VORKURS MATHEMATIK DRAISMA JAN, ÜBERARBEITET VON BÜHLER IRMGARD UND TURI LUCA

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1 VORKURS MATHEMATIK DRAISMA JAN, ÜBERARBEITET VON BÜHLER IRMGARD UND TURI LUCA Dienstag: (Un)Gleichungen in einer Variable, Reelle Funktionen Reelle Funktionen und Lineare Gleichungen. Funktionen sind von fundamentaler Bedeutung in der Mathematik. In diesem Abschnitt beschränken wir uns auf Funktionen f : D R, wobei D eine Teilmenge von R ist, der Definitionsbereich der Funktion. Eine solche Funktion ordnet jeder Zahl x in D eine eindeutig bestimmte Zahl f(x) in R zu, das Bild von x unter f. Die Menge aller Bilder f(x), wobei x ganz D durchläuft, heisst der Bildbereich von f. Zwei Funktionen f und g mit dem selben Definitionsbereich D, für welche f(x) = g(x) für alle Zahlen x in D gilt, werden als die gleiche Funktion betrachtet. Das heisst, dass eine Funktion festgelegt ist, sobald das Bild jeder Zahl x vorgeschrieben ist. Schreibweise: f : D R, x f(x). Wenn D endlich ist, so läst sich f festlegen durch eine Tabelle, in der links die Elemente von D aufgelistet sind, und rechts die entsprechenden Bilder. Beispiel 1. Betrachte die Funktion f : {0, 1, 2, 3, 4} R, i ( i 2). Diese wird festgelegt durch folgende Tabelle: x f(x) Bemerke, dass jede Zahl links nur einmal vorkommen darf (weil ja jede Zahl nur ein Bild haben darf!), während rechts die gleiche Zahl durchaus öfter vorkommen kann. Wenn D unendlich ist, so kann man f nicht mehr durch eine Tabelle festlegen. In diesem Fall muss man f durch eine Zuordnungsvorschrift festlegen im Fall oben: i wird abgebildet auf ( i 2). Um eine Funktion anschaulich zu machen, vor allem wenn D ganz R oder etwa ein Intervall davon ist, zeichnen wir oft ihren Graph. Zu diesem Zweck zeichnen wir zwei senkrecht aufeinander stehende Achsen, meistens x- Achse und y-achse genannt, und wählen in beiden Richtungen eine Einheitslänge (oft die gleiche in beiden Richtungen, aber das ist kein Gesetz). Ein Paar (x, y) reeller Zahlen entspricht in dieser Figur dem Punkt, den man findet, wenn man vom Schnittpunkt der beiden Achsen (dem Ursprung) x mal die x-einheitslänge in die x-richtung geht, und y mal die y-einheitslänge in die y-richtung. Dieser Punkt wird dann auch mit (x, y) bezeichnet. Der Graph von f ist jetzt die Menge aller Punkte (x, f(x)) mit x D. 1

2 2 DRAISMA JAN, ÜBERARBEITET VON BÜHLER IRMGARD UND TURI LUCA Beispiel 2. Zeichne jeweils den Graph: k : x sin(x) und l : x log(x) (mit Definitionsbereich (0, )). Beispiel 3. Zeichne jeweils den Graph: f : x 1 + 2x, g : x x 2, und h : x (x + 1) 2 1. In der Mathematik gibt es immer eine Wechselwirkung zwischen Geometrie (der Mathematik von Punkten, Geraden, Parabeln, usw.) und Algebra (der Mathematik von Rechnen, algebraischen Ausdrücken und Gleichungen). Versuchen wir zum Beispiel die Schnittpunkte der Graphen von f und g im obigen Beispiel zu finden; das sind die Punkte die auf beiden Graphen liegen. Wenn ein Punkt P = (x, y) diese Eigenschaft hat, so gilt einerseits y = 1 + 2x (weil P auf dem Graph von f liegt), und andererseits y = x 2 (weil P auf dem Graph von g liegt). Deshalb muss folgendes gelten: 1 + 2x = x 2 Wir erhalten also eine Gleichung, die von der x- Koordinate von P erfüllt werden soll, damit P auf beiden Graphen liegt. Wie finden wir nun alle x, die diese Gleichung erfüllen? Nun, dazu gibt es eine einfache Regel, die grundsätzlich für alle Gleichungen gilt: Wenn man beide Seiten einer Gleichung auf die gleiche Weise umformt, so sind alle Lösungen der ursprünglichen Gleichung auch Lösungen der neu erhaltenen Gleichung. Zu dieser Regel gibt es zwei wichtige Bemerkungen: Erstens ist der Satz auf die gleiche Weise umformen nicht sehr genau. Gemeint wird etwa: auf beiden Seiten die gleiche Zahl (den gleichen Ausdruck) addieren oder auf beiden Seiten mit der gleichen Zahl (dem gleichen Ausdruck) ungleich null multiplizieren oder auf beiden Seiten durch die gleiche Zahl (den gleichen Ausdruck) ungleich null teilen oder auch beide Seiten quadrieren. Zweitens ist die Umkehrung der Regel nicht wahr: bei einer solchen Umformung kann die Lösungsmenge echt grösser werden (z.b. ist das der Fall beim Übergang von x = 1 auf x 2 = 1 2, wo beide Seiten quadriert werden), und deshalb soll man immer am Schluss einer Reihe von Umformungen nachprüfen, ob alle gefundenen Lösungen tatsächlich Lösungen der ursprünglichen Gleichung sind. Fahren wir weiter mit der Gleichung 1 + 2x = x 2. Addieren wir auf beiden Seiten x, so erhalten wir 1 + 3x = 2, und nach der Regel oben sind alle Lösungen der ersten Gleichung auch Lösungen der zweiten. Wir subtrahieren jetzt auf beiden Seiten 1, und finden 3x = 3. Schlussendlich teilen wir beide Seiten durch 3 und finden x = 1. Wir prüfen jetzt, ob 1 tatsächlich Lösung der ursprünglichen Gleichung ist: ( 1) = 1 = ( 1) 2, ja!

3 VORKURS MATHEMATIK 3 Also finden wir, dass die x-koordinate von P gleich 1 sein muss, und dass der Punkt ( 1, 1) tatsächlich auf beiden Graphen liegt. Bemerke, dass die Umformungen die wir jetzt ausgeführt haben den gleichen Ausdruck addieren, oder durch die gleiche Zahl ungleich null teilen alle umkehrbar waren: indem man die Zahl wieder subtrahiert bzw. wieder mit der Zahl multipliziert, so erhält man die ursprüngliche Gleichung, und die Regel oben besagt jetzt, dass beide Gleichungen genau dieselbe Lösungen haben. Eine Umformung mit dieser Eigenschaft heisst Äquivalenzumformung. Weil wir nur Äquivalenzumformungen benutzt haben, hätten wir im Beispiel am Schluss nicht unbedingt mehr die gefundene Lösung prüfen müssen. Für sogenannte lineare Gleichungen reichen Äquivalenzumformungen immer aus, um die Gleichung zu lösen. Beispiel 4. Löse die Gleichung cos(x) = sin(x) nach x: Wenn cos(x) = sin(x), dann auch cos(x) 2 = sin(x) 2, (beide Seiten wurden quadriert), also 1 sin(x) 2 = sin(x) 2, (da cos(x) 2 = 1 sin(x) 2 ), also sin(x) 2 = 1/2, also sin(x) = ± 2 1/2 = ± 2, also x = π/4 + kπ/2, k Z (aus der Tabelle von Gestern und einer Figur). Nun haben wir im zweiten Schritt aber keine Äquivalenzumformung gemacht, also müssen wir überprüfen, welche von den gefundenen Werten von x tatsächlich die ursprüngliche Gleichung erfüllen. In einer Figur sieht man rasch ein, dass sin(x) und cos(x) für x = 3π/4+kπ entgegengesetzte Zeichen haben. Ist aber x = π/4+kπ, k Z, dann gilt tatsächlich sin(x) = cos(x). Somit sind das alle Lösungen der Gleichung sin(x) = cos(x). Die Lösungen entsprechen natürlich den Schnittpunkten der beiden Graphen. Die Betragfunktion. Betrachte die Funktion { x, falls x 0, und f : R R, x x := x, falls x 0 Bemerke, dass x = x 2. Die Zahl x (gelesen: x-betrag) ist die Distanz von x zu Null auf der Zahlengerade. Zeichnen wir den Graph! Beispiel 5. Wie lösen wir die Gleichung x 1 1 = x 2? Wir machen zunächst eine Zeichnung! Und dann: Fallunterscheidung! Die Betragfunktion hat folgende wichtige Eigenschaften: (1) xy = x y und (2) x + y x + y (die Dreiecksungleichung)

4 4 DRAISMA JAN, ÜBERARBEITET VON BÜHLER IRMGARD UND TURI LUCA Quadratische Gleichungen und Parabeln. Der Graph der Funktion f : x x 2 heisst Normalparabel. Zeichnen wir jetzt die Graphen der Funktionen x 2f(x), x f(x)+1, x f(2x) und x f(x 1), so erhalten wir verschobene oder gestreckte Bilder der Normalparabel. Alle Graphen die wir durch Zusammensetzungen von strecken/stauchen und verschieben in die x- und die y-richtung erhalten, nennen wir Parabeln. Die zugehörige Funktionen kann man auf verschiedene Weisen aufschreiben, aus denen jeweils unterschiedliche Eigenschaften der Parabel einfach abzulesen sind: Allgemeine Form: x ax 2 +bx+c. Hier ist die y-koordinate c des Schnittpunktes vom Graph mit der y-achse einfach abzulesen. Scheitelform: x a(x d) 2 +e. Hier sind die Streckung a in y-richtung, die Verschiebung d in x-richtung und die Verschiebung e in y-richtung, alle relativ zur Normalparabel (und in gennanter Reihenfolge), gut abzulesen. Der Punkt (d, e) heisst der Scheitelpunkt der Parabel. Nullstellenform: a(x x 1 )(x x 2 ). Hier sind die x-koordinaten x 1, x 2 der Schnittpunkte mit der x-achse einfach abzulesen. Nicht jede Parabel hat aber eine solche Funktionsvorschrift, weil sie ja ganz oberhalb oder ganz unterhalb der x-achse liegen kann! Man nennt diese Funktionen quadratische Funktionen, wenn nur a ungleich null ist. Es ist wichtig, aus jeder dieser Formen die anderen herleiten zu können; das geht wie folgt. Aus der Nullstellenform findet man die allgemeine Form durch ausmultiplizieren. Aus der Scheitelform einer quadratischen Funkion f : x a(x d) 2 + e die Nullstellenform zu finden, ist auch einfach: falls ae > 0 ist, so liegt f ganz oberhalb der x-achse falls a > 0 ist, oder ganz unterhalb der x-achse falls a < 0 ist, und es gibt keine Nullstellenform. Sonst, wenn also ae 0 ist, hat f die Nullstellen d ± e/a, und es gilt f(x) = a(x (d e/a))(x (d + e/a)). Drittens, um aus der allgemeinen Form die Scheitelform herzuleiten, benutzt man eine quadratische Ergänzung: ax 2 + bx + c = a(x 2 + b a x + ( b 2a )2 ( b 2a )2 ) + c = a((x + b 2a )2 ( b 2a )2 ) + c = a(x + b 2a )2 b2 4a + c = a(x + b 2a )2 b2 4ac. 4a Wenn man jetzt die Nullstellenform finden will, so muss nach dem was oben steht gelten: a b2 4ac 0, 4a und die Nullstellen sind wie im folgenden Satz, den wir jetzt bewiesen haben. Satz 6 (Mitternachtsformel). Eine quadratische Funktion ax 2 + bx + c = 0 mit a, b, c R und a 0 hat genau dann reelle Nullstellen, wenn die Diskriminante

5 VORKURS MATHEMATIK 5 D := b 2 4ac 0 ist. In diesem Fall sind die Nullstellen b ± D. 2a Bemerke, dass diese zwei Nullstellen genau dann gleich sind, wenn D = 0 ist. Beispiel 7. Bestimme die Nullstellen von x x x Bemerke: wir sprechen von Nullstellen von Funktionen (und damit ist jeweils die x-koordinate der Schnittpunkte des Graphen mit der x-achse gemeint), und von Lösungen von Gleichungen. Nicht etwa von Nullstellen von Gleichungen oder von Lösungen von Funktionen. Ungleichungen. Bis jetzt haben wir uns nur um Gleichungen gekümmert, deren Lösungen den x-koordinaten von Schnittpunkten zweier Graphen entsprachen. Man möchte aber auch oft wissen, welche Teile des Graphen einer Funktion f unter dem Graph einer anderen Funktion g liegen. Das entsprechende algebraische Objekt ist die Ungleichung f(x) < g(x) oder f(x) g(x), je nachdem, ob die Schnittpunkte der Graphen mitgezählt werden sollen, oder nicht. Die Ungleichung ist natürlich nur für diejenige Werte von x definiert, für die sowohl f als g definiert sind. Auch Ungleichungen kann man umformen, aber man muss besser aufpassen als bei Gleichungen. Um dies einzusehen, betrachten wir folgende Beispiele. Beispiel 8. Die Ungleichung x 1 hat die Lösungsmenge (, 1], während x 2 1 2, nur die Lösungsmenge [ 1, 1] hat. Es können also durchaus Lösungen verloren gehen bei unvernünftigem Umformen! Beispiel 9. Wenn man die Ungleichung x 2 1 ohne weiteres auf beiden Seiten mit 1 multipliziert, so erhält man die Ungleichung x 2 1, die als Lösungsmenge (, 1] [1, ) hat. Korrekt wäre, bei dieser Umformung das Ungleichungszeichen umzudrehen, eben weil Multiplikation mit 1 die Anordnung reeller Zahlen umdreht! Es gibt, grob gesagt, zwei Lösungswege für Ungleichungen f(x) g(x): entweder man achtet gut darauf, dass man immer nur erlaubte Umformungen macht (etwa: Addition der gleichen Zahl auf beiden Seiten, Multiplikation mit einer positiven Zahl, oder Multiplikation mit einer negativen Zahl zusammen mit Umkehrung des Zeichens), oder man berechnet zunächst die Schnittpunkte der beiden Graphen, und wählt in jedem Intervall zwischen diesen Schnittpunkten ein x, mit dem man prüft, welcher Graph oben liegt. Beispiel 10. Löse x x 4 1. Mit der ersten Methode gehen wir wie folgt vor: Erstens betrachten wir den Fall x 4 0. Dann ist nämlich x 4 = (x 4),

6 6 DRAISMA JAN, ÜBERARBEITET VON BÜHLER IRMGARD UND TURI LUCA und die zu lösende Ungleichung ist x x x x x 2. Das heisst, dass die Lösungen der Gleichung im Intervall (, 4] genau das Intervall [2, 4] bilden. Im Intervall [4, ) finden wir genauso [4, 7], und die Gesamtlösung ist also [2, 7]. Polynome, Division. Die linearen und quadratischen Funktionen, denen wir in den vorigen Abschnitten begegnet sind, sind Spezialfälle einer grösseren Klasse von Funktionen: die Polynome. Das sind Funktionen von der Form f : R R, x a n x n + a n 1 x n a 1 x 1 + a 0, mit n N 0 ist, und a 0,...,a n R. Die höchste Zahl m mit a m 0 heisst der Grad von f. Die Zahlen a 0,..., a m heissen die Koeffizienten von f. Man kann sich fragen, ob Nullstellen von allgemeinen Polynomen genauso einfach zu finden sind, wie die von linearen und quadratischen Funktionen. Die allgemeine Antwort auf diese Frage ist nein es wurde sogar bewiesen, dass es für Polynome vom Grad 5 keine allgemeine Formel für die Nullstellen gibt, wie etwa die Mitternachtsformel für die quadratischen Gleichungen. Aber es gibt ein Verfahren, welches das Finden von Nullstellen bei einem Polynom n-ten Grades, auf das Finden von Nullstellen eines Polynoms von Grad n 1 reduziert. Dieses Verfahren heisst Polynomdivision oder auch Abspalten von Nullstellen. Wir erläutern es an einem Beispiel. Beispiel 11. Die Zahl 1 ist eine Nullstelle des Polynoms f : x x 3 +x 2 x 1. Teile f(x) durch x ( 1). Was sind die Nullstellen von f? Dass der Rest bei Teilung von x 3 +x 2 1 durch x ( 1) null war, ist kein Zufall. Satz 12. Sei f ein Polynom vom Grad n 1, und a eine Nullstelle von f. Dann ist der Rest bei Teilung von f(x) durch x a null. Das heisst, man kann f(x) schreiben als (x a) g(x), wobei g ein Polynom vom Grad n 1 ist. Die Nullstellen von f bestehen dann aus der Nullstelle a und aus den Nullstellen von g. Nun kann man sich fragen: Wie errät man eine Nullstelle eines Polynoms? Nun, im allgemeinen ist das schwierig, aber im folgenden Fall geht es relativ leicht. Satz 13. Sei f : x a n x n +...+a 0 x 0 ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten a 0,...,a n Z. Dann sind alle ganzzahlige Nullstellen von f Teiler von a 0. Der Beweis dieser Aussage ist nicht so schwierig: sei nämlich m eine ganzzahlige Nullstelle von f, so gilt a n m n a 1 m + a 0 = 0. Nun sind die ersten n Terme links alle durch m teilbar, also muss es auch a 0 sein.

7 VORKURS MATHEMATIK 7 Beispiel 14. Finde die Nullstellen von 6x 3 73x x 22. Antwort: 11, 1/2 und 2/3. Rationale Funktionen. Eine Funktion h : x f(x)/g(x), bei der f und g Polynome sind, heisst eine Rationale Funktion. In den Nullstellen von g ist h nicht definiert; diese heissen Definitionslücken von h. Falls eine Nullstelle x 1 von g keine Nullstelle von f ist, so heisst x 1 eine Polstelle von h. Falls x 1 aber Nullstelle von g und f ist, so kann man beide Funktionen durch x x 1 dividieren. Man erhält dann eine neue Funktion h 1 = f 1 /g 1, die für alle x x 1 gleich h ist. Wenn h 1 in x 1 definiert ist (d.h. wenn g 1 (x 1 ) 0 ist), so heisst x 1 eine aufhebbare Definitionslücke von h. Wenn g 1 (x 1 ) = 0 und f 1 (x 1 ) 0 ist, dann heisst x 1 wieder Polstelle von h (und h ). Wenn x 1 immer noch Nullstelle von g 1 und f 1 ist, so kann man wieder x x 1 ausdividieren, usw Beispiel 15. Sei h die Funktion gegeben durch h(x) = 2x3 2x 2 + x 1 x 2 1 mit Definitionslücken x = ±1. Zähler und Nenner von h sind beide teilbar durch x 1, und nach Teilung erhalten wir h 1 (x) = 2x2 + 1 für x ±1 x + 1 Nun ist 1 keine Nullstelle vom Nenner mehr, also war 1 eine aufhebbare Definitionslücke von h. Die Lücke 1 ist jetzt Nullstelle vom Nenner, aber nicht vom Zähler, also ist 1 eine Polstelle von h. Im Graph von h erkennt man das an der Tatsache, dass die vertikale Gerade mit Gleichung x = 1 eine Asymptote von h ist. Um das Verhalten von h(x) für x zu bestimmen, führen wir eine Polynomdivision mit Rest durch und finden h(x) = 2x x + 1, also hat h für x ± eine schräge Asymptote mit Gleichung y = 2x