Funktionen und Kurven. Gleichungsformen und Umrechnungen INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK. Friedrich Buckel. Text Nummer: 54010

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1 Funkionen und Kurven Gleichungsformen und Umrechnungen Te Nummer: 500 Sand: 5. Mai 06 INTERNETBIBLITHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 500 Kurvengleichungen Vorwor Das Thema Kurven is sehr umfangreich. Ich habe sehr lange recherchier, um herauszufinden, was die Lieraur und das Inerne anbiee, oder mi anderen Woren, welche Kurvenaren und welche Fragesellungen zu unersuchen sind. Ich habe abschließend die Soffvereilung so vorgenommen, dass ich im vorliegenden Te 500 zunächs beschreibe, was für Aren von Kurvengleichungen aufreen können. An Hand einiger Beispiele zeige ich dann, wie man sie ineinander umrechnen kann. Diesen Te solle man ansehen, bevor man andere Tee bearbeie. Die Mehoden zur Kurvendiskussion sehen dann im Te 50 Differenialgeomerie. Es fehlen im Momen noch die Themen Evolue, Paramerisierung nach der Bogenlänge sowie Raumkurven. Dann folgen diese Spezialee: Sie enhalen Herleiungen der speziellen Kurvengleichungen sowie Kurvenunersuchungen 50 Hüllkurven von Kurvenscharen 5050 Kreise 5060 Ellipsen 5070 Hperbeln 5080 Parabeln 50 Zkloiden 50 Kleeblakurven 505 Parabola nodaa (Knoenparabel) 50 Trakri 5 Kardioiden 55 Aseroiden 50 Cassini-Kurven und Lemniskae 55 Srophoiden 58 Zissoiden (Kissoiden) 50 Konchoiden 55 Spiralen 55 Neilsche Parabel 550 Karesisches Bla 555 Versiera 560 Serpenine 565 Pascalsche Schnecke 570 Lissajous-Figuren 580 Keenlinie

3 500 Kurvengleichungen Inhal Kurvengleichungen. Algebraische Gleichungen. Parameergleichungen von Kurven 6. Polarkoordinaen. Kurvengleichungen mi Polarkoordinaen Transformaion von Kurvengleichungen. Parameergleichung algebraische Gleichung ( Beispiele) 6. Algebraische Gleichung Parameergleichung 5. Algebraische Gleichung Polarkoordinaenform 7. Polarkoordinaenform algebraische Gleichung 9.5 Polarkoordinaenform Parameergleichung

4 500 Kurvengleichungen. Algebraische Gleichungen Kurvengleichungen Eine ebene Kurve is eine Teilmenge der Punkmenge einer Ebene, die man auch mi kann, die durch eine Gleichung für die Koordinaen der Kurvenpunke gegeben is. bezeichnen Üblicherweise verwende man karesische Koordinaen und zur Lagebeschreibung der Punke der Ebene, wenn man ein karesisches Koordinaenssem verwende. Die Gleichung beschreib zum Beispiel eine Normalparabel. Diese Gleichung is die Bedingung dafür, dass ein Punk auf der Parabel lieg. A 9 is somi ein Parabelpunk, nich aber Allgemein gil für Punke dieser Kurve: P. Q 5. Kurven reen of im Zusammenhang mi Funkionen auf. Eine Funkion is eine eindeuige Zuordnung, wobei man dann den Funkionswer von heiß, was man so schreiben kann: f. Der Graph der Funkion f is dann auch eine Kurve im mahemaischen Sinne, auch wenn es sich um eine Gerade handel. Hier also unerscheiden sich die Begriffe Kurve aus der Umgangssprache und Kurve aus der Mahemaik. Kreis und Ellipse sind auch Kurven, aber sie gehören zu keiner Funkion, weil es auf diesen Kurven keine eindeuige Zuordnung mehr gib. Die Gleichungen dieser Kurven sehen daher anders aus, sie enhalen beispielsweise auch : sell beispielsweise einen Kreis dar, und is die Normalform einer Ellipse um den Ursprung. 6 9 Treen gemische Produke auf, wie in , dann komm Schräglage noch hinzu. Gleichungen, die keine Funkion mehr darsellen, nenn man dann eine Relaion. fmals kann man diese Relaion in zwei Ersazfunkionen zerlegen. Beispiel: Die Kreisgleichung Und daraus folg dann kann man umsellen nach. Das Schaubild der Funkion und das der Funkion f is dann der obere Halbkreis, f der unere Halbkreis. Alle bisher genannen Kurvengleichungen heißen algebraische Gleichungen. Daruner verseh man eine Gleichung der Form F, 0, wobei F ein Polnom mi zwei Variablen (meis und ) is. f seh rechs keine Null, was aber durch eine einfache Umformung immer zu erreichen is: z. B. 0 usw. Die geomerische Darsellung der Lösungsmenge einer algebraischen Gleichung heiß algebraische Kurve. Für die Unersuchung solcher Kurven sind die Darsellungen durch Parameer oder Polarkoordinaen of günsiger.

5 500 Kurvengleichungen 5 Funkionenscharen mi Parameern Funkionenscharen enhalen zusäzlich zur Variablen einen Parameer. Dieser wird nich wie eine Variable behandel, sondern als eine fessehende aber nich genanne Zahl angesehen. Dadurch haben die durch die Gleichung definieren Funkionen dieselbe Gleichungsform und auch Gemeinsamkeien im Verlauf des Schaubilds. Diese Parameer heißen daher auch Formvariable. Beispiel : f, Hier is die laufende Variable und der Parameer. Zu jedem Parameerwer gib es eine eigene Funkion und in der geomerischen Darsellung einen eigenen Graphen (Kurve). Die Abbildung zeig 0 Geraden dieser Kurvenschar, denn ich habe mi MaheGrafi die Kurvenschar für = -50 bis = 50 darsellen lassen, und zwar mi der Schriweie 0,5. Im Innenbereich liegen die Geraden sehr dich beisammen, was seinen Grund darin ha, dass in diesem Beispiel die Seigung der Geraden darsell, und für werden daher die Geraden immer seiler. Beispiel : f für, Der Parameer unerscheide hier zwischen den einzelnen Parabeln der Kurvenschar. Dargesell sind die Kurven für = : K : f = : K : f = : K : f Die Parabelscheiel dieser Schar liegen auf einer Kurve C: Ableiung: f' Bedingung für die Scheiel: f' 0 0 -Koordinae: S Parabelscheiel: S f Diese Scheiel liegen auf einer sogenannen rskurve C, deren Gleichung man so besimm: S Es gil: und einsezen: S S S S S S Ergebnis: Die Parabelscheiel S liegen auf der Kurve C:

6 500 Kurvengleichungen 6. Parameergleichungen von Kurven Die Verwendung von Parameern zur Darsellung von Kurvenscharen is jedoch nich das Thema dieses Tees, denn dabei dien der Parameer nur zur Unerscheidung der einzelnen Scharkurven. Dagegen is die Erzeugung der Gleichung der rskurve der Parabelscheiel das eigenliche Thema, zumindes der Anfang davon. Beispiel: Diese Parabelscheiel lassen sich hier durch diese beiden Gleichungen berechnen: S und S für. Wenn man alle Were durchlaufen läss, dann erhäl man eben alle Scheiel, d. h. eine Kurve (auf der diese Scheiel liegen). Rechs is diese Kurve dargesell. An einige Punke sind auch die zugehörigen Parameerwere angefüg. Die eplizie Gleichung dieser Parabel (in karesischen Koordinaen) laue. Beispiel : Der waagreche Wurf im Vakuum (Beispiel aus der Phsik) () Ein Massepunk wird in -Richung mi der Geschwindigkei v o geworfen. hne Graviaion führ dieser Punk im Vakuum in -Richung eine gradlinig gleichförmige Bewegung durch mi der Weg-Zei-Gleichung: vo. () Würde man diesen Gegensand nich werfen, sondern nur fallen lassen, dann würde er im Vakuum eine gleichmäßig beschleunige Bewegung durchführen. Die als konsan angenommene Erdfall-Beschleunigung wird mi g bezeichne und es is g 9,8 m. s Die Weg-Zei-Gleichung für die Bewegung in -Richung (nach unen) laue g. () Beim waagrechen Wurf finden beide Bewegungen zugleich sa und überlagern sich ungesör. Zahlenbeispiel: m Die Abwurfgeschwindigkei sei vo (=, km ), dann lauen die s h beiden Bewegungsgleichungen (ohne Einheien) () und 5 () Für = erhäl man beispielsweise: () is die Parameerdarsellung der Flugparabel. und() 5, also P 5. 5 Ihre eplizie Gleichung erhäl man, indem man den Parameer (die Zei) eliminier. Aus () folg, in () eingesez: Ergebnis: Die Wurfbahn ha die Gleichung 5 5 0, 6 0, Achung: Gemäß den phsikalischen Gegebenheien zeichne man hier die -Achse nach unen.

7 500 Kurvengleichungen 7 Beispiel : und für, Die - und die -Koordinae werden aus einem Parameer berechne. Man nenn dies dann eine Parameerdarsellung einer Kurve. Sehr of verwende man für diese Kurven dann die Vekorschreibweise, indem man eine Gleichung für den rsvekor eines beliebigen Kurvenpunkes angib:. Keine Angs man muss dazu keine Vekorrechnung können. Man kann dies auch einfach als andere Ar der Gleichungsdarsellung ansehen: die Terme für und sehen eben unereinander in einer Klammer. Man kann aus den beiden Parameergleichungen für und durch Eliminaion des Parameers eine algebraische Gleichung für und hersellen. / / in / Beispiel 5: Die Gerade 5 kann auf beliebig viele Aren paramerisier werden. () Die einfachse Ar is: und 5 () Es geh auch komplizierer:. Das sez man in die Geradengleichung ein: 5. Umgekehr kann man zur Parameerdarsellung, die Koordinaengleichung hersellen. Man lös nach auf: Das wird in () eingesez: 5 Manche Paramerisierungen schränken den Definiionsbereich ein, was nich sein darf: () Ich wähle für unsere Gerade: In 5 eingesez: 5 Man erhäl so die Gleichungen 5 Jez berachen wir die Wermenge der Funkion (): Da 0 is, folg: 0; Und für () folg: 5; Das bedeue, dass die Parameergleichung nur noch eine Halbgerade darsell, denn negaive -Were und -Were kleiner als -5 kommen nich mehr vor.

8 500 Kurvengleichungen 8 () Beeindruckend kann auch diese Paramerisierung unserer Geraden sein: 5 5 Ich wähle 5 Man erkenn, dass es zu = keinen Kurvenpunk gib. Außerdem gib es kein für den Punk Q0 5, denn Aber es is lim 0 und lim lim lim 5 ha keine Lösung. Die Gerade näher sich also Q an, erreich Q aber nie. Q is ein Loch in der Geraden. Was ergib also diese Parameergleichung 5 für Für > is > 0: Geh von bis, dann gleie der Geradenpunk aus dem Unendlichen (rechs oben) nach links unen gegen Q. Für < is < 0: Geh von bis, dann gleie der Geradenpunk aus dem Unendlichen (links unen) nach rechs oben gegen Q. Im Ganzen gesehen is das Schaubild eine punkiere Gerade. Für Ungläubige zeige ich hier auch noch durch Rechnung, dass unsere Kurve die gegebene Gerade is: in 5 \? Allerdings ha die Gerade bei der vorliegenden Paramerisierung das Loch Q0 5. Beispiel 6: Parameerdarsellung für eine Srecke Gegeben is die Srecke von A bis B5. In der Vekorrechnung ha eine Gerade diese Gleichungsform: au, den Richungsvekor u berechne man so: 5 u AB ba Die Geradengleichung, die im Grunde eine Berechnungsformel für die rsvekoren der Punke auf der Geraden (AB) is, laue dann bzw. () oder (). Da hier nur die Srecke AB in Frage komm, schränk man auf 0; ein. Rechs: Dies sind dann die gesuchen Koordinaenfunkionen für die gegebene Srecke.

9 500 Kurvengleichungen 9 Beispiel 7: Kreisgleichung paramerisieren Es gib Gleichungen von Kurven, die nich Schaubild einer Funkion sein können. Bekanneses Beispiel is die Kreisgleichung 6 Durch Umsellen nach erhäl man 6 bzw. 6 Es gib also zwei Ersazfunkionen: f 6 und f 6 f ha als Schaubild den oberen Halbkreis und f den uneren Halbkreis. Will man diese Gleichung paramerisieren, bring die Wahl = nich viel Voreil, weil dann 6 nich anders aussieh. Das änder sich, wenn man so vorgeh: cos und sin für 0; Man schließ aus, weil man dann schon wieder bei = 0 angekommen is! Sez man beides in die Kreisgleichung ein, folg: 6 cos 6 sin 6 cos sin 6 6 Dies funkionier, weil es den rigonomerischen Phagoras gib: sin cos. P cos sin is ein Punk dieses Kreises. d. h. Aufgabe Beureile, ob die folgenden vier Parameerdarsellungen zur gleichen Kurvengleichung führen: a), b) 0 0 d),, c), e) sin, sin. Wie werden die Kurven mi wachsendem durchlaufen? Aufgabe Warum is, keine Parameerdarsellung einer Kurve? Aufgabe Warum sell, zwar eine algebraische Kurve, nich aber eine Funkion dar? Aufgabe Welchen maimalen Definiionsbereich ha die durch, dargeselle Funkion? Aufgabe 5 Berechne zu den folgenden Kurven eine Gleichung der Form F, 0: a), b) c), a b, cos sin, d) acos, a sin Aufgabe 6 Die durch die Gleichung definiere Kurve heiß Neilsche Parabel. Gib eine Parameerdarsellung g, h dafür an, bei der g und h ganzraionale Funkionen sind. Die Lösungen der Aufgaben sehen auf der nächsen Seie.

10 500 Kurvengleichungen 0 Lösung Aufgabe a), b) e) sin, sin., c), d) 0 0, Alle fünf Parameerdarsellungen passen zur Gleichung, die eine Geradengleichung is. Die Unerschiede sind jedoch: Leg man zugrunde, dann wird diese Gerade unerschiedlich durchlaufen. Bei a) von links unen nach rechs oben. Bei b) wird nur noch eine Halbgerade dargesell, weil nich negaiv werden kann. Diese wird aber dann doppel durchlaufen! Bei c) erhäl man wieder die ganze Gerade, nur wird sie von rechs oben nach links unen durchlaufen, engegengesez zu a). 0 d) Jez wird nich mehr die ganze Gerade dargesell, denn wird für kein Null. Also erhäl man eine punkiere Gerade, der Ursprung fehl. Man ache auf den Maßsab der Abbildung. Läuf von gegen 0, dann gleie der zugehörende Kurvenpunk ab dem Ursprung nach unen links ins Unendliche. Ab = 0 bis gegen Unendlich komm er dann wieder von rechs oben herein und läuf quasi asmpoisch auf den Ursprung zu, den er nich erreich. Bei (e) wird schließlich nur die Srecke AB dargesell. Der laufende Kurvenpunk führ auf ihr eine harmonische Schwingung aus. Er durchläuf die Srecke genau einmal von A nach B, wenn die Were von bis einnimm. Wenn man von 0 bis gehen läss, schwing der Kurvenpunk vom Ursprung nach B, dann zurück nach A und wieder in den Ursprung. Lösung Aufgabe Warum is, keine Parameerdarsellung einer Kurve? Die Definiionsbereiche der -Funkionen sind: Bei gil also D ;, bei gil 0 also D ;. Da ihre Schnimenge leer is, gib es keine Were für, die für und verwendbar sind.. Lösung Aufgabe Warum sell, zwar eine algebraische Kurve, nich aber eine Funkion dar? Weil die Zuordnung nich mehr eindeuig is. Beispiel:,, 0. Also gib es diese Zuordnungen: (A)und 0(B). Dies is bei einer Funkion nich möglich.

11 500 Kurvengleichungen Lösung Aufgabe Welchen maimalen Definiionsbereich ha die durch, dargeselle Funkion? Zuers der Definiionsbereich für : D ;. Dann der Definiionsbereich für : 0 D ; Die Schnimenge is also. D ;. Das ergib für () die Wermenge W 0;, denn 0 0 und Dami is der Definiionsbereich für die Funkion f: Übrigens handel es sich um diese Funkion: W 0;. f Das Schaubild is ein Vierelkreis. Das erkenn man auch so:. (Kreisgleichung). Die Einschränkung auf den Definiionsbereich 0; komm durch die Wurzeln der Parameerform. Lösung Aufgabe 5 Berechne zu den folgenden Kurven eine Gleichung der Form F, 0: a), und bzw. 0 b) a b a b a b, cos,sin cos sin cos sin bzw. bruchfrei: a b 0 c), d) sin 0 acos, asin a cos a a 0 Das is eine Geradengleichung. Doch durch die Parameerdarsellung is eingeschränk auf das Inervall 0 bis a (in der Abb. Is a = ), also sell die Gleichung eine Srecke dar. Die durch die Gleichung Lösung Aufgabe 6 definiere Kurve heiß Neilsche Parabel. Gib eine Parameerdarsellung g, h dafür an, bei der g und h ganzraionale Funkionen sind: 6

12 500 Kurvengleichungen. Polarkoordinaen Man kann für Punke sa der karesischen Koordinaen auch Polarkoordinaen angeben. Daruner verseh man die Größen r (Absand vom Ursprung) und (gelesen phi, Winkel gegen die posiive -Achse): Ar 5 6,9. Dieser kann im Gradmaß oder im Bogenmaß angegeben werden. Beziehungen zwischen karesischen und Polarkoordinaen: () Karesische Koordinaen aus Polarkoordinaen berechnen: cos sin r r rcos rsin () Polarkoordinaen aus karesischen Koordinaen berechnen: an r arcan Hinweis: Es gil selbsversändlich: r 0 und of 0;60 Beispiele: a) Der Punk P ha diese Polarkoordinaen: r 5 5 und Taschenrechner liefern hier meisens einen negaiven Winkel. Durch Addiion von 80 erhäl man den gesuchen Wer. arcan 6,9 b) Welche karesischen Koordinaen ha ein Punk Q mi den Polarkoordinaen r 5, und 60? 5, cos 60 0,9 und 5,sin 60 5, Ergebnis Q0,9 5, Aufgabe 7 a) Berechne die Polarkoordinaen zu A und B8 b) Berechne die karesischen Koordinaen zu C r 90 und Dr 7, Lösung auf der nächsen Seie.

13 500 Kurvengleichungen Lösung Aufgabe 7: a) Berechnung der Polarkoordinaen: A : r 6 0, arcan arcan 6,565 Für den. Quadranen muss man allerdings 80 dazu addieren: 06,565 B8 : r 6 68, arcan arcan 65,96 8 Für den. Quadranen muss man hier so rechnen: 60,06 5,96 b) Berechnung der karesischen Koordinaen aus diesen Polarkoordinaen: : Cr 90 r cos cos r sin sin 90 Ergebnis: C0 Dr 7, r cos 7, cos 6, r sin 7, sin,976 Ergebnis: D6,,976 Zu Aufgabe 7a. Zu Aufgabe 7b.

14 500 Kurvengleichungen. Kurvengleichungen mi Polarkoordinaen Für Kurven, die sich um den Ursprung herumwickeln wie Kreis, Ellipse, Spiralen und viele andere biee sich die Darsellung durch Polarkoordinaen an. Diese sehen dann z. B. so aus: Beispiel 8: r Die Kurve heiß Archimedische Spirale. Siehe Speziale 55. Man kann genau wie bei den karesischen Koordinaengleichungen eine Wereafel ersellen. Die erse Spale enhäl den Winkel im Bogenmaß in Schrien von, 6 was 0 ensprich. Die zweie Spale enhäl den zugehörenden Radius. Die Archimedische Spirale ha auch eine Parameergleichung: rcos cos rsin sin Dazu noch eine Abbildung mi anderem Maßsab und dem Polarkoordinaennez: (MaheGrafi)

15 500 Kurvengleichungen 5 Beispiel 8: r cos mi 0. Die Kurve heiß Kardioide und wird im Te 5 ausführlich unersuch. r sin( ) Das is auch eine Kardioide Beispiel 9 r e / 0; Das sind logarihmische Spiralen: Siehe Speziale 55 /0 r e Beispiel 0: r cos Diese Kurve is eine Lemniskae: Sie wird im Te 50 behandel.

16 500 Kurvengleichungen 6 Transformaion von Kurvengleichungen. Parameergleichung algebraische Gleichung Gegeben is und für. Aus folg Einsezen in Wer Vekorrechnung kenn, dem solle dies alles bekann vorkommen. Die beiden Parameergleichungen sehen in Vekorschreibweise so aus: bzw. Gegeben is: und Jez eliminier man : für 6 Achung: Wegen is - der kleinse -Wer, den die Kurve annehmen kann. Es lieg eine Halbgerade vor. Der Endpunk der Halbgeraden is E. Für negaive -Were wird die Kurve ein zweies Mal durchlaufen. und für \0 Aus Einsezen in : Auch hier kann nich jede Zahl berechne werden. Um dies herauszufinden solle man, wie bei einer gebrochen raionalen Funkion üblich, den Grenzwer für berechnen: Gegeben: 0 lim lim lim 0 0 Also lieg eine punkiere Gerade vor: Gegeben: Also wird = 0 durch kein erreichbar. f ohne P0 und für \0 Aus Einsezen in :. lim lim lim 0 Also wird = - nich erreich. Ergebnis:: f ohne = - is eine punkiere Gerade mi dem Loch L

17 500 Kurvengleichungen 7 5 Gegeben is: acos, a sin für 0; a cos sin a a Das is zwar die Gleichung einer Geraden, doch da sin und cos nur Were aus dem Inervall 0; ergeben, gil 0;a und ebenso 0;a. Also lieg nur eine Srecke vor. Die Abbildung verwende a = :. Man erkenn, dass man für die Srecke nur 0; benöig. Für ; wird die Srecke von oben nach unen durchlaufen usw. 6 Gegeben is: acos, b sin für 0; Man berechne: cos sin a b a b ba ab Is a 0, folg: b b a Man berechne: a, b nich beide 0. Is a = 0, folg: b 0 Is jez b 0, dann folg 0 (-Achse) Also erhäl man wegen des auf 0; a beschränken Definiionsbereichs wieder eine Srecke. 7 Gegeben is und Man sell um: (Parabel). für. und sez ein: 8 Die Tiefpunke einer Funkionenschar ergeben sich zu T für \ 0. Ermile die rskurve dieser Tiefpunke. Diese Aufgabe kann man auch so formulieren: Eine Kurve is gegeben durch und, Wie laue die eplizie Gleichung dieser Kurve in der Form f? Aus folg Sez man das in ein, erhäl man Gib es eine Einschränkung für den Definiionsbereich? Man erkenn: lim lim 0, der Parabelpunk für = 0 wird nich erfass. Ergebnis: f ohne = 0, also punkiere Parabel. Für Parabeln wird noch ein Speziale ersell (5050)

18 500 Kurvengleichungen 8 9 Gegeben: Aus der. Zeile folg bzw. oder, in die. Zeile eingesez: 0. Parabel. 0 Gegeben is, für., einsezen:.. Lös man nach auf, folg Die Kurve is eine nach rechs geöffnee Parabel. cos und cos für 0; 9cos cos Einsezen: bzw (*) oder: Die Kurve is der rechs dargeselle (Parabel-)Bogen, der für von 0 bis einmal durchlaufen wird. Für von bis durchläuf der Kurvenpunk den Bogen von unen nach oben usw. Auch hier umfass der durch die Parameergleichungen dargeselle Bogen nur ein Teilsück der ganzen Parabel von (*). 9 0, Gegeben: cosh und cosh und sinh Eingesez in den hperbolischen Phagoras : cosh sinh mi dem Scheiel S der 9 sinh für Man erkenn, dass is, deshalb liefer die Parameerdarsellung nur einen Parabelbogen, der in P ende, während die algebraische Gleichung die ganze Parabel darsell.

19 500 Kurvengleichungen 9 Gegeben: cos und sin für 0; Lösung: Man wende folgenden Trick an: 6 cos 6 sin 6 cos sin Die dargeselle Kurve is der Kreis um den Ursprung mi Radius. 6 Diese Kurve gehör nich zu einer Funkion. Man nenn das Gleichungsssem cos und sin dann eine Relaion. Der Grund: Die Zuordnung is nich mehr eindeuig. Nun allgemein: Gegeben is: r cos r sin mi 0; Einsezen in: Denn bekannlich is r cos r sin r cos sin r sin cos Ergebnis: r Ursprungskreis mi den Radius r. 5 Gegeben is: 5cos und 5sin für 0; Aus 5 cos und 5 sin wird durch Quadrieren und Addieren: 5 cos und 5 sin 5cos sin Erg.: 5 Kreis um M mi Radius 5.

20 500 Kurvengleichungen 0 6 Gegeben: cos und sin für 0; Aus und cos und sin cos 6 sin 9 folg durch Quadrieren und Addieren: 6 9 Ellipse um M0 0 mi a = und b =. Abb.: Darsellung dieser Ellipse mi MaheGrafi 0 7 Gegeben is: a cos b sin mi 0; Jez wird man nich eliminieren, sondern so rechnen: a b cos sin Ergebnis: a, Ellipse um den Ursprung. b Polarkoordinaen : 8 cos und sin für 0; Man isolier sin() und cos(): cos und sin. Einsezen in den rigonomerischen Phagoras Ergebnis: Halbellipse um M 9 Berechnung einiger Punke: sin cos :. = 0: 0 cos0, 0 sin0 : P0 : cos sin 5 P 5 : cos 5, sin : P 5 : cos sin P Die unere (roe) Halbellipse wird vom Definiionsbereich 0; nich mehr erfass. Sie gehör zu ;. 9 cos sin und cos 6 sin Dies ergib eine schräg liegende Ellipse. 0; Sie ha diese Gleichung: Am Produk erkenn man die Schräglage.

21 500 Kurvengleichungen Wie man auf diese Gleichung komm, und wie man die Lage der Ellipse aus der Gleichung berechne, spreng diesen Te. 0 cosh und sinh für Diese Spezialaufgabe verwende die hperbolischen Funkionen. Für die gil die Beziehung cosh sinh Diese Gleichung kann man verwenden und einsezen: Aus cosh und sinh folg: cosh und sinh. Dies ergib: 9 Das is die Gleichung einer Hperbel. Zur Kurve gehör nur der reche As der Hperbel. Gegeben is: acosh b sinh mi Hier muss man wissen, dass für diese hperbolischen Funkionen gil: cosh sinh a cosh sinh b Man rechne daher Ergebnis: a, Hperbel um den Ursprung. b Gegeben is: a, cos b sin 0; \,, a b Umsellen: cos(), sin und b a einsezen in sin cos : Die Abbildung zeig die Kurvenschar für b = a von bis 8: Kreuzkurven. Gegeben is:, einsezen: Das is insofern nich korrek, weil so für die Wurzel der Definiionsbereich auf D eingeschränk wird, sodass man nur den roen, rechen As erhäl, während die Parameergleichungen die ganze Kurve ergeben.

22 500 Kurvengleichungen Korrek is: für 0 für 0 Gegeben is: ln und Aus ln folg ln e Einsezen in Erweiern mi e - : e e e e e e e e e e e d. h. anh Informaion: Dieser Brucherm sell die Funkion anh() dar (Tangens hperbolicus). e e 5 a cos und a sin für 0; a a und sin sin cos ergib cos cos Einsezen in a a bzw. a Rechs die Abbildung für a =. Diese Kurve heiß Aseroide. Sie wird im Te 55 ausführlich behandel. a 6 ln,. / ln ln e einsezen: e / e denn e e Der Definiionsbereich is wegen ln(), und zusäzlich gil \ Also D. Dami is = 0 nich im Definiionsbereich der e-funkion. 7 und für. Besser is, weil dann der ganze Definiionsbereich erfass wird. Diese Neilsche Parabel wird im Te 55 besprochen.

23 500 Kurvengleichungen 8 und Definiionsbereich: Für muss gelen 0. Doch weil nur quadraisch aufri, reich 0;. Außerdem is 0 (linke Abb.) Die gebrochen raionale Funkion ha dagegen 7 D \(reche Abb.) 9 5, 5 Für Für gil 50 5 gil Also gil 5;5 Ich berechne: 55 0 Die Parameerdarsellung erlaub aber nur, 0, sell also nur den Vierelkreis dar! 0 und Aus für.. Sez man das in ein, erhäl man für den einen Kurvenbogen (mi den posiiven -Weren) diese Kurvengleichungen ( Teilfunkionen): oder Quadrier man, erhäl man eine Gleichung für die ganze Kurve: Mehr über diese Kurve seh im Te 50 Seie 8 ff. 6

24 500 Kurvengleichungen Lissajous-Figuren (Siehe Te 570) haben z. B. diese Gleichungen: sin und sin für 0; also, ; Man benöig jez rigonomerische Umformungen: sin sincos und also cos sin. Dami folg: sin cos, sin sin cos sin sin Andererseis is. Dann folg durch Einsezen: Ergebnis: Durch Quadrieren erhäl man: sin und sin für 0; also, ; Jez wird diese Gleichung benöig: sin sin cos sin cos : sin sin cos sin cos Wissen:, cos 0 0 sin, sin sin cos und cos cos sin sin sin sin. sin sin Nun ersez man sin : Diese Lissajous-Kurve is ein Parabelbogen, auf dem der Kurvenpunk hin und her schwing.

25 500 Kurvengleichungen 5. Algebraische Gleichung Parameergleichung Lieg die Gleichung einer Kurve K in eplizier Form f vor, dann kann man leich eine Parameergleichung dazu angeben: f Lieg die Gleichung nich in eplizier Form vor, dann is es nur in besonderen Fällen möglich, eine Parameerdarsellung zu finden. Manche gelingen nur mi komplizieren Tricks. Parabel () Gegeben is die Parabel Sez man erhäl man Die Lösung Ergebnis:... benöig man nich, wenn auch negaiv werden kann. () Gegeben is: Sez man erhäl man, was man durch realisieren kann. Parameergleichungen: () Gegeben is Sez man erhäl man Ergebnis: Scheielform hergesell, mi S 0., was man durch realisieren kann. () Gegeben is 6 Scheiel: S Sez man ( ), nach links geöffne. ergib das: 6, was man durch 6 realisieren kann. Ergebnis: (5) Für einen Kreis (6) Für eine Ellipse (7) Für eine Hperbel: 6 r a a wähl man rcos, r sin : acos, b sin b : acosh, b sinh b

26 500 Kurvengleichungen 6 (8) Karesische Bla: Algebraische Gleichung: 0 Parameergleichungen und für. Es is sehr schwer, eine dieser Gleichungen aus der anderen herzuleien, wenn man nich weiß, wie man ansezen muss. Man kann aber durch Einsezen die Richigkei beweisen: Hier war es naheliegend, das zu gehörende Bruchproduk mi (+ ) zu erweiern, dami alle Terme denselben Nenner haben. Im Zähler erhäl man dann , sodass man insgesam 0 erhäl. Es gib außerdem diese Polarkoordinaengleichung: sin cos r sin cos was im Abschni bewiesen wird. Daraus kann man folgern: rcos sincos sin cos rsin sin cos sin cos (6) Die Gleichung 0 heiß implizi, weil sie nich nach oder aufgelös is. Für eine Paramerisierung selle ich die Gleichung nach um. Dazu muss man folgenden Hinergrund kennen: Welche Lösung ha die Gleichung = a? Is a 0, dann gil a, is aber a < 0, dann gil a Ergebnis: Man muss also den Definiionsbereich für ermieln, d.h.: Wo is 0 Dazu erselle ich eine Vorzeichenabelle 0 für den Term R Für ;0 ; is R 0. Dann is R Für ; 0; Dann is is R < 0. Zur Abbildung: Die Zahlen hiner den Punken sind die zugehörenden -Were. Man erkenn, dass für von bis die Kurve von links unen bis rechs oben durchlaufen wird. Siehe auch Te 05 Seie 9 für Ableiungen. Ergebnis: für ;0 ; und für ; 0;

27 500 Kurvengleichungen 7. Algebraische Gleichung Polarkoordinaenform Für manche Umformungen genüg es, wenn man die Formeln für die Umrechnung der Polarkoordinaen in karesische Koordinaen für und einsez: rcos, rsin () Einsezen der Umrechnungsgleichungen: ergib: r sin r cos rsin cos :r cos r sin () Für das karesische Bla finde man diese algebraische Gleichung: 0 Durch Einsezen folg: sincos r cos sin r cos r sin r sin cos 0 :r r cos r sin sin cos 0 r cos sin sin cos 0 Mehr zu dieser Kurve im Te 50 Seie 5 und Te 550 () Für die Zissoide gil: a 0 Siehe Te 58. Durch Einsezen folg: r cos r cos r sin a r sin 0 :r cos r cos sin a sin 0 r cos sin a sin cos a sin r cos cos sin cos aus, folg: Drück man alles durch acos cos a acos cos r coscos coscos aacos r cos cos

28 500 Kurvengleichungen 8 () Die Konchoide ha die Gleichung: Durch Einsezen folg: b a 0 r cos r sin r cos b a r cos 0 (Te 50) r cos sin r cos b a r cos 0 : r r cosb a cos r cos b a cos bacos b Erg.: r r a cos cos r cos b a cos 0 r cos b a cos (5) Die Srophoide ha die Gleichung a a Durch Einsezen folg: sin a r cos r (Te 55) r cos a r cos a sin r cos sin a cos r cos cos 0 a sin cos r cos sin cos 0 Wissen: cos sin cos sin cos Also: acosrcos 0 acos r () cos Ergebnis: Konchoide Srophoide

29 500 Kurvengleichungen 9. Polarkoordinaenform algebraische Gleichung () r cos rcos Diese Gleichung sell eine Gerade dar, und zwar eine Parallele zur -Achse. Wichig is nun der Definiionsbereich: Für 0; erhäl man die obere Halbgerade 0 r rcos0, rsin0 0 0 also A 0 r,6,,6sin, also P, 6 6 cos 6 cos r 5,66, 5,66sin also P cos r 8, 8sin 6,9 also P 6,9 r, also auch cos Will man die ganze Gerade, muss man z.b. ; verwenden. für 0 80 Aus r asin folg mi sin die Gleichung r Außerdem gil: r, also erhäl man () r a sin a a 0 a 0 k 0 r r a r a Ergänzung des Quadras: Dazu wird a halbier und dann quadrier: a a a a a Das is die Gleichung eines Kreises um M0 a mi dem Radius a. Dieser Kreis geh außerdem durch den Ursprung. () Die Kardioide kann diese Gleichung haben: r cos 0; cos : r r : r r r r r r r Quadrieren: (Te 5)

30 500 Kurvengleichungen 0 () r a b cos c sin Ich erseze cos r und Den Bruch mi r erweiern: a sin r : r b c r ar r b r c r r r r ar r :r b c a b c a b c Das is die Gleichung einer Geraden. Da aber die Weremengen von Sinus und Kosinus begrenz sind, wird nich die ganze Gerade erfass. Dazu ein Beispiel: Für a = c = und b = - erhäl man daraus: r sin cos und die Koordinaendarsellung Wir besimmen zuers den Definiionsbereich für r : Zunächs kann man sich fragen, welche Were der Nenner annehmen kann. Wir beginnen bei 0 r0 sin 0 cos 0 Hier erkenn man, dass dies nich möglich is, denn für Polarkoordinaen laue die Grund- Bedingung: r 0. MaheGrafi gib dazu eine erse Auskunf: Das is der Verlauf der Nennerfunkion für 0;. Dazu komm aber noch, dass es zwei Nullsellen des Nenners gib, die man ausschließen muss: Wann is sincos 0? d. h. sin cos an :cos 0 5 Also oder. Dazu gib es keine Geradenpunke (die Kurve is eine Gerade!) Beides sind Polsellen der Nennerfunkion, also gil:. r Man kann durch Rechnung besäigen, was die Abbildung zeig: Dazu berechne ich die Eremwere der Nennerfunkion N sincos Ableiungen: N' cos sin und N" sincos. Eremwerbedingung: N' 0 cossin 0 sin cos an 7 In 0; sind das die Sellen und. Konrolle: N" sin cos 0 Maimum N" sin cos 0 Minimum

31 500 Kurvengleichungen Uns beriff nur die Selle. Hier ha der Nenner ein Maimum und der Bruch, also der Radius r ein Minimum. Zugehörender Kurvenpunk: r rcos sin cos, also T. 5 Durchläuf also das Inervall D ;, dann beweg sich der Kurvenpunk aus dem Unendlichen von rechs oben nach links unen zu P, also zum Endpunk eine Halbgeraden. Diese wird dann ein zweies Mal durchlaufen, und zwar in umgekehrer Richung für 5 für ; Es folg ein Screensho von MaheGrafi im Trace-Modus. Als Definiionsbereich für habe ich 0,5 ; 0,75 eingegeben, und man erkenn, dass sich der Kurvenpunk für 0,75 gerade im Tiefpunk T befinde. Man kann diese Bewegung im Trace-Modus sehr schön beobachen, wenn man die Maus von links nach rechs beweg. Ergebnis: Die durch die Gleichung r sin cos definiere Kurve is eine Halbgerade 5 Mi einem minimalen Definiionsbereich von D ; und der eplizien Geradengleichung mi D ;

32 500 Kurvengleichungen (5) r sin 6cos, 0; Zuers quadrieren und dann sin und cos r 6 6 und r r ersezen: Wenn man den Definiionsbereich hinsichlich besimmen soll, muss man so argumenieren: Wegen sin 0 und cos 0 is auch sin cos ses 0, also gib es keine Einschränkungen. Lediglich nach wiederholen sich wegen der Periodiziä die r-were. Unen noch zwei Kurven dieses Tps: r sin 8 cos und (rechs) r 8 sin cos

33 500 Kurvengleichungen.5 Polarkoordinaenform Parameergleichung () Archimedische Spirale: Ein Srahl P dreh sind gleichförmig (also mi konsaner Winkelgeschwindigkei) um den Ursprung und zugleich beweg sich P gleichförmig von weg. Man kann sich das so vorsellen, als ob sich ein Kran gleichförmig dreh und sich dabei die Laufkaze auf dem Ausleger nach außen wegbeweg. Die Gleichung in Polarkoordinaen laue: r a. Daraus kann man die karesischen Koordinaen wie üblich berechnen: rcos rsin Das ergib dann diese Parameerdarsellung: mi a 0 und 0 acos asin Die Abbildung verwende a = und 0;6. () Die Hperbolische Spirale Bei dieser Spirale is der Radius umgekehr proporional a zum Drehwinkel: r Es folg: cos a sin a Die Abbildung verwende a = 5 und 0;8. () Die logarihmische Spirale Hier gil: r a e Die Abbildung verwende a = 0, und 0;8 Für geh r, für geh r 0 Es folg: a a e cos e sin Spiralen werden im Te 55 besprochen.