1.1 Denition und Eigenschaften von Polynomen. k=0 b kx k Polynome. Dann ist. n+m. c k x k, c k = k=0. f(x) + g(x) := (a k + b k )x k. k=0.

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1 1 Polynome I 1.1 Denition und Eigenschaften von Polynomen Denition: Ein Polynom über einem Körper K ist ein Ausdruck der Form a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n = a k x k mit a i K. Ist a n 0, so heiÿt n der Grad des Polynoms. Das Nullpolynom hat den Grad. Zwei Polynome sind genau dann gleich, wenn alle ihre Koezienten gleich sind (Koezientenvergleich). Denition: Seien f = n a kx k und g(x) = m b kx k Polynome. Dann ist f(x)g(x) := n+m c k x k, c k = k a l b k l l=0 und ist n = m, so gilt: Ist λ K, so ist f(x) + g(x) := λf(x) := (a k + b k )x k λc k x k Bemerkung: Polynome bilden mit der hier denierten Addition und Multiplikation mit Skalaren einen Vektorraum. Neutralelement der Addition ist das Nullpolynom. Die Multiplikation ist assoziativ und kommutativ, für die Addition und die Multiplikation gilt das Distributivgesetz. Oder anders gesagt: Die Polynome erfüllen alle Körperaxiome, bis auf die allgemeine Existenz multiplikativer Inverse. Denition: Es gibt für Polynome noch zwei weitere Operationen: i) Für n N ist ii) Für das Polynom g(x) = n b kx k ist f(x) n := f(x)... f(x) }{{} n-mal f(g(x)) := b k f(x) k Grund: Nachrechnen Folgerung: Grad(f(x) g(x)) = Grad(f(x)) + Grad(g(x))

2 Grad(f(x) + g(x)) max{grad(f(x)), Grad(g(x))} Grad(f(g(x)) = Gradf(x) Gradg(x) Bemerkung: Zu jedem Polynom f(x) gehört eine Polynomfunktion (durch Einsetzen): ˆf : K K, c f(c). Hat der Körper K unendlich viele Elemente, so gilt f(x) = g(x) (als Polynome) ist gleichbedeutend mit: f(c) = g(c) für alle c K (also Gleichheit als Funktionen). Der Grund ndet sich in den Übungen: Sind zwei Polynome an mehr als Grad-vielen Stellen gleich, so sind sie gleich als Polynome. In F 2 z.b. ist das falsch: x und x 2 sind als Polynome verschieden, aber 0 = 0 2 und 1 = 1 2 also als Funktionen gleich. Denition: Ein Polynom g(x) vom Grad 1 heiÿt Teiler/Faktor eines Polynoms f(x), wenn es ein Polynom h(x) gibt, mit f(x) = g(x)h(x) Lemma: i) Ist f(x) g(x) = 0, so ist f(x) = 0 oder g(x) = 0 ii) (Kürzungsregel) Ist h(x) f(x) = h(x) g(x) und h(x) 0, so ist f(x) = g(x) Grund:i) Ist f(x), g(x) 0 dann haben f(x) und g(x) die Grade n, m N 0. Dann gilt aber Grad(f(x) g(x)) = n+m 0 >. Also ist f(x) g(x) nicht das Nullpolynom. Die Kontraposition hiervon ist die Behauptung. ii) Gilt die Voraussetzung, so ist h(x) (f(x) g(x)) = 0. Wegen h(x) 0 muÿ also f(x) g(x) = 0 gelten. Lemma: Für jedes c K und jedes k N ist x c Faktor von x k c k. Grund: (x c) (x k 1 + c x k c k 2 x + c k 1 ) = x k + c x k c k 2 x 2 + c k 1 x c x k 1 c 2 x k 2... c k 1 x c k = x k c k Satz:Sei f(x) 0 ein Polynom vom Grad n und c K. Dann existiert ein eindeutig bestimmtes Polynom q(x) und k K, mit Grad(q(x)) = n 1, so daÿ Zusatz: Es ist k = f(c). f(x) = (x c) q(x) + k Grund: 1) Existenz: Sei f(x) = a m x m a 0. Dann ist f(x) f(c) = a m (x m c m ) a 1 (x c) Nach obigem Lemma ist x c ein Faktor jedes Summanden der rechten Seite, also auch ein Faktor von f(x) f(c) : f(x) f(c) = (x c) q(x)

3 für ein Polynom q(x). Also f(x) = (x c) q(x) + f(c) 2) Eindeutigkeit: Sei f(x) = (x c) q 1 (x) + k 1 = (x c) q 2 (x) + k 2. Dann ist f(c) = k 1 = k 2 also folgt (x c) q 1 (x) = (x c) q 2 (x) und die Division auf beiden Seiten durch x c liefert die Behauptung. Denition: Eine Zahl c K ist eine Nullstelle eines Polynoms f(x) genau dann, wenn gilt f(c) = 0. Korollar: c R ist genau dann eine Nullstelle von p(x), wenn (x c) ein Faktor von p(x) ist. Grund: Ist p(c) = 0, so gilt: Ist p(x) = (x c)q(x), so gilt p(c) = 0. p(x) = (x c) q(x) + p(c) = (x c)q(x) Korollar: 1)Ein Polynom vom Grad n 1 hat höchstens n Nullstellen 2) Stimmen zwei Polynome vom Grad n an n + 1 (oder mehr) Stellen überein, so sind sie gleich. Grund: 1) Jede Nullstelle kann man als Linearfaktor abspalten. Dabei sinkt der Grad um 1. 2) Für zwei Polynome f(x), g(x) vom Grad n ist f(x) g(x) ein Polynom vom Grad n. Satz: Für ein Polynom f(x) = n a kx k und eine Zahl c gibt es eindeutig bestimmte Polynome q i (x) vom Grad n i, mit f(x) = q k (c)(x c) k Grund: Ist f(x) = (x c) q 1 (x) + f(c) (Division mit Rest von f(x) durch (x c)) und ist q 1 (x) = (x c) q 2 (x) + q 1 (c) (Division mit Rest von q 1 (x) durch (x c)) so gilt: f(x) = (x c) ((x c) q 2 (x) + q 1 (c)) + f(c) = (x c) 2 q 2 (x) + q 1 (c) (x c) + f(c) Nun kann man wieder q 2 (x) mit Rest durch x c dividieren usw. Es ist Grad(q i (x)) = n i, also Grad(q n (x)) = 0 (also eine Konstante) und daher q n (x) = q n (c) Allgemein gilt also mit q 0 (x) := f(x): n 1 p(x) = q k (c) (x c) k + q n (x) (x a) n mit eindeutig bestimmten Zahlen q i (c).

4 Denition: Die obige Darstellung von f(x) heiÿt Taylorentwicklung von f(x) im Punkt c. Denition: Eine Zahl c ist zweifache Nullstelle des Polynoms f(x), falls es ein Polynom g(x) gibt, mit: f(x) = (x c) 2 g(x) (*)Polynomdivision: Zu Polynomen f(x) und g(x) 0 gibt es eindeutig bestimmte Polynome r(x) mit Grad(r(x)) < Grad(g(x))und q(x), mit: f(x) = q(x)g(x) + r(x) Grund: Existenz: Die Menge {f(x) q(x)g(x) q(x) ist ein Polynom} hat ein bzgl. des Grades kleinstes Element, welches wir mit r(x) bezeichnen. r(x) = f(x) q(x)g(x) Ist r(x) = 0, so ist = Grad(r(x)) < Grad(g(x)), da g(x) 0 und f(x) = q(x)g(x). Sei also r(x) 0. Wir nehmen an, daÿ Grad(r(x)) Grad(g(x)) gälte. Wir schreiben: r(x) = r n x n + + r 0 g(x) = x m b 0 und es ist n m. Wir betrachten Für die höchsten Koezienten gilt: r(x) r n x n m g(x) r n x n r n x n m x m = 0 Da sich die Leitkoezienten wegheben, haben wir ein bzgl. des Grades kleineres Polynom gefunden. Andererseits gilt: r(x) r n x n m g(x) = f(x) q(x)g(x) r n f(x) g(x) ( q(x) + r n g m x n m x n m g(x) = ) Letzteres ist aber Element der Menge. Das widerspricht der Annahmen, daÿ r(x) gradkleinstes Element der Menge ist, also ist Grad(r(x)) < Grad(g(x)). Eindeutigkeit: Ist f(x) = q 1 (x)g(x) + r 1 (x) f(x) = q 2 (x)g(x) + r 2 (x) so gilt: (q 1 (x) q 2 (x))g = r 1 (x) r 2 (x) Nun hat die rechte Seite aber einen Grad kleiner als Grad(g(x)). Ist q 1 (x) q 2 (x), so kann diese Gleichung aus Gradgründen nicht gelten. Also ist q 1 (x) = q 2 (x) und daher auch r 1 (x) = r 2 (x).

5 1.2 Tangenten an Polynome Beispiel: Wir betrachten das Polynom p(x) = x 2. Für beliebiges a gilt: x 2 = ((x a) + a) 2 = (x a) 2 + 2a(x a) + a 2 Analog lautet die Taylorentwicklung (s.u.) von x n im Punkt a: x n = ((x a) + a) n = Denition: Ist p(x) ein Polynom und ist ( ) n a n k (x a) k k p(x) = p k (a)(x a) k = p(a) + p 1 (a)(x a) + die Taylorentwicklung im Punkt a, so ist p k (a)(x a) k k=2 t a (x) := p(a) + p 1 (a)(x a) die Tangente an p(x) im Punkte a. p 1 (a) ist die Steigung der Tangenten und heiÿt die Ableitung von p(x) in a. Schreibweise: p (a) = p 1 (a) Bemerkung: Die Intention dieser Denition ist die folgende: Sind wir in R oder Q und ist x a klein, so sind sind die höheren Potenzen x a n für n 2 noch sehr viel kleiner. Also ist die Tangente für x nahe bei a eine gute Näherung von p(x). Man spricht auch von der Tangente als Linearisierung des Polynoms p(x) bei a. Bemerkung: p(x) = q(x)(x a) + r(x)