1 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Zufallsvariablen

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1 Wahcheinlichkeitechnung und Zufallvaiablen Zoltán Zomoto Veiontand: 8. Mai 0, 09:9 Die nummeieten Felde bitte wähend de Voleung aufüllen. Thi wok i licened unde the Ceative Common Attibution-NonCommecial-ShaeAlike.0 Gemany Licene. To view a copy of thi licene, viit o end a lette to Ceative Common, Second Steet, Suite 00, San Fancico, Califonia, 90, USA. Bitte hie notieen, wa beim Beabeiten unkla geblieben it: Inhaltvezeichni Einleitung Wahcheinlichkeitechnung. Zufallvogänge Eeignie und ihe Datellung Wahcheinlichkeit von Eeignien Übungaufgaben Zufallvaiablen 8. Dikete Zufallvaiablen Stetige Zufallvaiablen Eigenchaften Beipiel Übungaufgaben

2 Einleitung Einleitung Diee und die folgenden Skipte baieen auf dem Folienatz zum Buch [BBK] owie auf [Pap]. Fü die Voleung benötigen Sie nu [Pap], da Sie al ebook au dem Netz de DHBW-Stuttgat kotenlo heunteladen können. Wahcheinlichkeitechnung. Zufallvogänge Zufallvogang Gechehen mit ungewiem Augang, z.b. Münzwuf Elementaeeigni ω Ein mögliche Augang, z.b. Kopf Elementaeeignie chließen ich gegeneitig au Kopf XOR Zahl Egebnimenge Ω Menge alle Elementaeeignie Egebni Tatächlich eingetetene Elementaeeigni Beipiel: Wefen zweie Wüfel { } Ω = (x, x ): x, x {,..., }. Eeignie und ihe Datellung Eeigni A Folgeecheinung eine Egebnie, A Ω 8 Eeignie chließen ich nicht gegeneitig au [Pap, Teil II, Kapitel bi ]

3 Wahcheinlichkeitechnung Beipiel: Wefen zweie Wüfel Eeigni vebal fomal A Augenumme = B Ete Zahl = 9 {(, ), (, ), (, )} 0 {(, ), (, ),..., (, )} Tabelle : Spech-/Scheibweien bei Bildung von Eeignien Becheibung de zugundeliegenden Sachvehalt Bezeichnung (Spechweie) Datellung in Ω (Scheibweie al Teilmenge). A titt iche ein A it ichee Eeigni A = Ω. A titt iche nicht ein A it unmögliche Eeigni A =. wenn A eintitt, titt B ein A it Teileeigni von B A B. genau dann, wenn A eintitt, titt B ein A und B ind äquivalente Eeignie A = B. wenn A eintitt, titt B nicht ein. genau dann, wenn A eintitt, titt B nicht ein. genau dann, wenn mindeten ein A j eintitt (auch: genau dann, wenn A ode A ode... eintitt), titt A ein 8. genau dann, wenn alle A j einteten (auch: genau dann, wenn A und A und... einteten) A und B ind dijunkte Eeignie A B = A und B ind komplementäe Eeignie B = Ā A it Veeinigung de A j A = j A it Duchchnitt de A 8 j A = j A j A j. Wahcheinlichkeit von Eeignien Wahcheinlichkeit P (A) 9 Chance fü da Einteten von A

4 Wahcheinlichkeitechnung Axiome de Wahcheinlichkeitechnung. 0 P (A) 0 fü alle A. P (Ω) =. P (A A ) = P (A ) + P (A ) +, fall alle A j dijunkt Laplace-Wahcheinlichkeit P (A) = A Anzahl de fü A güntigen Fälle = Ω Anzahl alle möglichen Fälle Voauetzung: Alle ω Ω gleich wahcheinlich Beipiel: Wefen zweie Wüfel, Augenumme gleich vie: A = {(, ), (, ), (, )} Ω =, A = P (A) = = = 0.08 Unenmodell: Ziehe k Objekte au eine Menge von n vechiedenen Objekten ([Pap, Tabelle, Seite ]) ohne mit Wiedeholung Wiedeholung ( ) ( ) n n + k C(n, k) = C w (n, k) = Kombinationen k k ungeodnete k-te Odnung Stichpoben Vaiationen k-te Odnung 8 V (n, k) = n! (n k)! 9 V w (n, k) = n k geodnete Stichpoben Ziehung ohne Zuücklegen Ziehung mit Zuücklegen Beipiel: Paallelchaltung von vie Widetänden, wobei ingeamt vechiedene Widetände R, R,..., R zu Vefügung tehen. Wie viele vechiedene Schaltmöglichkeiten gibt e, wenn jede de Widetände a) höchten einmal und b) mehmal, alo bi zu viemal vewendet weden daf? ([Pap, Seite 9])

5 Wahcheinlichkeitechnung a) 0 Kombination ohne Wiedeholung, n =, k = C(, ) = ( ) =!!! = b) Kombination mit Wiedeholung, n =, k = C w (, ) = ( ) 9 9!!! = Rechenegeln fü Wahcheinlichkeiten. P (a). P ( ) = 0. A B P (A) P (B). P (Ā) = P (A). P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A B C) = P (A) + P (B) + P (C) P (A B) P (A C) P (B C) +P (A B C). 8 P (B) = i P (B A i ), fall alle A j dijunkt und j A j = Ω C A A B A A A B

6 Wahcheinlichkeitechnung Beipiel: Einmalige Wüfeln P (A) = P ( Augenzahl ) = 9 P (Ā) = 0 P ( Augenzahl = ) = / = / Bedingte Wahcheinlichkeiten Wahcheinlichkeit B hängt von Eeigni A ab. Fomal: P (B A) = P (B A) P (A). Zufallvogänge, Eeignie und Wahcheinlichkeiten Baumdiagamm Im Mengendiagamm: Baumdiagamm Beipiel: Ω Une: ote, chwaze Kugeln; -mal Ziehen ohne Zuücklegen P.;;/ BD D P., / D P.;;/ C P.;;/ C P.;;/ P (B) = Kei D P (B A) = Halbkei C C Quadat Deieck D 0; Geneell: P.A/ P.BjA/ A B P.B \ A/ D P.BjA/ P.A/ B A 0 Bambeg et al.: Statitik j

7 keiten geln; legen P.;;/ C P.;;/ C A/.A/ B Wahcheinlichkeitechnung Beipiel: Unenmodell, ote, chwaze Kugeln, -mal Ziehen ohne Zuücklegen. 0 j. Zufallvogänge, Eeignie und Wahcheinlichkeiten Baumdiagamm Beipiel: Une: ote, chwaze Kugeln; -mal Ziehen ohne Zuücklegen P.;;/ D D P., / D P.;;/ C P.;;/ C P.;;/ Geneell: D C C D 0; P.A/ P.BjA/ A B P.B \ A/ D P.BjA/ P.A/ Totale Wahcheinlichkeit: Unbedingte au bedingten Wahcheinlichkeiten echließen. Au Bambeg et al.: Statitik Lücke 8 und folgt: P (B) = i P (B A i ) = i P (B A i ) P (A i ) Fomel von Baye: Umkehen von Agument und Bedingung. 8 P (A j B) = P (B A j ) Lücke : P (A j B) P (B) = P (B A j ) P (A j ) Lücke P (A j B) = P (B A j) P (A j ) P (B A i ) P (A i ) i Unabhängigkeit von Eeignien: A, B unabhängig: Da Einteten von A it nicht infomativ bezüglich P (B) und umgekeht. 9 Fomal: P (B A) = P (B) Äquivalent zu: 0 P (B A) = P (B) P (A)

8 Zufallvaiablen Dann gilt: P (A B) = P (A) + P (B) P (A) P (B) Beipiel: Zwei Wüfel unabhängig wefen. } A : ete Wüfel gleich P (A B) = B : zweite Wüfel gleich + =. Übungaufgaben [Pap, Teil II, Zu Abchnitt bi, Seite ff] Zufallvaiablen Becheibung von Eeignien duch eelle Zahlen. Fomal: Egebnimenge Ω R, d.h. ω Ω X(ω) Vo Duchfühung de Zufallvogang: X Zufallvaiable ode Wetebeeich: Nach Duchfühung de Zufallvogang: Wet ode Realiation: x Beipiel: Wüfeln mit Fabwüfel mit de Egebnimenge Ω = {blau, gün, lila, ot, chwaz, weiß} Wi odnen jede Fabe eine (innvolle) eelle Zahl zu, zum Beipiel b = 0, g =,... omit it de Wetebeeich = {0,,,,, } P (X = 0) =, P (X ) = =. Dikete Zufallvaiablen X heißt diket, fall ih Wetebeeich8 endlich it. [Pap, Teil II, Kapitel ] 8

9 Zufallvaiablen 9 kontant 0 Dann it P (X = x) nicht Die Funktion 0 f(x) = P (X = x) einfache heißt Wahcheinlichkeitfunktion ode Wahcheinlichkeit. Fü die Veteilungfunktion gilt dann: F (x) = P (X x) = x i x f(x i ) Die Veteilungfunktion heißt dahe auch kumuliete Wahcheinlichkeit. Beipiel: Münze mal wefen, X: Anzahl Kopf 8. Zufallvaiablen und 8. Zufallvaiablen Veteilungen und Veteilungen Beipiel 0, fall x < 0 (Z, Z) (Z,K), (K,Z) (K,K) Münze 0 x i mal Münze wefen; mal X : wefen; Anzahl X Kopf : Anzahl Kopf, fall 0 x < 8 F (x) =, 8 0; fall fall 0; x < fall 0 x < x < 0 f(x.z;z/ i ).Z;K/;.Z;Z/.K;Z/.Z;K/;.K;K/.K;Z/.K;K/ ˆ<, fall x x i 0 F.x/ D ; fall 0 ˆ< x x < i 0 f.x i / ˆ: ; F.x/ f.x fall D ; fall 0 x < x < i / ˆ: ; fall x < ; fall ; x fall x Beipiel f.x/ f.x/ F.x/ x x x F.x/ x Bambeg et al.: Statitik Bambeg et al.: Statitik j j 9

10 Zufallvaiablen. Stetige Zufallvaiablen X heißt tetig, fall F (x) tetig it. Dann gilt: 8 x F (x) = f(t) dt F (x) = f(x) heißt Dichtefunktion von X. Zudem gilt: 9.. Eigenchaften 0 f(x) 0 fü alle x R Wegen F ( ) = mu tet gelten: f(x) dx = P (X = x) = 0 fü alle x R F (x) = f(x) Intevallgenzen pielen keine Rolle: P (X [a, b]) = P (X (a, b]) = P (X [a, b)) = P (X (a, b)) = F (b) F (a) 0

11 Liteatu.. Beipiel f(x) = 0, fall x < 0 0, fall 0 x 0 0, fall x > 0 Veteilungfunktion:. Übungaufgaben [Pap, Teil II, Zu Abchnitt, Seite ff] Liteatu [BBK] [Pap] Günte Bambeg, Fanz Bau und Michael Kapp. Statitik.. Auflage. Oldenboug Velag, 0. Lotha Papula. Mathematik fü Ingenieue und Natuwienchaftle.. Auflage. Bd.. Vieweg + Teubne, 0.