Praktikum zur Vorlesung Einführung in die Geophysik

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1 Praktikum zur Vorlesung Einführung in die Geophysik Hinweise zum Praktikum: Messunsicherheit und Fehlerrechnung Stefan Wenk, Prof. Thomas Bohlen TU Bergakademie Freiberg Institut für Geophysik April 2008

2 Inhalt Überblick Einleitung Fehleranteile Fehlertheorie Fehlerabschätzung Statistische Fehlertheorie Fehlerfortpflanzung Lineare Fehlerfortpflanzung Fehlerfortpflanzung nach Gauß Gemischte Anwendung Beispiel Messung der Schallgeschwindigkeit 1 Inhalt

3 Überblick 2 Überblick

4 Einleitung "Eine Messung ohne Genauigkeitsangabe ist wertlos" Wir werden bei jeder Messung Fehler machen. Wir müssen lernen: Fehler einzelner Größen einzuschätzen Mittelwert, Standardabweichung Fehler des Resultats einzuschätzen Fehlerfortpflanzung 3 Überblick

5 Fehleranteile Hier von Bedeutung: zeitlich konstante Fehler mit dem Schwerpunkt zufällige Fehler 4 Überblick

6 Fehleranteile a) Grobe Fehler: Verwechslung von Skalen "falsch" gemessen b) Systematische Fehler Fehlanzeigen wegen schlechter Eichung Alterung der Messgeräte Veränderung durch die Messung äussere Einflüsse (Luft, Temperatur),... c) zufällige Fehler: haben statistischen Charakter Schwankung nach oben und unten z. B. Abelese-Ungenauigkeit "Rauschen" 5 Überblick

7 Fehlertheorie 6 Fehlertheorie

8 Fehlertheorie Ziel Bestimmung geeigneter Näherungswerte und Unsicherheitsintervalle für die gemessenen Größen Messergebnis: x = x ± x x... Näherungswert an "wahren Wert" x... Unsicherheitsintervall 7 Fehlertheorie

9 Fehlerabschätzung Fehlerabschätzung bei Einzelmessung kennzeichnet die mögliche Abweichung vom "wahren Wert" Man bestimmt die maximal mögliche Abweichung des Messwertes vom wahren Wert: "Größtfehler x" Beispiel: Längenmessung Messung einer Länge Ablesefehler der Hälfte des Abstandes der Teilungsstriche 8 Fehlertheorie

10 Statistische Fehlertheorie Häufigkeitsverteilung bei Mehrfachmessung einer Größe x (n-mal) Stichprobe Klassenverteilung ergibt sich Die relative Häufigkeit der Messwerte jeder Klasse aufgetragen gegenüber dem Messwert-Bereich ergibt i.d.r. Folgendes: ω(x k )... relative Häufigkeit der Klasse k 9 Fehlertheorie

11 Statistische Fehlertheorie Näherungen bei n Messungen: Mittelwert (Näherung an den wahren Wert) x = 1 n n x k k=1 Standardabweichung vom Messwert x k n s x = (x k x) 2 1 n 1 k=1 Standardabweichung vom Mittelwert µ 1 n s x = n(n 1) (x k x) 2 = s x n k=1 10 Fehlertheorie

12 Statistische Fehlertheorie Wahrscheinlichkeitsverteilung bei Mehrfachmessung einer Größe x ( -mal) Klasseneinteilung feiner Annäherung an Glockenkurve Gauß sche Normalverteilung ( ) f (x) = 1 σ exp (x µ)2 2π 2σ 2 µ... Erwartungswert Mittelwert (wahrscheinlichste Abschätzung des "wahren Wertes") σ... Standardabweichung vom Erwartungswert 11 Fehlertheorie

13 Statistische Fehlertheorie Gauß sche Normalverteilung Intervalle [µ σ, µ + σ]: 68% aller Messwerte [µ 2σ, µ + 2σ]: 95% aller Messwerte [µ 3σ, µ + 3σ]: 99.7% aller Messwerte 12 Fehlertheorie

14 Statistische Fehlertheorie Students t-verteilung bei Mehrfachmessung einer Größe x (n-mal) ist eine Funktion der gewünschten statistischen Sicherheit P (Vertrauensniveau in %) und des Stichprobenumfanges n n 70% 95% 99% Messunsicherheit: x = t s x Angabe experimentell ermittelter Größen: x = x ± x 13 Fehlertheorie

15 Statistische Fehlertheorie Beispiel: Schwingungsdauerbestimmung Wir messen die Schwingungsdauer eines Pendels mit der Stoppuhr T = [2.6, 2.3, 2.5, 2.3, 2.6, 2.4, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.8] s Mittelwert: T = 1 n n T i = 2.48s i=1 Messunsicherheit (n = 12, P = 95%): n ( T = t Ti T ) 2 = s = 0.37s 1 n(n 1) i=1 Ergbenis der Messung: T = T ± T = 2.48s ± 0.37s 14 Fehlertheorie

16 Fehlerfortpflanzung 15 Fehlerfortpflanzung

17 Fehlerfortpflanzung Problem: Bestimmung des Fehlers abgeleiteter Größen f = f (x, y) Beispiel: Geschwindigkeitmessung v = s t Weg s als auch Zeit t sind fehlerbehaftet Wie groß ist der Gesamtfehler in v? 16 Fehlerfortpflanzung

18 Lineare Fehlerfortpflanzung Die lineare Fehlerfortpflanzung wird benutzt, wenn die eingehenden Einzelfehler durch Fehlerabschätzung (siehe oben) ermittelt wurden, d.h. bei Einzelmessungen. Sie liefert einen Größtfehler der abgeleiteten Größe. Taylorreihenentwicklung von f f (x + x, y + y) = f (x, y) + f f x x + y y +... = f + f (Vernachlässigung von Termen höherer Ordnung) Da sich Fehler immer addieren, werden Betragsstriche eingeführt: Größtfehler von f f = f x + x f y y 17 Fehlerfortpflanzung

19 Fehlerfortpflanzung nach Gauß Die Fehlerfortpflanzung nach Gauß basiert auf statistischen Überlegungen und ist bei Wiederholungsmessungen anzuwenden Gegeben: Funktionaler Zusammenhang f = f (x, y) Für die Größen (x, y) wurden Wiederholungsmessungen durchgeführt Allgemein x = x ± x y = ȳ ± y x, ȳ... Mittelwert x, y... Messunsicherheit 18 Fehlerfortpflanzung

20 Fehlerfortpflanzung nach Gauß Die Gesuchte Größe ergibt sich aus den gemessenen Mittelwerten: f = f ( x, ȳ) Voraussetzung: Stichprobenumfang für x und ȳ gleich Standardabweichung von f ( ) s f = f 2 ( ) x s x + f 2 y s ȳ Messunsicherheit von f f = t s f Ergebnis der Messung: f = f ± f 19 Fehlerfortpflanzung

21 Gemischte Anwendung Kombiniertes Problem Der Fehler einmalig gemessener Größen wird abgeschätzt (Größtfehler) und der Fehler anderer Größen wird durch Wiederholungsmessungen ermittelt (Standardabweichung des Mittelwertes). 20 Für f = f (x, y, z) kann man in der Praxis folgendermaßen vorgehen: 1. Entweder Anwendung der linearen Fehlerfortpflanzung, oder 2. gemischte Anwendung, d.h. z. B. Fehlerfortpflanzung nach Gauß für die durch Wiederholungsmessungen bestimmten Variablen x und y sowie lineare Fehlerfortpflanzung für die einmalig gemessene Größe z f = t s f + f }{{} z z }{{} Gauβ Linear Fehlerfortpflanzung

22 Beispiel 21 Beispiel

23 Messung der Schallgeschwindigkeit Ansatz: v = s t Wiederholungsmessungen der Laufzeit: t = t ± t = 0.65s ± 0.05s Einzelmessung: s = s ± s = 220m ± 2m Anwendung der linearen Fehlerfortpflanzung: v = v t t + v s s Berechnung partieller Ableitungen: v s = 1 t v t = s t 2 22 Beispiel

24 Messung der Schallgeschwindigkeit Größtfehler von v: v = 1 t s + s t t 2 1 = 0,65s 2m + 220m s 0.05s 2 = 3.08 m s m s = m s Beachte Fehler durch ungenaue Zeitmessung > Streckenfehler Angabe des Messwertes: v = s t ± v = 338 m s ± 29 m s = (338 ± 29) m s = 338 m s ± 8.6% 23 Beispiel

25 Zum Nachschlagen... D. Geschke Physikalisches Praktikum. 1992, B.G.Teubner Verlagsgesellschaft, Stuttgart-Leipzig E. Hering Physik für Ingenieure. 1989, Verlag des Vereins Deutscher Ingenieure, Düsseldorf TU Freiberg Arbeitsunterlagen Experimentalphysik-Praktikum. exphys/education/prakg /Arbeitsunterlagen.htm Uni Saarland Web-Rechner für t-verteilung. psydok.sulb.uni-saarland.de/volltexte/2004 /268/html/surfstat/t.htm M. Afanasjew L A TEX-Vorlage. afanasjew/ talk-template-r1.tar.gz 24 Zum Nachschlagen...