Abbildung 1: Achilles und seine Schildkröte.
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- Friederike Auttenberg
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1 PROBEKLAUSUR II MATHEMATIK STUDIENGANG MB THEMA I: FOLGEN UND REIHEN (5 Minuten) Augbe 1 (Grenzwertig)**: Prdoon des ZENO: Achilles läut mit einer Schildkröte um die Wette. Weil Achilles zehnml so schnell ist wie die Schildkröte ht diese zu Beginn 100m Vorsprung. Wenn Achilles den Strtpunkt A der Schildkröte erreicht, so ist diese bereits in B, erreicht er B, so ist sie bereits in C usw. Drus schließt ZENO, dss Achilles die Schildkröte niemls einholt. ) Ws ist der Trugschluss hierbei? b) Nch wie vielen Metern holt Achilles die Schildkröte ein? Abbildung 1: Achilles und seine Schildkröte. In Abbildung hbe ds Ausgngsdreieck der sog. Dreiecksplnze eine Seitenlänge von einem Meter (lles gleichseitige Dreiecke, Kntenlänge wird immer hlbiert). c) Strebt der Umng gegen einen Grenzwert? Abbildung : Die Dreiecksplnze. Lösungen: ) = 8 Punkte b) Anmerkung: im Folgenden müssen noch 100 m ddiert werden, d in dieser Lösung die Schildkröte nur 10 m Vorsprung htte: DHBW STUTTGART MB MATHEMATIK SS01 SEITE 1 VON 6
2 PROBEKLAUSUR II MATHEMATIK STUDIENGANG MB c) Augbe (Grenzwertbestimmung)**: Bestimmen Sie den Grenzwert ( ): 1 g lim 1 ln 1 1 Lösung: 5 Punkte DHBW STUTTGART MB MATHEMATIK SS01 SEITE VON 6
3 PROBEKLAUSUR II MATHEMATIK STUDIENGANG MB THEMA II: Dierentil- und Integrlrechnung (50 Minuten) Augbe (Ableiten will gelernt sein)**: ) Es seien u, v, w ür lle dierenzierbre Funktionen. Es sei nun ( : u( v( w(. Bestimmen Sie. b) Welche Funktion, deren Funktionsterm die Form b ( mit, b ht, nimmt ür 1 den loklen Etremwert n? Ist dieser Mimum oder Minimum? c) Es sei Lösungen: ( e mit 0 gegeben. Bestimmen Sie den Prmeter so, dss die Funktion n der Stelle ln einen Wendepunkt ht = 1 Punkte ) Wir rechnen: ( uvw) ( uv) w ( uv) w ( uv uv) w uvw uvw uvw uvw. Dbei hben wir zwei Ml die Produktregel verwendet. b) Ableiten und Einsetzen ühren hier zum Ergebnis: c) Ein Wendepunkt bei W bedeutet, dss ''( W ) 0. Es ist ( e, lso e '( e ''( Dmit olgt ''(ln ) ln e,.. D in gerten! der vorletzten Gleichung der linke Teil streng monoton ällt und der rechte streng DHBW STUTTGART MB MATHEMATIK SS01 SEITE VON 6
4 PROBEKLAUSUR II MATHEMATIK STUDIENGANG MB monoton wächst ür 0 (beide Seiten ls Funktionen von ugesst), ist dies die einzige Lösung! Augbe 4 (Etremwertproblem)***: Au einem runden Tisch mit Rdius r liegt m Rnd eine Solrzelle. Über der Tischmitte sei eine Lmpe ngebrcht. Die Beleuchtungsstärke E einer Lichtquelle wird mit der Formel cos E J berechnet. Dbei ist J die Lichtstärke in cndel (ist einch eine Konstnte), der Abstnd zum beleuchteten Gegenstnd und ist der Winkel zwischen dem Lichtbündel und der Normlen zum Tisch. Wie hoch muss die Lmpe über dem Tisch ngebrcht werden, dmit die Solrzelle miml strk beleuchtet wird? (Tipp: Skizze nertigen!) 1 Punkte Lösung: DHBW STUTTGART MB MATHEMATIK SS01 SEITE 4 VON 6
5 PROBEKLAUSUR II MATHEMATIK STUDIENGANG MB Augbe 5 (Integrlrechnung Substitution und prtielle Integrtion)**: Berechnen Sie die olgenden vier Integrle: ) I 4 e b) I d e 1 c) I 5 1 d 51 e d d) I sin 1 cos d = 15 Punkte Lösungen: 4 ) Substitution des Terms unter der Klmmer lieert I. b) Substitution der e -Funktion lieert I rctne. c) Prtielle Integrtion oder Substitution ergeben 51 I e. I 1 cos. d) Substitution des Terms unter der Wurzel ergibt DHBW STUTTGART MB MATHEMATIK SS01 SEITE 5 VON 6
6 PROBEKLAUSUR II MATHEMATIK STUDIENGANG MB THEMA III: Dierentilgleichungen (15 Minuten) Augbe 6 (Dierentilgleichung)**: Lösen Sie die olgende homogene Dierentilgleichung llgemein und ür y ( ) : y y 1. Lösung: 6 + = 8 Punkte Viel Erolg Ihnen llen! Gesmtpunktzhl: 60 Punkte DHBW STUTTGART MB MATHEMATIK SS01 SEITE 6 VON 6
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