2 Stationarität. Strikte Stationarität

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Emilia Schulze
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1 2 Stationarität. Strikte Stationarität Die in 1 benutzten Begriffe sind noch zu präzisieren : Definition 2.1. a) Ein stochastischer Prozess {X t } t T heißt strikt stationär, falls für je endlich viele Zeitpunkte t 1,...,t n T und h mit t 1 + h,...,t n + h T gilt : (X t1,...,x tn ) =(X D t1 +h,...,x tn+h); b) Ein stochastischer Prozess {X t } t T heißt (schwach ) stationär, falls gilt : (i) E X t 2 < t T ; (ii) EX t = m =const. t T ; (iii) Cov(X t,x t+h ), t,t+ h T, hängt nur von h ab. Bezeichnungen : Setze γ(h) :=Cov(X t,x t+h ):=E(X t m)(x t+h m); γ = γ X heißt Autokovarianzfunktion (acv.f.) des stationären stochastischen Prozesses X = {X t } t T ; ρ = ρ X mit ρ(h) =γ(h)/γ(0) heißt Autokorrelationsfunktion (ac.f. ) von X = {X t } t T. Bemerkung 2.1. a) Definition 2.1b) ist für stochastische Prozesse mit Werten in R formuliert. Bei komplexwertigen Prozessen setzt man : Cov(X t,x t+h ):=E(X t+h m)(x t m); b) {X t } strikt stationär, E X t 2 < t T = {X t } (schwach) stationär. Die Umkehrung ist i.a. falsch, gilt aber für so genannte Gauß-Prozesse : Definition 2.2. {X t } t T heißt Gauß-Prozess,wennfür je endlich viele Zeitpunkte t 1,...,t n T der Zufallsvektor (X t1,...,x tn ) eine n-dimensionale Normalverteilung besitzt, d.h. wenn jede Linearkombination c 1 X t1 + + c n X tn, c i R, eindimensional normalverteilt ist. Satz 2.1. {X t } t T stationärer Gauß-Prozess = {X t } t T strikt stationär. 3

2 Einige Beispiele von Zeitreihen: Beispiel 2.1. (Weißes Rauschen) Sei e = {e n } n Z eine Folge reeller, paarweise unkorrelierter ZV. mit Ee n = 0 und 0 <Vare n =: σ 2 < n Z. Bezeichnung : {e n } D WN(0,σ 2 ) White Noise. Dann : {e n } zentrierte, stationärezeitreihe( Weißes Rauschen : alle Frequenzen gleichgewichtig, vgl. Spektralanalyse): { σ 2, k =0 ; acv.f : γ(k) = 0, k 0 ; { 1, k =0 ; ac.f : ρ(k) = 0, k 0 ; Beispiel 2.2. (Zyklische Zeitreihe) Seien A, B unkorrelierte ZV. mit EA = EB = 0, Var(A) =Var(B) =σ 2 und sei λ [ π, π] feste Kreisfrequenz. Dann definiert X t = A cos(λt)+bsin(λt), t R, eine stationäre, zentrierte Zeitreihe. Polarkoordinaten : Setze A = R cos Φ,B= R sin Φ. Wegen sin(λt +Φ)=sinΦcosλt +cosφsinλt lässt sich X t wie folgt darstellen: X t = R sin(λt +Φ), d.h. einer Sinusschwingung. R : stochastische Amplitude, Φ : stochastische Phasenverschiebung Bemerkung 2.2. a) Bei gegebenen A = A(ω), B = B(ω) ist der zeitliche Verlauf von X t rein deterministisch; 4

3 b) Allgemeiner bildet für paarweise unkorrelierte, zentrierte ZV. A j,b j (j =1,...,n) und λ j [ π, π] X t = n ( Aj cos(λ j t)+b j sin(λ j t) ), t R, j=1 eine stationäre Zeitreihe. Beispiel 2.3. ( Moving Average -Zeitreihen der Ordnung q ; kurz: MA(q)-Reihen) Seien {e n } D n Z WN(0,σ 2 ) und b 0,...,b q R,b q 0. Dann bildet q X n = b j e n j = b 0 e n + b 1 e n b q e n q, n Z, eine stationäre, zentrierte Zeitreihe. Bemerkung 2.3. Es sind auch MA( )-Reihen zugelassen, falls X n = b j e n j als L 2 -Limes verstanden wird (P -f.s. eindeutig). b 2 j < und Abschließend betrachten wir einige nicht notwendig stationäre Zeitreihen : Beispiel 2.4. Seien A 0,A 1 reelle ZV. mit EA j = μ j,var(a j )=σj 2 (j =0, 1) und Cov(A 0,A 1 )=γ. Dann bildet X t = A 0 + A 1 t, t R ( linearer Trend ), eine nicht-stationäre Zeitreihe, denn EX t = μ 0 + μ 1 t (abhängig von t), Cov(X t,x t+h )=E(X t EX t )(X t+h EX t+h ) = E{(A 0 μ 0 )+(A 1 μ 1 )t}{(a 0 μ 0 )+(A 1 μ 1 )(t + h)} = σ0 2 + γ(t + h)+γt+ σ2 1 t(t + h) (abhängig von t, h). Selbst für unkorrelierte, zentrierte A 0,A 1 mit σ0 2 = σ1 2 = σ 2 ist {X t } nicht stationär, denn es gilt zwar EX t =0, aber Cov(X t,x t+h )=σ 2( 1+t(t + h) ). 5

4 Beispiel 2.5. ( Irrfahrt ) Sei {e n } n=1,2,... D WN(0,σ 2 ). Dann bildet S n = e e n (n =1, 2,...), S 0 =0, keine stationäre Zeitreihe, denn es gilt zwar ES n =0, aber ( Cov(S n,s n+h ) h>0 = Cov S n,s n + n+h j=n+1 e j ) = nσ 2, abhängig von n! Beispiel 2.6. ( Autoregressive Zeitreihen der Ordnung p, kurz : AR(p)-Zeitreihen ) {X n } n Z heißt AR(p)-Zeitreihe, wenn es {e n } D n Z WN(0,σ 2 ) und reelle a 0,...,a p mit a 0 = 1 (o.e.), a p 0, so dass ( ) p a j X n j = e n n Z. Der Name erklärt sich aus der äquivalenten Darstellung X n = p ( a j )X n j + e n, j=1 d.h., X n hängt linear von den p vorhergehenden Werten X n 1,X n 2,...,X n p und einer zufälligen Störung e n ab. Fragen: 1) Existieren zu gegebenen a 0,...,a p Lösungen von ( )? 2) Sind die Lösungen gegebenenfalls stationär? 3) Was sind geeignete Schätzungen für a j,σ 2? Speziell: X n = αx n 1 + e n, n Z ; AR(1) Markov-Schema ; X n = α 1 X n 1 + α 2 X n 2 + e n, n Z ; AR(2) Yule-Schema. Später: Viele stationäre AR(p)-Reihen sind als MA( )-Reihen darstellbar. Hier: Nachweis für AR(1)-Reihe X n = αx n 1 + e n, n Z. Notwendig: (bei Existenz einer Lösung) X n = αx n 1 + e n = α 2 X n 2 + αe n 1 + e n =... = α N X n N + N 1 α j e n j. 6

5 {X n } stationär = ( N 1 ) 2 E X n α j e n j = α 2N EXn N 2 Stat. = α 2N γ(0) 0 (N ) (exponentiell) α < 1. In diesem Fall : X n L 2 = α j e n j. Nach Lemma 2.1 (s.u.) gilt ferner : X n = α j e n j P -f.s. Hinreichend ( α < 1) : X n = ist stationäre Lösung von ( ). α j e n j (P-f.s. und in L 2 ) Durch Kombination von AR(p)- und MA(q)-Reihen gelangt man zu ARMA(p, q)- Modellen (s.u.), die in Anwendungen eine wichtige Rolle spielen (Box-Jenkins-Methode). Zur Konvergenz von (zweiseitigen) MA( )-Reihen beweisen wir noch das Lemma 2.1. Seien {Y n } n Z reelle ZV. mit sup E Y n < und {b j } j Z n Zahlen mit b j <. Dann gilt für alle n Z : j Z reelle X n = j= b j Y n j konvergiert absolut P -f.s. Gilt ferner X n L 2 = sup E Y n 2 <, so folgt noch : n j= b j Y n j. Um bei vorliegenden Daten Modelle für stationäre Zeitreihen anpassen zu können, sind i.a. vorab Trend- und Saisonkomponenten zu eliminieren oder andere Transformationen durchzuführen. 7

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