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Transkript

1 Institut für Geometrie und Praktische Mathematik Numerisches Rechnen für Informatiker WS 7/8 Prof. Dr. H. Esser J. Grande, Dr. M. Larin Klausur Numerisches Rechnen für Informatiker Hilfsmittel: keine (außer dokumentenechtes Schreibgerät); kein eigenes Papier benutzen und nicht mit Bleistift schreiben; Bearbeitungszeit: Minuten; Deckblätter ausfüllen und unterschreiben; Aufgabenblätter kontrollieren: insgesamt sieben Aufgaben; jedes Blatt mit Namen und Matrikelnummer versehen; Studenten- und Lichtbildausweis zur Kontrolle bereitlegen; keine vorzeitige Abgabe während der letzten 5 Minuten; Zum Bestehen der Klausur sind 5 der insgesamt 8 erreichbaren Punkte erforderlich. Mindestens Punkte müssen in Aufgabe erzielt werden. Die Klausurergebnisse werden voraussichtlich ab Mittwoch,. Februar 8, durch Aushang im Schaukasten von Prof. Esser bekanntgegeben. Die Klausureinsicht findet am Freitag, 5. Februar von : bis : Uhr im Raum 9 (Hauptgebäude) statt. Danach sind keine Einsprüche gegen die Korrektur mehr möglich. Matrikelnummer: Name: Vorname: Hiermit erkläre ich, daß ich keine anderen als die erlaubten Hilfsmittel benutze. Ferner nehme ich zur Kenntnis, daß bei Täuschungsversuchen, auch solchen zugunsten anderer, die Klausur als nicht bestanden bewertet wird. Unterschrift: Korrekturvermerke A A A A A 5 A 6 A 7

2 VD-Klausur NumRech Name: Matrikelnummer: Aufgabe : Multiple-Choice Jede richtige Antwort gibt einen Punkt. Für jede falsche Antwort wird ein Punkt abgezogen. Wird keine Antwort gegeben, erhalten Sie Null Punkte. Insgesamt erhalten Sie aber mindestens Null Punkte für diese Aufgabe. Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch? a.) Die Matrix M = 5 6 ist invertierbar, und es gilt det(m ) =. b.) Die Cholesky-Zerlegung einer orthogonalen Matrix A wird zur schnellen Lösung von linearen Gleichungssystem verwendet. c.) Sind H und H Householder-Spiegelungsmatrizen zu den Vektoren v und v, so ist H H genau dann invertierbar, wenn v und v linear unabhängig sind. d.) Ist der Vektor x eine Lösung des linearen Ausgleichsproblems Ay b min, so ist x die Lösung des Problems Ay b min. e.) Sei A R n n eine beliebige Matrix mit vollem Rang, dann ist die Matrix B = A T A symmetrisch positiv definit. f.) Es sei A R m n, m > n, mit Rang(A) n. Die Lösung des linearen Ausgleichsproblems ist eindeutig. g.) Sei x eine doppelte Nullstelle von f(x) ist, dann konvergiert das Newton-Verfahren zu dieser Nullstelle quadratisch. h.) Haben f, g : R R denselben Fixpunkt x und sind in einer Umgebung von x Kontraktionen, so hat auch g f einen Fixpunkt x, und eine Umgebung von x, in der es kontraktiv ist. i.) Das Interpolationspolynom P (f x,..., x n ) ist eindeutig bestimmt. j.) Die Lagrangeschen Grundpolynome nehmen an einer Stützstelle den Wert an und an allen anderen Stützstellen den Wert Null. k.) Von der Funktion f(x) = x x + x 77x + wird das Integral I = 5 f(x)dx mit der Trapezregel numerisch approximiert. Dann ist I I h =.

3 VD-Klausur NumRech Name: Matrikelnummer: l.) Bei der numerischen Integration einer Funktion f betrachtet man die äquidistante Unterteilung eines Intervalls [a, b] R in zwei Intervalle, d. h. x = a, x = a + b, x = b mit h = b a, und wendet auf jedem Teilintervall die Trapezregel an. Dann wird das Integral I durch approximiert. b a f(x)dx T h (f) = h [f(x ) + f(x ) + f(x )] m.) Gegeben sind y (x) = y + sin(x), y() = π, Dieses AWP besitzt eine maximale Lösung y C (I) mit einem offenen Intervall I. n.) Sei I ein offenes Intervall und W (x) die Wronski-Matrix zu einem Fundamentalsystem der Differentialgleichung y (x) = A(x)y(x) + b(x) mit x I mit A(x) R n n und b(x) R n. Dann gilt: Die Wronski-Matrix W (x) ist immer orthogonal. o.) Man löst die Differentialgleichung y (x) =, y() =, mit den expliziten Euler- Verfahren zur Schrittweite h =.. Dann ist der Fehler y() y h () =. p.) Das Runge-Kutta-Verfahren mit dem Butcher-Tableau ist halbimplizit. (6 Punkte) Musterlösung a.) Die Aussage ist richtig. (det(m ) = det(m) ) b.) Die Aussage ist falsch. c.) Die Aussage ist falsch. (H und H sind immer invertierbar.) d.) Die Aussage ist richtig. (Das folgt aus den Normalengleichungen.)

4 VD-Klausur NumRech Name: Matrikelnummer: e.) Die Aussage ist richtig. f.) Die Aussage ist falsch. g.) Die Aussage ist falsch. h.) Die Aussage ist richtig. i.) Die Aussage ist richtig. j.) Die Aussage ist richtig. k.) Die Aussage ist falsch. l.) Die Aussage ist falsch. m.) Die Aussage ist richtig. n.) Die Aussage ist falsch. o.) Die Aussage ist richtig. p.) Die Aussage ist richtig.

5 VD-Klausur NumRech Name: Matrikelnummer: 5 Aufgabe : Gegeben sind 8 8 A = 7 7, b = 9 und c =. 6 8 a.) Berechnen Sie mit Spaltenpivotisierung die LR-Zerlegung P A = LR von A. Geben Sie L, R und P explizit an. b.) Berechnen Sie det A. c.) Lösen Sie die linearen Gleichungssysteme Ax = b und Ay = c über die in a.) berechnete Zerlegung. Musterlösung der Aufgabe (5++ Punkte) zu a.) L = 8, R =, P = zu b.) det A = det R = 6

6 VD-Klausur NumRech Name: Matrikelnummer: 6 zu c.). Mit x = Rx ist 8 L x = P b = 8 x = x = 9. Mit ỹ = Ry ist Lỹ = P c = 8 ỹ = 8 y =

7 VD-Klausur NumRech Name: Matrikelnummer: 7 Aufgabe : a.) Gegeben sind die Punkte i x i y i die gemäß theoretischen Überlegungen auf der Kurve y(x) = α x + β (x + x) + liegen. Stellen Sie die Matrix A und die rechte Seite b des linearen Ausgleichsproblems zur Berechnung von (α, β) T auf. b.) Lösen Sie das Ausgleichsproblem Ax b min mit 9 A = 5, b = mit Householder-Spiegelungen. Wie groß ist das Residuum? Musterlösung: a.) Die Zeilen des Ausgleichsproblems haben die Form A i, = ( x i (x + x) ), b i = y i., (+6 Punkte) Es folgt 8 7 A =, b = b.) Es gilt H = v T v vvt. Wegen sign(a ) = ist v = A ( A,, ) T = ( 5,, 5) T.

8 VD-Klausur NumRech Name: Matrikelnummer: 8 Es gilt mit A =, v T v = 65 und s := = v T v 5 9 HA =, Hb = b s(w T b)w = =. Man findet x = 6/ =. + Ferner ist das Residuum + = 78.

9 VD-Klausur NumRech Name: Matrikelnummer: 9 Aufgabe : Sei p(x) = P (f x, x, x ) P das quadratische Interpolationspolynom von f(x) = 8 x in den Punkten x i f(x i ). a.) Zeigen Sie, ohne das Polynom p(x) zu bestimmen, daß für den Interpolationsfehler auf x [, ] gilt: f(x) p(x). b.) Bestimmen Sie p(x) mit Hilfe von dividierten Differenzen. Geben Sie p(x) explizit an. c.) Sei x = eine zusätzliche Stützstelle. Geben Sie das kubische Interpolationspolynoms q(x) = P (f x, x, x, x ) explizit an. Musterlösung a) Für x i [a, b] und f C n [a, b] gilt f(x) p n (f, x) = n! ω n(x) f (n) (ξ), wobei ξ [a, b] ist und ω i ist das i-te Polynom der Newtonbasis ω n (x) = (x x )(x x )... (x x n ) (5++ Punkte) an der gewählte Stützstellen x, x,..., x n in [a, b]. Um eine möglichst genaue Abschätzung des Fehlers zu erhalten, muss die rechte Seite möglichst klein werden. Für [a, b] = [, ] und n = bedeutet das, dass die Fehlerabschätzung erfüllt sollen. Bestimmung des Maximums von f (ξ) p(x) f(x) max max (x + )x(x ) ξ [,]! x [,] w (x) = (x + )x(x ) = x x. Wir haben w (x) = x = x = ±,

10 VD-Klausur NumRech Name: Matrikelnummer: und somit erhält man w (± ) = ± 6, w (±) =. Also gilt auf [, ] die Abschätzung ω (x) max w (x) = max{ w (± ), w (±) } = 6 x [,]. Da f(x) = 8 x, f (x) = 8 x, f (x) = 6 8 x, f (x) = 6 8 ist, gilt f(x) p(x)! 6 =. b) Dividierte Differenzen: Newton Darstellung von p(x): p(x) = + (x + ) = x. c) (Direkte Lösung): Dividierte Differenzen:

11 VD-Klausur NumRech Name: Matrikelnummer: Newton Darstellung von q(x): q(x) = p(x) + 8 (x + ) x (x ) = x + 8 x ( x ) = 8 x. c)(alternative Lösung): Explizite Form von q(x). Da f(x) = 8 x ein Polynom vom Grad ist und q(x) ist das Interpolationspolynom zu f(x) auch vom Grad, dann gilt q(x) f(x) = 8 x.

12 VD-Klausur NumRech Name: Matrikelnummer: Aufgabe 5: Gegeben sind das Intervall I = [, ] und die Funktion f(x) = π cos ( π (x + )). a) Zeigen Sie mit Hilfe des Banachschen Fixpunktsatzes, daß die Funktion f(x) genau einen Fixpunkt x I besitzt. b) Wie viele Iterationen sind ausgehend vom Startwert x = höchstens nötig, damit die Approximation x k des Fixpunktes x einen Fehler x k x kleiner als ε = π 6 aufweist? Benutzen Sie die a-priori-fehlerabschätzung. Musterlösung a) Überprüfung der Voraussetzungen des Fixpunktsatzes: (6+ Punkte) (V) I ist offensichtlich abgeschlossen und konvex. (V) f ist selbstabbildend, da f ist monoton steigend auf x [, ] π [ π (x + ), π ] und f() = π sin π = π >, f() = π sin π = π <. (V) Kontraktivität von f. Wegen Mittelwertsatz L := max f (x) < F ist kontrahierend. x I Wir haben f (x) = sin ( π (x + ) ), und somit ist ( max π ) x I sin (x + ) =: L <. (V),(V),(V) Nach dem Banachschen Fixpunktsatz folgt, daß f auf I genau einen Fixpunkt besitzt.

13 VD-Klausur NumRech Name: Matrikelnummer: b) Nach der a-priori-fehlerabschätzung mit L =, x = und damit x = f(x ) = f() = π cos π = π, gilt x x k Lk L x x ε = π 6 Daraus folgt L k ( L)ε x x = π π 6 = 6 und mit L = erhält man k log( 6 ) log( ) = 6. Man benötigt also höchstens 6 Iterationen, damit der Fehler sicher kleiner als ε ist.

14 VD-Klausur NumRech Name: Matrikelnummer: Aufgabe 6: Lösen Sie das Anfangswertproblem y = y e x, y() =. Hinweis: Für die spezielle Lösung können Sie den Ansatz A cos(x) sin(x) y s (x) = e x B sin(x) + cos(x) mit den zu bestimmenden Konstanten A, B wählen. ( Punkte) Musterlösung: a) Charakteristisches Polynom und seine Nullstellen: p(λ) = ( λ) +, λ ± = ± i. b) Eigenvektor v + zu λ + : i v+ = v = = i Eigenvektor v zu λ : i v = v = = v i + c) Reelle Wronskimatrix: cos(x) sin(x) W = (Re e λ +x v + Im e λ +x v + ) = e x sin(x) cos(x) ) Bestimmung der speziellen Lösung durch y s (x) = W (x) x W (s)f (s)ds: a)löse W c = F : e x e det x sin(x) e x e x = e x (cos(x) + sin(x)), cos(x) e det x cos(x) e x e x sin(x) e x = e x ( cos(x) + sin(x)) Mit det W = e x erhält man cos(x) sin(x) c = cos(x) sin(x)

15 VD-Klausur NumRech Name: Matrikelnummer: 5 b) Integration: x sin(x) + cos(x) c(x) = c (s)ds = sin(x) + cos(x) c) spezielle Lösung: cos(x) sin(x) y s (x) = e x sin(x) + cos(x) ) Ermittlung der Integrationskonstante aus den Anfangswerten: W ()c = c = c = ) Also ist sin(x) y(x) = e x cos(x) die Lösung des AWPs.

16 VD-Klausur NumRech Name: Matrikelnummer: 6 Aufgabe 7: Sei y die Lösung der Differentialgleichung y + y 9x y 9xy = sin( πx ), y( ) =., y ( ) =.6, y ( ) =.. a.) Formen Sie die Differentialgleichung zunächst in ein System. Ordnung um. b.) Berechnen Sie den Näherungswert für y ( ) mit Hilfe des expliziten Euler-Cauchy- Verfahrens zur Schrittweite h =. c) Berechnen Sie Näherungswerte für y und y ( ) mit der Trapezregel zur Schrittweite h =. Musterlösung (+5+6 Punkte) a) Reduktion auf ein System -ter Ordnung: y z z = y := z, z () := z(. y ) =.6. z. z := y y y = z z 9xz + 9x z z + sin( πx ) =: f(x, z). b) Explizit Euler-Cauchy-Verfahren:. Schritt (h =, x = ): z () z () z () z () z () z () = = z () z () z () z () z () 9 ( )z() + 9 ( ) z () z() + sin( π 6 ).6. ( ) (.) =,.

17 VD-Klausur NumRech Name: Matrikelnummer: 7. Schritt (h =, x = ): z () z () z () = z () z () z () z () z () z () + = z () z () 9 z () + 9 z () z() + sin() + 6 = Es ist y ( ).., c) Sei Die Trapezregel (h = ) z( ) = z z z. [f(, z( )) + f(, z) ] z( ) = z( ) + liefert z. z = z. 9 ( ) (.) + 9 ( ).6. + sin( π) 6 + z z 9 z + 9 ( ) z z + sin( π 6 ) und das äquivalente Gleichungssystem ist z z =. z.5 ) Lösung des Gleichungssystems ,

18 VD-Klausur NumRech Name: Matrikelnummer: 8 z = y( ) y ( ) y ( ). Also ist y( ).