Mathematik für Ingenieure

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1 A. Hoffmann B. Marx W. Vogt Mathematik für Ingenieure Lineare Algebra, Analysis Theorie und Numerik 1. Auflage ein Imprint von Pearson Education München Boston San Francisco Harlow, England Don Mills, Ontario Sysney Mexico City Madrid Amsterdam

2 I Grundlagen 1 Kapitel 1 Elementare Logik Aussagen Aussagenverknüpfungen und Aussagenfunktionen Boolesche Algebra und Boolesche Funktion Aussageformen und Quantoren Beweistechniken Aufgaben 31 Kapitel 2 Elementare Mengenlehre Mengen und Elemente Konstruktion von Mengen, Verknüpfung von Mengen Kartesisches Produkt von Mengen Aufgaben 43 Kapitel 3 Algebra, Ordnung und Toplogie der reellen Zahlen Induktion Algebraische Strukturen bei den Zahlen Ordnungsstrukturen bei den Zahlen Verträglichkeit zwischen Algebra und Ordnung Toplogie der Zahlen Darstellung von Zahlen im Computer Elemente der Kombinatorik Aufgaben 68 Kapitel 4 Komplexe Zahlen Gaußsche Zahlenebene, Körper der komplexen Zahlen Geometrische Veranschaulichung der Operationen Die Addition, Subtraktion und Multiplikation mit reellen Zahlen Die trigonometrische Darstellung Multiplikation Division Die Exponentialdarstellung einer komplexen Zahl, e z,sinz, cosz Berechnung der n ten Wurzeln aus einer komplexen Zahl 84 5

3 4.4 Riemannfläche Logarithmus Potenzgesetze und Logarithmengesetze Die komplexe Vollebene der Punkt z = Geometrie in der komplexen Vollebene Topologie der komplexen Zahlen Anwendung der komplexen Zahlen in der Elektrotechnik Aufgaben 104 Kapitel 5 Relationen und Abbildungen Grundlegende Definitionen und Eigenschaften Mächtigkeit von Mengen Beispiele von Funktionen Umkehrfunktion einer reellen Funktion einer Veränderlichen Die symmetrische Gruppe der Abbildungen S M Aufgaben 140 II Lineare Algebra 143 Kapitel 6 Lineare Räume Axiomensystem, Beispiele Matrizen Basis, Dimension Affiner Raum Unterräume, Dimensionssätze Lineare Gleichungssysteme - Gaußalgorithmus Matrixrang, Inverse Matrix Koordinaten - Darstellung und Transformation Aufgaben 193 Kapitel 7 Lineare Abbildungen Definition, Beispiele, Grundlagen Lösungsprinzipien linearer Gleichungen Koordinatenmatrix einer linearen Abbildung Transformation der Koordinatenmatrix Lineare Funktionale im Raum X duale Basis Basisdarstellung linearer Abbildungen Basis- und Koordinatentransformation in X Die duale Abbildung L #, Annullatoren 227 6

4 7.9 Aufgaben 234 Kapitel 8 Multilineare Abbildungen Definition, Koordinaten, Tensor Potenzabbildung und Polynome Determinantenform und Determinante Aufgaben 258 Kapitel 9 Lineare Abbildungen in Hilberträumen Raum mit Skalarprodukt, QR-Zerlegung Adjungierte Abbildungen Selbstadjungierte Endomorphismen Orthogonale und unitäre Abbildungen Normale Endomorphismen Aufgaben 293 Kapitel 10 Spektralzerlegung linearer Endomorphismen Eigenwerte, Eigenvektoren, Hauptachsentransformation Positive (negative) Definitheit Spektralzerlegung normaler Endomorphismen Analytische Funktionen normaler Endomorphismen Vertauschbarkeit normaler Endomorphismen Jordannormalform von Endomorphismen Analytische Funktionen beliebiger Endomorphismen Aufgaben 331 Kapitel 11 Singulärwertzerlegung linearer Abbildungen Singulärwertzerlegung Norm einer linearen Abbildung Pseudoinverse einer linearen Abbildung Lineare Quadratmittel-Approximation Aufgaben 350 III Analysis 353 Kapitel 12 Folgen Konvergenz Rechnen mit Zahlenfolgen 368 7

5 12.3 Konvergenzkriterien für Zahlenfolgen Reihen Aufgaben 388 Kapitel 13 Normierte Vektorräume Norm Prähilberträume Vollständigkeit Aufgaben 405 Kapitel 14 Stetigkeit Topologische Grundbegriffe Grenzwerte von Funktionen Stetige Funktionen Banachscher Fixpunktsatz Aufgaben 435 Kapitel 15 Funktionenfolgen Gleichmäßige Konvergenz Potenzreihen Elementare Funktionen Aufgaben 467 Kapitel 16 Differenziation Die Differenzierbarkeit einer Abbildung Partielle Ableitungen Mittelwertsätze Der Taylorsche Satz Die Differenzierbarkeit implizit definierter Funktionen Extrema von Funktionen mehrerer Variabler Extrema von Funktionen ohne Nebenbedingung Extrema von Funktionen mit Nebenbedingungen Aufgaben 542 Kapitel 17 Integralrechnung in einer Variablen Das bestimmte Riemannsche Integral Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung Integrationsregeln und Integrationstechniken 567 8

6 17.4 Uneigentliche Integrale Unbeschränkter Integrationsbereich Unbeschränkter Integrand Parameterabhängige Integrale Anwendungen der Integralrechnung Volumen eines Rotationskörpers Parametrisierte Kurven, Bogenlänge Einige Begriffe der Kurvengeometrie Aufgaben 616 IV Numerische Methoden 619 Kapitel 18 Direkte Verfahren für lineare Gleichungssysteme LU-Zerlegung und Gauß-Algorithmus Pivotisierung und Pivotstrategien Matrixinversion und Cholesky-Zerlegung Matrixnormen, Konditionszahlen und Fehlerschätzung Aufgaben 660 Kapitel 19 Iterative Verfahren für große lineare Gleichungssysteme Splitting-Verfahren Systeme mit spezieller Struktur und Relaxation Krylov-Unterräume und Arnoldi-Verfahren GMRES-Verfahren und BiCG-Verfahren Aufgaben 699 Kapitel 20 Approximation von Eigenwerten und Eigenvektoren Vektoriteration und inverse Iteration QR-Zerlegung und QR-Verfahren QR-Zerlegung QR-Verfahren Krylov-Unterraum-Methoden Aufgaben 734 Kapitel 21 Numerische Methoden für nichtlineare Gleichungssysteme Picard-Verfahren Newton-Verfahren Vereinfachte Newton-Verfahren Anwendungen des Newton-Verfahrens 769 9

7 21.5 Großdimensionale nichtlineare Systeme Parameterabhängige nichtlineare Systeme Numerische Kurvenverfolgung Aufgaben 800 Kapitel 22 Numerische Interpolation und Integration Polynom-Interpolation von Funktionen Newton- und Hermite-Interpolation Spline-Interpolation Anwendungen von Splines Numerische Integration Newton-Cotes- und Gauß-Legendre-Formeln Zusammengesetzte Integrationsformeln Romberg-Verfahren und adaptive Integrationsformeln Aufgaben 844 Literaturverzeichnis 847 Sachregister