n (als K 0 -Vektorraum) und insbesondere

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1 Algebra I c Rudolf Scharlau, Endliche Körper. Wir beschäftigen uns in diesem Abschnitt mit endlichen Körpern. Zum einen kann hier die allgemeine Theorie (auch die der folgenden Abschnitte 4.4 und 4.5) in einer relativ einfachen Situation erläutert werden. Zum anderen tauchen endliche Körper in recht unterschiedlichen Kontexten wieder auf. Zum Beispiel stellen sie in der algebraischen Zahlentheorie eine natürliche Verallgemeinerung der Restklassenkörper Z/pZ dar. Auf der anderen Seite gehören sie zu den Standard- Werkzeugen der Informations- und Codierungstheorie, auch bei mehr ingenieurwissenschaftlicher Betrachtung. Der Primkörper K 0 eines endlichen Körpers K ist isomorph zu F p = Z/pZ für eine Primzahl p, nämlich die Charaktersitik von K. Wie bei jeder Körpererweiterung ist K ein K 0 -Vektorraum; dieser ist notwendigerweise endlich-dimensional, sagen wir n := dim K0 K. Dann ist K = K0 n (als K 0 -Vektorraum) und insbesondere K = p n. Wir haben bewiesen: Bemerkung Die Ordnung (d.h. die Anzahl der Elemente) eines endlichen Körpers ist eine Potenz einer Primzahl. Wir kommen nun zu einem etwas komplizierteren Satz über die Struktur endlicher Körper. Satz Es sei U eine endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe K eines beliebigen Körpers K. Dann ist U zyklisch. Insbesondere ist die multiplikative Gruppe jedes endlichen Körpers zyklisch. Beweis: Wie in Satz sei U = p k 1 1 p k p kr r, wobei die p i paarweise verschiedene Primzahlen sind und k i N. Nach dem zitierten Satz ist U das direkte Produkt der Untergruppen U i = {x U x pk i i = e}, wobei U i die Ordnung p k i i hat. Nach Satz ist das direkte Produkt von zwei zyklischen Gruppen mit teilerfremden Ordnungen wieder zyklisch; das verallgemeinert sich unmittelbar auf das direkte Produkt von r 2 Faktoren. Es reicht also zu zeigen, dass jedes U i zyklisch ist. Es sei p k i die größte Ordnung, die für Elemente x U i auftritt. Es ist also k k i. Wenn k = k i ist, ist ein x 0 mit ord(x 0 )=p k i ein Erzeugendes für U i. Wir müssen also die Annahme k < k i zum Widerspruch führen. Nun gilt aber x pk i = 1 für alle x U i, denn die Ordnung von jedem x ist eine p-potenz, die definitionsgemäß höchstens p k i ist. Das heißt, alle Elemente von U i sind Nullstellen des Polynoms X pk i 1. Dieses Polynom hat den Grad p k i, also höchstens p k i < U i Nullstellen, Widerspruch. Hauptziel dieses Abschnitts ist der Beweis der folgenden Umkehrung von Bemerkung Satz Zu jeder Primzahlpotenz p n gibt es einen Körper der Ordnung p n. Dieser ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.

2 Algebra I c Rudolf Scharlau, Der Beweis erfordert einige Vorbereitungen. Lemma Es sei F ein endlicher Körper und q := F. Dann gilt x q = x für alle x F. Beweis: Für x = 0 ist die Behauptung klar. Für x 0 ist sie äquivalent zu x q 1 = 1. Dieses folgt unmittelbar aus dem Satz von Lagrange der Gruppentheorie, denn q 1 ist die Ordnung der multiplikativen Gruppe F. Lemma In jedem Körper der Charakteristik p hat das Polynom X q X, wobei q = p r ist, nur einfache Nullstellen. Beweis: Nach Lemma reicht es hierfür zu zeigen, dass das Polynom keine gemeinsamen Nullstellen mit seiner Ableitung hat. Die Ableitung von X q X ist gleich qx q 1 1= 1 wegen q.1 K =0 K, woraus die Behauptung unmittelbar klar ist. Lemma Wenn K ein Körper der Charakteristik p>0 ist und q = p r, so ist die Abbildung σ q : x x q,k K ein Homomorphismus (von Körpern). Beweis: Für jedes Element x einer Menge mit einer assoziativen Verknüpfung (Halbgruppe) und für beliebige n, m N gilt in Fortschreibung der Potenzgesetze aus (x n ) m = x nm.für unsere Abbildung σ q = σ p r folgt hieraus durch Induktion über r σ q = σ p r = σ p σ p... σ }{{} p =(σ p ) r, r mal denn es ist σ p r(x) =x pr = x pr 1p =(x pr 1 ) p = σ p (x pr 1 )=σ p (σ p r 1 (x)) = σ p r (x) (das vorletzte Gleichheitszeichen nach Induktionsannahme). Also reicht es für den Beweis des Lemmas, den Fall r = 1, q = p zu betrachten. Zunächst einmal ist σ p (1) = 1, wie es von einem Homomorphismus von Ringen mit 1, insbesondere von Körpern, gefordert wird. Die Regel σ p (xy) =σ p (x)σ p (y) ist klar, beide Seiten sind gleich (xy) p. Es bleibt (x + y) p zu betrachten. Nach der binomischen Formel, die offensichtlich in jedem kommutativen Ring gilt, ist (x + y) p = x p + px p 1 y + ( p 2 ) x p 2 y ( p p 1 In Z sind alle Binomialkoeffizienten ( ) p p(p 1) (p k + 1) =, 1 k p 1, k k ) xy p 1 + y p. durch p teilbar, da sich p nicht kürzen kann. In unserem Körper K der Charakteristik p sind also alle diese ( p k) gleich Null. Somit ist (x + y) p = x p + y p, wie gewünscht.

3 Algebra I c Rudolf Scharlau, Lemma Wenn ϕ ein Homomorphismus eines Körpers K in sich ist, so ist seine Fixpunktmenge ein Teilkörper von K. Fix K (ϕ) := {x K ϕ(x) =x} Der Beweis ergibt sich durch routinemässiges Nachrechnen. Beweis von Satz Zur Existenz: Ausgangspunkt ist das Lemma Dieses können wir so lesen, dass in einem Körper F der Ordnung q = p n jedes Element Nullstelle des Polynoms f := X q X = X(X q 1 1) ist. Man verschaffe sich also mittels zunächst einen Erweiterungskörper F von F p, über dem f in Linearfaktoren zerfällt. Dann betrachte man F := {x F x q = x}. Dieses ist nach Lemma und Lemma ebenfalls ein Körper. Nach Konstruktion liegen alle Nullstellen, die f in F hat, sogar in F, und umgekehrt sind alle Elemente von F tatsächlich Nullstellen von f. Da nach Lemma alle Nullstellen einfach sind, ist ihre Anzahl gleich grad f = q. Also ist F = q, wie gewünscht. Zur Eindeutigkeit: Es seien F und F zwei Körper mit q Elementen und α ein Erzeugendes der zyklischen Gruppe F. Dann wird insbesondere F als Erweiterungskörper von F p von α erzeugt, d.h. F = F p [α]. Wenn f F p [X] das Minimalpolynom von α über F p bezeichnet, so ist also f ein Teiler von X q X und F = F p [X]/(f). Da X q X auch über dem zweiten Körper F in Linearfaktoren zerfällt, hat f eine Nullstelle α F, und da f irreduzibel ist, muss f das Minimalpolynom auch von α über F p sein. Es folgt F p [α ] = F p [X]/(f) (siehe Satz b)), also hat der Teilkörper F p [α ] F genau q Elemente, muss also gleich F sein. Insgesamt haben wir die gewünschte Isomorphie F = F p [α] = F p [X]/(f) = F p [α ]=F. In Erweiterung der Standardbezeichnung F p wird in Zukunft der bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte Körper mit q = p n Elementen mit F q bezeichnet. Bemerkung Es seien F p n und F p m zwei endliche Körper gleicher Charakteristik p. Dann ist F p n (isomorph zu einem) Teilkörper von F p m genau dann, wenn n ein Teiler von m ist. Beweis(skizze): Es muss (p n ) k = p m sein, wenn k =[F p m : F p n] ist. Zum Beispiel ist der Körper F 8 kein Teilkörper von F 16 und auch nicht von F 128, aber Teilkörper von F 64 und F 512. Beispiele von endlichen Körpern haben wir bereits in Kapitel 3.4 vorgestellt (siehe und die Übungen). Wir fügen noch ein weiteres Beispiel hinzu, für das die Eindeutigkeitsaussage von Satz benutzt werden kann:

4 Algebra I c Rudolf Scharlau, Beispiel Betrachte den Ring Z[i] der ganzen Gauß schen Zahlen. Für jede Primzahl p N mit p 4 3 gilt Z[i]/p Z[i] = F p 2. Beweis: Aus Abschnitt 3.7 wissen wir, dass Z[i] euklidisch, also Hauptidealring ist, und die genannten Primzahlen p =3, 7, 11, 19,... in diesem Ring irreduzibel bleiben. Also ist Z[i]/p Z[i] ein Körper. Als additive Gruppe ist Z[i] isomorph zu Z 2. Folglich ist Z[i]/p Z[i] = Z 2 /pz 2 = (Z/pZ) 2, gemeint ist wieder die Isomorphie von abelschen Gruppen. Dieses gilt übrigens unabhängig von den Eigenschaften von p, also für jede natürliche Zahl p. Insbesondere besitzt Z[i]/p Z[i] genau p 2 Elemente. Wir beschließen diesen Abschnitt mit einem Satz, dessen ersten Teil wir im Wesentlichen schon im Beweis von Satz gesehen haben. Er handelt von der Automorphismengruppe eines endlichen Körpers, eine Thematik, die unten in Abschnitt 4.5 für beliebige Kürper behandelt wird. Wie auch bei anderen algebraischen Strukturen (z.b. Vektorraum, Gruppe) bilden die Automorphismen eines Körpers K eine Gruppe (nämlich eine Untergruppe der Gruppe aller bijektiven Abbildungen von K in K). Wir wollen die entsprechende Bezeichnung explizit einführen und die Situation auch etwas verallgemeinern, indem wir Körpererweiterungen mit einbeziehen. Vergleiche auch die Definition im folgenden Abschnitt und die darauf folgende Diskussion. Bezeichnung Für einen Körper K sei Aut K := {σ σ : K K Automorphismus } die Automorphismengruppe von K; für eine Körpererweiterung K K 0 sei Aut(K : K 0 ) := {σ Aut K σ K0 = id} Dieses ist eine Untergruppe von Aut(K), die Gruppe der sogenannten K 0 -Automorphismen von K. Sie heißt auch relative Automorphismengruppe von K über K 0. Wenn in dieser Definition die Erweiterung nur durch eine Einbettung i : K 0 K gegeben ist, ist die Bedingung σ K0 = id durch σ i = i zu ersetzen; dann gilt nach Definition Aut(K : K 0 ) = Aut(K : i(k 0 )). Wir identifizieren den Primkörper von K mit Q für char K = 0 bzw. mit F p für char K = p>0. Wenn σ Aut K ist und x ein Element des Primkörpers von K, dann ist offenbar σ(x) =x. Also ist Aut(K : Q) = Aut K bzw. Aut(F : F p ) = Aut F für jeden Körper der Charakteristik 0 bzw. p>0. Deshalb beinhaltet die folgende Aussage über die relative Automorphismengruppe einer Erweiterung endlicher Körper auch die Bestimmung der Automorphismengruppe eines endlichen Körpers. Wir erinnern vorweg daran, dass jeder Homomorphismus σ von Körpern injektiv ist. Wenn K endlich ist, ist σ : K K folglich sogar bijektiv, also ein Automorphismus.

5 Algebra I c Rudolf Scharlau, Satz Es sei q eine Potenz einer Primzahl p. Der Automorphismus σ q : x x q des endlichen Körpers F q n hat die Ordnung n. Er erzeugt die relative Automorphismengruppe Aut(F q n : F q ), die somit zyklisch von der Ordnung n ist. Beweis: Der Automorphismus σ n q = σ q n (vergleiche den Beweis von Lemma 4.3.6) ist nach Lemma auf F q n die Identität. Auf der anderen Seite hat für 1 m < n der Automorphismus σ m q einen Fixkörper aus höchstens (sogar genau nach Lemma 4.3.5) q m Nullstellen (betrachte den Grad des Polynoms X qm X). Deshalb kann σ m q auf F q n nicht die Identität sein. Auf F q ist σ q die Indentität, insgesamt also ein Element in Aut(F q n : F q ) von der Ordnung n. Es bleibt noch zu zeigen, dass diese Gruppe nicht mehr als n Elemente besitzt. Dieses ergibt sich aus dem folgenden, allgemeinen Lemma. Lemma a) Es sei L : K eine Körpererweiterung, f K[X] sowie α L eine Nullstelle von f. Dann ist für jedes σ Aut(L : K) auch σ(α) eine Nullstelle von f. b) Gegeben sei eine endliche Körpererweiterung der Form K[α] : K vom Grad n, also n gleich dem Grad des Minimalpolynoms p α K[X]. Dann ist die Anzahl der Automorphismen von K[α] über K genau gleich der Anzahl der Nullstellen von p α in K[α], insbesondere höchstens gleich n. Die Gruppe Aut(K[α] : K) operiert (scharf) transitiv auf der Menge dieser Nullstellen. Beweis: Teil a) ist offensichtlich: weil die Koeffizienten von f unter allen Elementen von Aut(L : K) fest bleiben, ist f(σ(α)) = σ(f(α)) = σ(0) = 0. In der Situation von b) mit L = K[α] und f = p α ist σ offensichtlich durch σ(α) bereits vollständig bestimmt. Insbesondere gibt es höchstens so viele solche Automorphismen, wie es Nullstellen von f in L gibt. Umgekehrt gilt aber für jede (weitere) Nullstelle β L aus Gradgründen, dass K[β] =L = K[α] ist, und die Verkettung der beiden Isomorphismen aus b) liefert einen Automorphismus von L, der K festlässt und α auf β abbildet: K[α] K[X]/(f) K[β], g(α) g(β), g K[X]. Die letzte Aussage über die Transitivität ist nun ebenfalls klar. Der Teil b) des Lemmas ist in der Situation von Satz anwendbar, weil F q n tatsächlich von der Form F q [α] ist. Man kann für α nach z.b. ein erzeugendes Element der multiplikativen Gruppe Fq n nehmen, wie im Beweis von Satz bereits geschehen.