Technische Universität Ilmenau Fakultät Elektrotechnik und Informationstechnik FG Nachrichtentechnik. Übungsaufgaben zur Lehrveranstaltung

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1 echnische Universität Ilmenau Fakultät Elektrotechnik und Informationstechnik FG Nachrichtentechnik Übungsaufgaben zur Lehrveranstaltung Nachrichtentechnik Stand: 21. November Informationstheorie 1.1 Geben Sie die optimale Fragestrategie zum Erraten eines Zeichens der Menge A, B, C, D, E, F, G, H an. (Da keine statistischen Angaben vorliegen, ist von gleichwahrscheinlichen unabhängigen Symbolen auszugehen.) 1.2 Berechnen Sie für eine Binärquelle, welche die statistisch unabhängigen Symbole 0 und 1 mit den Wahrscheinlichkeiten P(0) = p 0 = 0,01 und P(1) = p 1 = 0,99 emittiert, (a) die Informationsinhalte I i, i {0,1}, der Symbole, (b) die Entropie H. 1.3 Gegeben ist eine Binärquelle, die die Symbole 0 und 1 emittiert. Die Auftrittswahrscheinlichkeit des Symbols 0 ist mit P(0) = p 0 gegeben. Berechnen Sie (a) die Auftrittswahrscheinlichkeit p 1 = P(1) des Symbols 1, (b) die Auftrittswahrscheinlichkeiten p 0 und p 1, für die die Entropie ihr Maximum erreicht. (c) Stellen Sie die Entropie der Quelle in Abhängigkeit von p 0 grafisch dar. 1.4 Eine Nachrichtenquelle gibt die statistisch unabhängigen Zeichen A, B, C, D, E mit den Wahrscheinlichkeiten 1/16, 1/4, 1/2, 1/8, 1/16 ab. Um die Zeichen redundanzmindernd auf eine Binärquelle abzubilden, soll eine Huffman-Codierung durchgeführt werden. Beurteilen Sie die Wirksamkeit der Codierung. 1

2 1.5 Der folgende Ausschnitt aus dem Symbolstrom einer Nachrichtenquelle sei typisch für die Auftrittwahrscheinlichkeiten der (statistisch unabhängigen) Symbole:... a a b a c a a a b a... (a) Wie groß ist die Entropie der Quelle? (b) Die Quelle soll binär entsprechend des Huffman-Verfahrens codiert werden. Wie lauten die Codeworte? Berechnen Sie die mittlere Codewortlänge sowie die relative Redundanz der Codewörter. (c) Die mittlere Codewortlänge soll durch Blockbildung von je n Primärsymbolen gegenüber (b) reduziert werden. Wieviele Sekundärzeichen besitzt die entstandene erweiterte Quelle? Welche obere Schranke gilt bzgl. der mittleren Codewortlänge, wenn zur Codierung das Huffman-Verfahren angewendet wird? (d) Bilden Sie eine erweiterte Quelle, indem Sie jeweils 2 Primärzeichen zu einem neuen Sekundärzeichen zusammenfassen, und führen Sie eine Huffman-Codierung bzgl. der Sekundärzeichen durch. Um wieviel Prozent kann die mittlere Codewortlänge gegenüber b) reduziert werden? 1.6 Für eine Binärquelle (aufeinanderfolgende Zeichen seien statistisch unabhängig) ist eine redundanzmindernde Codierung zu entwickeln. Dabei sollen mittels Blockbildung jeweils n = 3 Primärsymbole zu Sekundärsymbolen zusammengefasst und anschließend nach dem Huffman-Verfahren codiert werden. p i Symbol A 0,9 B 0,1 Berechnen Sie die mittlere Codewortlänge sowie die relative Redundanz der Codewörter. 1.7 Gegeben ist ein diskreter Kanal gemäß Skizze. Die eingansseitige Zufallsvariable wird mit X, X {x 0,x 1 } bezeichnet, die ausgangsseitige Zufallsvariable mit Y, Y {y 0,y 1 }. P(y 0 /x 0 ) = 0,7 P(x 0 ) =0,2 x 0 y 0 P(y 0 ) =0,3?? P(x 1 ) =? x 1? y 1 P(y 1 ) =? (a) Ergänzen Sie die durch ein Fragezeichen gekennzeichneten Wahrscheinlichkeiten. (b) Wie groß ist die Entropie H(X) am Eingang? (c) Wie groß ist die Entropie H(Y ) am Ausgang? (d) Wie groß ist die bedingte Entropie bzw. die Irrelevanz H(Y X)? (e) Wie groß ist die ransinformation I(X;Y )? 2

3 1.8 Der nachfolgend skizzierte diskrete Kanal soll informationstheoretisch untersucht werden. P(y 0 /x 0 ) = 0.7 P(x 0 ) = 0.2 x 0 y 0 P(y 0 ) = 0.3? y 1 P(y 1 ) =? P(y 0 /x 1 ) = 0.2 P(x 1 ) =? x 1? y 2 P(y 2 ) =? (a) Ergänzen Sie die durch ein Fragezeichen gekennzeichneten Wahrscheinlichkeiten. (b) Wie groß ist die Entropie H(X) am Eingang? (c) die Entropie H(Y ) am Ausgang? (d) die Irrelevanz H(Y X)? (e) die ransinformation I(X; Y )? 1.9 Wie groß ist die differentielle Entropie einer stetigen Zufallsvariablen X, wenn für deren Verteilungsdichtefunktion gilt { 1 f X (x) = 2a für a x a 0 sonst. X ist demzufolge gleichverteilt und amplitudenbegrenzt. Berechnen Sie außerdem die differentielle Entropie in Abhängigkeit der mittleren Leistung P der Zufallsvariablen X Wie groß ist die differentielle Entropie einer gaußverteilten, mittelwertfreien Zufallsvariablen X mit der mittleren Leistung P? Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem aus der vorherigen Aufgabe Bestimmen Sie die differentielle Entropie einer komplex gaußverteilten Zufallsvariablen Z = X + j Y mit der Verteilungsdichtefunktion f Z (z) = 1 ) exp ( z 2. πp Z πp Z Bzgl. Z wurde vorausgesetzt, dass gilt E{Z} = 0, E{ Z 2 } = P Z, E{X 2 } = P Z /2 sowie E{Y 2 } = P Z /2. Außerdem sind Real- und Imaginärteil statistisch unabhängig. 3

4 1.12 Betrachtet wird ein diskretes Übertragungssystem auf der Basis bipolarer Amplitudentastung (ASK, bipolar). Das Empfangssignal sei durch additives, weißes gaußverteiltes Rauschen (AWGN) mit der zweiseitigen Leistungsdichte N 0 /2 gestört. Für die Zufallsvariable Y am Korrelatorsausgang eines Korrelationstypenempfängers gilt in diesem Fall Y = X + N. Da der Sendesignalvektor eindimensional ist, kann dieser als Skalar X ausgedrückt werden, wobei für X eine mittelwertfreie Gaußverteilung mit E{X 2 } = E angenommen wird. E ist die mittlere Energie pro Symbol. Auch der Rauschvektor geht in einen Skalar N über. Bei Korrelation mit einer auf die Energie 1 normierten Basisfunktion ist dessen Verteilungsdichtefunktion durch den Ausdruck gegeben. f N (n) = 1 πn0 exp ( n2 (a) Geben Sie die ransinformation I(X;Y ) dieses Kanals an. (b) Bestimmen Sie das minimal erforderliche Verhältnis aus Bitenergie E b und Rauschleistungsdichte N 0 für fehlerfreie Übertragung, wenn das Verhältnis aus Symbolintervall (der Bezugspunkt liegt hier nach dem Codierer) und Bitintervall b (Bezugspunkt vor dem Codierer) gegen Null strebt. Hinweis: (2 x ) = 2 x ln(2); 10log 10 (ln(2)) 1.59 db 1.13 Betrachtet wird eine verzerrungs- und dämpfungsfreie Übertragungsstrecke auf der Basis von bipolarem 2-ASK. Für das Sendesignal gilt x(t) = ( ) 2 t /2 b n Eψ(t n) mit ψ(t) = cos(2πf ct) rect. Für die rägerfrequenz f c gelte f c 1. Für die zu übertragenden Bits b n soll gelten b n { 1,+1}. Aufeinanderfolgende Bits seien statistisch unabhängig; die Bitzustände gleichwahrscheinlich. Das Empfangssignal y(t) sei durch AWGN n(t) mit der technischen Rauschleistungsdichte N 0 gestört. Es gilt y(t) = x(t) + n(t). (a) Wie lauten die beiden Sendesignalvektoren? (b) Skizzieren Sie den optimalen Empfänger. (c) Wie lautet das informationstheoretische Modell der Übertragungsstrecke auf der Basis der Signalvektoren? (d) Wie lauten die Verteilungsdichtefunktionen für die Zufallsvariablen X, N und Y? (e) Geben Sie den Ausdruck für die ransinformation I(X; Y ) an und interpretieren Sie das Ergebnis. (f) Vergleichen Sie die ransinformation mit der Kanalkapazität eines Gaußkanals (Randbedingung: begrenzte mittlere Leistung). N 0 ). 4

5 2 Korrelationsfunktionen determinierter Signale 2.1 Gegeben seien zwei Energiesignal u 1 (t) und u 2 (t) gemäß ( ) ( ) t t /2 u 1 (t) = U 1 rect und u 2 (t) = U 2 rect. (a) Berechnen Sie die systemtheoretischen Energien E 1 und E 2 der beiden Signale. (b) Berechnen Sie die Energie E des Summensignals u(t) = u 1 (t) + u 2 (t). (c) Berechnen Sie die Kreuzkorrelationsfunktion ϕ E 12 (τ) der beiden Energiesignale. (d) Berechnen Sie die Kreuzkorrelationsfunktion ϕ E 12 (τ) der beiden normierten Energiesignale ũ 1 (t) = u 1 (t)/ E 1 und ũ 2 (t) = u 2 (t)/ E Betrachtet wird das Energiesignal ( ) ( ) t + /2 t /2 u(t) = U 0 rect U 0 rect (a) Ermitteln Sie die Autokorrelationsfunktion ϕ E uu (τ) (Skizze). (b) Berechnen Sie das Energiedichtespektrum Φ E uu (f). 2.3 Betrachtet werden zwei periodische Signale u 1 (t) und u 2 (t) gemäß u 1 (t) = U 1 cos(2πµf 0 t + φ 1 ) und u 2 (t) = U 2 cos(2πνf 0 t + φ 2 ) µ,ν N. Es wird davon ausgegangen, dass beide Signale die gleiche Grundperiode t p = 1/f 0 besitzen. Um die Korrelationsfunktionen nachfolgend zu berechnen, soll von einer Integrationsdauer t p ausgegangen werden. (a) Wie groß sind die mittleren Leistungen der beiden Signale? (b) Bestimmen Sie die beiden Autokorrelationsfunktionen ϕ 11 (τ) und ϕ 22 (τ). Hinweis: cos(x) cos(y) = 1 2 (cos(x y) + cos(x + y)). (c) Bestimmen Sie die Kreuzkorrelationsfunktion ϕ 12 (τ) für µ ν (Gleichung). (d) Bestimmen Sie für µ ν die Autokorrelationsfunktion ϕ ss (τ) des Summensignals u s (t) = u 1 (t) + u 2 (t) und das korrespondierende Leistungsdichtespektrum Φ ss (f). (e) Bestimmen Sie die mittlere Leistung von u s (t) aus Φ ss (f). (f) Bestimmen Sie die Autokorrelationsfunktion des reellen periodischen Signals u p (t) = µ= C µ exp(j2πµf 0 t), wobei C µ = C µ. 5

6 2.4 Gegeben ist ein periodisches Signal gemäß u p (t) = ( ) t u(t nt p ) mit u(t) = U 0 rect und t p = 4. (a) Berechnen und skizzieren Sie das Leistungsdichtespektrum Φ pp (f) des periodischen Signals u p (t). (b) Berechnen und skizzieren Sie die Autokorrelationsfunktion ϕ pp (τ) des periodischen Signals u p (t). 2.5 Bestimmen Sie das Leistungsdichtespektrum Φ pp (f) sowie die AKF ϕ pp (τ) der periodischen Stoßfolge u p (t) = δ(t nt p ). 6

7 3 Korrelationsfunktionen stochastischer Signale 3.1 Eine periodische Rechteckpimpulsfolge kann als Sonderfall eines zyklostationären Zufallsprozesses aufgefasst werden. Nachfolgend soll von einer diskreten periodischen Rechteckimpulsfolge mit den Elementen u p [n], n G, ausgegangen werden, wobei alle Elemente durch den Vektor u p = [ u p [0] u p [1]... u p [6] u p [7] ] = [ ] definiert werden können. (a) Bestimmen Sie den Erwartungswert E{u p [n]} (Ensemblemittlung). (b) Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem Zeitmittelwert u p [n] = n=0 u p[n]. (c) Bestimmen Sie die diskrete AKF ϕ pp [n,n + m] = E{u p [n]u p [n + m]}, n,m G, und zeigen Sie, dass ϕ pp [n,n + m] zyklostationär ist. (d) Bestimmen Sie die zeitlich gemittelte Autokorrelationsfunktion ϕ pp [n,n + m] = ϕ pp [n,n + m]. n=0 (e) Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem Zeitmittelwert ϕ pp [m] = n=0 u p[n]u p [n + m]. 3.2 Betrachtet wird ein OOK-Signal (OOK: On-Off Keying) s(t) gemäß s(t) = 2Eb b n ψ(t n b ) = ψ(t) 2Eb b n δ(t n b ). } {{ } x(t) Für die zu übertragenden Datenbits b n, b n {0,1}, soll gelten P(b n = 0) = P(b n = 1) = 1/2. Aufeinanderfolgende Bits seien unabhängig. (a) Bestimmen Sie die diskrete AKF E{b n b n+m } der Datenbits b n. (b) Skizzieren Sie die Autokorrelationsfunktion ϕ ss (τ) für den Fall einer Basisfunktion ψ(t) gemäß ( ) 2 t b /4 ψ(t) = rect. b b /2 Hinweis: Gehen Sie entweder von zeitlicher Mittlung aus, oder ordnen Sie für den Fall einer Ensemblemittlung den Realisierungen zufällige (im Intervall [0, b ) gleichverteilte) Verzögerungen zu ( Phase Randomizing ). Skizzieren Sie das zugehörige Leistungsdichtespektrum Φ ss (f). (c) Skizzieren Sie das Leistungsdichtespektrum Φ ss (f) für den Fall einer Basisfunktion ψ(t) gemäß ( ) 2 t b /2 ψ(t) = rect sin(2πf c t). b wobei gelten soll f c = k/ b, k > 0, ganzzahlig. 7 b

8 3.3 Betrachtet wird das Sendesignal s(t) = 2Eb b n ( 1) n ψ(t n b ) = ψ(t) 2Eb b n ( 1) n }{{} z n δ(t n b ) eines sogenannten pseudoternären Modulationsverfahrens. Für die zu übertragenden Datenbits b n, b n {0,1}, soll wiederum gelten P(b n = 0) = P(b n = 1) = 1/2; aufeinanderfolgende Bits seien unabhängig. (a) Bestimmen Sie die diskrete AKF E{z n z n+m } der pseudoternären Daten z n. (b) Skizzieren Sie das Leistungsdichtespektrum Φ ss (f) für den Fall einer Basisfunktion ψ(t) gemäß ( ) 2 t b /2 ψ(t) = rect sin(2πf c t). b wobei gelten soll f c = k/ b, k > 0, ganzzahlig. 3.4 Gegeben ist das Leistungsdichtespektrum Φ nn (f) eines stationären stochastischen Bandpassignals n(t) mit der physikalischen Bandbreite B. Für die Mittenfrequenz f 0 gilt f 0 = B. b Φ nn (f) N 0 2 B f 0 f 0 f (a) Geben Sie die Autokorrelationsfunktion (AKF) ϕ nn (τ) des Bandpassignals an (Formel und Skizze). (b) Skizzieren Sie das Leistungsdichtespektrum Φ n n (f) des äquivalenten iefpassignals n (t). Die Bandpass-iefpass-ransformation wird bezüglich der Mittenfrequenz f 0 vorgenommen; im vorliegenden Fall gilt f 0 = B. (c) Geben Sie die AKF ϕ n n (τ) des äquivalenten iefpassignals n (t) an (Formel und Skizze). (d) Geben Sie die Kreuzkorrelationsfunktion ϕ n,re n,im (τ) zwischen dem Real- und dem Imaginärteil von n (t) an (Formel). 3.5 Ein 4-PSK moduliertes Signal wird im komplexen Basisband betrachtet. Für das Sendesignal gilt s(t) = Ezn ψ(t n) Die Datensymbole z n können die 4 Zustände { 1,+1, j,+j} annehmen. Alle Zustände sind gleichwahrscheinlich. Aufeinanderfolgende Symbole seien unabhängig. (a) Bestimmen Sie die diskrete AKF E{z n z n+m } der Datensymbole z n. 8

9 (b) Skizzieren Sie die Autokorrelationsfunktion ϕ ss (τ) für den Fall einer Basisfunktion ψ(t) gemäß ( ) 1 t /2 ψ(t) = rect. Es gilt der gleiche Hinweis wie in Aufgabe 3.2b. Skizzieren Sie das zugehörige Leistungsdichtespektrum Φ ss (f). 3.6 Betrachtet wird ein stochastisches Signal am Ausgang eines diskreten Modulators. Dieses Signal wird im komplexen iefpassbereich durch den folgenden Ausdruck beschrieben s (t) = s,re (t) + j s,im (t) = E b n,1 ψ(t n) + j E b n,2 ψ(t n). Es werden 2 Symbolströme b n,1 {0, 1,+1} und b n,2 {0, 1,+1} übertragen, die statistisch voneinander abhängig sind. Folgende 4 Wertepaare treten mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auf: b n, b n, Aufeinanderfolgende Symbole b n,1 bzw. b n,2 sind statistisch unabhängig. Die Impulsform wird durch vorgegeben. ψ(t) = 1 [ rect ( ) ( )] t /4 t 3/4 rect /2 /2 (a) Skizzieren Sie die Autokorrelationsfunktion ϕ E ψψ (τ) des Signals ψ(t). (b) Überführen Sie den gegebenen Ausdruck für das Sendesignal in die folgende Form s (t) = Eψ(t) s D (t). Dabei wird das Signal in einen kontinuierlichen, determinierten Anteil Eψ(t) und in einen zeitdiskreten, stochastischen Anteil s D (t) zerlegt. (c) Skizzieren Sie eine mögliche Realisierung des stochastischen Anteils im Intervall [0, 10]. Stellen Sie den Real- und den Imaginärteil in getrennten Diagrammen dar und kennzeichnen Sie diese. Beachten Sie, dass der Real- und der Imaginärteil gemäß abelle statistisch abhängig sind. (d) Skizzieren Sie die Autokorrelationsfunktion des stochastischen Anteils s D (t). (e) Skizzieren Sie die AKF des Sendesignals ϕ s s (τ). 9

10 4 Stochastische Signale und lineare Systeme 4.1 Am Eingang eines idealen iefpasses mit der Übertragungsfunktion ( ) f G(f) = rect, f g = 5 MHz, 2f g liegt weißes Rauschen mit der Leistungsdichte 15 V2 Φ XX (f) = N 0 /2 = 8 10 Hz. (a) Berechnen Sie AKF und Leistungsdichte des Ausgangssignals. (b) Geben Sie den Effektivwert des Ausgangssignals an. 4.2 Am Eingang eines RC-iefpasses mit der Impulsantwort (s(t): Sprungsfunktion) g(t) = s(t) 1 e t, = R C, liegt weißes Rauschen mit der Leistungsdichte Φ XX (f) = N 0 /2. (a) Berechnen Sie das Leistungsdichtespektrum des Ausgangssignals. (b) Berechnen Sie den Effektivwert des Ausgangssignals als Funktion der 3 db Grenzfrequenz des iefpasses. (c) Berechnen Sie den Effektivwert für das Zahlenbeispiel R = 1 kω, C = 1 nf und N 0 = V 2 /Hz. 4.3 Am Eingang eines RC-Hochpasses mit der Impulsantwort g(t) = δ(t) s(t) 1 e t, = R C, liegt weißes Rauschen mit der Leistungsdichte Φ XX (f) = N 0 /2. (a) Berechnen Sie das Leistungsdichtespektrum des Ausgangssignals. (b) Wie groß ist der Effektivwert des Ausgangssignals? 4.4 Am Eingang eines LI-Systems mit der Übertragungsfunktion ( ) f G(f) = tri, f g = 2 MHz, liegt weißes Rauschen mit der Leistungsdichte f g Φ XX (f) = N 0 /2 = 0,2 V2 MHz. Bestimmen Sie den Effektivwert des Ausgangssignals. 10

11 4.5 Am Eingang eines LI-Systems mit der Impulsantwort g(t) = 1 ( si π t ) mit = 4 µs liegt weißes Rauschen mit der Leistungsdichte Φ XX (f) = N 0 /2. Bestimmen Sie die Autokorrelationsfunktion des Ausgangssignals für N 0 = 2 V 2 /MHz (Skizze mit charakteristischen Werten). 4.6 Rosa Rauschen mit der Leistungsdichte ( ) f Φ XX (f) = Φ 0 tri, f g = 1 MHz, Φ 0 = 1 V2 MHz f g liegt am Eingang eines LI-Systems mit der Übertragungsfunktion G(f). Bestimmen Sie die mittlere Leistung am Ausgang des Systems für die Fälle (a) G(f) = 2 e j2πft 0 ( ) (b) G(f) = 2 rect f B, B = 1 MHz, ( ) (c) G(f) = 2 2 rect f B, B = 1 MHz. 4.7 Am Eingang eines Fenster-Integrators mit der Impulsantwort g(t) = 1 ( ) t rect liegt weißes Rauschen mit der Leistungsdichte Φ XX (f) = N 0 /2. (a) Berechnen Sie den Effektivwert des Ausgangssignals. (b) Skizzieren Sie die AKF des Ausgangssignals. 11

12 4.8 Am Eingang eines idealen iefpasses mit der Übertragungsfunktion ( ) f G(f) = rect 2f g liegt moduliertes Signal gemäß x(t) = E b (2b n 1) ψ(t n b ). Aufeinanderfolgende Bits b n {0,1} sind statistisch unabhängig; die Zustände 0 und 1 sind gleichwahrscheinlich. b ist das Bitintervall, ψ(t) ist eine Basisfunktion gemäß ( ) 2 t b /4 ψ(t) = rect. b b /2 (a) Skizzieren Sie ψ(t). (b) Skizzieren Sie die AKF von ψ(t). (c) Skizzieren Sie einen beispielhaften Ausschnitt des stochastischen Signals x(t). (d) Skizzieren Sie die AKF von x(t). (e) Berechnen Sie Näherungswerte der mittleren Leistung des Ausgangssignals für die beiden Fälle i. f g = 0.01/ b ii. f g = 10/ b. 12

13 5 Optimales Suchfilter (Matched Filter) 5.1 Der Empfang des Signals ( ) t /2 u 1 (t) = U 0 rect. wird durch additives weißes Rauschen mit der Rauschleistungsdichte Φ nn (f) = N 0 /2 gestört. (a) Wie groß ist die Energie des Signals u 1 (t)? (b) Wie lautet die Impulsantwort g(t) eines für die Detektion von u 1 (t) optimalen Suchfilters? Für die Energie E g von g(t) soll hier gelten E g = 1. Außerdem soll der optimale Abtastzeitpunkt bei t = 0 liegen. (c) Wie lautet die mit g(t) korrespondierende Übertragungsfunktion G(f)? (d) Skizzieren Sie das Signal u 2 (t) am Ausgang des Matched-Filters, wenn dieses mit u 1 (t) angeregt wird. (e) Wie groß ist die Rauschleistung am Ausgang des Filters, wenn das Eingangssignal durch additives weißes Rauschen mit der Rauschleistungsdichte Φ nn (f) = N 0 /2 gestört wird? (f) Wie groß ist das Signal-Rauschleistungsverhältnis η zum Abtastzeitpunkt? 5.2 Der Empfang des Signals ( ) t imp /2 u 1 (t) = U 0 rect U 0 rect imp ( t 5imp /2 wird durch additives weißes Rauschen mit der Rauschleistungsdichte Φ nn (f) = N 0 /2 gestört. (a) Wie groß ist die Energie des Signals u 1 (t)? (b) Wie lautet die Impulsantwort g(t) eines für die Detektion von u 1 (t) optimalen Suchfilters? Der optimale Abtastzeitpunkt soll bei t = 3 imp liegen. Das Filter sei so dimensioniert, dass die Nutzsignalamplitude des Ausgangssignals zum Abtastzeitpunkt exakt U 0 betrage. imp (c) Skizzieren Sie das Signal u 2 (t) am Ausgang des Matched-Filters, wenn dieses mit u 1 (t) angeregt wird. (d) Wie groß ist die Rauschleistung am Ausgang des Filters, wenn das Eingangssignal durch additives weißes Rauschen mit der Rauschleistungsdichte Φ nn (f) = N 0 /2 gestört wird? (e) Wie groß ist das Signal-Rauschleistungsverhältnis η zum Abtastzeitpunkt? ). 13

14 5.3 Gegeben ist das folgende Energiesignal ( ) t /4 u 1a (t) = U 0 rect U 0 rect /2 ( t 3/4 (a) Wie lautet die Impulsantwort g(t) eines für die Detektion von u 1a (t) optimalen Suchfilters, wenn der Empfang durch weißes Rauschen gestört wird? Der optimale Abtastzeitpunkt soll bei t = liegen. (b) Ermitteln Sie die Antwort des Filters auf das Eingangssignal u 1a (t). ( ) (c) Ermitteln Sie, wie das Matched Filter auf das Signal u 1b (t) = U 0 rect t /2 reagiert. (d) Wie groß sind die jeweiligen Signalamplituden zum Abtastzeitpunkt t =? /2 ). 5.4 Der Empfang des Signals ( u 1 (t) = U 0 si( π t ). wird durch additives weißes Rauschen mit der Rauschleistungsdichte Φ nn (f) = N 0 /2 gestört. (a) Wie lautet die Impulsantwort g(t) eines für die Detektion von u 1 (t) optimalen Suchfilters? Der optimale Abtastzeitpunkt soll bei t = 0 liegen. (b) Skizzieren Sie das Signal u 2 (t) am Ausgang des Matched-Filters, wenn dieses mit u 1 (t) angeregt wird. 5.5 Am Ausgang eines Matched Filters wird ein Signal-Rauschleistungsverhältnis von 20 db gefordert. Am Eingang liegt als Störsignal weißes Rauschen mit der Leistungsdichte Φ nn (f) = 10 6 V 2 /Hz. Skizzieren Sie ein Eingangs-Nutzsignal u 1 (t), das diese Forderung erfüllt. Welcher Parameter von u 1 (t) ist wesentlich? 5.6 Skizzieren Sie den Eingangsimpuls, für den das Filter mit der Impulsantwort g(t) = s(t) 1 e t/ s(t) : Einheitssprung zum Abtastzeitpunkt t = 0 bei Störungen durch additives, weißes Rauschen ein maximales Signal-zu-Störleistungsverhältnis von η = E/(N 0 /2) gewährleistet. E ist die Energie des Eingangssignals, N 0 /2 ist die Leistungsdichte des Rauschens. 14

15 5.7 Ein Sender erzeugt das folgende binär modulierte Signal u 1 (t) = (2b n 1) E b ψ(t n b ), b : Bitintervall, b n {0,1}. Die Basisfunktion ( rägersignal ) erfüllt die Bedingung ψ 2 (t)dt = 1. Der Empfänger verwendet ein Matched Filter, welches auf ψ(t) angepasst ist. Es wird von additivem, weißen Rauschen ausgegangen. (a) Wie groß ist die mittlere Leistung des Sendesignals? (b) Welche Bedingung muss bzgl. der Basisfunktion im Zeitbereich erfüllt sein, damit das 1. Nyquist-Kriterium eingehalten wird? (c) Wie lautet die entsprechende Bedingung im Frequenzbereich? (d) Geben Sie beispielhaft Signale an, welche die genannten Bedingungen erfüllen. 5.8 Ein Sender erzeugt das folgende Signal ( ) t imp /2 u 1 (t) = U 0 rect. imp Dieses Signal wird über einen linearen Kanal mit der Impulsantwort g Kanal (t) = δ(t) 1 (t 2 δ 3 ) 2 imp übertragen. (a) Skizzieren Sie das Empfangssignal u 2 (t) am Ausgang des Kanals. (b) Wie groß ist die Energie E u2 von u 2 (t)? (c) Das Empfangssignal u 2 (t) wird durch additives, weißes Rauschen mit der Leistungsdichte Φ nn (f) = N 0 /2 gestört. Geben Sie die Impulsantwort g(t) des Matched-Filters an (Skizze und Formel), das unter den genannten Voraussetzungen ein maximales Signal-zu-Rauschleistungsverhältnis garantiert. Der optimale Abtastzeitpunkt soll bei t = 0 liegen. (d) Wie groß ist das Signal-zu-Rauschleistungsverhältnis η für diesen Fall? (e) Ist das 1. Nyquistkriterium erfüllt, wenn der Sender die Impulse u 1 (t) im Zeitraster erzeugen kann. Es gilt = 3 imp. 15

16 5.9 Gegeben ist folgendes Bandpass-Signal ( ) t x(t) = U 0 rect sin(2πf c t) mit f c 1. (a) Skizzieren Sie das Signal x(t) und dessen Spektrum X(f). (b) Wie groß ist die Energie E x von x(t)? (c) Führen Sie eine Bandpass-iefpass-ransformation bzgl. der Mittenfrequenz f c durch und skizzieren Sie sowohl das Zeitsignal x (t) als auch das Spektrum X (f). (d) Geben Sie die Impulsantwort g(t) des Matched-Filters im Bandpass-Bereich an (Skizze und Formel). Der optimale Abtastzeitpunkt soll bei t = 0 liegen, die Impulsantwort soll eine systemtheoretische Energie von 1 aufweisen. (e) Geben Sie Impulsantwort g (t) des Matched-Filters im äquivalenten iefpass- Bereich an (Skizze und Formel). (f) Skizzieren Sie das Ausgangssignal y(t) bzw. y (t) des Matched-Filters im Bandpassbzw. im iepass-bereich. (g) Berechnen Sie das Signal-zu-Rauschleistungsverhältnis sowohl im iepass als auch im Bandpass-Bereich, wenn das Signal durch weißes Rauschen mit der Leistungsdichte Φ nn (f) = N 0 /2 gestört wird. Interpretieren Sie das Ergebnis. 16

17 6 Korrelationsempfang gestörter Signale 6.1 Ein periodische Nutzsignal x p (t) wird additiv von einem Signal n(t) mit dem Leistungsdichtespektrum Φ nn (f) = N 0 si 2 ( π f f g ) gestört. Das Nutzsignal x p (t) und das Störsignal n(t) seinen orthogonal. (a) Interpretieren Sie den Begriff orthogonal. (b) Geben Sie die AKF ψ ee (τ) des Empfangssignals x e (t) = x p (t) + n(t) an. (c) Skizzieren Sie eine Schaltungsstruktur zur Ermittlung der AKF. (d) Welche Verzögerung τ min muss mindestens realisiert werden, um Nutz- und Störsignal trennen zu können? (e) Welche Eigenschaften des Nutzsignals sind grundsätzlich mit dieser Art des Empfangs bestimmbar? 6.2 Ein periodische Nutzsignal x p (t) mit der Periode t p wird additiv von einem Signal n(t) gestört. Das empfangene Summensignal sei x e (t) = x p (t) + n(t). Am Empfänger steht ein periodisches Hilfssignal x h (t) mit der gleichen Periode t p zur Verfügung. Es wird vorausgesetzt, dass x h (t) und n(t) orthogonal sind. (a) Wie lautet die Kreuzkorrelationsfunktion ψ eh (τ) aus Empfangssignal und Hilfssignal? (b) Skizzieren Sie die Schaltungsstruktur zur Ermittlung von ψ eh (τ). (c) Geben Sie das zugehörige Leistungsdichtespektrum Φ eh (f) an. (d) Skizzieren Sie ψ eh (τ) für den Fall, dass Nutz- und Hilfssignal durch die Ausdrücke gegeben sind. ( x p (t) = U 0 sin 2π t ), x h (t) = t p rect ( ) t ntp t p /2 (e) Ermitteln Sie ψ eh (τ) für den Spezialfall, dass für das Hilfssignal x h (t) gilt x h (t) = t p δ(t nt p ). 17

18 7 Direct-Sequence CDMA und m-sequenzen 7.1 Die folgende Abbildung zeigt ein Schieberegister zur Erzeugung von m-sequenzen. Modulo-2-Addierer s 0 Flip-Flop s 1 1 s 2 2 s 3 3 Ausgang akt, Intervall (a) Wie lang sind die mit diesem Schieberegister erzeugbaren m-sequenzen? (b) Der Anfangszustand {s 1, s 2, s 3 } des Schieberegister sei {1, 1, 1}. Ermitteln Sie die mit diesem Anfangszustand korrespondierende m-sequenz. (c) Wieviele unterschiedliche m-sequenzen kann man mit dem gegebenen Schieberegister erzeugen? Wie können diese erzeugt werden? (d) Nun sollen die unipolaren Symbole 0 und 1 durch bipolare Symbole -1 und +1 codiert werden. Skizzieren Sie die zu Aufgabenteil (b) korrespondierende Wellenform c(t), falls für die Chips normierte Rechteckimpulse der Dauer angenommen werden. entspricht dem Chiptakt. (e) Skizzieren Sie die periodische, gerade Autokorrelationsfunktion für die unter (d) angenommene Chipimpulsform. Hinweis: Die AKF muss nicht aus der in (b) ermittelten Sequenz berechnet werden. Gesucht ist vielmehr die allgemeingültige Lösung. Durch periodisches Aussenden der m-sequenz soll die Impulsantwort eines LI-Systems (näherungsweise) ermittelt werden. Es wird weiter von der Wellenform c(t) mit rechteckförmigen Chips ausgegangen. (f) Der Empfänger soll zunächst durch ein Filter realisiert werden. Wie lautet die Impulsantwort g(t) dieses Filters? (g) Welche Zeitdauer IR darf die Impulsantwort des auszumessenden Systems nicht übersteigen, damit das Messergebnis eindeutig ist? (h) Skizzieren Sie den Empfänger auf der Basis eines Korrelators. (i) Wie lange dauert die Messung bei Verwendung eines Korrelationsempfängers mindestens, wenn die Verzögerung τ im Raster variiert wird? 18

19 7.2 Mehrere Datenströme sollen über einen Kanal mit Hilfe von CDMA übertragen werden. Dabei sollen OVSF-Codes (OVCF: Orthogonal Variable Spreading Factor) auf der Basis von Walsh-Codes variabler Länge einsetzt werden. Die den Spreizsequenzen c k,i zugeordneten Zeitfunktionen s i (t) lauten s i (t) = Q i 1 k=0 c k,i g c (t k c ). c ist das (eilnehmer-unabhängige) Chipintervall, Q i der Spreizfaktor des i ten eilnehmers. Die Chip-Impulsform wird durch g c (t) festgelegt. (a) Welche Voraussetzungen müssen für den Einsatz von OVSF-Codes erfüllt sein, damit das Orthogonalitätskriterium auch für das Empfangssignal gilt? Im folgenden wird von 4 eilnehmern ausgegangen, die 4 Datenströme mit den Datenraten R b,i, i = 1,2,3,4, erzeugen. (b) Der erste Datenstrom hat eine Bitrate von R b,1 = 20 kbit/s. Wie groß ist die Chiprate 1/ c, wenn für den Spreizfaktor Q 1 gilt Q 1 = 8? (c) Wie groß sind bei eilnehmer-unabhängiger Chiprate die Spreizfaktoren Q 2, Q 3 und Q 4, wenn für die Datenraten gilt R b,2 = 40 kbit/s, R b,3 = 10 kbit/s, R b,4 = 80 kbit/s? (d) Konstruieren Sie geeignete OVSF-Spreizsequenzen c k,1, c k,2, c k,3 und c k,4 zur Übertragung der 4 Datenströme. (e) Skizzieren Sie die Sender- und Empfängerstruktur zur antipodalen Übertragung über einen AWGN-Kanal. Betrachten Sie beispielhaft eilnehmer 1. (f) Wie viele weitere Datenströme mit einer Datenrate von 5 kbit/s lassen sich zusätzlich maximal über den Kanal übertragen? 7.3 Die Impulsantwort eines LI-Systems soll messtechnisch bestimmt werden. Um sendeseitig einen niedrigen Dynamikumfang zu erreichen, basiert die Messung auf dem periodischen Aussenden einer m-sequenz. Der Einfachheit halber wird hier eine Sequenzlänge von N = 7 angenommen. Die Sequenz sei in binärer Form durch das Codewort c = [c 0 c 1 c 2 c 3 c 4 c 5 c 6 ] = [ ] definiert. Der Sequenz bzw. dem Codewort wird eine bipolare Wellenform mit rechteckförmigen Chipimpulsen der Dauer c zugeordnet, die hier als Elementarsignal s(t) bezeichnet werden soll. Es gilt ( ) N 1 t kc c 2 s(t) = (2c k 1) rect. c k=0 Das eigentliche Sendesignal u 1 (t) ist gegeben durch u 1 (t) = U 0 s(t n) mit = N c. n=0 Der Sender wird zum Zeitpunkt t = 0 eingeschaltet. 19

20 (a) Skizzieren Sie das auf die Dauer = N c begrenzte Elementarsignal s(t). (b) Skizzieren Sie das Sendesignal u 1 (t) für das Zeitintervall [, 3]. Für den Empfang wird gemäß der folgenden Skizze ein Filter mit der Impulsantwort g(t) = 1 c s( t) mit = N c verwendet. Das Ausgangssignal weist eine Nutzsignalkomponente u 3 (t) und eine Störsignalkomponente w 3 (t) auf. u 1 (t) LI u 2 (t) g(t) u 3 (t) + w 3 (t) g K (t) w 2 (t) (c) Zeichnen Sie die Impulsantwort g(t). (d) Skizzieren Sie die Antwort u 3 (t) des Filters auf ein Eingangssignal u 2 (t) = u 1 (t) für das Zeitintervall [, 3]. Interpretieren Sie das Ergebnis. Hinweis: Das LI-System wird in diesem Aufgabenteil noch als verzerrungsfrei vorausgesetzt. Für die Impulsantwort des Kanals soll hier gelten g K (t) = δ(t). (e) Skizzieren Sie das Signal u 3 (t) am Ausgang des Filters für das Zeitintervall [2, 4], wenn das auszumessende LI-System die Impulsantwort g K (t) = δ(t) δ(t 2 c ) hat. (f) Welche allgemeine Bedingung muss die Impulsantwort eines kausalen Systems erfüllen, damit sie mit der hier betrachteten Methode bestimmt werden kann? (g) Das Empfangssignal wird additiv durch mittelwertfreies, gaußverteiltes Rauschen w 2 (t) mit der konstanten (zweiseitigen) Rauschleistungsdichte N 0 /2 gestört. Wie groß ist die Rauschvarianz m (2) w 3 der Störkomponente w 3 (t) am Ausgang des Filters im eingeschwungenen Zustand? (h) Der Empfänger soll nun alternativ durch einen Korrelator realisiert werden. Skizzieren Sie das Blockschaltbild. (i) Wie lange dauert eine Messung bei Verwendung eines Korrelationsempfängers mindestens, wenn die Verzögerung τ im Raster c variiert wird? 20