Das Problem des Weihnachtsbaumhändlers

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1 Das Problem des Weihnachtsbaumhändlers Weihnachtsmarkt alle Bäume verkauft Kunden gehen leer aus alle Bäume verkauft kein Kunde geht leer aus Bäume bleiben übrig Beschaffungsmenge an Weihnachtsbäumen nur einmalige Beschaffung möglich, keine Nachlieferungen Einkaufspreis ist mengenunabhängig konstant Verkaufspreis ist konstant Entsorgungskosten bzw. Erlöse für Reste sind konstant Nachfrage nach Weihnachtsbäumen ist stochastisch, Dichtefunktion ist bekannt

2 Das Problem des Weihnachtsbaumverkäufers Erlöse Kosten Erlöse Wareneinsatz Erlöse Kosten Erlöse Wareneinsatz zu wenige Bäume eingekauft Absatz zu viele Bäume eingekauft Spielen Fixkosten eine Rolle?

3 Das Problem des Weihnachtsbaumhändlers zu wenig eingekauft zu viel eingekauft Einkaufspreis Verkaufspreis Einkaufspreis Verkaufspreis zu wenig zu viel Opportunitätskosten unnötige Kosten der Weihnachtsbäume Umsatz eingekaufte nachgefragte nachgefragte eingekaufte Das Problem ist in der Literatur als Zeitungsjungenproblem bekannt. Die unnötigen Kosten der Weihnachtsbäume sind ggf. zu modifizieren, wenn zusätzliche Kosten der Entsorgung entstehen oder für die nicht verkauften Bäume bei anderer Nutzung noch Erlöse erzielt werden können.

4 Das Problem des Weihnachtsbaumhändlers zu viel eingekauft zu viel eingekauft Einkaufspreis Verkaufspreis Einkaufspreis Verkaufspreis zu viel zu viel Kosten der Entsorgung Kosten pro Stück unnötige Kosten der Weihnachtsbäume Resterlöse unnötige Kosten Erlös pro Stück nachgefragte eingekaufte nachgefragte eingekaufte Umsatz Die unnötigen Kosten der Weihnachtsbäume sind ggf. zu modifizieren, wenn zusätzliche Kosten der Entsorgung entstehen oder für die nicht verkauften Bäume bei anderer Nutzung noch Erlöse erzielt werden können.

5 Das Problem des Weihnachtsbaumhändlers Kauft der Weihnachtsbaumhändler zu wenig Bäume ein, entgeht ihm Gewinn, denn er hätte mehr verkaufen können. Kauft er zu viele Bäume ein, entstehen ihm unnötige Kosten. Dummerweise weis er nicht genau, wie groß die nachgefragte sein wird. Er kann sich also nur an die Wahrscheinlichkeiten halten (er kennt die Dichtefunktion). Die Lösung seines Problems kann er analytisch versuchen, oder er kann eine Simulation durchführen.

6 Das Problem des Weihnachtsbaumhändlers Der Gewinn des Weihnachtsbaumhändlers setzt sich aus den folgenden Positionen zusammen: DB der verkauften Bäume = verkaufte Bäume multipliziert mit dem Verkaufspreis falls zu wenig eingekauft: Deckungsbeitrag der nicht verkauften Bäume als Opportunitätskosten falls zu viel eingekauft: Zahl der nicht verkauften Bäume multipliziert mit den Netto-Stückkosten der Bäume (Einkaufspreis + Entsorgungskosten pro Stück bzw. Einkaufspreis Rest-Erlös pro Stück) DB = Deckungsbeitrag Marginalkalkül: Der Händler muß genau so viel einkaufen, daß die erwarteten Kosten eines zu viel gekauften Baumes gerade gleich sind den Opportunitätskosten eines zu wenig gekauften Baumes.

7 Rest 0,00 DB I 1,00 Weihnachtsmarkt alle Bäume verkauft Kunden gehen leer aus alle Bäume verkauft kein Kunde geht leer aus nicht alle Bäume verkauft Bäume bleiben übrig zu wenig eingekauft genau richtig eingekauft zu viel eingekauft Opportunitätskosten für entgangenen Absatz sunk costs für übrig gebliebene Ware zu wenig eingekauft richtig zu viel eingekauft Einkauf 100 Stk. 100 Stk. 100 Stk. Verkauf 100 Stk. 100 Stk. 80 Stk. (aber 120 wären möglich) DB Rest "Kosten" Stückerlös 2,00 Stückkosten 1,00

8 Das Problem des Weihnachtsbaumhändlers Marginalkalkül: Der Händler muß genau so viel einkaufen, daß die erwarteten Kosten eines zu viel gekauften Baumes gerade gleich sind den Opportunitätskosten eines zu wenig gekauften Baumes. Wir können die Gewinnfunktion auch aus den folgenden Positionen bestehend formulieren, wobei a = eingekaufte, x = nachgefragte, c = Einkaufspreis p = Verkaufspreis: 1 Kosten der Bäume Anzahl gekaufter Bäume multipliziert mit dem Einkaufspreis c a 2 Einnahmen im Fall zu viel eingekaufter Bäume 3 Einnahmen im Fall zu wenig eingekaufter Bäume Anzahl verkaufter Bäume multipliziert mit dem Verkaufspreis, p x sind also die Einnahmen, die für alle Fälle a > x mit der Wahrscheinlichkeit f(x) gewogen werden müssen. jetzt gilt x > a, da nur a Bäume eingekauft wurden. Die tatsächlichen Einnahmen sind p a, die mit der Wahrscheinlichkeit gewichtet werden müssen, daß tatsächlich mehr Bäume nachgefragt werden. p 0 a p a x f x dx f x dx a

9 Das Problem des Weihnachtsbaumhändlers Die aus den drei Termen bestehende Gewinnfunktion kann nun nach der Beschaffungsmenge a abgeleitet werden. Die Ableitung muß dann gleich Null gesetzt werden. Auf diese Weise findet man das Gewinnmaximum. Die Lösung findet sich z.b. bei Professor Dr. H. Dietl, Universität Zürich (Yield- Management II). Die Formel lautet: F a = p c p Zu diesem Ergebnis gelangt man auch, wenn man die dem Marginalkalkül entsprechende Formulierung c F a = p c 1 F(a) erwartete Kosten eines Baumes zuviel = DB multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit für den Verkauf eines zusätzlichen Baumes umformt.

10 Das Problem des Weihnachtsbaumhändlers Man kann natürlich auch ein einfaches Simulationsmodell bauen, mit dem sich durch Ausprobieren eine gute Lösung finden läßt. Excel hält dazu die notwendigen Formeln bereit. Einkaufspreis c Verkaufspreis p Rest-Erlös r Bestellmenge a Kosten Wiederholungen Absatzmenge x Erlös bei a < x Erlös bei a > x Gewinn Die Absatzmenge muß mit einer Formel berechnet werden, welche die angenommene Verteilung abbildet.

11 Simulation Einkaufspreis 1,00 Mittelwert Verkaufspreis 2,00 Std.abweichung 100 DB 1,00 Resterlös 0,10 zu wenig zu viel Bestellmenge bestellt bestellt Wdh. Kosten Absatzmenge a<x a=x a>x Gewinn "Gewinn" im Mittel 947

12 Monte Carlo-Simulation mit Excel Die Monte Carlo-Simulation mit Excel läßt sich realisieren mit Hilfe der Funktion NORMINV (Argument 1; Argument 2; Argument 3) Die Funktion NORMINV gibt den Wert der Inversen der Standardnormalverteilung. Es muss als erstes Argument die Funktion ZUFALLSZAHL ( ) eingesetzt werden. Dann müssen der Mittelwert und die Standardabweichung eingesetzt werden. Man erhält dann eine Normalverteilungsfunktion, mit der eingesetzten Standardabweichung um den eingesetzten Mittelwert.

13 Ergebnis mehrerer Simulationen Beschaffungs - DB sunk costs Opprtunitäts kosten Erfolg Beschaffungsmenge an Weihnachtsbäumen

14 Anwendungen Ähnliche Modellierungen können verwendet werden, wenn die Situation charakterisiert ist durch eine nicht reversible Entscheidung und das Ergebnis von einer oder mehreren Zufallsvariablen abhängt, über deren Verteilung man Kenntnisse besitzt. Es wird z.b. die Einteilung der Flugzeugplätze in Klassen als Beispiel verwendet. Genauso die Reservierungszeiten für Operationssäle. Im Forstbetrieb könnte man mit der Situation konfrontiert sein, daß das Hauptsortiment des Einschlags (Stammholz) vorab verkauft ist, der Rest (Industrieholz, Brennholz) aber in Sortimenten aufgearbeitet werden muß, über deren Verkaufsmengen noch keine Sicherheit besteht. Man muß im Forstbetrieb ggf. auch über dem Meistgebotsverkauf (Versteigerung, Submission) zuzuordnende n entscheiden, wobei die Nachfrage noch unsicher ist.

15 Unter- und Obergrenze des Absatzes Kennt man den Mittelwert des erwarteten Absatzes und die Standardabweichung, dann lassen sich leicht die Grenzen noch wahrscheinlicher Absatzmengen abschätzen. Wenn der Mittelwert ist und die Standardabweichung ist 30, wieviele Bäume wird der Weihnachtsbaumhändler mit 99,5 % Wahrscheinlichkeit mindestens verkaufen können? ca. 68 % der Werte ca. 99 % der Werte

16 Erwartungswert der Absatzmenge optimale Beschaffungsmengen, wenn die sunk costs der Beschaffung überwiegen optimale Beschaffungsmengen, wenn die Opportunitätskosten überwiegen Beschaffungsmenge Welche Beschaffungsmenge ist ideal, wenn der Lieferant die Ware zurücknimmt, so daß nur sehr geringe Kosten für Übermengen entstehen?