Problemlösen lernen im Mathematikunterricht aber wie?

Transkript

1 Problemlösen lernen im Mathematikunterricht aber wie? Prof. Dr. Regina Bruder Technische Universität Darmstadt Fachbereich Mathematik Heilbronn

2 Gliederung Zur Kompetenz Problemlösen Wie kann man Problemlösen lernen? Unterrichtskonzept zum Problemlösenlernen

3 Das Waageproblem mit 8 Kugeln 8 Kugeln sehen gleich aus, aber eine ist leichter als die 7 anderen. Wie kann man mit möglichst wenigen Wägungen auf einer Tafelwaage herausfinden, welche die leichtere Kugel ist?

4 Das Waageproblem mit 8 Kugeln 8 Kugeln sehen gleich aus, aber eine ist leichter als die 7 anderen. Wie kann man mit möglichst wenigen Wägungen herausfinden, welche die leichtere Kugel ist? Tommy meint: Ach so, das geht ja wie bei Ziege, Wolf und Krautkopf!

5 Zur Kompetenz Problemlösen personenspezifische Barriere Anfangszustand Zielzustand Problemlösen meint den kognitiven Prozess, in dem der Problemlöser den Ausgangszustand in den Zielzustand überführt und dabei eine (individuelle) Barriere überwindet.

6 Zur Kompetenz Problemlösen Problemlöseaufgabe: Aufgabe mit einer Anforderungssituation, die für Schüler ungewohnt ist oder ihnen so erscheint (individuell schwierige Aufgabe) und somit kein rein schematisches oder gewohntes Arbeiten zulässt. Problemlösen lernen: Kennen und Anwenden lernen von heuristischen Hilfsmitteln, Strategien und Prinzipien (Heurismen), die beim Bearbeiten von Problemaufgaben hilfreich sein können.

7 Das Töchterproblem Ein Student sucht dringend eine neue Wohnung. Dafür geht er die Wohnungsanzeigen in der Zeitung durch, bis er auf ein günstiges Angebot stößt. Nach Besichtigung der Wohnung sagt diese ihm zu. Nachdem alle Formalitäten geklärt sind, fragt er die Vermieterin: Eines würde mich aber noch interessieren: Wer wohnt denn noch alles in diesem Haus? Sie antwortet: Mein Mann und meine drei Töchter. Er freut sich: Oh, drei Töchter? Schön! Wie alt sind die denn? Sie: Das Produkt ihrer Alter ist 36. Ihre Alterssumme ergibt die Hausnummer. Der Student denkt eine Weile nach. Dann aber bohrt er weiter: Sie müssen mir schon noch eine Information geben! Sie: Na gut, die älteste spielt Klavier. Student: Ah, jetzt weiß ich s! Wie alt sind die Töchter?

8 Das Töchterproblem Lösung: Es gibt 8 Möglichkeiten die Zahl 36 darzustellen: 1 x 1 x 36 = 36 Hausnummer 38 1 x 2 x 18 = 36 Hausnummer 21 1 x 3 x 12 = 36 Hausnummer 16 1 x 4 x 9 = 36 Hausnummer 14 1 x 6 x 6 = 36 Hausnummer 13 2 x 2 x 9 = 36 Hausnummer 13 2 x 3 x 6 = 36 Hausnummer 11 3 x 3 x 4 = 36 Hausnummer 10 Idee: Student kennt die Hausnummer und ihm fehlt noch eine Information!

9 Zur Kompetenz Problemlösen K2: Probleme mathematisch lösen - vorgegebene und selbst formulierte Probleme bearbeiten, - geeignete heuristische Hilfsmittel, Strategien und Prinzipien zum Problemlösen auswählen und anwenden, - die Plausibilität der Ergebnisse überprüfen sowie das Finden von Lösungsideen und die Lösungswege reflektieren. Quelle: KMK (2003)

10 Zur Kompetenz Problemlösen

11 Zur Kompetenz Problemlösen Die Problemlöseaufgabe als Blütenaufgabe Quelle: Distler (2007) Übersetzt die Aufgabe aus der englischen Sprache in die deutsche Sprache Baut eine Vorrichtung aus Bierdeckeln, Stecknadeln oder ähnlichen Materialien, um die Aufgabenstellung anschaulich demonstrieren zu können. Lasst jemand aus eurer Familie raten, auf welcher Kurve sich der Punkt nach unten bewegt. Zeichnet dann selbst mehrere Lagen des Halbkreises beim Heruntergleiten. Beschreibt die Kurve, auf der der Punkt P sich dabei bewegt, so präzise wie möglich. Findet eine Begründung für die Kurvenform.

12 Zur Kompetenz Problemlösen Lernziele für Problemlösenlernen: Erkennen und Formulieren von mathematischen Fragestellungen auch in Alltagssituationen Kennen und Anwenden mathematischer Modelle (Mathematisierungsmuster) bzw. geeigneter Vorgehensweisen (Heurismen) zur Bearbeitung mathematischer Fragestellungen Entwicklung von Anstrengungsbereitschaft und Reflexionsfähigkeit

13 Phasen mathematischen Modellierens als Rahmen schulischen Lernens von Mathematik Mathematisches Modell Mathematik Mathematische Ergebnisse 1 situiertes Strukturieren 2 Mathematisieren 3 Verarbeiten mit math. Werkzeugen umgehen 4 Interpretieren 5 Validieren Realität Realmodell 1 5 Reale Ergebnisse Realsituation Wo kann Problemlösen vorkommen?

14 Diagnoseaufgaben zum Problemlösen beim Mathematisieren i.s. von Strategien nutzen: (I) Vergleichsmaßstab finden Verschiedene. Darstellungen als Hilfsmittel einsetzen: Tabelle, Graph, Gleichung Diagnoseaufgaben zum Problemlösen beim Verarbeiten i.s. mit math. Werkzeugen umgehen: (II) Zerlegen/Ergänzen 5 cm 2 cm 3 cm 2 cm 3 cm P A 0 B 5 cm (I) Diagnoseaufgaben zum Problemlösen beim Interpretieren : Tankinhalt in l :00 10:00 12:00 14:00 16:00 18:00 Uhrzeit Familie Schnell fährt mit dem Auto in den Urlaub. Das Diagramm zeigt, wie viel Benzin sich zu jedem Zeitpunkt der Reise im Tank befindet. Beschreibe mögliche Ereignisse auf der Reise von 8:00 bis 18:00 Uhr.

15 Potenzielle Problemaufgaben

16 Wie kann man Problemlösen lernen?

17 Wie kann man Problemlösen lernen? Nach Lompscher wird der Verlauf geistiger Handlungen (Tätigkeiten) durch sogenannte Verlaufsqualitäten bestimmt. Er unterscheidet: Planmäßigkeit Exaktheit Selbstständigkeit Aktivität Geistige Beweglichkeit

18 Was macht geistige Beweglichkeit aus? Reduktion: Fokussierung auf das Wesentliche Reversibilität: Gedankengänge umkehren Aspektbeachtung: Beachtung eines bestimmten Aspektes Alltagsbezug: Brille oder Schlüssel verlegt, Wegprobleme Aspektwechsel: Wechseln von Annahmen bzw. Kriterien

19 Wie kann man Problemlösen lernen? Beispiel: Kino-Rätsel Nur ein Fünftel der Plätze sind von Erwachsenen belegt. 10 Plätze mehr werden von Jungen eingenommen. Außerdem sind 30 Mädchen hier. 20 Plätze sind frei. Wie viele Sitze hat das Kino? Ähnliche Aufgaben: - Busplätze-Aufgabe - Murmeln-Aufgabe - Altersaufgaben Bestimmung von Anteilen Informative Figur Tabelle 1. Versuch 2. Versuch Alle Plätze Erwachsene (1/5) Jungen (1/5 + 10) Plätze Reduktion: Fokussierung auf das Wesentliche Informative Figuren, Tabellen, Gleichungen zu wenig! stimmt!

20 Beweglichkeitsaspekt Heurismen Reversibilität Rückwärtsarbeiten Umkehraufgaben Was müsste ich kennen, um das Gesuchte bestimmen zu können? 7-Tore-Aufgabe Ein Mann geht Äpfel pflücken. Um mit seiner Ernte in die Stadt zu kommen, muss er 7 Tore passieren. An jedem Tor steht ein Wächter und verlangt von ihm die Hälfte seiner Äpfel und einen Apfel mehr. Am Schluss bleibt dem Mann nur ein Apfel übrig. Wie viele hatte er am Anfang?

21 Beweglichkeitsaspekt Heurismen Reversibilität Rückwärtsarbeiten Umkehraufgaben Was müsste ich kennen, um das Gesuchte bestimmen zu können? Würfelschmelzaufgabe Zwei Metallwürfel mit gegebener Kantenlänge von 2 cm und 4cm werden zu einem Quader zusammen geschmolzen. Welche ganzzahligen Maße könnte ein solcher Quader erhalten?

22 Wie kann man Problemlösen lernen? Das Vorwärtsarbeiten und das Rückwärtsarbeiten VA: Was lässt sich aus den gegebenen Größen/Bedingungen unmittelbar berechnen/ableiten/folgern? Suche nach Formeln, in denen die gegebenen Größen vorkommen/ Sätze, die gleichartige Voraussetzungen besitzen? (Hilfsmittel) S?? Teilziel RA: Woraus ließe sich die gesuchte Größe/Behauptung unmittelbar berechnen/ableiten/konstruieren? Welche Formeln enthalten die gesuchte Größe/ Sätze eine gleichartige Behauptung? (Hilfsmittel)?? Teilziel Z

23 Wie kann man Problemlösen lernen? Wie kann man sich diese Telefonnummern merken? Beispiel: Vater und ich Als mein Vater 31 Jahre alt war, war ich 8 Jahre. Jetzt ist mein Vater doppelt so alt wie ich. Wie alt bin ich jetzt? Invarianzprinzip Beispiel: Hasen und Fasanen Extremalprinzip Beispiel: Bruchungleichung Symmetrieprinzip Es ist zu zeigen: Für positive a, b, c gilt: 1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(a+c) > 3/(a+b+c) Aspektbeachtung: Beachtung eines bestimmten Aspektes

24 Wie kann man Problemlösen lernen? Beispiel 1: Nachbarquadrate Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Winkeln bei A, B und C? Lösung: Beispiel 2: Sehnensatz In einem Kreis gilt für zwei Sehnen, die sich im Innern des Kreises schneiden: aa =bb. Wie kann man diesen Zusammenhang beweisen?

25 Wie kann man Problemlösen lernen? Beispiel 1: Nachbarquadrate Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Winkeln bei A, B und C? Lösung: Beispiel 2: Sehnensatz In einem Kreis gilt für zwei Sehnen, die sich im Innern des Kreises schneiden: aa =bb. Wie kann man diesen Zusammenhang beweisen? Aspektwechsel: Wechseln von Annahmen bzw. Kriterien Kombiniertes Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten, Transformationsprinzip

26 Wie kann man Problemlösen lernen? Beispiel 1: Nachbarquadrate Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Winkeln bei A, B und C? Lösung: Beispiel 2: Sehnensatz In einem Kreis gilt für zwei Sehnen, die sich im Innern des Kreises schneiden: aa =bb. Wie kann man diesen Zusammenhang beweisen? Aspektwechsel: Wechseln von Annahmen bzw. Kriterien Kombiniertes Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten, Transformationsprinzip Spezialfall: Höhensatz

27 Wie kann man Problemlösen lernen? Reduktion: Fokussierung auf das Wesentliche Informative Figuren, Tabellen, Gleichungen Reversibilität: Gedankengänge umkehren Rückwärtsarbeiten Aspektbeachtung: Beachtung eines bestimmten Aspektes Invarianzprinzip, Extremalprinzip, Zerlegungsprinzip, Symmetrieprinzip, Schubfachprinzip Aspektwechsel: Wechseln von Annahmen bzw. Kriterien Kombiniertes Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten, Transformationsprinzip indem man heuristische Strategien zur Kompensation ggf. mangelnder geistiger Beweglichkeit erlernt!

28 Überblick über Problemlöseheuristiken

29 Unterrichtskonzept zum Problemlösen

30 Das Unterrichtskonzept Zentrale Idee: Wirkprinzip heuristischer Bildung: Mangelnde geistige Beweglichkeit wird teilweise kompensiert durch bewusstes Erlernen solcher Vorgehensweisen und Techniken, die zu vergleichbaren Ergebnissen führen wie unbewusste Denkabläufe bei ausgeprägter geistiger Beweglichkeit.

31 Das Unterrichtskonzept Problemlösen lernen in der Aufgabenbearbeitung (Polya): Verstehen der Aufgabe: Erkennen der Problemsituation, Einordnen, Ziel - Was ist unbekannt? - Was ist gegeben? - Wie lautet die Bedingung? Suche nach Lösungsideen: Suche nach mathematischen Worum geht es? Beschreibungsmöglichkeiten, Planen des Lösungsweges, möglichen Strategien - Kennst Du eine verwandte Aufgabe? - Kennst Du einen Lehrsatz, der erforderlich sein könnte? - Kannst Du die Aufgabe anders ausdrücken? Was ist mir bekannt? Lösen der Aufgabe: Realisierung des Lösungsplans, Einsatz von Strategien - Kontrolliere jeden Schritt - Kannst Du beweisen, dass er richtig ist? Prüfen der Lösung / Reflexion: Prüfen des Resultats, Reflexion über Strategien, Effektivität, Verallgemeinerungen etc. - Kannst Du das Resultat kontrollieren? - Kannst Du das Resultat auf verschiedene Weise ableiten? - Wie bist Du zu dem Resultat gelangt? Welche Methoden stehen mir zur Verfügung? Welche Methoden und mathematischen Sätze waren hilfreich?

32 Das Unterrichtskonzept Lernpotential von Aufgaben in Reflexionsphasen herausarbeiten Welche Strategien waren nützlich? Welche mathematischen Werkzeuge haben uns geholfen, die Aufgaben zu lösen? Was ist das Gemeinsame aller Beispielaufgaben, die wir zuletzt bearbeitet haben? Worin unterscheiden sich die bearbeiteten Aufgaben voneinander?

33 Das Unterrichtskonzept Problemlösen lernen in 5 Phasen: 1) Gewöhnen an heuristische Methoden oder Techniken durch Reflexion im Anschluss an eine Aufgabenlösung: Was hat uns geholfen, die Aufgabe zu lösen? 2) Bewusstmachen einer speziellen Methode oder Technik anhand eines markanten Beispiels, z.b. 7-Tore-Aufgabe für Rückwärtsarbeiten, Motivation sichern!! 3) Bewusste Übungsphasen mit Beispielen unterschiedlicher Schwierigkeit zur selbstständigen Bearbeitung. 4) Beispiele aus anderen mathematischen Gebieten und der Lebenswelt suchen, bei denen die neue Strategie auch Anwendung finden kann (Kontexterweiterung der Strategieanwendung) 5) Das eigene Problemlösemodell aufschreiben: (Erweitern des eigenen Problemlösemodells) Wie kann ich vorgehen, wenn ich eine schwierige Mathematikaufgabe lösen will?

34 Das Unterrichtskonzept Kreativitätstraining als Einstieg ins Problemlösen Beispiel 1: Betrachten Sie die folgenden Figuren. Wählen Sie eine oder mehrere Figuren, die die gleichen Eigenschaften wie Figur B aufweisen. Notieren Sie diese Eigenschaften. Strategie (Figuren-Aufgabe): Vorwärtsarbeiten Welche Eigenschaften hat der Körper B? Welche Eigenschaften haben die anderen Körper und was lässt sich daraus ableiten? Flächen, Ecken, Kanten,

35 Das Unterrichtskonzept Kreativitätstraining als Einstieg ins Problemlösen Beispiel 1: Betrachten Sie die folgenden Figuren. Wählen Sie eine oder mehrere Figuren, die die gleichen Eigenschaften wie Figur B aufweisen. Notieren Sie diese Eigenschaften. Strategie (Figuren-Aufgabe): Vorwärtsarbeiten Welche Eigenschaften hat der Körper B? Welche Eigenschaften haben die anderen Körper und was lässt sich daraus ableiten? Flächen, Ecken, Kanten, Beispiel 2: Stellen Sie sich vor, Sie arbeiten bei einer Süßwaren- Firma. Sie sollen das Produkt Hanuta optimieren. Formulieren Sie mathematische Fragestellungen.

36 Das Unterrichtskonzept Bewusstmachen von Strategien Müller-Mufflig-Aufgabe

37 Das Unterrichtskonzept Bewusstmachen von Strategien Müller-Mufflig-Aufgabe Systematisches Probieren mit Hilfe einer Tabelle Informative Figur Arbeiten mit Invarianten und Gleichungen Was haben die beiden Bewegungen gemeinsam? Was bleibt gleich?

38 Das Unterrichtskonzept Bewusste Übungsphase Längerfristige Hausaufgabe: Wiederholungselemente zu Heurismen Aufforderung zur Zielsetzung und Planung des Lernvorgangs Wahlaufgaben zur Steigerung der Motivation und zur Berücksichtigung unterschiedlicher Anspruchsniveaus und Leistungsmöglichkeiten der Schüler Quelle: Opper (2007)

39 Beispiel einer längerfristigen Hausaufgabe

40 Das Unterrichtskonzept Problemlösen lernen in 5 Phasen: 1) Gewöhnen an heuristische Methoden oder Techniken durch Reflexion im Anschluss an eine Aufgabenlösung: Was hat uns geholfen, die Aufgabe zu lösen? 2) Bewusstmachen einer speziellen Methode oder Technik anhand eines markanten Beispiels, z.b. 7-Tore-Aufgabe für Rückwärtsarbeiten, Motivation sichern!! 3) Bewusste Übungsphasen mit Beispielen unterschiedlicher Schwierigkeit zur selbstständigen Bearbeitung 4) Beispiele aus anderen mathematischen Gebieten und der Lebenswelt suchen, bei denen die neue Strategie auch Anwendung finden kann (Kontexterweiterung der Strategieanwendung) 5) Das eigene Problemlösemodell aufschreiben: (Erweitern des eigenen Problemlösemodells) Wie kann ich vorgehen, wenn ich eine schwierige Mathematikaufgabe lösen will?

41 Lernumgebungen zu heuristischen Vorgehensweisen Beispiel: Zerlegungs- und Ergänzungsprinzip (Klassenstufe 9) Motivation Merkkästchen Beispiele

42 Zerlegungs- und Ergänzungsprinzip Beispiele zum Zerlegungsprinzip Winkelsummensatz am Sechseck Wie groß ist die Summe der Innenwinkel eines Sechsecks? Verallgemeinere den Zusammenhang für die Winkelsumme für das Sechseck auf ein beliebiges n-eck. Bestimmung einer Teilermenge Bestimme alle Teiler der Zahl 117. Nullstellenbestimmung Bestimme alle Nullstellen der Funktion: f(x) = (x²+4x+4)(x-2)(x-3)². Differential und Integralrechnung Geometrie Zahlentheorie Algebra Analysis (Oberstufe)

43 Zerlegungs- und Ergänzungsprinzip Beispiele zum Ergänzungsprinzip Satz des Pythagoras Geometrie Flächeninhaltsformel für Parallelogramm Zerlegen und Ergänzen in Kombination Quadratische Ergänzung Algebra Beweisen: Null ergänzen

44 Lernumgebungen zu heuristischen Vorgehensweisen Beispiel: Systematisches Probieren (Klassenstufe 7)

45 Systematisches Probieren Aufgabe 1: Kleingeld Wie viele Möglichkeiten gibt es, 1 Euro in 5 und 10 Cent Stücke umzuwechseln, wenn dabei jede Münze mindestens einmal benutzt wird? Strategie: Systematisches Variieren einer der gesuchten Größen Fallunterscheidungen Tabelle als Hilfsmittel

46 Systematisches Probieren Aufgabe 4: Kerzen Zwei Kerzen brennen mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten ab: Kerze A ist 36cm lang und brennt mit 3cm pro Stunde ab, Kerze B ist 10cm lang und brennt mit 1cm pro Stunde ab. Wann sind beide Kerzen gleich lang? Weitere Heurismen: Gleichung Invarianzprinzip Informative Figur Überprüfung des Ergebnisses mit der realen Situation Kerze B: y=10-1x Kerze A: y=36-3x Gleichsetzen!

47 Entwicklungsstufen beim Problemlösenlernen 1. Bereitschaft sich auf mathematische Problemlöseaufgaben einzulassen und die Einsicht, dass Heurismen helfen können, Lösungsansätze für schwierige Aufgaben zu finden. 2. (Mathematische) Fragen zu einer gegebenen Situation finden können. Kennen und Anwenden von heuristischen Hilfsmitteln zum besseren Verstehen eines mathematischen Problems oder einer gegebenen Situation. 3. Kennen von heuristischen Strategien und Prinzipien mit ihrem Frageprofil und ihren Anwendungsmöglichkeiten in verschiedenen Beispielen und deren intuitive oder bewusste Anwendung. 4. Vergleichen und Beschreiben der Unterschiede und Gemeinsamkeiten verschiedener Lösungswege bez. der eingesetzten mathematischen Werkzeuge und Vorgehensweisen.

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49 Kursaufbau (halbjährlich 6 Module, 14-tägig): Problemlösen und Selbstregulation Modul I Bedeutung und Vorteile von Problemlösen lernen im Mathematikunterricht Modul II Heuristische Bildung im Mathematikunterricht Modul III III Erstellen und Erproben einer Problemlöseaufgabe Modul IV Selbstregulationstechniken und ihr Einsatz im Mathematikunterricht Modul V Längerfristige Hausaufgaben zum Problemlösen und selbstregulierten Lernen Modul VI Motivationsförderung Zusammenfassung und Ausblick

50 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! Online-Fortbildungen von Mathematik-Lehrkräften Arbeitsprodukte der Lehrkräfte

51 Die Arbeitsergebnisse anderen zur Verfügung stellen...

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