Die im Folgenden vorgestellten Lösungen sind Vorschläge. Andere Lösungswege sind denkbar, Tippfehler sind nicht auszuschließen.

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Bernd Busch
vor 6 Jahren
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1 Zusätzliche Übungsaufgaben II Die im Folgenden vorgestellten Lösungen sind Vorschläge. Andere Lösungswege sind denkbar, Tippfehler sind nicht auszuschließen. Aufgabe 1 ( Punkte) Eine Tablettenverpackungsmaschine läuft über einen bestimmten Zeitraum mit verschiedenen Geschwindigkeiten: a) Wieviele Wochen lief die Maschine? (1,5 Teilpunkte): =,8Wochen 6000 =,6 Wochen Zeitraum Verpackte Tabletten Geschwindigkeit (Tabletten pro Woche) =,075Wochen t=,8,6,075 Wochen=9,475 Wochen b) Wie hoch ist die durchschnittliche Geschwindigkeit (in Tabletten pro Woche) über den gesamten Zeitraum? (1,5 Teilpunkte): v= Tabletten =746,7 Tabletten pro Woche 9,475 Wochen

2 Aufgabe ( Punkte) Bestimmen Sie die Wendepunkte (x,y) der nachfolgenden Funktion. Welche Steigung (s) hat die Funktion an den von Ihnen ermittelten Wendepunkten? f x =x ln x x² x 1 f ' x =1 ln x x x 4x 1=lnx 4x f ' ' x = 1 x 4 f ' ' ' x = 1 x² Kriterium Wendepunkt: f ' ' x =0, f ' ' ' x 0 f ' ' x = 1 x 4=0 1 x =4 x= 1 4 f ' ' ' 1 4 = 1 = Bestimmung y: f 1 4 = 1 4 ln ² 1 4 1=11,78 P 0,5;11,78 Steigung: f ' 1 4 =ln =ln 1 4 1=,9

3 Aufgabe ( Punkte) Sie mischen zwei HCl-Lösungen: Lösung 1: Volumen: 00ml; Massenkonzentration: 00 g L Lösung : Volumen: 00ml; Stomengenkonzentration: mol L Die Dichte aller Lösungen sei 1,16 Kg L a) Welche Stoffmengenkonzentration ( c i ) besitzt Lösung 1? (1,5 Teilpunkte)

4 b) Welche Molalität ( b i ) besitzt die resultierende Lösung? (1,5 Teilpunkte)

5 Aufgabe 4 ( Punkte) Eine bestimmte Stoffmenge (x in mol) an K Cr O 7 wird zu insgesamt 100,0ml verdünnt Lösung A. 5ml der Lösung A wird mit Wasser zu insgesamt 50,0ml verdünnt Lösung B. Die Dichte aller Lösungen sei 1,0 Kg L Wie groß ist x zu wählen, damit Lösung B einen Massenanteil von 0,0005 an K Cr O 7 besitzt? Für Lösung B: w i =0,0005 V =50ml =1 g ml m i =w i m g =w i V =0, ml 1 g ml =0,15 g 5ml Lösung A enthält 1,5 g K Cr O 7 100ml Lösung A enthält 100ml 5ml 0,15 g K Cr O 7,5g in Lösung A: m i =,5 g, =1 g ml, V =100ml M K Cr O = n i = m i =,5 g M i 94 g =0,0085 mol mol x i =n i =0,0085 mol g mol =94 g mol

6 Aufgabe 5 ( Punkte) Lösen Sie die Differentialgleichung y' = 4 y explizit nach y auf, wenn für x=, y=,5149 gesetzt wird. dy dx = 4 y y dy=4 dx y dy= 4 dx y =4x c y³ =4x c y³= 4x c =6x c y³= 6x c ² y= 6x c x=, y=,5149 einsetzen,5149= 6 c 1 c =, c=11 c=66,67 y= 6x 100

7 Aufgabe 6 ( Punkte) Lösen Sie das bestimmte Integral: = e 0,5 1 ln x 4 sinx dx x = e 0,5 x 1 ln x 4 sinx dx = e 0,5 x x ln x x 4x cos x c dx = e 0,5 x x ln x 5x cos x c = e 0,5 ln 15 cos c e 0,5 ln 10 cos c =0,9098 1, = -,64

8 Aufgabe 7 ( Punkte) z berechnet sich aus x und y nach folgender Formel: z= x 5 ln y 1 x und y wurden wie folgt gemessen: x =,00cm ± 0,cm, y = 5,00cm ± 0,4cm. Berechnen Sie den maximalen absoluten Fehler ( Δz ) und den maximalen relativen Fehler ( Δz ) für z. z z= z x x z y y z= ln y 1 y x 5 y 1 z=0,818 0,55 z=1,568 z z = 1,568 5 ln 5 1 z z = 1,568 1,408 z z =0,064

9 Aufgabe 8 ( Punkte) In einer Krebstherapie wird eine radioaktive Substanz mit einer Halbwertszeit ( T H ) von,6 Tagen verwendet. Die Ausgangsaktivität beträgt 6000 MBq. Nach wie vielen Tagen beträgt die Restaktivität 600 MBq? Hinweis: bei dem Zerfallsgesetz gilt für die Halbwertszeit: = ln T H N T H =N 0 e t N T H =N 0 e ln t T H N T H =e ln t T H N 0 ln N T H N 0 = ln T H t ln N T H N 0 T H ln =t ln 600MBq,6d 6000MBq ln =t 11.95d=t

10 Aufgabe 9 ( Punkte) Bei einem Laborexperiment sei folgender Zusammenhang zwischen Eingangsgröße und Messung gegeben: c y=c 1 e x mit c 1 und c : Konst. Nach einer geeigneten Linearisierung (Transformation) wurde aus einigen Messpunkten folgende Regressionsgerade ermittelt: a) Geben Sie die Formel des linearisierten Graphen in der Form y=ax b an (1 Teilpunkt): ln y=c 1 x ln c 1 a=c b=ln c 1 b) Bezeichnen Sie die Achsen des linearisierten Graphen (1 Teilpunkt): ln y, 1 x c) Entnehmen Sie a und b aus dem Graphen und berechnen Sie c 1 und c (1 Teilpunkt): Mit b=0, und a= 0,0 0, = folgt c =a=0.005 und ln c 1 =b=0, c 1 =e b =e 0, =1,77

11 Aufgabe 10 ( Punkte) Bei einer normalverteilten Tablettenfertigung sollen höchstens 5% der Tabletten aufgrund einer Größenabweichung von mehr als 0,0mm verworfen werden. Der Mittelwert beträgt 0,6mm ( x ). Wie groß darf die Standardabweichung (σ) bei der Fertigung maximal sein? z= x Symmetrie F(-z) = 0,05 => z = -1,96 => 1,96= 0,58 0,6 = 0,0 1,96 =0, oder F(z) = 0,975 oder D(z) = 0.95 => z = 1,96 => 1,96= 0,6 0,6 = 0,0 1,96 =0,

12 Aufgabe 11 ( Punkte) Bei der Herstellung von Kapseln treten Fertigungsstörungen bei der Abdichtung der Kapseln auf. Es wird angenommen, dass die Anzahl der fehlerhaften Kapseln poissonverteilt ist, mit durchschnittlich 0,00 fehlerhaften Kapseln pro 1000 hergestellten Kapseln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit (P), in einem Paket mit 0000 Kapseln mehr als fehlerhafte Kapseln zu besitzen? Poissonverteilung Erwartungswert bei 0000 Kapseln: 0,00*0=0,06 Warscheinlichkeit eines Ereignisses P X=k = k k! e Warscheinlichkeit für mehr als fehlerhafte Kapseln entspricht 1 [P X =0 P X=1 P X= ]=P X P X=0 = 0,060 e 0,06 = 1 0! 1 0, =0, P X=1 = 0,061 e 0,06 = 0,06 1! 1 0, =0, P X= = 0,06! e 0,06 = 0,006 0, =0,0018 0, =0, P X=0 P X =1 P X = =0, , =0, =P X

13 Aufgabe 1 (4 Punkte) Zwei Wirkstoffe gegen Haarausfall sollen verglichen werden. Dazu werden 60 Patienten mit Wirkstoff A (Gruppe 1) und 6 Patienten mit Wirkstoff B (Gruppe ) behandelt. Nach Monaten wird eine Messung des Haarausfalls durchgeführt. Gruppe 1 hat einen mittleren Haarausfall von Gruppe hat einen mittleren Haarausfall von x=6 Haare cm² x=1 Haare cm² mit Stichprobenvarianz s 1 =9,5. mit Stichprobenvarianz s =10. a) Nennen Sie den Namen eines geeigneten Tests zur Überprüfung (1 Teilpunkt): -Stichproben-t-Test (zweiseitig) oder zweiseitiger t-test für unabhängige Stichproben b) Nennen Sie die Alternativ- und Nullhypothese (1 Teilpunkt): H 0 : 1 = H 1 : 1 c) Testen Sie auf einem Signikanzniveau (α) von 5%. Und bewerten Sie das Ergebnis hinsichtlich Annahme bzw. Ablehung Ihrer Hypothese ( Teilpunkte): df =n 1 n =60 6 =10 Tabellenwert t df =10;1 =1,980 gepoolte Varianz s p = n 1 s 1 1 n 1 s n 1 1 n 1 = 59 9, = 560,5 610 = 1170, =9, s x1 x = s p 1 1 n 1 n = 9, /60 1/6 = 0, =0, t= 6 1 0, = 4 0, =4, H 0 kann zum Signifikanzniveau von 5% abgelehnt werden. Der Haarausfall unterscheidet sich signifikant.