IST DIE AGGREGATIONSFORMEL FÜR SOLVENZKAPITALIEN

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1 IST DIE AGGREGATIONSFORMEL FÜR SOLVENZKAPITALIEN UNTER SOLVENCY II STABIL? EINE KRITISCHE ANALYSE DIETMAR PFEIFER INSTITUT FÜR MATHEMATIK

2 1. Zur Begriffsbestimmung des SCR 2

3 1. Zur Begriffsbestimmung des SCR The SCR corresponds to the economic capital a (re)insurance undertaking needs to hold in order to limit the probability of ruin to 0.5%, i.e. ruin would occur once every 200 years. The SCR is calculated using Value-at-Risk techniques, either in accordance with the standard formula, or using an internal model: all potential losses, including adverse revaluation of assets and liabilities, over the next 12 months are to be assessed. The SCR reflects the true risk profile of the undertaking, taking account of all quantifiable risks, as well as the net impact of risk mitigation techniques. Proposal for a Directive of the European Parliament and of the Council on the taking-up and pursuit of the business of Insurance and Reinsurance - Solvency II, COMMISSION OF THE EUROPEAN COMMUNITIES, Brussels,

4 1. Zur Begriffsbestimmung des SCR The solvency margin is a buffer in a company s assets covering its liabilities. For the supervisor, it is important that the policyholders are protected, but it is also important for him to ensure the stability of the financial market. In view of this, the definition of the solvency margin (SM) given by Pentikäinen (1952) is our benchmark: The solvency margin, SM, is the difference between assets, A, and liabilities. L: SM = A L. If we put some restrictions on the assets, e.g., that they should be of good quality, we have by this definition what could be called the available solvency margin (ASM). nach: Sandström (2006), p. 9 4

5 1. Zur Begriffsbestimmung des SCR nach: Sandström (2006), p. 9 5

6 1. Zur Begriffsbestimmung des SCR In the second phase of the EU project Solvency II, the commission introduced two distinct levels of solvency: an upper level, called solvency capital Requirement (SCR), an a lower level, the minimum capital requirement (MCR). The two levels are emanating as percentiles from a hypothetical (skew) distribution. 6 nach : Sandström (2006), p. 185 f.

7 1. Zur Begriffsbestimmung des SCR Beispiel aus der aktuellen QIS4-Runde: BSCR SCRop Adj SCR SCR Gesamtberechnung Basis-Solvenzkapitalanforderung (BSCR) und geschätzte zukünftige Überschussbeteiligung BSCR AdjFDB nbscr Ergebnisse vt. Risiko Aggregation der Risiken Marktrisiko Ausfallrisiko Leben Kranken NichtlebenAggregiert Risiko vor Anrechnung der zukünft. ÜB Risiko nach Anrechnung der zukünft. ÜB Lower boundary of risk (TS.VI.H.8) Korrelation mit SCRmkt 100% 25% 25% 25% 25% Korrelation mit SCRdef 25% 100% 25% 25% 50% Korrelation mit SCRlife 25% 25% 100% 25% 0% Korrelation mit SCRhealth 25% 25% 25% 100% 25% Korrelation mit SCRnl 25% 50% 0% 25% 100% 7

8 1. Zur Begriffsbestimmung des SCR 6. Struktur Eigenmittel QIS4 reply QIS4 reply QIS4 reply Benchmark SCR Bedeckung 683,9% 683,9% 683,9% 100% (Tier 1 Basiseigenmittel + Tier 2 Basiseigenmittel) / gesamte Eigenmittel 29,8% 29,8% 29,8% 33% (Tier 3 Basiseigenmittel + Tier 3 ergänzende Eigenmittel) / gesamte Eigenmittel 43,7% 43,7% 43,7% 33% MCR Bedeckungsquote 683,8% 683,8% 683,8% 100% Tier 1 Basiseigenmittel / (Tier 1 + Tier 2 Basiseigenmittel) 100,0% 100,0% 100,0% 50% 8

9 2. Risikomessung unter Solvency II 9

10 2. Risikomessung unter Solvency II Solvency Capital Requirement (SCR) je Risiko wird hier im Sinne von Sandström (2006) verstanden als Differenz zwischen einem geeigneten Risikomaß und gewissen Eigenmitteln (etwa Netto-Prämien = Erwartungswert als Basisgröße), der erforderliche Kapitalbedarf wird entsprechend als SCR- Level bezeichnet. Bei normalverteilten Risiken ist das SCR ein Vielfaches der Standardabweichung des Risikos, dessen Größe nur vom Risikoniveau abhängt Das SCR für das Gesamtrisiko wird als Wurzel der korrelationsadjustierten Summe von Quadraten der einzelnen SCR s dargestellt ( Wurzelformel der NAIC / IAA; Solvency II-Standardformel). 10

11 Definition (kohärentes Risikomaß): 2. Risikomessung unter Solvency II Ein Risikomaß R auf einer geeigneten Menge D Z der nichtnegativen Zufallsvariablen (Risiken) heißt kohärent im Sinne von ARTZNER, DELBAEN, EBER und HEATH (1999), wenn es die folgenden Eigenschaften besitzt: [1] [2] [3] [4] R ist positiv homogen, d.h. ( ) = c R( X ) R cx R ist translationsinvariant, d.h. R ist monoton, d.h. R ist subadditiv, d.h. ( c) ( ) für alle c > 0 und X D; R X + = R X + c für alle c > 0 und X D; ( ) ( ) R X R Y für alle XY, D mit X Y; ( ) ( ) ( ) R X + Y R X + R Y für alle XY, D. 11

12 2. Risikomessung unter Solvency II Die internationale Diskussion über Risikomaße als Basis für die Bestimmung des Zielkapitals für Solvency II (IAA, DAV, SST) in Bezug auf das versicherungstechnische Gesamtrisiko S konzentriert sich im Wesentlichen auf den Value at Risk: VaR ( ) ( ) 1 α S : = q1 S F α = S ( 1 α) = inf{ x FS( x) 1 α} und den 1 : ( α ) = VaRu ( S) du α. Expected Shortfall: ES ( S) = E S S VaR ( S) α α 0 Bemerkung: VaR ist im Allgemeinen nicht kohärent (verletzt die Subadditivität), ES ist stets kohärent. 12

13 2. Risikomessung unter Solvency II VaR α SCR α SCR α μ ES α ES α : Mittel aller Werte oberhalb von VaR α 13

14 2. Risikomessung unter Solvency II Wurzelformel: SCR n 2 gesamt= SCRi + 2 ρi j SCRi SCRj ì= 1 i< j n 2 ( ( ) μ ) 2 ( ) ( )( ( ) j) = R X + ρ R X μ R X μ i i ij i i j i= 1 i< j berücksichtigt Abhängigkeiten über die paarweisen Korrelationen ρ ij ( i j) E( Xi) E( X j) Var( Xi ) Var( X j ) E X X = 14

15 2. Risikomessung unter Solvency II BSCR SCRop Adj SCR SCR Gesamtberechnung Basis-Solvenzkapitalanforderung (BSCR) und geschätzte zukünftige Überschussbeteiligung BSCR AdjFDB nbscr Ergebnisse vt. Risiko Aggregation der Risiken Marktrisiko Ausfallrisiko Leben Kranken NichtlebenAggregiert Risiko vor Anrechnung der zukünft. ÜB Risiko nach Anrechnung der zukünft. ÜB Lower boundary of risk (TS.VI.H.8) Korrelation mit SCRmkt 100% 25% 25% 25% 25% Korrelation mit SCRdef 25% 100% 25% 25% 50% Korrelation mit SCRlife 25% 25% 100% 25% 0% Korrelation mit SCRhealth 25% 25% 25% 100% 25% Korrelation mit SCRnl 25% 50% 0% 25% 100% MAPLE 15

16 2. Risikomessung unter Solvency II Eine Idee der Wurzelformel ist die Darstellung des Value at Risk (VaR) als Risikomaß zur Berechnung des erforderlichen Risikokapitals für ein Einzelrisiko X als ( ) VaRα X i = μ i + k α σ i, k, α i mit Erwartungswert μ und Standardabweichung σ 0. i i Sind die Risiken X normalverteilt, gilt i k α 1 k α ( =Φ 1 α) mit x 2 u π 2 1 x du = ϕ u du 2 Φ ( ) = exp ( ), wobei unabhängig von μ und für i= 1,, n ist. i σ i x 16

17 2. Risikomessung unter Solvency II Ähnlich: Der Expected Shortfall (ES) für normalverteilte Einzelrisiken X i ist gegeben durch Kommentar: ( k ) 2 α 2 e 2πα σ ( ) = μi + i = μi + 1 i =Φ ( 1 α) ES X i α τ σ mit. k α Bei Normalverteilung ist VaR ein kohärentes Risikomaß, wenn kα 0 gilt, 1 d.h. für α. 2 Bei (gemeinsamer!) Normalverteilung ist die gegenseitige Abhängigkeitsstruktur der Risiken vollständig und eindeutig durch die paarweisen Korrelationen bestimmt. Bei Normalverteilung ist die Wurzelformel konsistent mit der Definition des SCR, und zwar sowohl für VaR als auch für ES. 17 α

18 2. Risikomessung unter Solvency II Aber: Bei Nicht-Normalverteilung ist VaR im Allgemeinen kein kohärentes Risikomaß. Bei Nicht-Normalverteilung (oder nicht gemeinsamer Normalverteilung) ist die gegenseitige Abhängigkeitsstruktur der Risiken nicht eindeutig durch die paarweisen Korrelationen bestimmt. Bei Nicht-Normalverteilung ist das der Wurzelformel zu Grunde liegende Prämienprinzip (Standardabweichungsprinzip) nicht kohärent ( Verletzung der Monotonie). 18

19 Beispiel 1: 2. Risikomessung unter Solvency II 1 Sei ( ρ) ρ Σ = mit ρ ] und der Zufallsvektor [ 1,1 ρ 1 Mischung verteilt: X X nach folgender 1 = X 2 Dann gilt: X 1 1 P = N ( 0, Σ ( ρ) ) + N ( 0, Σ( ρ) ) mit ρ 1,1 [ ]. 2 2 X P i = N (0,1) für i = 1, 2, aber X besitzt für ρ 0 keine gemeinsame Normalverteilung Dichte von X für ρ = 0,8 MAPLE 19

20 2. Risikomessung unter Solvency II X, X sind unkorreliert S: = X + X ist nach folgender Mischung verteilt: S 1 1 P = N + ρ + ρ 2 2 ( 0, 2 2 ) N ( 0, 2 2 ) Dichte von S für ρ = 0,8 zum Vergleich: Dichte der N (0,2) -Verteilung (Fall ρ = 0 ) 20

21 2. Risikomessung unter Solvency II Es gilt wegen SCR = VaR (beachte: α α μ = 0 für i = 1, 2 ) i ( ) SCR ( ) 2 2 SCRα( S; ρ ) > SCRα( S;0) = SCRα X1;0 + α X 2 ;0 für ρ 0 Beispielberechnungen für α = 0,005 (Solvency II-Standard): ρ 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,99 1,00 SCR α ( S; ρ) 6,98 7,44 7,91 8,37 8,84 9,26 9,30 Zum Vergleich: es ist SCR α ( S;0) = 5,15. Damit unterschätzt die Wurzelformel das wahre SCR um bis zu 45%! 21

22 2. Risikomessung unter Solvency II Beispiel 2: Sei X1 über [ 0,1 ] stetig gleichverteilt. Betrachte 1 : = + X X Dann gilt aber X1 X 2, ( ) = μ + 2σ = + = 1, 077 > 1, 039 = + = μ + 2σ = R( X ) R X Wie die Portfoliotheoretiker bislang Risiken gemessen haben, wird der Wirklichkeit nicht gerecht. Dem zu Grunde liegen viele falsche Annahmen darunter die der Gaußschen Normalverteilung. Im Ergebnis werden Risiken an den Finanzmärkten signifikant unterschätzt. Honorar-Professor Benoit B. Mandelbrot, Yale University 22

23 3. Beta-verteilte Risiken 23

24 3. Beta-verteilte Risiken Die Auswirkungen der Wurzelformel lassen sich besonders leicht unter der Annahme von Beta-Verteilungen veranschaulichen. Für ganzzahlige Parameter sind die Dichten und die Verteilungsfunktionen der Faltung nämlich durch Polynome darstellbar ( Berechnung z.b. mit einem Computeralgebra-System). Nachfolgend verwendete Bezeichnung: n+ m n m + fx ( x; n, m) = ( n+ m+ 1) x (1 x),0 x 1; n,m = { 0 n } (Dichte der B( n+ 1, m+ 1)-Verteilung). 24

25 3. Beta-verteilte Risiken Faltungsdichte f ( i; n, m, n, m ) = f ( i; n, m ) f ( i ; n, m ): S X 1 1 Y 2 2 x fx( y; n1, m1) fy( x y; n2, m2) dy, 0 x 1 0 fs ( x; n1, m1, n2, m2) = 1 fx( y; n1, m1) fy( x y; n2, m2) dy, 1 x 2. x 1 zugehörige Verteilungsfunktion: x fs ( u; n1, m1, n2, m2) du, 0 x 1 0 FS ( x; n1, m1, n2, m2) = x FS(1) + fs( u; n1, m1, n2, m2) du, 1 x

26 3. Beta-verteilte Risiken Beispiele: 26

27 3. Beta-verteilte Risiken 27

28 3. Beta-verteilte Risiken Beispiele für SCR s mit α {0,01; 0,005 }, individuell und aggregiert (zwei unabhängige Summanden): ( nm, ) (0,0) (1,0) (2,0) (3,0) (0,1) (0,2) (0,3) SCR X (0.01) SCR (0.005 X ) ( nm), (1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (3,1) (4,1) SCR X (0.01) SCR X (0.005)

29 3. Beta-verteilte Risiken ( n, m, n, m ) Dichte f SCR (0.01) S S SCR (0.01) Fehler in % Zeile 1: (0,0,0,0) Zeile 2: (1,0,1,0) Zeile 3: (2,0,2,0) Zeile 4: (3,0,3,0) Zeile 5: (0,1,0,1)

30 3. Beta-verteilte Risiken ( n, m, n,m ) Dichte f SCR (0.01) S S SCR (0.01) Fehler in % Zeile 6: (0,2,0,2) Zeile 7: (0,3,0,3) Zeile 8: (0,1,1,0) Zeile 9: (0,2,2,0) Zeile 10: (0,3,3,0)

31 3. Beta-verteilte Risiken ( n, m, n,m ) Dichte f SCR (0.01 ) S S SCR (0.01) Fehler in % Zeile 11: (1,2,2,1) Zeile 12: (1,3,3,1) Zeile 13: (1,4,4,1) Zeile 14: (4,8,8,4)

32 3. Beta-verteilte Risiken ( n, m, n, m ) Dichte f SCR (0.005) S S SCR (0.005) Fehler in % Zeile 1: (0,0,0,0) Zeile 2: (1,0,1,0) Zeile 3: (2,0,2,0) Zeile 4: (3,0,3,0) Zeile 5: (0,1,0,1)

33 3. Beta-verteilte Risiken ( n, m, n,m ) Dichte f SCR (0.005 ) S S SCR (0.005) Fehler in % Zeile 6: (0,2,0,2) Zeile 7: (0,3,0,3) Zeile 8: (0,1,1,0) Zeile 9: (0,2,2,0) Zeile 10: (0,3,3,0)

34 3. Beta-verteilte Risiken ( n, m, n,m ) Dichte f SCR (0.005 ) S S SCR (0.005) Fehler in % Zeile 11: (1,2,2,1) Zeile 12: (1,3,3,1) Zeile 13: (1,4,4,1) Zeile 14: (4,8,8,4)

35 3. Beta-verteilte Risiken Approximationen für den symmetrischen Fall ( n, m, n, m ) = (0, n, n,0) : n + 2 SCR α S ( α; n) SCR app( α ; n) = 1 n + 1 1/( n+ 2) SCR ( ;n) SCR ( α n α ; n) = α + app 2 ( 1) 1 n 1 n ( n + 1) + 1 1/( n 1) 35

36 3. Beta-verteilte Risiken mit SCR ( α; n) lim = L( α) = n SCR ( α; n) app ( 1+ lnα) + ( 1+ ln(1 α) ) 2 2 ln α 36

37 Beispiele für SCR s mit α 3. Beta-verteilte Risiken { } 0, 01; 0,005 für aggregierte unkorrelierte, aber stochastisch abhängige Risiken ( Gittercopula, ähnlich wie Kontingenztafeln): 1 1 Die Größen in den (hier beispielhaft) 9 Teilquadraten entsprechen den Höhen der Copula-Dichte in dem jeweiligen Teilquadrat. Bei der hier getroffenen Wahl sind die (uniformen) Randrisiken X und Y unkorreliert (Fall ( n1, m1, n2, m 2) = (0,0,0,0) ). Bezeichnung: γ = ( abc,, ) mit den Nebenbedingungen abc,, > 0, 1 a+ b <, 3 a+ c<

38 3. Beta-verteilte Risiken c b a

39 3. Beta-verteilte Risiken 0, x 0 9a 2 1 x, 0 x ( a+ [ b+ c] ) x + 32 ( a [ b+ c] ) x+ ( 2a+ [ b+ c] ), x ( 3 18 a 12 [ b+ c] ) x + ( a+ 27 [ b+ c] ) x+ 2 2 x ( a 57 [ b+ c] ), ( 3+ 14a+ 6[ b+ c] ) x + ( a 63[ ]) F 2 2(3; γ; x) = b+ c x+ 4 1 x ( a+ 213 [ b+ c] ), ( 2 22 a 4 [ b+ c] ) x + ( a 57[ b+ c] ) x x ( a 267 [ b+ c] ), ( 6+ 9a+ 3[ b+ c] ) x + 3( 4 6a 18[ b+ c] ) x+ 5 2 x ( a+ 18[ b+ c ]), 1, x 2. Dichte des Summenrisikos S = X + Y 39

40 3. Beta-verteilte Risiken 40

41 3. Beta-verteilte Risiken Q 2 ( 3; γ; 1 α) 1 2 α, 0 α, γ = 0,, α, α, = 2 2 α, 0 α, γ=,, α, 0 α, γ =,0, zugehörige Quantilfunktionen 41

42 3. Beta-verteilte Risiken SCR ( α ) S SCR ( α ) 2 2 γ = ( ) ( ) 0,, α γ =,, γ = (,0,0 ) Fehler in % Fehler in %

43 3. Beta-verteilte Risiken Beispiele für SCR s mit α {0, 01; 0,005} für aggregierte stochastisch abhängige Risiken mit oberer bzw.unterer Fréchet-Hoeffding-Schranke im Fall der Symmetrie ( n, m, n, m ) = (0, n, n,0) : Darstellung mit über 2 [ 0,1] stetig gleichverteilter Zufallsvariable U: X = F ( U;0, n) = 1 (1 U) 1 1/( n+ 1) X Y = F ( U; n,0) = U 1 1/( n+ 1) X Komonotonie bei oberer Fréchet-Hoeffding-Schranke X = F ( U;0, n) = 1 (1 U) 1 1/( n+ 1) X Y = F (1 U; n, 0) = (1 U) 1 1/( n+ 1) X Kontramonotonie bei unterer Fréchet-Hoeffding-Schranke 43

44 3. Beta-verteilte Risiken Im Fall der Komonotonie sind X und Y korreliert mit und ρ n ( n+ 2) ( n+ 3) = ( n+ 1)( n+ 3) n + 1 lim ρ n n 1/( n 1) π 1 2 π = 1= Γ + n Γ + 2 n + 1 Für das SCR des Summenrisikos ergibt sich exakt 1/( 1) 1/( 1) SCR n n S ( α; n) = (1 α) + α +. 44

45 3. Beta-verteilte Risiken Übersicht (SCR ( α; n) mit Korrelations-Korrektur): SCR ( α; n) SCR ( α ; n) S α n = 0 n = 1 n = 2 n = 3 n = 0 n = 1 n = 2 n = Fehler in % Fehler in %

46 3. Beta-verteilte Risiken SCR ( α; n) L( α) = lim n SCR ( α ; n ) S 46

47 3. Beta-verteilte Risiken Es gilt: ( A( α) B( α)) (36 3 π )( A( α) B( α)) 3 π A( α) B( α) (36 3 π ) L( α) = 3( A( α) B( α)) für 1 0 α, mit A( α) = ln(1 α), B( α) = lnα. 2 47

48 3. Beta-verteilte Risiken Im Fall der Kontramonotonie ist S 1, also SCR ( α; n) = 0! S Übersicht (SCR ( α ; n) mit Korrelations-Korrektur): SCR ( α ; n) α n = 0 n = 1 n = 2 n = 3 n = 10 n = 20 n = 50 n =

49 4. Zusammenfassung und Diskussion 49

50 4. Zusammenfassung und Diskussion Die Wurzelformel unterschätzt z.b. bei Beta-verteilten Risiken (aber auch bei anderen) tendenziell das wahre SCR sowohl bei Unabhängigkeit als auch bei stochastischer Abhängigkeit. Die von Sandström 2007 vorgeschlagene Schiefekorrektur ist häufig unwirksam, da die Wurzelformel auch bei Symmetrie der Verteilungen das wahre SCR unterschätzen kann (wie etwa bei Beta-Verteilungen). Die Wurzelformel reagiert nicht auf unterschiedliche SCR für das Gesamtrisiko bei unkorrelierten, aber stochastisch abhängigen Risiken. Fazit: die Wurzelformel erscheint aus mathematischer Sicht nicht geeignet, das Gesamt-SCR unter Solvency II aus den individuellen SCR verlässlich abzuleiten und steht daher im Widerspruch zur globalen 99,5%-Sicherheitsforderung der EU-Kommission. Es ist allerdings fraglich, ob es für dieses Problem überhaupt eine vernünftige Lösung gibt (die additive Variante wäre konsistent mit der Sicherheitsforderung, überschätzt aber dafür das wahre SCR (zu?) deutlich). 50

51 4. Zusammenfassung und Diskussion Literatur: Koryciorz, S. (2004). Sicherheitskapitalbestimmung und allokation in der Schadenversicherung. Eine risikotheoretische Analyse auf der Basis des Value-at-Risk und des Conditional Value-at-Risk. Mannheim: Verlag Versicherungswirtschaft. Sandström, A. (2007). Solvency II: Calibration for Skewness. Scandinavian Actuarial Journal 2, Sandström, A. (2005). Solvency. Models, assessment and regulation. Boca Raton: Chapman & Hall. Straßburger, D. (2006). Risk Management and Solvency - Mathematical Methods in Theory and Practice. Doktorarbeit, Carl von Ossietky Universität, Oldenburg. Straßburger, D. & Pfeifer, D. (2008). Solvency II: Stability problems with the SCR aggregation formula. Scandinavian Actuarial Journal 1, Straßburger, D. & Pfeifer, D. (2005). Dependence matters! Paper presented at the 36 th International ASTIN Colloquium, ETH Zurich, September 4 7, Zurich, Switzerland. 51