Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

Transkript

1 8. Vorlesung

2 Pseudozufallszahlen sind, wie der Name schon sagt, keine echten Zufallszahlen, sondern werden durch Generatoren erzeugt. Als Pseudozufallszahlen bezeichnet man Zahlenfolgen die durch einen deterministischen Algorithmus (Pseudozufallszahlengenerator) berechnet werden (und somit nicht zufällig sind) aber (für hinreichend kurze Sequenzen) zufällig aussehen. Es werden meist Pseudozufallszahlen herangezogen, da sie sich jederzeit neu erzeugen lassen und replizierbar sind, d.h. bei Vorgabe eines festen Startwertes erzeugt der Generator jedesmal wieder dieselben Pseudozufallszahlen. Echte Zufallszahlen können von physikalischen Generatoren, unter anderem durch die Beobachtung: radioaktiver Zerfälle oder quantenphysikalische Effekte, das Rauschen elektronischer Bauelemente, das Rauschen in der Atmosphäre. Diese Verfahren nennen sich physikalische Zufallszahlengeneratoren, sind jedoch zeitlich oder technisch recht aufwendig.

3 Zufallszahlengeneratoren In der Regel geht man von einem Zufallszahlengenerator aus, der bei jedem Aufruf eine neue Zahl, die im Intervall [0; 1] gleichverteilt ist, berechnet. in Matlab: rand oder unifrnd(0, 1) Aus diesen Zufallszahlen werden die Zufallsvariablen des betrachteten Problems erzeugt. Die Zufallszahlen werden fast ausschließlich durch geeignete Algorithmen als Pseudozufallszahlen im Rechner erzeugt.

4 Das Verfahren für die Erzeugung der Pseudo-Zufallszahlen, welche eine gegebene diskrete Verteilung haben Diskrete Verteilung: Man generiere Zufallszahlen, die folgende diskrete Verteilung haben ( ) 0 1 X, 1 p p mit Hilfe auf [0,1] gleichmäßig verteilten Zufallszahlen. Sei U U[0, 1]; z.b. U = rand oder U = unifrnd(0, 1) Wenn U p Y = 1; Wenn U > p Y = 0; display(y ) Y ist eine Zufallszahl welche die obige Verteilung hat

5 Man generiere Zufallszahlen, die folgende diskrete Verteilung haben ( ) x1 x X 2 x 3, p 1 p 2 p 3 mit Hilfe auf [0,1] gleichmäßig verteilten Zufallszahlen. Sei U U[0, 1]; z.b. U = rand oder U = unifrnd(0, 1) Wenn U p 1 Y = x 1 ; Wenn p 1 < U p 1 + p 2 Y = x 2 ; Wenn p 1 + p 2 < U p 1 + p 2 + p 3 = 1 Y = x 3 ; display(y ) Y ist eine Zufallszahl welche die obige Verteilung hat

6 Inversionsmethode Diskrete Verteilung: Gegeben seien x 1,..., x n (die Werte), p 1,..., p n (ihre Wahrscheinlichkeiten). Man generiere Zufallszahlen, die folgende diskrete Verteilung haben ( ) x1 x X 2... x n, p 1 p 2... p n mit Hilfe auf [0,1] gleichmäßig verteilten Zufallszahlen. Sei U U[0, 1]; z.b. U = rand oder U = unifrnd(0, 1) Wenn U p 1 Y = x 1 ; Wenn p 1 < U p 1 + p 2 Y = x 2 ; Wenn p 1 + p 2 < U p 1 + p 2 + p 3 Y = x 3 ;... Wenn p p k < U p p k+1 Y = x k+1... display(y )

7 Beispiele von Zufallsgeneratoren in Matlab Verteilung von X Zufallsgenerator Bin(n, p) binornd(n, p) Unif (n) unidrnd(n) Poisson(λ) poissrnd(λ) U[a, b] unifrnd(a, b) N (µ, σ 2 ) normrnd(µ, σ) N (0, 1) randn Gamma(α, β) gamrnd(α, β) Exp(λ) exprnd( 1 λ )

8 in Matlab Verteilung Verteilungsfunktion P(X = x) (Wkt., X diskret) von X F X (x) f X (x) (Dichtefunktion, X stetig) Bin(n, p) binocdf (x, n, p) binopdf (x, n, p) Unif (n) unidcdf (x, n) unidpdf (x, n) Poisson(λ) poisscdf (x, λ) poisspdf (x, λ) U[a, b] unifcdf (x, a, b) unifpdf (x, a, b) N (µ, σ 2 ) normcdf (x, µ, σ) normpdf (x, µ, σ) Gamma(α, β) gamcdf (x, α, β) gampdf (x, α, β) Exp(λ) expcdf (x, 1 λ ) exppdf (x, 1 λ )

9 Stetige Verteilung: Man generiere Zufallszahlen, welche eine gegebene, stetige Verteilungsfunktion F haben: Man definiert für jedes y (0, 1) die Funktion { F G(y) = 1 (y), falls F umkehrbar ist inf{x R : F (x) y} falls F nicht umkehrbar ist Sei U U[0, 1]; z.b. U = rand oder U = unifrnd(0, 1) Man berechnet Y = G(U). display(y ) Y ist eine Zufallszahl welche die obige stetige Verteilung hat

10 Anwendung Eine zufällige Variable X hat Cauchy Verteilung, d.h. sie hat folgende Dichtefunktion f X (t) = 1 π(1 + t 2 ), t R. a) Man berechne die Verteilungsfunktion F von X b) Man berechne die Umkehrfunktion F 1. c) Man simuliere Zufallswerte für X mit Hilfe der Inversionsmethode.

11 Definition 18 (X n ) n ist eine Folge von unabhängigen ZG, wenn {i 1,..., i k } N die ZG X i1,..., X ik sind unabhängig, d.h. P(X i1 x i1,..., X ik x ik ) = P(X i1 x i1 ) P(X ik x ik ) x i1,..., x ik R. Zum Beispiel: ZG X n = die angezeigte Zahl im n-ten Wurf eines Würfels (X n ) n ist eine Folge von unabhängigen ZG

12 Definition 19 Die Folge (X n ) n von ZG konvergiert fast sicher zur ZG X, wenn Bezeichnung: X n f.s. X P({ω Ω : lim n X n(ω) = X (ω)}) = Beispiel: ( 1 1 X n n n ) X n f.s.???

13 2. Beispiel: Ω := [0, 1] Grundraum, K := B([0, 1]) Borel-σ-Algebra auf [0, 1]; sei P das Wahrscheinlichkeitsmaß auf [0, 1], d.h. für alle α < β aus [0, 1] berechnet man P ( [α, β] ) = P ( [α, β) ) ( ) ( ) = P (α, β] = P (α, β) := β α P entspricht dem Lebesgue Maß auf [0,1] (siehe 2. Vorlesung) X n (ω) = ω + ω n, ω [0, 1], n 1 X n Sei X (ω) = ω für alle ω Ω { ω für ω [0, 1) lim X n(ω) = n 2 für ω = 1 f.s.??? {ω Ω : lim n X n(ω) = ω} = [0, 1) P({ω Ω : lim n X n(ω) = ω}) = P([0, 1)) = 1 X f.s. Wahrscheinlichkeitsrechnung X und Statistik

14 Relative und absolute Häufigkeit Sei A ein zufälliges Ereignis das in einem Experiment auftaucht; man wiederholt das Experiment n mal (unter denselben gegebenen Bedingungen); man bezeichnen mit k n (A) wie oft das Ereignis A auftaucht; die relative Häufigkeit des Ereignisses A ist die Zahl h n (A) = k n(a) ; die absolute Häufigkeit des Ereignisses A ist die n Zahl k n (A). Experiment: Man wirft n mal eine Münze; A: man erhält Zahl n Anzahl absolute Häufigkeit relative Häufigkeit Durchführungen Exp. k n (A) h n (A) h n (A) f.s. 1 2 (siehe Satz 20) Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

15 Das Starke Gesetz der großen Zahlen (SGGZ) Definition 20 Die Folge von ZG (X n ) n mit E X n < für alle n N erfüllt das starke Gesetz der großen Zahlen (SGGZ) wenn 1 n n k=1 ( ) f.s. X k E(X k ) 0.

16 Das Starke Gesetz der großen Zahlen (SGGZ) Satz 18 Sei (X n ) n Folge von unabhängigen ZG mit E X n < für alle 1 n N und n 2 V (X n) < (X n ) n erfüllt das SGGZ. Satz 19 n=1 Sei (X n ) n Folge von unabhängigen ZG mit der gleichen Verteilung wie die ZG X (d.h. E(X n ) = E(X ), V (X n ) = V (X ) für alle n N) (X n ) n erfüllt das SGGZ, d.h. 1 n (X X n ) f.s. E(X ).

17 Würfeln: Matlab Simulation Gesetz der großen Zahlen clear all clf hold on n=350; x=unidrnd(6,1,n); for i=1:n s(i)=sum(x(1:i))/i; y(i)=i; plot(y(i),s(i), b. ) plot(y(i),3.5, g- ) end plot(y,s, r- ) xlabel( Anzahl Würfe ) ylabel( Durchschnittliche Summe der Zahlen ) x(1:7)=[1, 4, 6, 6, 2, 1,1] s(1:7)=[1, 2.5, , 4.25, 3.8, , 3]

18 Gesetz der großen Zahlen

19 Satz 20 Sei A ein zufälliges Ereignis das in einem Experiment auftaucht; man wiederholt das Experiment n mal (unter denselben gegebenen Bedingungen). Das Gesetz der großen Zahlen: je öfter man das Zufallsexperiment durchführt (also je größer n), desto besser approximiert die relative Häufigkeit h n (A) des Ereignisses A seine echte Wahrscheinlichkeit P(A): h n (A) f.s. P(A), wenn n. In der Praxis: h n (A) P(A), wenn n hinreichend groß ist! Beweis: Man benutzt Satz 19.