1. Adverse Selektion: Unsicherheit über die Schadenswahrscheinlichkeit 2. Moral Hazard: endogene Schadenshöhe.

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1 In der bisherigen Analyse haben wir angenommen, dass die Schadenshöhe exogen ist und die Eintrittswahrscheinlichkeit allgemein bekannt ist. Damit schließen wir aber zwei extrem wichtige Charakteristika in real-typischen Versicherungsmärkten aus: 1. Adverse Selektion: Unsicherheit über die Schadenswahrscheinlichkeit 2. Moral Hazard: endogene Schadenshöhe. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 9, / 311

2 Adverse Selektion ist also ein strukturelles Charakteristikum des Marktes. Moral Hazard wird durch Fehlverhalten verursacht: kann also durch Market Design verhindert/abgeschwächt werden. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 9, / 311

3 Schauen wir uns in einem ersten Schritt Adverse Selektion an. Das Modell entspricht dem obigen, d.h. es gibt 2 Zustände. In einem Zustand erfährt der Haushalt einen Einkommensverlust L. Dieser Einkommensverlust kann versichert werden durch Zahlung einer Versicherungsprämie. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 9, / 311

4 Die zusätzliche Annahme hier ist, dass es 2 Gruppen von Haushalten gibt, die unterschiedliche Schadenseintrittswahrscheinlichkeiten haben. Die Wahrscheinlichkeit für den Eintritt des Schadens bei Gruppe l sei π l bzw. π h bei Gruppe h mit π l < π h. Wenn der Versicherer dies genau beobachten könnte, dann würde dieser natürlich keine einheitliche Prämie verlangen (keinen einheitlichen Kontrakt anbieten). Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 9, / 311

5 Schauen wir uns die Einkommenssituation des Haushaltes i in den beiden Zuständen an für den Fall, dass nur faire Kontrakte angeboten werden: Einkommen in Zustand 1: y 1 = y π i q i Einkommen in Zustand 2: y 2 = y L + q i π i q i Erwarteter Nutzen: E(u) i = (1 π i )u(y π i q i ) + π i u(y L + (1 π i )q i ) Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 9, / 311

6 Die Bedingung für die optimale Wahl des Versicherungsschutzes ist dann: E(u) i q i = (1 π i )u (y π i q i )π i + π i u (y L + (1 π i )q i )(1 π i ) = 0 Das Einkommen in den beiden Perioden ist also identisch und es wird voller Schutz gewählt. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 9, / 311

7 Bisher haben wir uns das separierende Gleichgewicht angeschaut. Es gibt typabhängige Versicherungskontrakte und jeder Typ wählt den passenden Kontrakt. Was passiert, wenn die Versicherung die beiden Risiken nicht unterscheiden kann, aber trotzdem unterschiedliche Kontrakte anbietet? Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 9, / 311

8 Die Versicherung geht pleite! Die Schadensabdeckung ist bei beiden Kontrakten gleich q i die Versicherung für das niedrigere Risiko ist günstiger. = L, aber Alle tun so als ob sie das niedrige Risiko sind. Einnahmen π l L + π l L; (erwarete) Ausgaben π l L + π h L Ausgaben>Einnahmen. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 9, / 311

9 Stellen wir uns nun vor, dass die Versicherung (da die W keit des Schadens nicht beobachtet werden kann) einen einheitlichen Kontrakt anbietet. Nehmen wir an, dass der Kontrakt den Preis πq i hat, wobei pi = λπ l + (1 λ)π h. λ bezeichnet also den Anteil der niedrigen Risiken in der Population. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 9, / 311

10 Die Bedingung erster Ordnung für die optimale Versicherungsmenge ändert sich dann zu: (1 π i )u (y πq i ) π + π i u (y L + (1 π)q i )(1 π) = 0 In diesem Fall würden beide Haushalte eine unterschiedliche Kontrakthöhe q i im Optimum wählen. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 9, / 311

11 Es gilt nun, dass qh > q l. (Warum?) Damit könnte aber die Versicherung die Riskiken durch Selbstselektion unterscheiden. Ein Kontrakt qh wird damit niemals angeboten. Der einheitliche Kontrakt wäre dann ql. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 9, / 311

12 Wenn es also einen einheitlichen Kontrakt gäbe, dann wäre dieser ql und dieser Kontrakt würde ein Pooling Gleichgewicht darstellen. Ein kompetitiver Versicherungsmarkt würde aber zu keinem Pooling Gleichgewicht führen. Idee: Durch verschiedene Arten von Kontrakten kann so etwas wie eine Selbstselektion erreicht werden. Eine Versicherung kann damit lukrative niedrig Risiko Haushalte aus dem Pooling GG abwerben. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 9, / 311

13 In einem kompetitiven Markt wird es somit keine Pooling Kontrakte geben. Es werden nur Versicherungskontrakte angeboten, die eine korrekte Selbstselektion implizieren. Bei der Auswahl des optimalen Versicherungskontraktes muss also die Selbstselektions-Restriktion beachtet werden V i (π i q i, q i ) V i (π j q j, q j ) i, j = h, l und i j Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 9, / 311

14 Man kann nun zeigen, dass die Selektions-Restriktion nicht für niedrig Risiko Haushalte gilt. Dazu muss man nur zeigen wie hoch die Versicherung im Fall der Offenbarung des Typs und der Verschleierung des Typs ist. Im ersten Fall ist dann q l = L und im zweiten q h < L (bei freier Optimierung). Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 9, / 311

15 Ist in dieser Situation die Restriktion bindend? Dann ist zu zeigen, dass (1 π l )u(y π l L) + π l u(y π l L) > (1 π l )u(y π h q h ) + π l u(y L + (1 π h )q h ) Dies kann (intuitiv) gezeigt werden, wenn man sich das erwartete Einkommen in beiden Situationen anschaut. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 9, / 311

16 erwartetes Einkommen niedrig Risiko Kontrakt: y π l L erwartetes Einkommen hoch Risiko Kontrakt: y π l L + (π l π h )q h Wenn aber das erwartete Einkommen beim hoch Risiko Kontrakt kleiner ist, dann gilt dies erst Recht für die (konkave) Nutzenfunktion. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 9, / 311

17 Die Restriktion ist also für den Haushalt mit niedrigem Risiko nicht bindend. Sie ist jedoch bindend für den Haushalt mit dem hohen Risiko (der Haushalt wird sich überversichern und damit können analoge Argumente angewendet werden). Die Versicherungen wollen eben solch einen Kontrakt anbieten, der unrentabel für die hoch Risiko Haushalte ist; nur dann kann die Selektion funktionieren. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 9, / 311

18 Die Versicherung weiß, dass nur die Selbstselektion für hoch Risiko Haushalte bindend ist. Es gibt also nur ein Problem beim Kontrakt für niedrig Risiko Haushalte. Wie groß ist die optimale Versicherung für den hoch Risiko Kontrakt? Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 9, / 311

19 Die Versicherung weiß, dass nur tatsächlich hoch Risiko Haushalte diesen Kontrakt nachfragen. Diese können also ohne Restriktion maximieren und werden sich voll versichern qh = L Beim niedrig Risiko Kontrakt muss die Versicherung verhindern, dass hoch Risiko Haushalte diesen nachfragen. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 9, / 311

20 Die niedrig Risiko Haushalte sehen sich also bei ihrer Optimierung der Selbstselektionsrestriktion gegenüber. Andere Kontrakte werden nicht angeboten. Das Maximierungsproblem ist damit: max ql (1 π l )u(y π l q l ) + π l u(y L + (1 π l )q l ) Nebenbedingung:(1 π h )u(y π h L) + π h u(y L + (1 π h )L) = (1 π h )u(y π l q l ) + π h u(y L + (1 π l )q l ) Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 9, / 311

21 Die Lösung der Maximierung entspricht einer Ecklösung. Das Set der möglichen Versicherungskontrakte wird eingeschränkt durch die Nebenbedingung, d.h. der Nutzen aus diesem Kontrakt für hoch Risiko Haushalte muss niedriger sein als deren Gleichgewicht. Aus diesem beschränkten Set werden die niedrig Risiko Haushalte den höchsten Versicherungschutz ˆq l wählen. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 9, / 311

22 Wie hoch ist dieser Versicherungsschutz dann im Vergleich zum Optimum mit q l = L? Schauen wir uns dazu die Nebenbedingung an. Wenn q l = L dann gilt: u(y π h L) < u(y π l L) (dies ist eben das Problem) Was muss geschehen mit q l damit die rechte Seite kleiner wird (bzw. die rechte Seite stärker als die linke Seite sinkt)? Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 9, / 311

23 Schauen wir uns die Ableitung der Gleichung u(y π h q) u(y π l q) nach q an der Stelle L an, so gilt: u (y π h q) + u(y π l q) < 0, dies ist wg. sinkenden Grenznutzens und π l < π h kleiner als Null. Der Versicherungsschutz muss also sinken damit die Selbstselektion funktioniert und es muss gelten ˆq l < L Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 9, / 311

24 Die Versicherung macht also den niedrig Risiko Vertrag relativ unattraktiv und bietet eine zu kleine Versicherung an. Die niedrig Risiko Haushalte werden also rationiert und verlieren dadurch Nutzen im Vergleich zum Zustand perfekter Info. Für die hoch Risiko Haushalte ändert sich nichts. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 9, / 311

25 Ist dieses separierende Gleichgewicht stabil in dem Sinn, dass kein Pooling Kontrakt dieses zerstören kann? Wir wissen, dass ein pooling Kontrakt πq für die hoch Risiko Haushalte immer attraktiver ist als q h = L. Damit ein pooling Kontrakt das separierende GG zum Zusammenbruch führt muss dieses auch für die niedrig Risiko Haushalte attraktiv sein. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 9, / 311

26 Der Pooling Kontrakt ist dann attraktiv, wenn gilt (1 π l )u(y πq) + π l u(y L + (1 π)q) > (1 π l )u(y π l ˆq l ) + π l u(y L + (1 π l )ˆq ) Ob diese Relation erfüllt ist hängt letztlich davon ab wie hoch der Preis des Pooling Kontraktes pro versicherten Euro π ist. Ist dieser sehr hoch, weil es sehr viele hoch Risiko Haushalte gibt, so wird sich der Pooling Kontrakt nicht durchsetzten. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 9, / 311

27 Ist dieser Preis aber niedrig genug, weil es z.b. sehr viele niedrig Risiko Haushalte gibt, dann ist der Pooling Kontrakt attraktiv. Dieser ist zwar immer noch teurer als der separierende Kontrakt, aber die Haushalte werden nicht rationiert. Deshalb kann es für die niedrig Risiko Haushalte sinnvoll sein umzusteigen Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 9, / 311

28 Dies hat aber dann zur Konsequenz, dass der Markt zusammenbricht (das haben wir weiter oben gezeigt). In kompetitive Versicherungsmärkten mit Informationsasymmetrie sind 2 Szenarien vorstellbar: Zwei unterschiedliche Kontrakte existieren oder es gibt keinen Markt. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 9, / 311