Fokker-Planck-Gleichung
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- Maria Berger
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1 Fokker-Planck-Gleichung Beschreibung sochasischer Prozesse David Kleinhans WWU Münser David Kleinhans, WWU Münser Fokker-Planck-Gleichung Beschreibung elemenarer sochasischer Prozesse 1
2 Geschiche Hisorische Highlighs der sochasischen Prozesse: 195 Einseins Beschreibung der Diffusion bei der Brown schen Bewegung 198 Langevin-Gleichung 1914/17 Fokker-Planck-Gleichung 1928 Masergleichung Kramers-Moyal-Enwicklung David Kleinhans, WWU Münser Fokker-Planck-Gleichung Beschreibung elemenarer sochasischer Prozesse 2
3 Geschiche Hisorische Highlighs der sochasischen Prozesse: 195 Einseins Beschreibung der Diffusion bei der Brown schen Bewegung 198 Langevin-Gleichung 1914/17 Fokker-Planck-Gleichung 1928 Masergleichung Kramers-Moyal-Enwicklung Jez: Sochasik im Zweiraffer! David Kleinhans, WWU Münser Fokker-Planck-Gleichung Beschreibung elemenarer sochasischer Prozesse 2
4 Wegweiser Einführung in die Sochasik Zufallsprozesse Wahrscheinlichkeisdichen / bedinge Wahrscheinlichkeien Charakerisische Funkion Momene und Kumulanen Elemenare sochasische Prozesse: Langevin-Gleichung Modell: Brownsche Bewegung Nichlineare Gleichung Zeiverhalen von Wahrscheinlichkeisdichen: Fokker-Planck-Gleichung Kramers-Moyal-Enwicklung Berechnung der Enlicklungskoeffizienen für Langevin Fokker-Planck: Charakerisierung der Gleichung David Kleinhans, WWU Münser Fokker-Planck-Gleichung Beschreibung elemenarer sochasischer Prozesse 3
5 Einführung in die Sochasik David Kleinhans, WWU Münser Fokker-Planck-Gleichung Beschreibung elemenarer sochasischer Prozesse 4
6 Sochasik: Moivaion Sochasik (griechisch): Kuns des (geschicken) Vermuens Unersuchung makroskopischer, komplexer Syseme: Klassische, Newon sche Beschreibung: Sehr (, häufig zu) viele Freiheisgrade Mi Mehoden der Sochasik: Deerminisischer Aneil Flukuierende, sochasischer Aneil Sochasische Beschreibung von physikalischen Prozessen David Kleinhans, WWU Münser Fokker-Planck-Gleichung Beschreibung elemenarer sochasischer Prozesse 5
7 Sochasik: Grundlagen 1 Zufallsvariable ξ: nich vorhersagbar Schar-Miel: Viele Experimene oder Ensemble von Experimenen ξ n 1 f(ξ) = lim f(ξ N N n ) n Mi der Heavyside schen-θ-funkion Θ(x ξ) = für ξ > x 1 2 für ξ = x 1 für ξ < x : Vereilungsfunkion P(ξ < x) + 1 P(ξ = x) = Θ(x ξ) 2 mi: d P(ξ x) > x, P(ξ ) =, P(ξ + ) = 1 dx David Kleinhans, WWU Münser Fokker-Planck-Gleichung Beschreibung elemenarer sochasischer Prozesse 6
8 Grundlagen 2 Einführung der Wahrscheinlichkeisdiche (disribuion funcion): W ξ (x) := d dx P(ξ x) = d Θ(x ξ) = δ(x ξ) d Es gil: W ξ (x) dx = 1 und W ξ (x) x Alle Mielwere lassen sich mi Hilfe von W ξ (x) berechnen: f(ξ) = f(x)δ(x ξ) dx = f(x) δ(x ξ) dx = f(x)w ξ (x) dx Momene M n : M n := ξ n David Kleinhans, WWU Münser Fokker-Planck-Gleichung Beschreibung elemenarer sochasischer Prozesse 7
9 Grundlagen 3 Charakerisische Funkion: C ξ (x) := e iuξ = e iux W ξ (x) dx Fourierransformiere von W ξ (x) Berechnung der Momene: M n := ξ n = 1 i n dn du n C ξ (u) u= Taylor-Enwicklung von C ξ (u) um u = : C ξ (u) = 1 + n=1 (iu) n n! M n Kumulanen K n : C ξ (u) =: e n=1 (iu) n n! K n Kumulanen und Momene sind verknüpf: K 1 = M 1 M 1 = K 1 K 2 = M 2 M 2 1 M 2 = K 2 + K 2 1 K 3 = M 3 3M 1 M 2 + 2M 3 1 M 3 = K 3 + 3K 2 K 1 + K David Kleinhans, WWU Münser Fokker-Planck-Gleichung Beschreibung elemenarer sochasischer Prozesse 8
10 Einfache Vereilungen Einfache Wahrscheinlichkeisvereilungen für K n = n > N N = 1: C ξ (u) = e iuk 1 W ξ (x) = δ(x K 1 ) N = 2: C ξ (u) = e iuk u2 K 2 W ξ (x) = 1 2π e iux+iuk u2 K 2 du W ξ (x) = 1 2πK2 e 1 2 (x K 1 ) 2 K 2 David Kleinhans, WWU Münser Fokker-Planck-Gleichung Beschreibung elemenarer sochasischer Prozesse 9
11 Bedinge Wahrscheinlichkeien Verallgemeinerung auf mehrere Zufallsvariable: ξ ξ 1,..., ξ r und W ξ (x) W r (x 1,..., x r ) Bedinge Wahrscheinlichkeisdichen: W r (x 1,..., x r ) = P(x 1 x 2,..., x r ) W r 1 (x 2,..., x r ) P(x 1 x 2,..., x r ) = W r(x 1,...,x r ) Wr (x 1,...,x r )dx 1 Korrelaion zweier Zufallsvariablen: κ(ξ 1, ξ 2 ) := (ξ 1 ξ 1 )(ξ 2 ξ 2 ) = ξ 1 ξ 2 ξ 1 ξ 2 Es gil: κ(ξ, ξ) = (ξ ξ ) 2 = K 2 David Kleinhans, WWU Münser Fokker-Planck-Gleichung Beschreibung elemenarer sochasischer Prozesse 1
12 Zeiabhängige Zufallsvariablen Zeiabhängigkei der Zufallsvariablen: ξ ξ() und dami W 1 (x) W 1 (x 1, 1 ) = δ(x 1 ξ()) Für die bedinge Wahrscheinlichkeisdichen gil nun: P(x n, n x n 1, n 1,..., x 1, 1 ) = δ(x n ξ( n )) xn 1, n 1,...,x 1, 1 = W n (x n, n,..., x 1, 1 ) Wn (x n, n,..., x 1, 1 ) dx n David Kleinhans, WWU Münser Fokker-Planck-Gleichung Beschreibung elemenarer sochasischer Prozesse 11
13 Klassifikaion von Zufallsprozessen Reiner Zufallsprozess: P(x n, n x n 1, n 1,..., x 1, 1 ) = W(x n, n ) Es folg: W n (x n, n,..., x 1, 1 ) = W 1 (x n, n )... W 1 (x 1, 1 ) Beache: Für n n 1 1 muß ein physikalisches Sysem eine Korrelaion haben Reiner Zufallsprozess unphysikalisch! Markov-Prozess: P(x n, n x n 1, n 1,..., x 1, 1 ) = P(x n, n x n 1, n 1 ) Es folg: W n (x n, n,..., x 1, 1 ) = P(x n, n x n 1, n 1 ) P(x n 1, n 1 x n 2, n 2 )... P(x 2, 2 x 1, 1 ) W 1 (x 1, 1 ) es gil: lim P(x 2, 2 x 1, 1 ) = δ(x 2 x 1 ), 2 2 Komplee Informaion seck in W 2! Generelle Prozesse (mehr Terme) lassen sich nach Wang, Uhlenbeck auf Markov-Prozesse zurückführen David Kleinhans, WWU Münser Fokker-Planck-Gleichung Beschreibung elemenarer sochasischer Prozesse 12
14 Elemenare sochasische Prozesse: Langevin-Gleichungen David Kleinhans, WWU Münser Fokker-Planck-Gleichung Beschreibung elemenarer sochasischer Prozesse 13
15 Brown sche Bewegung Prominenes Beispiel: Makroskopisches Teilchen in Flüssigkei, Newon: mẍ + bẋ = F s () Langevin-Gleichung: v = γv + Γ() Γ() sochasische Kraf mi folgenden Eigenschafen: Γ() = Γ()Γ( ) = qδ( ) Spekrale Diche (nach Wiener-Khinchine-Theorem): S(ω) = 2 exp( iωτ) Γ( + τ)γ() dτ = 2q Man nenn Γ() delakorrelieres, weißes Rauschen ( Markov-Prozess) David Kleinhans, WWU Münser Fokker-Planck-Gleichung Beschreibung elemenarer sochasischer Prozesse 14
16 Nichlineare Langevin-Gleichung Allgemeine, nichlineare Formulierung: ξ = h(ξ,) + g(ξ,)γ() mi Γ() = Γ()Γ( ) = 2δ( ) Falls g konsan = g(ξ) nenn man das Rauschen: addiiv muliplikaiv Beache: Muliplikaives Rauschen: Im Allgemeinen g(ξ, )Γ() = Rauschinduzierer Drif Beispiel: h(ξ, ) und g(ξ, ) = a ξ ξ() = ξ() e a Γ( ) d und ξ() = ξ() e a2 David Kleinhans, WWU Münser Fokker-Planck-Gleichung Beschreibung elemenarer sochasischer Prozesse 15
17 Zeiverhalen von Wahrscheinlichkeisdichen: Fokker-Planck-Gleichung David Kleinhans, WWU Münser Fokker-Planck-Gleichung Beschreibung elemenarer sochasischer Prozesse 16
18 Moivaion Bis jez: Beschreibung einzelner Prozesse Bewegungsgleichung für elemenare Prozesse Ab jez: Übergang zu Ensemble von Prozessen, Unersuchung der Wahrscheinlichkei W(x, ), das Teilchen zur Zei am Ore x zu finden. Bewegungsgleichungen für Wahrscheinlichkeisdiche W(x, + τ) = W(x, + τ, x, ) dx = P(x, + τ x, )W(x, ) dx Nowendig: Kennnis von P(x, + τ x, ) für τ 1 David Kleinhans, WWU Münser Fokker-Planck-Gleichung Beschreibung elemenarer sochasischer Prozesse 17
19 Kramers-Moyal-Enwicklung (fwd) 1 Mi M n (x,, τ) = [ξ( + τ) ξ()] n ξ()=x = (x x ) n P(x, + τ x, ) dx gil: C(u,x,, τ) = 1 + (iu) n M n (x,,τ) n=1 n! {= e iu(x x ) P(x, + τ x, ) dx} Rückransformaion: P(x, + τ x, ) = 1 2π = 1 2π e iu(x x ) [ 1 + e iu(x x ) C(u, x,, τ) du (iu) n M n (x,,τ) n! n=1 ] du Auswerung des Inegrals: (iu) n e iu(x x ) = 1 2π Parielle Inegraion liefer späer: f(x ) ( x) n δ(x x ) dx = ( x) n δ(x x ) ( ) n x f(x) δ(x x ) dx David Kleinhans, WWU Münser Fokker-Planck-Gleichung Beschreibung elemenarer sochasischer Prozesse 18
20 Kramers-Moyal-Enwicklung (fwd) 2 Einsezen von P(x, + τ x, ) liefer: W(x, + τ) = P(x, + τ x, )W(x, ) dx = [ W(x, ) + N=1 1 n! ( ] n x) Mn (x,, τ)w(x, ) δ(x x ) dx W(x,+τ) W(x,) τ = N=1 1 n! ( x) n [ξ( + τ) ξ()] n ξ()=x W(x, ) 1 τ Im Grenzübergang τ gil: W(x, ) = n=1 ( x) n D (n) (x, )W(x, ) (Kramers-Moyal-Enwicklung, ) Dabei is D (n) (x, ) = 1 1 lim n! τ τ [ξ( + τ) ξ()]n ξ()=x. Enwicklungskoeffizienen für Langevin-Gleichung berechnen... David Kleinhans, WWU Münser Fokker-Planck-Gleichung Beschreibung elemenarer sochasischer Prozesse 19
21 Langevin: Enwicklungskoeffizienen 1 Haben: Allgemeine, nichlineare Langevin-Gleichung: ξ = h(ξ,) + g(ξ,)γ() mi Γ() = Γ()Γ( ) = 2δ( ) Müssen berechnen: D (n) (x, ) = 1 1 lim n! τ τ [ξ( + τ) ξ()]n ξ()=x David Kleinhans, WWU Münser Fokker-Planck-Gleichung Beschreibung elemenarer sochasischer Prozesse 2
22 Langevin: Enwicklungskoeffizienen 2 ξ( + τ) x = +τ h(ξ( ), ) + g(ξ( ), )Γ( ) d Enwicklung von h und g um x = ξ(): h(ξ( ), ) = h(x, ) + h (x, )(ξ( ) x) +..., für g ensprechend ξ( + τ) x = +τ + h(x, ) d + +τ +τ g(x, )Γ( ) d + h (x, )(ξ( ) x) d τ g (x, )(ξ( ) x)γ( ) d +... Ierieren: +τ = h(x, ) d τ +τ +τ g(x, )Γ( ) d + g (x, ) h (x, ) +τ g (x, ) h(x, ) d d + g(x, )Γ( )Γ( ) d d τ h (x, ) h(x, )Γ( ) d d g(x, )Γ( ) d d... David Kleinhans, WWU Münser Fokker-Planck-Gleichung Beschreibung elemenarer sochasischer Prozesse 21
23 Langevin: Enwicklungskoeffizienen 3 Mielwer: ξ( + τ) x = +τ + +τ h(x, ) d + g (x, ) +τ h (x, ) h(x, ) d d +... g(x, )2δ( ) d d +... Ausweren des Inegrals: g(x, )2δ( ) d = g(x, ) 2δ( ) d = g(x, ) David Kleinhans, WWU Münser Fokker-Planck-Gleichung Beschreibung elemenarer sochasischer Prozesse 22
24 Langevin: Enwicklungskoeffizienen 3 Mielwer: ξ( + τ) x = +τ + +τ h(x, ) d + g (x, ) +τ h (x, ) h(x, ) d d +... g(x, )2δ( ) d d +... für τ 1: ξ( + τ) x = h(x, ) τ h (x, )h(x, )τ g (x, )g(x, )τ +... D (1) 1 (x,) = lim τ τ ξ( + τ) x = h(x,) + g (x,)g(x,) David Kleinhans, WWU Münser Fokker-Planck-Gleichung Beschreibung elemenarer sochasischer Prozesse 22
25 Langevin: Enwicklungskoeffizienen 4 Ebenso erhäl man D (2) (x, ) wieder aus: ξ( + τ) x = + + +τ +τ +τ h(x, ) d + +τ g(x, )Γ( ) d + g (x, ) h (x, ) +τ g (x, ) h(x, ) d d + g(x, )Γ( )Γ( ) d d τ h (x, ) h(x, )Γ( ) d d g(x, )Γ( ) d d... [ξ( + τ) x] 2 = (h(x, ) τ) 2 + ( 1 2 h (x, )h(x, )τ 2) g(x, )g(x, )τ +... D (2) (x,) = 1 2 lim τ 1 τ [ξ( + τ) x]2 = [g(x,)] 2 Höhere Momene: Für delakorrelieres Rauschen gil: D (n) (x,) = n 3 David Kleinhans, WWU Münser Fokker-Planck-Gleichung Beschreibung elemenarer sochasischer Prozesse 23
26 Fokker-Planck-Gleichung 1 Mi diesen Enwicklungskoeffizienen D (1) (x, ) = h(x, ) D (2) (x, ) = g 2 (x, ) D (n) (x, ) = n 3 x g2 (x, ) erhalen wir aus der Kramers-Moyal-Enwicklung: Ẇ(x,) = [ ] x D(1) (x,) + 2 x 2 D (2) (x,) W(x,) = L FP W(x,) (Fokker-Planck-Gleichung, 1914/17) lineare, parielle Differenialgleichung für W(x,) reell, erser Ordnung in der Zei: nich invarian uner Zeiumkehr David Kleinhans, WWU Münser Fokker-Planck-Gleichung Beschreibung elemenarer sochasischer Prozesse 24
27 Fokker-Planck-Gleichung 2 Einfaches Beispiel: Lineare Langevin-Gleichung v() = γv() + q 2 Γ() D (1) = γv und D (2) = q 2 = γkt m Saionärer Zusand: [ Ẇ(v, ) =! = γ + γv x + γkt m ] 2 v 2 W(v) Die Maxwell-Vereilung W(v) = m 2πkT mv 2 e 2kT erfüll obige Gleichung! Fokker-Planck-Gleichung für mehrere Variable: Ẇ( x,) = [ i D (1) x i i ( x,) + i,j ] 2 D (2) x i x j ij ( x,) W( x, ) David Kleinhans, WWU Münser Fokker-Planck-Gleichung Beschreibung elemenarer sochasischer Prozesse 25
28 Zusammenfassung und Ausblick David Kleinhans, WWU Münser Fokker-Planck-Gleichung Beschreibung elemenarer sochasischer Prozesse 26
29 Zusammenfassung Langevin: Beschreibung einzelner Prozesse Bewegungsgleichung für Elemenare Prozesse Fokker-Planck: Übergang zu Ensemble von Prozessen, Unersuchung der Wahrscheinlichkei W(x, ), das Teilchen zur Zei am Ore x zu finden. Bewegungsgleichungen für Wahrscheinlichkeisdiche Ẇ(x,) = [ ] x D(1) (x,) + 2 x 2 D (2) (x,) W(x,) = L FP W(x,) Kramers-Moyal-Enwicklung bis zur 2. Ordnung Für Markov-Prozesse verschwinden Ordnungen 3 David Kleinhans, WWU Münser Fokker-Planck-Gleichung Beschreibung elemenarer sochasischer Prozesse 27
30 Vorschau Hier noch ein nees Bild von Andreas :-) David Kleinhans, WWU Münser Fokker-Planck-Gleichung Beschreibung elemenarer sochasischer Prozesse 28
31 Ende Fragen zum Vorrag? Verwendee Quellen: The Fokker-Planck Equaion, H. Risken, 1984 Dynamik sochasischer Syseme (Vorlesungsskrip), M. Janßen, 21 David Kleinhans, WWU Münser Fokker-Planck-Gleichung Beschreibung elemenarer sochasischer Prozesse 29
32 Übersprungene Folien David Kleinhans, WWU Münser Fokker-Planck-Gleichung Beschreibung elemenarer sochasischer Prozesse 3
33 Lineare Langevin-Gleichung 1 Langevin-Gleichung v = γv + Γ() läß sich für lineare Koeffizienen ausweren: Für v( = ) = v : v() = v e γ + e γ( ) Γ( ) d Korrelaion: 1 2 v( 1 )v( 2 ) = v 2e γ( 1+ 2 ) + e γ( ) Γ( 1 )Γ( 2 ) d 1 d 2 = v 2e γ( 1+ 2 ) + q ( 2γ e γ 1 2 e γ( 1+ 2 ) ) Auswerung des Inegrals: 1 2 = q = q 2γ e γ( ) Γ( 1 1 )Γ( 2 ) d 1 d 2 = q min( 1, 2 ) e 2γ 1d 1 = q 1 ( e γ( ) e γ e γ( ) δ( 2 )d 1 d 2 2γ e 2γx x= x= ) David Kleinhans, WWU Münser Fokker-Planck-Gleichung Beschreibung elemenarer sochasischer Prozesse 31
34 Lineare Langevin-Gleichung 1 Langevin-Gleichung v = γv + Γ() läß sich für lineare Koeffizienen ausweren: Für v( = ) = v : v() = v e γ + e γ( ) Γ( ) d Korrelaion: 1 2 v( 1 )v( 2 ) = v 2e γ( 1+ 2 ) + e γ( ) Γ( 1 )Γ( 2 ) d 1 d 2 = v 2e γ( 1+ 2 ) + q ( 2γ e γ 1 2 e γ( 1+ 2 ) ) Für γ 1, γ 2 1 ergib sich: v( 1 )v( 2 ) = q 2γ e γ 1 2 Nach dem Gleichvereilungssaz: E = m 2 [v()]2 = m 2 q = 2 γkt m q 2γ! = 1 2 kt David Kleinhans, WWU Münser Fokker-Planck-Gleichung Beschreibung elemenarer sochasischer Prozesse 31
35 Lineare Langevin-Gleichung 2 Geschwindigkeisvereilungen schwierig zu beobachen. Besser: Mileres Verschiebungsquadra (x() x ) 2 (x() x ) 2 = = [ v( 1 )v( 2 ) d 1 d 2 v( 1 ) d 1 ] 2 = v( 1 )v( 2 ) d 1 d 2 Wissen von eben: v( 1 )v( 2 ) = v 2 e γ( 1+ 2 ) + q 2γ ( e γ 1 2 e γ( 1+ 2 ) ) Inegraion: ( e γ( ) d 1 d 2 = e γ 1 2 d 1 d 2 = 2 1 e γ γ 1 ) 2 e γ( 1 2 ) d 2 d 1 = 2 γ 2 γ 2 (1 e γ ) David Kleinhans, WWU Münser Fokker-Planck-Gleichung Beschreibung elemenarer sochasischer Prozesse 32
36 Lineare Langevin-Gleichung 2 Geschwindigkeisvereilungen schwierig zu beobachen. Besser: Mileres Verschiebungsquadra (x() x ) 2 (x() x ) 2 = = [ v( 1 )v( 2 ) d 1 d 2 v( 1 ) d 1 ] 2 = v( 1 )v( 2 ) d 1 d 2 Wissen von eben: v( 1 )v( 2 ) = v 2e γ( 1+ 2 ) + q ( 2γ e γ 1 2 e γ( 1+ 2 ) ) ( ) (x() x ) 2 = v 2 q (1 e γ ) 2 2γ γ 2 + q γ 2 q γ 3 (1 e γ ) Für γ 1: (x() x ) 2 = 2D mi D = q 2γ 2 = kt mγ (Einseins Resula für die Diffusionskonsane, 195) David Kleinhans, WWU Münser Fokker-Planck-Gleichung Beschreibung elemenarer sochasischer Prozesse 32
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