrische Figuren, Algorithmen Mathematisieren bezeichnet die Fähigkeit, Zusammenhänge und Gesetzmäßigkeiten zu erfassen und das mathematisch Relevante herauszulösen. z. B.: Eine Situation algebraisch beschreiben; bei Sachaufgaben erkennen, was man rechnen muss, Messen ist der Vergleich eines Repräsentanten eines Größenbereichs mit einem anderen, wobei üblicherweise ein Repräsentant eine normierte Maßeinheit ist. Beim Messen stellt man fest, wie oft ein Repräsentant in der zu messenden Größe enthalten ist. Unter Modellieren versteht man, eine Sachsituation in ein mathematisches Modell zu übertragen. Dazu ist erforderlich, den mathematischen Stellenwert eines Problems zu erkennen, die benötigten Daten zu sichten und einen geeigneten Lösungsweg zu finden. Das Ergebnis ist in Hinblick auf die Sachsituation zu interpretieren und auf seine Gültigkeit zu überprüfen. Mündliches Rechnen umfasst Kopfrechnen, überschlagendes Rechnen und halbschriftliches Rechnen. Mündliches Rechnen (Rechnen mit Zahlen) beruht im Gegensatz zum schriftlichen Rechnen (Rechnen mit Ziffern) auf Zahlvorstellungen und wird nicht nach Algorithmen durchgeführt. Mündliches Rechnen ermöglicht daher individuelle Lösungswege. Mathematik wird oft als die Wissenschaft von den Mustern und Strukturen bezeichnet. Mathematik betreiben heißt, Muster zu erkennen oder zu finden. Solche Muster sind entweder wirklich oder vorgestellt, sichtbar oder gedacht. Als (mathematische) Muster werden bestimmte Regelmäßigkeiten bezeichnet, die im Zusammenhang mit Zahlen oder geometrischen Darstellungen auftreten. siehe arithmetische Muster, geometrische Muster Nachbaraufgaben sind Rechenoperationen, bei denen bezüglich der ursprünglichen Aufgabe eine Zahl um 1 verkleinert oder vergrößert wird Sie helfen im Sinne des operativen Übens, Zahlbeziehungen aufzubauen und können dazu beitragen, schwierigere Rechnungen auf einfachere zurückzuführen (- 1) Netze sind flächige, zusammenhängende Modelle von Körpern. Netze entstehen durch Abrollen und Umfahren aller Flächen oder durch Aufschneiden und Auseinanderklappen der Begrenzungsflächen des Körpers. Operieren umfasst die Kompetenz, Verfahren, die für die Lösung eines mathematischen Problems zielführend sind, anzuwenden, wie z. B. fachspezifische Zeichen zu verwenden und mit Gleichungen und Termen zu arbeiten. Eine Probe ist das Überprüfen des Ergebnisses einer algorithmischen Rechnung durch ein anderes Verfahren. Unter Probeaufgabe versteht man das Überprüfen einer Aufgabe mittels einer Umkehraufgabe. Problemlösen liegt dann vor, wenn der Weg zur Lösung nicht unmittelbar bekannt ist. Problemlösen umfasst die Kompetenz, Probleme zu erkennen, anzunehmen, Strategien zu (er)finden und zu nutzen, um Aufgabenstellungen zu lösen. Eine Rechengeschichte ist eine sprachlich gestaltete Sachaufgabe, die in eine erzählte Geschichte eingekleidet ist

159 156 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Rechenoperation In der Grundschulmathematik versteht man darunter die vier Grundrechnungsarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Arten: - additive Rechenoperationen: Addition und Subtraktion - multiplikative Rechenoperationen: Multiplikation und Division Rechenplan Der Rechenplan (Rechenbaum) dient zum Verdeutlichen der mathematischen Struktur einer Sachaufgabe/Gleichung. Zur Veranschaulichung der jeweiligen Struktur werden Rechtecke für Zahlen und Kreise für Operationen verwendet. z. B.: Rechentagebuch Regel Repräsentant Repräsentation Repräsentationsformen Runden Schätzen Schiebung Das Rechentagebuch ist eine spezielle Form des Lerntagebuchs. Das Kind dokumentiert seine persönlichen Erfahrungen im mathematischen Lernprozess. Unter einer Regel versteht man Aussagen, Definitionen und Handlungsanweisungen. z. B.: Die Schüler lernen den Algorithmus (die Regel ) für das schriftliche Subtrahieren. Bei der Behandlung von Größen im Unterricht ist zu unterscheiden zwischen der Größe einerseits und ihrem Repräsentanten andererseits. Durch einen Abstraktionsprozess gelangt man vom Repräsentanten zur zugehörigen Größe. Durch einen passenden Repräsentanten kann sich das Kind eine bestimmte Größe gut vorstellen. Beispiele von Repräsentanten für Größen: Größen Repräsentanten Längen Strecken, Kanten, Stäbe 1 m Armspanne, Abstand vom Boden bis zur Brust Zeitspannen Dauer von Abläufen, Vorgängen Geldwerte Münzen, Geldscheine Gewichte / Massen Gegenstände, Gewichtssteine Flächeninhalte Flächen Auf die Grundschulmathematik bezogen meint Repräsentation die Darstellung eines Begriffs, einer Operation oder eines Gesetzes. In einem ganzheitlichen Mathematikunterricht sollen alle Repräsentationsformen (Darstellungsformen) berücksichtigt werden: enaktiv (durch Handlung), ikonisch (durch Bilder) und symbolisch (durch Zeichen und Sprache). Beim Runden werden Näherungswerte aus bereits vorhandenen Zahlen durch das Anwenden fester Regeln ermittelt. Das Rundungszeichen bedeutet ungefähr gleich oder rund. Beim Schätzen wird eine unbekannte Größe durch gedankliches Vergleichen (Messen) mit bekannten Größen ermittelt. Solche bekannte Größen können zum Beispiel die Schrittlänge oder die Körpergröße sein. Diese werden dann zum gedanklichen Ausmessen benutzt. Durch Bestimmen eines passenden Operators (wie oft die bekannte Größe in der unbekannten Größe enthalten ist) wird das Ergebnis ermittelt. z. B.: Höhe des Turnsaales mittels Körpergröße eines Kindes bestimmen. Eine Schiebung ist eine Kongruenzabbildung. Dies bedeutet, dass zwei Figuren, die durch eine Schiebung aufeinander abgebildet werden können, kongruent/deckungsgleich sind.

160 Mathematik 157 Schriftliches Rechnen Situationsskizze Skizze Strategiekonferenz Strategieplakat Symmetrie und Symmetrieachse Beim schriftlichen Rechnen werden die Ergebnisse mit Hilfe eines Algorithmus (nach genau festgelegten Regeln) ziffernweise ermittelt. Die komplexe Gesamtrechnung wird in einzelne Grundaufgaben zerlegt. Eine Situationsskizze ist eine grafische Darstellung, bei der eine Sachsituation, z. B. ein Text, bildlich abstrakt dargestellt wird. Eine Skizze ist eine grafische Darstellung, die auf das Wesentliche reduziert. Sie wird Freihand durchgeführt. In einer Strategiekonferenz erfolgen ein gemeinsamer Austausch und eine Reflexion der verschiedenen Lösungswege. Das Ziel ist Strategien von anderen kennen zu lernen und eventuell zielführendere Strategien zu übernehmen. Diese Konferenzen können in Gruppen oder gemeinsam im Klassenverband durchgeführt werden. Auf einem Strategieplakat stellen Schüler/innen ihren Lösungsweg schriftlich oder grafisch dar, sodass der Prozess von den anderen nachvollzogen werden kann. Symmetrie ist eine Eigenschaft von Figuren, bei der eine Figur durch eine Kongruenzabbildung auf sich selbst abgebildet wird. Eine Figur heißt achsensymmetrisch, wenn sie durch eine Spiegelung an einer Geraden mit sich zur Deckung gebracht werden kann. Eine Figur heißt drehsymmetrisch, wenn sie durch eine Drehung um einen Punkt mit sich zur Deckung kommt. Systematisches Probieren Tauschaufgabe Term Überschlag und Überschlagsrechnung Umfang Umkehroperation Validieren Spiegelung Drehung Darunter versteht man eine Form des Probierens, die nicht mehr vom Zufall gesteuert ist. siehe Denkstrategien Die Bezeichnung Tauschaufgabe wird in der Volksschule synonym für das Kommutativgesetz verwendet. Das Kommutativgesetz gilt nur für die Addition und die Multiplikation. Bei Tauschaufgaben werden die Summanden bzw. Faktoren der ursprünglichen Aufgabe vertauscht Ein Term ist ein Rechenausdruck. Er kann eine - Zahl (3), - Variable ( ), - Verknüpfung zweier oder mehrerer Zahlen (3 + 5), - Verknüpfung von Zahlen und Variablen (3 + ) sein. Überschlagen heißt, (mit gerundeten Zahlen) das Ergebnis einer Rechenoperation ungefähr zu berechnen ~ (400 8 = 3 200) Die Länge des Randes bzw. der Begrenzungslinie von ebenen geometrischen Figuren wird als Umfang bezeichnet. Der Umfang kann durch Abmessen oder Berechnen ermittelt werden. Darunter versteht man die zu einer Operation inverse Operation. z. B.: = 11 Umkehroperation: 11 3 = 4 15 : 5 = 3 Umkehroperation: 3 5 = 15 Validieren heißt, auf Gültigkeit überprüfen. Beim Lösen von Sachproblemen gilt es, die erhaltenen Ergebnisse (Lösungen) an der Ausgangssituation zu messen und auf ihre Plausibilität zu überprüfen.

161 158 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Zahlbeziehungen Zahldarstellungen Zahlbeziehungen beschreiben Relationen zwischen Zahlen, wie z. B.: - Feststellen, welche Zahl größer, bzw. kleiner ist, - Bestimmen von Vorgänger und Nachfolger, - Unterscheiden zwischen geraden und ungeraden Zahlen, - Bestimmen des Doppelten / der Hälfte einer Zahl, - Erkennen der Vielfachen bzw. Teiler einer Zahl Vielfache von 3 (Zahlen der Dreierreihe): 3, 6, 9,, 42, 45, Teiler von 12 (Zahlen, die ohne Rest in 12 enthalten sind): 1, 2, 3, 4, 6,12. Darunter versteht man die verschiedenen Möglichkeiten (enaktiv, ikonisch, symbolisch, sprachlich) Zahlen darzustellen. z. B.: XXIII 23 Z E 2 3 dreiundzwanzig 2 Z 3 E Zahlenfolge Eine Zahlenfolge liegt vor, wenn die Anordnung der Zahlen nach einer Gesetzmäßigkeit erfolgt. Das heißt, dass jedes Glied der Folge berechnet werden kann. 3, 10, 17, 24, Zeichnung Eine Zeichnung kann sowohl Freihand als auch mit Zeichengeräten durchgeführt werden. Im Gegensatz zur Skizze, die sich auf das mathematisch Wesentliche beschränkt, kann die Zeichnung auch mathematisch nicht Relevantes enthalten. z. B.: Berechnung des Umfangs: Zeichnung: Weide mit Kühen und Umzäunung Skizze: Rand der Weide

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163 160 BUNDESGESETZBLATT FÜR DIE REPUBLIK ÖSTERREICH Jahrgang 2008 Ausgegeben am 8. August 2008 Teil I 117. Bundesgesetz: Änderung des Schulunterrichtsgesetzes (NR: GP XXIII RV 606 AB 636 S. 65. BR: AB 7998 S. 759.) 117. Bundesgesetz, mit dem das Schulunterrichtsgesetz geändert wird Der Nationalrat hat beschlossen: Das Schulunterrichtsgesetz, BGBl. Nr. 472/1986, zuletzt geändert durch das Bundesgesetz BGBl. I Nr. 28/2008, wird wie folgt geändert: 1. In 17 wird nach Abs. 1 folgender Abs. 1a eingefügt: (1a) Der zuständige Bundesminister hat für einzelne Schulstufen der in 1 genannten Schularten (Formen, Fachrichtungen) Bildungsstandards zu verordnen, wenn dies für die Entwicklung und Evaluation des österreichischen Schulwesens notwendig ist. Bildungsstandards sind konkret formulierte Lernergebnisse, die sich gemäß dem Lehrplan der jeweiligen Schulart (Form, Fachrichtung) auf einzelne Pflichtgegenstände oder auf mehrere in fachlichem Zusammenhang stehende Pflichtgegenstände beziehen. Die individuellen Lernergebnisse zeigen das Ausmaß des Erreichens grundlegender, nachhaltig erworbener Kompetenzen auf. Der Lehrer hat bei der Planung und Gestaltung seiner Unterrichtsarbeit die Kompetenzen und die darauf bezogenen Bildungsstandards zu berücksichtigen sowie die Leistungen der Schüler in diesen Bereichen zu beobachten, zu fördern und bestmöglich zu sichern. Die Verordnung hat über die Festlegung von Schularten, Schulstufen und Pflichtgegenständen hinaus insbesondere die Ziele der nachhaltigen Ergebnisorientierung in der Planung und Durchführung von Unterricht, der bestmöglichen Diagnostik und individuellen Förderung durch konkrete Vergleichsmaßstäbe und der Unterstützung der Qualitätsentwicklung in der Schule sicher zu stellen. Es ist vorzusehen, dass die Ergebnisse von Standardüberprüfungen so auszuwerten und rückzumelden sind, dass sie für die langfristige systematische Qualitätsentwicklung in den Schulen nutzbringend verwertet werden können. 1a. 19 Abs. 2a lautet: (2a) An allgemein bildenden höheren Schulen ist in der letzten Stufe abweichend von Abs. 2 am Ende des ersten Semesters keine Schulnachricht auszustellen. 1b. 19 Abs. 2b entfällt Abs. 6 letzter Satz lautet: Hat der Prüfungskandidat vor dem Antritt zur Externistenprüfung eine Schule besucht und eine oder mehrere Stufen dieser Schule nicht erfolgreich abgeschlossen, so darf er zur Externistenprüfung über eine Schulstufe der betreffenden Schulart (Form, Fachrichtung) oder über die Schulart (Form, Fachrichtung) frühestens zwölf Monate nach der zuletzt nicht erfolgreich abgeschlossenen Schulstufe antreten. 3. In 82 wird nach Abs. 5m folgender Abs. 5n eingefügt: (5n) 17 Abs. 1a, 19 Abs. 2a und 42 Abs. 6 dieses Bundesgesetzes in der Fassung des Bundesgesetzes BGBl. I Nr. 117/2008 treten mit 1. September 2008 in Kraft. 19 Abs. 2b tritt mit Ablauf des 31. August 2008 außer Kraft. Fischer Gusenbauer

164 161 BUNDESGESETZBLATT FÜR DIE REPUBLIK ÖSTERREICH Jahrgang 2009 Ausgegeben am 2. Jänner 2009 Teil II 1. Verordnung: Bildungsstandards im Schulwesen 1. Verordnung der Bundesministerin für Unterricht, Kunst und Kultur über Bildungsstandards im Schulwesen Auf Grund des 17 Abs. 1a des Schulunterrichtsgesetzes, BGBl. Nr. 472/1986, zuletzt geändert durch das Bundesgesetz BGBl. I Nr. 117/2008, wird verordnet: Geltungsbereich 1. Diese Verordnung legt in der Anlage für die nachstehend genannten Pflichtgegenstände Bildungsstandards für die 4. Schulstufe der Volksschule sowie für die 8. Schulstufe der Volksschuloberstufe, der Hauptschule und der allgemein bildenden höheren Schule fest: 1. Volksschule, 4. Schulstufe: Deutsch/Lesen/Schreiben, Mathematik; 2. Volksschuloberstufe, Hauptschule und allgemein bildende höhere Schule, jeweils 8. Schulstufe: Deutsch, Lebende Fremdsprache (Englisch), Mathematik. Begriffsbestimmungen 2. Im Sinne dieser Verordnung sind 1. Bildungsstandards konkret formulierte Lernergebnisse in den einzelnen oder den in fachlichem Zusammenhang stehenden Pflichtgegenständen, die sich aus den Lehrplänen der in 1 genannten Schularten und Schulstufen ableiten lassen. Diese Lernergebnisse basieren auf grundlegenden Kompetenzen, über die die Schülerinnen und Schüler bis zum Ende der jeweiligen Schulstufe in der Regel verfügen sollen; 2. Kompetenzen längerfristig verfügbare kognitive Fähigkeiten und Fertigkeiten, die von Lernenden entwickelt werden und die sie befähigen, Aufgaben in variablen Situationen erfolgreich und verantwortungsbewusst zu lösen und die damit verbundene motivationale und soziale Bereitschaft zu zeigen; 3. grundlegende Kompetenzen solche, die wesentliche inhaltliche Bereiche eines Gegenstandes abdecken und somit für den Aufbau von Kompetenzen, deren nachhaltiger Erwerb für die weitere schulische und berufliche Bildung von zentraler Bedeutung ist, maßgeblich sind; 4. Kompetenzmodelle prozessorientierte Modellvorstellungen über den Erwerb von fachbezogenen oder fächerübergreifenden Kompetenzen. Sie strukturieren Bildungsstandards innerhalb eines Unterrichtsgegenstandes und stützen sich dabei auf fachdidaktische sowie fachsystematische Gesichtspunkte; 5. Kompetenzbereiche fertigkeitsbezogene Teilbereiche des Kompetenzmodells. Funktionen der Bildungsstandards 3. (1) Bildungsstandards sollen Aufschlüsse über den Erfolg des Unterrichts und über Entwicklungspotentiale des österreichischen Schulwesens liefern. Darüber hinaus sollen sie 1. eine nachhaltige Ergebnisorientierung in der Planung und Durchführung von Unterricht bewirken, 2. durch konkrete Vergleichsmaßstäbe die bestmögliche Diagnostik als Grundlage für individuelle Förderung sicher stellen und 3. wesentlich zur Qualitätsentwicklung in der Schule beitragen. (2) Zum Zweck der nachhaltigen Ergebnisorientierung in der Planung und Durchführung von Unterricht haben die Lehrerinnen und Lehrer den systematischen Aufbau der zu vermittelnden Kompetenzen und die auf diese bezogenen Bildungsstandards bei der Planung und Gestaltung ihrer Unterrichtsarbeit zu berücksichtigen (Orientierungsfunktion gemäß Abs. 1 Z 1). (3) Die Leistungen der Schülerinnen und Schüler sind in allen Schulstufen unter Zugrundelegung der Bildungsstandards für die 4. bzw. für die 8. Schulstufe besonders zu beobachten und zu analysieren. Auf der Basis des diagnostischen Vergleiches von zu erlangenden und individuell erworbenen Kompetenzen ist eine

165 162 bestmögliche individuelle Förderung der Schülerinnen und Schüler sicher zu stellen (Förderungsfunktion gemäß Abs. 1 Z 2). (4) Durch periodische Standardüberprüfungen sind die von den Schülerinnen und Schülern bis zur 4. bzw. zur 8. Schulstufe erworbenen Kompetenzen objektiv festzustellen und mit den angestrebten Lernergebnissen zu vergleichen. Standardüberprüfungen sind auf Anordnung der Schulbehörden für die 8. Schulstufe ab dem Schuljahr 2011/12 und für die 4. Schulstufe ab dem Schuljahr 2012/13 durchzuführen und deren Auswertungen sind den Schulen rückzumelden. Die Auswertungen der Standardüberprüfung und deren Rückmeldungen haben so zu erfolgen, dass sie für Zwecke der Qualitätsentwicklung an den Schulen herangezogen werden können. Maßnahmen der Qualitätsentwicklung sind zu dokumentieren und periodisch zu evaluieren (Evaluationsfunktion gemäß Abs. 1 Z 3). Standardüberprüfungen 4. (1) An öffentlichen und mit dem Öffentlichkeitsrecht ausgestatteten Schulen der in 1 genannten Schularten sind hinsichtlich der in 1 Z 1 und 2 genannten Pflichtgegenstände und Schulstufen im Abstand von drei Jahren Standardüberprüfungen durchzuführen. (2) Bei den Standardüberprüfungen ist durch validierte Aufgabenstellungen der Grad der Kompetenzerreichung durch die Schülerinnen und Schüler zu messen. Die gestellten Aufgaben müssen sich aus den Bildungsstandards ableiten lassen. Sie sind so zu wählen, dass die individuellen Testergebnisse, nachdem sie zu den Bildungsstandards in Relation gesetzt wurden, Aufschluss über den nachhaltigen Erwerb von Kompetenzen ermöglichen. (3) Als Verfahren der Standardüberprüfung kommen 1. Tests mit schriftlich zu lösenden Aufgaben in den sprachlichen und mathematischen Gegenständen sowie 2. Befragungen mit mündlich zu lösenden Aufgaben in den sprachlichen Gegenständen in Betracht. (4) Die Auswertungen der Standardüberprüfungen haben so zu erfolgen, dass auf deren Basis Maßnahmen zur Qualitätsentwicklung bundesweit, landesweit und schulbezogen erfolgen können. Die individuellen Ergebnisse der Standardüberprüfung dürfen nicht auf eine bestimmte Schülerin oder auf einen bestimmten Schüler zurückgeführt werden können, außer durch diese oder diesen selbst. (5) Die Bestimmungen über die Leistungsfeststellungen und -beurteilungen bleiben von dieser Verordnung unberührt. Schmied Inkrafttreten 4. Diese Verordnung tritt mit 1. Jänner 2009 in Kraft.

166 163 Auszug für Mathematik 4. Schulstufe Bildungsstandards und Kompetenzmodelle Anlage Bildungsstandards legen konkrete Lernergebnisse fest. Diese Lernergebnisse basieren auf grundlegenden Kompetenzen, über die die Schülerinnen und Schüler am Ende einer bestimmten Schulstufe verfügen sollen. Die Kompetenzen beziehen sich auf ein aus dem jeweiligen Lehrplan abgeleitetes fachbezogenes bzw. fächerübergreifendes Kompetenzmodell und decken die gesamte inhaltliche Breite des jeweiligen Unterrichtsgegenstandes bzw. der in fachlichem Zusammenhang stehenden Unterrichtsgegenstände ab. Kompetenzmodelle strukturieren die Bildungsstandards innerhalb eines Unterrichtsgegenstandes. Von den möglichen Gliederungsebenen werden in den folgenden Bestimmungen zwei angesprochen: - die übergeordneten Kompetenzbereiche (wie zb Operieren; Modellbilden bzw. Geometrische Figuren und Körper; Zahlen und Maße in Mathematik; Lesen Umgang mit Texten und Medien bzw. Schreiben/Verfassen von Texten in Deutsch und in Lebender Fremdsprache/Englisch). - Kompetenzen als unterste Gliederungsebene werden als angestrebtes Verhalten bzw. beobachtbare Handlungen ( Die Schülerinnen und Schüler können... ) beschrieben und stellen die Bildungsstandards dar. 1. Teil 4. Schulstufe der Volksschule 1. Abschnitt Deutsch, Lesen, Schreiben ( ) Kompetenzbereich: Modellieren 2. Abschnitt Mathematik Allgemeine mathematische Kompetenzen E i n e Sa ch si t uati on i n ei n m a t h em a t i s ch e s M od el l (Ter m e un d Gl ei ch un gen ) über t r a gen, dieses l ös en un d a uf di e Au sgan gs si t uati on bez i eh en Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können - aus Sachsituationen relevante Informationen entnehmen, - passende Lösungswege finden, - die Ergebnisse interpretieren und sie überprüfen. E i n m a th em a t i sch e s M od el l i n ei n e Sa ch si t uat i on ü ber t r a gen Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können zu Termen und Gleichungen Sachaufgaben erstellen. Kompetenzbereich: Operieren Ma t h em a t i s ch e A bl ä u fe dur ch füh r en Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können - Zahlen, Größen und geometrische Figuren strukturieren, - arithmetische Operationen und Verfahren durchführen, - geometrische Konstruktionen durchführen. Mi t T a bel l en un d Gr a fi k en a r bei t en Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können - Tabellen und Grafiken erstellen, - Informationen aus Tabellen und Grafiken entnehmen.

167 164 Kompetenzbereich: Kommunizieren Ma t h em a t i s ch e Sa ch ver h a l t e ver ba l i si er en un d begr ün den Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können - mathematische Begriffe und Zeichen sachgerecht in Wort und Schrift benützen, - ihre Vorgangsweisen beschreiben und protokollieren, - Lösungswege vergleichen und ihre Aussagen und Handlungsweisen begründen. Ma t h em a t i s ch e Sa ch ver h a l t e i n un t er sc h i edlich en Repr ä s en t a t i on s for m en dar st el l en Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können - ihre Vorgangsweisen in geeigneten Repräsentationsformen festhalten, - Zeichnungen und Diagramme erstellen. Kompetenzbereich: Problemlösen Ma t h em a t i s ch r el e va n t e Fr a gen st el l en Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können ein innermathematisches Problem erkennen und dazu relevante Fragen stellen. L ösun gs st r a t egi en (er ) fi n den un d n utzen Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können - geeignete Lösungsaktivitäten wie Vermuten, Probieren, Anlegen von Tabellen oder Erstellen von Skizzen anwenden, - zielführende Denkstrategien wie systematisches Probieren oder Nutzen von Analogien einsetzen. Kompetenzbereich: Arbeiten mit Zahlen Inhaltliche mathematische Kompetenzen Za h l dar st el l un g en un d -bez i eh un gen ver st eh en Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können - Zahlen im Zahlenraum lesen und darstellen, - sich im Zahlenraum orientieren, Zahlen vergleichen und diese in Relation setzen, - arithmetische Muster erkennen, beschreiben und fortsetzen. Za h l en r un den un d An z ah l en sch ä t z en Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können - Zahlen auf volle Zehner, Hunderter, Zehntausender runden, - Anzahlen schätzen. Da s W es en der Br uch z a h l ver st eh en Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können - Bruchzahlen darstellen, - Bruchzahlen vergleichen, ordnen und zerlegen, - Bruchzahlen im Zusammenhang mit Größen benützen. Kompetenzbereich: Arbeiten mit Operationen Di e vi er Gr un dr ech n un gsa r t en un d ihr e Zu sa m m en h än ge ver st eh en Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler - verfügen über Einsicht in das Wesen von Rechenoperationen, - können die Zusammenhänge zwischen den Grundrechnungsarten erklären, - können Umkehroperationen verwenden, auch zur sinnvollen Überprüfung des Ergebnisses, - können Tausch-, Nachbar- und Analogieaufgaben verwenden.

168 165 Mün dlich e s Rech n en si ch er beh er r sch en Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler - beherrschen sicher und schnell additive Grundaufgaben im Zahlenraum 20, - beherrschen sicher und schnell multiplikative Grundaufgaben im Zahlenraum 100, - können nicht automatisierte Rechenoperationen in Teilschritten durchführen, - können einfache Gleichungen mit Platzhaltern lösen, - können Ergebnisschätzungen mit Hilfe von Überschlagsrechnungen durchführen. Sch r i ft l i ch e Rech en ver fa h r en beh er r sch en Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler - verstehen die Algorithmen der schriftlichen Rechenverfahren, - können die Algorithmen der schriftlichen Verfahren für Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durchführen, - können die Lösung mit Hilfe einer Probe überprüfen. Kompetenzbereich: Arbeiten mit Größen Gr öß en vor st el l un gen besi t z en un d E i nh ei t en ken n en Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler - kennen genormte Maßeinheiten und können diese den Größenbereichen zuordnen, - können geeignete Repräsentanten zu Maßeinheiten angeben, - können Größen in unterschiedlichen Schreibweisen darstellen. Gr öß en m e ss en un d sch ä t z en Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler - beherrschen den Grundvorgang des Messens, - können mit geeigneten Maßeinheiten messen, - können Größen schätzen und ihre Vorgangsweise begründen. Mi t Gr ößen op er i er en Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können - Größen miteinander vergleichen, - mit Größen rechnen. Kompetenzbereich: Arbeiten mit Ebene und Raum Ge om et r i s ch e Fi gur en er k en n en, ben en n en un d dar st el l en Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können - geometrische Körper und Flächen benennen, - die Eigenschaften geometrischer Figuren beschreiben, - Modelle von geometrischen Körpern herstellen, - geometrische Figuren zeichnen oder konstruieren. Bez i eh un gen bei g e om et r i s ch en Fi gur en er k en n en Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können - Lagebeziehungen zwischen Objekten im Raum und in der Ebene beschreiben und nutzen, - vorgegebene geometrische Muster erkennen, selbst entwickeln oder fortsetzen, - den Zusammenhang zwischen Plan und Wirklichkeit herstellen. Mi t geom et r i s ch en Fi g ur en op er i er en Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können - geometrische Figuren zerlegen und sie wieder zusammensetzen, - Netze den entsprechenden Körpern zuordnen und umgekehrt.

169 166 Um fan g un d Fl ä ch en i n h a l t er m i t t el n Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können - den Umfang einer geometrischen Figur mittels Einheitslängen messen, - den Umfang von Rechteck und Quadrat berechnen, - den Flächeninhalt einer geometrischen Figur mittels Einheitsflächen messen, - den Flächeninhalt von Rechteck und Quadrat berechnen. 2. Teil 8. Schulstufe der Volksschuloberstufe, der Hauptschule und der allgemein bildenden höheren Schule 1. Abschnitt Deutsch ( ) 2. Abschnitt Lebende Fremdsprache (Englisch) ( ) 3. Abschnitt Mathematik ( ) ( ) Texte siehe BGBl. II Nr.1/2009

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171 168 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Literaturempfehlungen BÜCHTER, Andreas, LEUDERS, Timo: Mathematikaufgaben selbst entwickeln. Cornelsen Scriptor, Berlin 2005 FRANKE, Marianne: Didaktik des Sachrechnens in der Grundschule. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2003 FRANKE, Marianne: Didaktik der Geometrie in der Grundschule. 2. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg PADBERG, Friedhelm: Didaktik der Arithmetik. 3. Auflage. B.I.-Wissenschaftsverlag, Mannheim 2005 RADATZ, Hendrik, SCHIPPER, Wilhelm, EBELING, Astrid, DRÖGE, Rotraud: Handbuch für den Mathematikunterricht. Bd.1-4. Verlag Schroedel, Hannover 1996/1998/1999/2000 WALTHER, Gerd u.a. (Hg.): Bildungsstandards für die Grundschule: Mathematik konkret. Cornelsen Scriptor, Berlin 2007 Abkürzungen AK IK Allgemeine mathematische Kompetenzen Inhaltliche mathematische Kompetenzen

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173 Bestellmöglichkeit unter:

174 F i t f ü r d i e B i l d u n g s s t a n d a r d s! Fit für die Lesestandards ISBN Diese Kopiervorlagen bieten zu unterschiedlichen Texten jeweils mehrere Aufgabenstellungen, die den Bildungsstandards im Bereich Lesen und Umgang mit Texten und Medien zugeordnet sind. Kontrollübungen ermöglichen selbstständiges und eigenverantwortliches Training der einzelnen Kompetenzen. Inklusive CD-ROM mit zusätzlichen Übungen! Deutsch: Standards & Spiele ISBN Kompetenzen von Schulkindern entstehen nicht von einem Tag auf den anderen. Sie werden im Schulalltag durch häufig eingesetzte handlungsorientierte Übungsformen und Spiele zu nachhaltigen Kompetenzen. Diese Nachhaltigkeit fördert das Buch durch ein buntes Angebot an Spielen und durch Vernetzung verschiedener Kompetenzen. Lesetrainer 2 bis 4 ISBN ISBN ISBN Diese Arbeitshefte fördern systematisch die Lesekompetenz. Sie bieten Aufgaben zur Verbesserung der Lesetechnik sowie zum Erwerb von Lesestrategien und regen zu weiterführendem Lesen an. Eine ideale Vorbereitung auf die Bildungsstandards! Zahlenreise 1. Übungs-CD-ROM ISBN Zahlenreise 2. Übungs-CD-ROM ISBN Die Software bietet eine Fülle von Aufgaben, die in überschaubare, kurze und abwechslungsreiche Übungsfolgen verpackt sind. Alle Übungen sind vertont so kann die Software in Freiarbeitsphasen, im Stationenbetrieb und vor allem zu Hause eingesetzt werden. Zum Programm gehören außerdem Urkunden zum Ausdrucken und ein praktisches Verwaltungsmodul. Ein eigenes Kapitel in der Zahlenreise 2. Übungs-CD-ROM bereitet langsam auf die Bildungsstandards vor. Tipp: Die Übungs-CD-ROMs können Sie in der Schulbuchaktion mit dem Erarbeitungsteil bestellen. Zahlenreise 3. Materialien für LehrerInnen ISBN Zahlenreise 4. Materialien für LehrerInnen ISBN Die Lehrermaterialien zur aktualisierten Zahlenreise bieten umfangreiches und jederzeit einsetzbares Übungsmaterial für jeden Bedarf. Mit den zahlreichen Lernzielkontrollen im Anhang können Sie prüfen, ob Ihre SchülerInnen die mathematischen Kompetenzen erworben haben, die in den Bildungsstandards getestet werden, eventuelle Defizite frühzeitig erkennen und in Ihrem Unterricht darauf reagieren. Die ideale Vorbereitung auf die Standardüberprüfung! Alle Übungen gibt es auch auf der beiliegenden CD-ROM zum Erstellen individueller Arbeitsblätter. Sie können diese Materialien bei Ihrem Buchhändler oder im Verlag bestellen: Rufen Sie einfach an, schicken Sie ein Fax oder ein ! Tel. +43/(0)732/ /2280, Fax: +43/(0)732/ /2239, kundenberatung@veritas.at Bezahlte Anzeige

175 Mini-SPATZENPOST für die 1. Schulstufe monatlich je 24 Seiten 4x Bastelbeilage SPATZENPOST für die 2. Schulstufe monatlich je 24 Seiten, 4x LESESPATZ und SPATZENPOST Plus + SPATZENPOST Plus das Wissensmagazin NEU zum Jahresabonnement! NEU + KLEINES VOLK Plus das Wissensmagazin zum Jahresabonnement! + SCHLAUFUCHS-Großposter KLEINES VOLK für die 3. und 4. Schulstufe monatlich je 32 Seiten, 4x SCHLAUFUCHS- Großposter und KLEINES VOLK Plus Alle Abonnements inkl. FerienZEIT und der Beilage ELTERNservice Lesefreude + Lesespaß mit den Schülerzeitschriften des Österreichischen Jugendrotkreuzes monatlich während des Schuljahres Bezahlte Anzeige Redaktionsadresse: JUNGösteRReich Zeitschriftenverlag, 6020 innsbruck, info@jungoesterreich.at Die schülerzeitschriften für Unterricht und Freizeit Für die moderne und individuelle Leseerziehung Zusätzlich für den einsatz im Unterricht Mit uns zu den Bildungsstandards Deutsch/Lesen!

176 Alles logo! Aktueller Mathematikunterricht, der vom Denken der Kinder ausgeht! Das neue Mathematikbuch für die Volksschule Aufbau des Basiswissens auf der Grundstufe I Sicherung, Festigung und Ausbau des erworbenen Wissens bis zum Erreichen der Standards auf Sekundarstufe II leicht verständlich: kindgerechte Sprache und Illustrationen lebensnah: Beispiele aus der Lebenswelt der Kinder dynamisch: be-greifendes Lernen durch Handlungsorientierung kreativ: Förderung des selbstständigen Arbeitens übergreifend: Möglichkeit der Anbindung an den Gesamtunterricht kompetent: Berücksichtigung von Standards und PISA-Kompetenzen motivierend: eine Vorgangsweise, die Mathe für Kinder interessant macht organisationsfreundlich: klare Arbeitsstrukturen differenzierend: mit individueller Aufgabenstellung verbindend: mit Anregungen für das miteinander und voneinander Lernen Und außerdem... integrativ: Zusätzlich gibt es eine vereinfachte Ausgabe nach dem ASO-Lehrplan Für Eltern mit nichtdeutscher Muttersprache gibt es Hinweise zu den Hausübungen in Türkisch, Kroatisch, Serbisch und Englisch. Und was noch? Zu jedem Jahrgang gibt es einen Hausübungsband und ein Begleitheft für die Lehrkraft. von Engelbert Gressl Neugierig geworden? Bestellen Sie ein Ansichtsexemplar! Leykam Buchverlag Ankerstraße 4, 8054 Graz Tel Fax verlag@leykam.com Bezahlte Anzeige

177 2009 Das Österreichische Jugendrotkreuz (ÖJRK) bietet Schülerinnen und Schülern ab der Primarstufe eine Reihe von Programmen, die die Sicherheit und Gesundheit der Kinder fördern. Gleichzeitig gibt das Jugendrotkreuz den Kindern die Chance, im Rahmen ihrer Möglichkeiten anderen zu helfen. u Erste Hilfe ist kinderleicht Die Figur des Helfi zeigt den Schülerinnen und Schülern Grundkenntnisse in Erster Hilfe und Unfallverhütung, die schon Kinder ab der 1. Schulstufe problemlos anwenden können. u Ich bin geprüfte Radfahrerin/geprüfter Radfahrer! Die freiwillige Radfahrprüfung des ÖJRK in Kooperation mit der Polizei macht Schülerinnen und Schüler der 4. Schulstufe fit für den Straßenverkehr. Die Kenntnis der Verkehrszeichen, das richtige Verhalten im Straßenverkehr und das praktische Üben mit dem Fahrrad bringen den jungen Verkehrsteilnehmern und Verkehrsteilnehmerinnen auch mehr Sicherheit auf dem Schulweg. Freiwillige Radfahrprüfung Schülerheft u Mein Gesundheitsbuch Die beiden ÖJRK-Gesundheitsbücher für die 1./2. und 3./4. Schulstufe helfen Kindern schon früh, ein Bewusstsein für den eigenen Körper zu entwickeln. Sie wollen dazu anregen, aktive Gesundheitsvorsorge zu lernen, und bieten viel Platz für eigene Eintragungen. u Schwimmen aber sicher! Je besser man schwimmen kann, desto sicherer fühlt man sich im Wasser. Für das Frühschwimmer- und das Freischwimmerabzeichen müssen die Schüler und Schülerinnen grundlegende Schwimmkenntnisse unter Beweis stellen, einen Sprung schaffen und die Baderegeln kennen. u Mit Glückwunschkarten Freude schenken und helfen Mit der Spende für Weihnachts- und Glückwunschkarten des Jugendrotkreuzes können Schülerinnen und Schüler anderen eine Freude machen und gleichzeitig Kindern, denen es nicht so gut geht, helfen. Die Karten sind zweimal pro Jahr bei der ÖJRK-Schulreferentin bzw. dem ÖJRK- Schulreferenten erhältlich. u Unsere Schule unsere Zukunft Die Schule soll immer mehr leisten. Alle am Schulleben Beteiligten geraten zunehmend unter Druck. Ein vom ÖJRK herausgegebenes Handbuch für Lehrerinnen bzw. Lehrer und Eltern will hier Abhilfe schaffen. Unsere Schule unsere Zukunft Maßnahmen zur Entlastung im Schulalltag für Lehrer/innen, Schüler/innen und Eltern. Handbuch Primarstufe. ÖSTERREICHISCHES JUGENDROTKREUZ